NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3

प्रश्न 1.
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यदृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश में एक गेंद निकाली जाती है। दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
(i) कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
माना एक लाल गेंद निकाली जाती है फिर कलश में रख्व दी जाती है।
∴ लाल रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
अब दो लाल गेंदे कलश में रख दी जाती हैं। कलश में 7 लाल और 5 काली गेंदे हैं।
∴ दूसरी बार एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{7}{12}\)

(ii) माना पहले काली गेंद निकाली जाती है और फिर कलश में रख दी जाती है।
∴ लाल रंग की गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
इसके पश्चात् कलश में 2 लाल गेंदें रख दी जाती हैं। अब कलश में 5 लाल और 7 काली गेंदें हैं।
दूसरी बार में एक लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{12}\)
समीकरण (1), (2), (3), (4) का प्रयोग करते हुए, दूसरी गेंद के लाल होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{7}{12}\) + \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{5}{12}\)
= \(\frac{7}{24}\) + \(\frac{5}{24}\) = \(\frac{12}{24}\) = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 2.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों थैलों में से एक को बदृच्छया चुना जाता है और उसमें से एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?
हल:
माना पहले थैले के चुनने की घटना को E₁ से और दूसरे थैले को चुनने की घटना को E₂ से व्यक्त करते हैं।
लाल गेंद निकालने की घटना को A से दर्शति हैं।
∴ एक थैले को चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
अर्थात् P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
पहले थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं।
∴ इनमें से लाल गेंदें चुनने की प्रायिकता = \(\frac{4}{8}\) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ P(\(\frac{A}{E_1}\)) = \(\frac{1}{2}\)
दूसरे थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं।
∴ इनमें से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता
= P(\(\frac{A}{E_2}\)) = \(\frac{2}{8}\) = \(\frac{1}{4}\)
अब, लाल गेंद पहले थैले से निकाले जाने की प्रायिकता
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{\frac{1}{2} × \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} × \frac{1}{2}+\frac{1}{2} × \frac{1}{4}}\) = \(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}\)
= \(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2+1}{8}}\) = \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{8}}\) = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{8}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 3.
यह ज्ञात है कि एक महाविद्यालय के छात्रों में से 60 % छात्रावास में रहते हैं और 40 % छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30 \% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20 % छात्रों ने A-ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यदृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A-ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?
हल:
माना छात्रावास में रहने वाले और न रहने वाले छात्रों की घटनाएँ क्रमशः E₁ तथा E₂ हैं।
छत्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता
P(E₁) = 60% = \(\frac{60}{100}\) = 06
छत्रावास में न रहने वाले छात्रों की प्रायिकता,
P(E₂) = 40% = \(\frac{40}{100}\) = 0.4
छात्रावास में रहने वाले तथा A-ग्रेड लेने वाले छात्रों की प्रायिकता,
P(\(\frac{A}{E_1}\)) = 30% = \(\frac{30}{100}\) = 0.3
छात्रावास में न रहने वाले तथा A-ग्रेड मिलने वाले छात्रों की प्रायिकता,
छात्रावास में रहने वाले तथा A-ग्रेड प्राप्त छत्रों की प्रायिकता,
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{0.6 × 0.3}{0.6 × 0.3+0.4 × 0.2}\)
= \(\frac{0.18}{0.18+0.08}\)
= \(\frac{0.18}{0.26}\) = \(\frac{18}{26}\) = \(\frac{9}{13}\)

प्रश्न 4.
एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान ले कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है और अनुमान लगाने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है। मान ले कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है, तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है? यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
हल:
माना घटनाएँ, E₁: विद्यार्थी उत्तर जानता है। तथा
E₂: विद्यार्थी अनुमान लगाता है।
अब P(E₁) = \(\frac{3}{4}\), P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
माना सही उत्तर देने की घटना A है।
P(\(\frac{A}{E_1}\)) = 1, P(\(\frac{A}{E_2}\)) = \(\frac{1}{4}\)
∴ अभीष्ट प्रायिकता
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{\frac{3}{4} × 1}{\frac{3}{4} × 1+\frac{1}{4} × \frac{1}{4}}\) = \(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}+\frac{1}{16}}\)
= \(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{12+1}{16}}\) = \(\frac{3 / 4}{13 / 16}\)
= \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{16}{13}\) = \(\frac{12}{13}\)

प्रश्न 5.
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यदृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है ?
हल:
माना घटनाएँ, E₁ = रोग से ग्रस्त रोगी
E₂ = रोग से ग्रस्त नहीं रोगी
A = रक्त की जाँच की गई
∴ रोग से ग्रस्त व्यक्ति की प्रायिकता,
P(E₁) = 0.1 % = \(\frac{0-1}{100}\) = 0.001
रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति की प्रायिकता,
P(E₂) = 1 – P(E₁)
= 1 – 0.001 = 0.999
उन व्यक्तियों की प्रायिकता जो रोगी हैं तथा रक्त की जाँच की गई,
P(\(\frac{A}{E_1}\)) = 99% = \(\frac{99}{100}\) = 0.99
रक्त की जाँच की गई परन्तु व्यक्ति रोगी नहीं है, की प्रायिकता,
P(\(\frac{A}{E_2}\)) = 0.5% = \(\frac{0-5}{100}\) = 0.005
कोई यदृच्छया चुना गया व्यक्ति रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में रोग पाये जाने की प्रायिकता
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{0001 × 0.99}{0.001 × 0.99+0.999 × 0.005}\)
= \(\frac{0.00099}{0.00099+0.004995}\)
= \(\frac{0.000990}{0.005985}\)
= \(\frac{990}{5985}\) = \(\frac{198}{1197}\) = \(\frac{22}{133}\)

प्रश्न 6.
तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यदुच्छया चुना गया और उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो, तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों ओर चित वाला सिक्का है?
हल:
∴ तीनों में एक एक सिक्का चुनने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{3}\)
यदि तीनों सिक्कों की घटनाएँ E₁, E₂, E₃ हैं और चित आने की घटना A है।
तब P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\)
अर्थात् ( \(\frac{A}{E_1}\)) = 1
दूसरा सिक्का इस प्रकार अभिनत है कि
P( \(\frac{A}{E_2}\)) = 75 % = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
तीसरा सिक्का अनभिनत है,
अर्थात् P(\(\frac{A}{E_3}\)) = \(\frac{1}{2}\)
∴ सिक्के पर चित हो और पहला सिक्का हो, की प्रायिकता,
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{\frac{1}{3} × 1}{\frac{1}{3} × 1+\frac{1}{3} × \frac{3}{4}+\frac{1}{3} × \frac{1}{2}}\)
= \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}\) = \(\frac{\frac{1}{3}}{\left.\frac{4+3+2}{E_3}\right)}\)
= \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{9}{12}}\) = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{12}{9}\) = \(\frac{4}{9}\)

प्रश्न 7.
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01,0.03 और 0.15 हैं। बीमाकृत व्यक्तियों (चालको) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना E₁ = स्कूटर चालक का बीमा होना
E₂ = कार चालक का बीमा होना
E₃ = ट्रक चालक का बीमा होना
∵ बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
∴ कुल चालकों की संख्या = 2000 + 4000 + 6000
= 12000
स्कूटर चालकों के बीमा होने की प्रायिकता
= P(E₁) = \(\frac{2000}{12000}\) = \(\frac{1}{6}\)
कार चालकों के बीमा होने की प्रायिकता
= P(E₂) = \(\frac{4000}{12000}\) = \(\frac{1}{3}\)
ट्क चालकों के बीमा होने की प्रायिकता
= P(E₃) = \(\frac{6000}{12000}\) = \(\frac{1}{2}\)
स्कूटर चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता
= P(\(\frac{A}{E_1}\)) = 0.01
(जहाँ दुर्घटनाओं की घटना A से प्रदर्शित है।)
कार चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता
= P(\(\frac{A}{E_2}\)) = 0.03
टूक चालकों के दुर्घटना होने की प्रायिकता
= P(\(\frac{A}{E_3}\)) = 0.15
बीमाकृत चालकों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है; उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता,
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)} + P\left(E_3\right) P\left(\frac{A}{E_3}\right)\)
= \(\frac{\frac{1}{6} × 0.01}{\frac{1}{6} × 0.01+\frac{1}{3} × 0.03+\frac{1}{2} × 0.15}\)
= \(\frac{0.01}{0.01+2 × 0.03+3 × 0 \cdot 15}\)
= \(\frac{0.01}{0.01+0.06+0.45}\) = \(\frac{0.01}{0.52}\) = \(\frac{1}{52}\)

प्रश्न 8.
एक कारखाने में A और B दो मशीनें लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% और मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यदृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के ‘ मशीन B ‘ द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
माना घटनाएँ,
मशीन A का उत्पादन = E₁
तथा मशीन B का उत्पादन = E₂
माना A खराब उत्पादन प्रदर्शित करते हैं।
मशीन A द्वारा उत्पाद्न की गई वस्तु की प्रायिकता,
P(E₁) = 60% = \(\frac{60}{100}\) = 06
मशीन B द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता,
P(E₂) = 40% = \(\frac{40}{100}\) = 0.4
मशीन A द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता,
P(\(\frac{A}{E_1}\)) = 2% = \(\frac{2}{100}\) = 002
मशीन B द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता,
P(\(\frac{A}{E_2}\)) = 1% = \(\frac{1}{100}\) = 0.01
∵ P(E₁) = 0.6, P(E₂) = 0.4,
तथा
P(\(\frac{A}{E_1}\)) = 0.02, P(\(\frac{A}{E_2}\)) = 0.01
तथा
P( \(\frac{A}{E_1}\)) = 0.02, P( \(\frac{A}{E_2}\)) = 0.01
कुल उत्पादन के ढेर में से यदृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो, तो इस वस्तु के मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता
P(\(\frac{E_2}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{0.4 × 0.01}{0.6 × 0.02+0.4 × 0.01}\)
= \(\frac{0.004}{0.012+0.004}\)
= \(\frac{0.004}{0.016}\) = \(\frac{4}{16}\) = \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 9.
दो दल एक निगम के निदेशक मण्डल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 तथा 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
हल:
माना घटनाएँ,
E₁ = पहले दल की जीत
E₂ = दूसरे दल की जीत
\(\frac{A}{E_1}\) = पहला दल नया उत्पादन प्रारम्भ करेगा
\(\frac{A}{E_2}\) = दूसरा दल नया उत्पादन प्रारम्भ करेगा
पहले दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₁) = 0.6
दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₂) = 0.4
पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने
की प्रायिकता = P(\(\frac{A}{E_1}\)) = 0.7
दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता
= P(\(\frac{A}{E_2}\)) = 0.3
P(\(\frac{E_2}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{0.4 × 0.3}{0.6 × 0.7+0.4 × 0.3}\)
= \(\frac{0.12}{0.42+0.12}\) = \(\frac{0.12}{0.54}\) = \(\frac{12}{54}\) = \(\frac{2}{9}\)

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो एक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘चितों की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1,2,3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है, तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर ‘ चित’ या ‘ पट’ प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है, तो उसके द्वारा उछाले गये पासे पर 1,2,3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है ?
हल:
एक पासे को उछ्धलने से 6(1,2,3,4,5,6) परिणाम प्राप्त होते हैं।
माना घटनाएँ,
E₁ = 5 या 6 का प्राप्त होना
E₂ = 1,2,3,4 का प्राप्त होना
A = सिक्का/सिक्के उछालने पर चित प्राप्त होना
∴ 5 या 6 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता,
P(E₁) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
तथा संख्या 1, 2, 3, 4 प्राप्त होने की प्रायिकता,
P(E₂) = \(\frac{4}{6}\) = \(\frac{2}{3}\)
जब वह संख्या 5 या 6 प्राप्त करती है, तब वह सिक्का तीन बार उछालती है।
∴{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
एक चित प्राप्त होने के तरीके [HTT, THT, TTH]
अर्थांत् तीन तरीके
एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{8}\)
∴ P(\(\frac{A}{E_1}\)) = \(\frac{3}{8}\)
जब वह संख्या 1,2,3,4 प्राप्त करती है तब वह एक सिक्के को एक बार उछलती है।
∴ एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
अर्थात् P(\(\frac{A}{E_2}\)) = \(\frac{1}{2}\)
यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है, तो उसके द्वारा उछले गये पासों पर 1,2,3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता,
P(\(\frac{E_2}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}{P\left(E_1\right) P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
अब नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किये जाने की प्रायिकता,
= \(\frac{\frac{2}{3} × \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} × \frac{3}{8}+\frac{2}{3} × \frac{1}{2}}\)
= \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{8}+\frac{1}{3}}\) = \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3+8}{24}}\)
= \(\frac{\frac{1}{3}}{\frac{11}{24}}\) = \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{24}{11}\) = \(\frac{8}{11}\)

प्रश्न 11.
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C तीन मशीन ऑपरेटर हैं। मशीन ऑपरेटर A, 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा B, 5 % और C 7 % खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर ऑपरेटर A कुल समय का 50% लगाता है। ऑपरेटर B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है, तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?
हल:
मामा तीन मशीनों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ क्रमशः E₁, E₂ तथा E₃ हैं।
पहले ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग
= P(E₁) = 50 %
\(\frac{50}{100}\) = 0.5
दूसरे ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग
= P(E₂) = 30% = \(\frac{30}{100}\) = 0.3 .
तीसरे ऑपरेटर द्वारा कुल समय का उपयोग
= P(E₃) = 20 % = \(\frac{20}{100}\) = 0.2
माना A खराब उत्पाद की घटना है।
प्रथम ऑपरेटर 1% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P(\(\frac{A}{E_1}\)) = 0.01
दूसरा ऑपरेटर 5% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P(\(\frac{A}{E_2}\)) = 0.05
तीसरा ऑपेरेटर 7% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ P(\(\frac{A}{E_3}\)) = 0.07
यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है, तो A द्वारा उत्पादित किये जाने की प्रायिकता,
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1})}{P(E_1) \cdot P(\frac{A}{E_1})+P(E_2) \cdot P(\frac{A}{E_2})} +P(E_3) \cdot P(\frac{A}{E_3}) \)
= \(\frac{0.5 × 0.01}{0.5 × 0.01+0.3 × 0.05+0.2 × 0.07}\)
= \(\frac{0-005}{0.005+0.015+0.014}\)
= \(\frac{0-005}{0-034}\) = \(\frac{5}{34}\)

प्रश्न 12.
52 ताशों की गड्डी में से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों में से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो इंट के पत्ते हैं। खो गये पत्ते के इंट के होने की प्रायिकता क्या है ?
हल:
माना घटनाएँ,
E₁ = खोया हुआ पत्ता ईंट का है।
E₂ = खोया हुआ पत्ता ईंट का नहीं है।
यहाँ 52 ताशों की गड्डी में 13 पत्ते इंट के हैं।
∴ P(E₁) = \(\frac{{ }^{13} C_1}{{ }^{52} C_1}\) = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)
और यहाँ 39 पत्ते हैं जिसमें इंट के पत्ते नहीं हैं।
∴ P(E₂) = \(\frac{39}{52}\) = \(\frac{3}{4}\)
(i) जब एक ईंट का पत्ता खो गया हो तब 51 पत्तों में से 12 पत्ते इंट के रह जायेंगे।
∴ P(\(\frac{A}{E_1}\)) = \(\frac{{ }^{12} C_2}{{ }^{51} C_2}\) = \(\frac{12 \times 11}{51 \times 50}\)
यहुँ A खो गये पत्तों को प्रदर्शित करता है।

(ii) जब ईंट के पत्ते खोए नहीं हैं, तब यहाँ 13 इंट के पत्ते हैं। दो इंट के पत्ते खींचने की प्रायिकता,
P(\(\frac{A}{E_2}\)) = \(\frac{{ }^{13} C_2}{{ }^{51} C_2}\) = \(\frac{13 \times 12}{51 \times 50}\)
खो गए पत्ते के ईंट के होने की प्रायिकता
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{\frac{1}{4} \times \frac{12 \times 11}{51 \times 50}}{\frac{1}{4} \times \frac{12 \times 11}{51 \times 50}+\frac{3}{4} \times \frac{13 \times 12}{51 \times 50}}\)
= \(\frac{\frac{1}{4} \times 12 \times 11}{\frac{1}{4} \times 12 \times 11+\frac{3}{4} \times 13 \times 12}\)
= \(\frac{33}{33+117}\) = \(\frac{33}{150}\) = \(\frac{11}{50}\)

प्रश्न 13.
A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{4}{5}\) है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है:
(A) \(\frac{4}{5}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{5}\)
(D) \(\frac{2}{5}\)
हल:
माना, E₁ = A द्वारा सत्य बोलने की घटना
E₂ = A द्वारा सत्य न बोलने की घटना
∵ P(E₁) = \(\frac{4}{5}\) (दिया है)
∴ P(E₂) = 1 – P(E₁) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
चित प्रदर्शित होने की घटना A है।
∴ P(\(\frac{A}{E_1}\)) = \(\frac{1}{2}\)
जब A सत्य नहीं बोलता, तब यह चित है।
चित प्रकट होने की प्रायिकता
P(\(\frac{A}{E_2}\)) = \(\frac{1}{2}\)
वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता
P(\(\frac{E_1}{A}\)) = \(\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_1}\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(\frac{A}{E_2}\right)}\)
= \(\frac{\frac{4}{5} \times \frac{1}{2}}{\frac{4}{5} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{5} \times \frac{1}{2}}\)
= \(\frac{4}{\frac{4}{5}+\frac{1}{5}}\) = \(\frac{4}{\frac{5}{5}}\) = \(\frac{4}{5}\)
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 14.
यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं कि A ⊂ B तथा P(B) ≠ 0 तो निम्न में से कौन ठीक है:
(A) P(\(\frac{A}{B}\)) = \(\frac{P(B)}{P(A)}\)
(B) P(\(\frac{A}{B}\)) < P(A)
(C) P(\(\frac{A}{B}\)) ≥ P(A)
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
A ⊂ B ⇒ A∩B = A ⇔ P(A∩B) = P(A)
∴ P\((\frac{A}{B})\) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) = \(\frac{P(A)}{P(B)}\)
किन्तु P(B) ≤ 1
∴ \(\frac{1}{P(B)}\) ≥ 1 ⇒ \(\frac{P(A)}{P(B)}\) ≥ 1
⇒ P\((\frac{A}{B})\) ≥ P(A)
अतः विकल्प (C) सही है।