NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6

प्रश्न 1.
xsin x
हल:
माना I = ∫x sinx dx
[x को प्रथम फलन तथा sin x को द्वितीय फलन लेने पर ]
= x∫sin x dx – ∫[\(\frac{d}{d x}\) x ∫sin x dx]dx
= x(- cos x) – ∫[ [1.(- cos x) dx]
= – x cos x + ∫cos x dx
= – x cos x + sin x + C

प्रश्न 2.
x sin 3x
हल:
माना I = ∫x sin 3xdx
[x को प्रथम फलन तथा sin 3x को द्वितीय फलन लेने पर]
= x∫sin 3x dx – ∫[\(\frac{d}{d x}\) x ∫sin x dx]dx
= x\(\left(-\frac{\cos 3 x}{3}\right)\) – ∫1\(\left(-\frac{\cos 3 x}{3}\right)\) dx
= – \(\frac{x}{3}\)cos 3x + \(\frac{x}{3}\)∫cos 3x dx
= – \(\frac{x}{3}\)cos 3x + \(\frac{x}{3}\)\(\frac{\sin 3 x}{3}\) + C
= – \(\frac{x}{3}\)cos 3x + \(\frac{1}{9}\)sin 3x + C

प्रश्न 3.
x² e^x
हल:
माना I = ∫x² e^x dx
(x² को प्रथम फलन तथा को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर )
I = x²∫e^x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x²).∫e^x dx)dx
= x²e^x – ∫2x.e^xdx = x²e^x – 2∫x e^x dx
(पुनः को प्रथम फलन तथा को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
= x²e^x – 2[x∫e^x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x)∫e^x dx)
= x²e^x – 2[x∫e^x – ∫1.e^xdx]
= x²e^x – 2[xe^x – e^x] + C
= x²e^x – 2xe^x + 2e^x + C
= e^x(x² – 2x + 2) + C

प्रश्न 4.
x log x
हल:
माना I = ∫x logx
(log को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = [logx ∫xdx – ∫{\(\frac{d}{d x}\) logx∫x dx} dx
= logx × \(\frac{x^2}{2}\) – ∫\(\frac{1}{x}\) \(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)log x – \(\frac{1}{2}\)∫x dx
= \(\frac{x^2}{2}\)log x – \(\frac{1}{2}\)\(\frac{x^2}{2}\) + C
= \(\frac{x^2}{2}\)log x – \(\frac{1}{4}\)x² + C

प्रश्न 5.
x log 2x
हल:
माना I = ∫x log 2x dx
(log 2x को प्रथम तथा फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = [log 2x ∫xdx – ∫{\(\frac{d}{d x}\) logx∫x dx} dx
= (log 2x) × \(\frac{x^2}{2}\) – ∫\(\frac{1}{2 x}\) × 2.\(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) log 2x – \(\frac{1}{2}\)∫x dx
= \(\frac{x^2}{2}\) log 2x – \(\frac{1}{2}\)\(\frac{x^2}{2}\) + C
= \(\frac{x^2}{2}\) log 2x – \(\frac{1}{4}\)x² + C

प्रश्न 6.
x² logx
हल:
I = x² log x dx
(logx को प्रथम फलन तथा x2 को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
1 = log x ∫x² dx – ∫{\(\frac{d}{d x}\) logx∫x dx} dx
= (logx) × \(\frac{x^3}{3}\) – ∫\(\frac{1}{x}\) \(\frac{x^3}{3}\) dx
= \(\frac{x^3}{3}\) logx – \(\frac{1}{3}\) ∫x² dx
= \(\frac{x^3}{3}\) logx – \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{x^3}{3}\) + C
= \(\frac{x^3}{3}\) logx – \(\frac{x^3}{9}\) + C

प्रश्न 7.
x sin^-1 x
हल:
माना
I = ∫x sin^-1 x dx
(sin^-1 x को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = sin^-1 x ∫xdx – ∫{\(\frac{d}{d x}\) logx∫x dx} dx
= (sin^-1 x)\(\frac{x^2}{2}\) – ∫\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\frac{x^2}{2}\)

प्रश्न 8.
x tan^-1 x dx
हल:
माना
I = ∫x tan^-1 x dx
(tan^-1 x को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर )
I = tan^-1x∫x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) (tan^-1x)∫xdx) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan^-1x – ∫\(\frac{1}{1+x^2}\) × \(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan^-1x – \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{x^2}{1+x^2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan^-1x – \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan^-1x – \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)}\) dx – \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{1}{1+x^2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan^-1x – \(\frac{1}{2}\) ∫x dx + \(\frac{1}{2}\)tan^-1x
= \(\frac{x^2}{2}\) tan^-1x – \(\frac{1}{2}\)x + \(\frac{1}{2}\)tan^-1x + C
= \(\frac{1}{2}\)(x² + 1)tan^-1x – \(\frac{1}{2}\)x + C

प्रश्न 9.
x cos^-1 x
हल:
माना I = ∫x cos^-1 x dx
(cos^-1 x को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन लेने पर)
I = cos^-1∫x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) cos^-1 x∫x dx ) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)cos^-1x – ∫ – \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)cos^-1x + \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)cos^-1x + \(\frac{1}{2}\) I₁ ………….(1)
I₁ = ∫\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\) dx
माना x = sinθ तब dx = cosθ dθ

प्रश्न 10.
(sin^-1 x)²
हल:
माना I = ∫(sin^-1 x)² dx
माना sin^-1 x = t
तब x = sint
dx = cost dt
∴ I = ∫(sin^-1 x)² dx
= ∫t² cos t dt
t² को प्रथम फलन तथा cos t को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = t²∫cost dt – ∫(\(\frac{d}{d t}\)(t²) ∫cos t dt) dt
t²sint – ∫2tsint dt
= t²sint – 2∫tsint dt
I = t²sint – 2I₁ ……………….(1)
∴ I₁ = ∫t sint dt – ∫(\(\frac{d}{d t}\) (t) ∫sint dt) dt
( t को प्रथम फलन तथा sin t को द्वितीय फलन लेने पर)
= t(-cost) – ∫1.(-cost)dt
= -tcost + ∫cos t dt
= -t cost + sin t + C₁
I₁ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
I = t² sint – 2(-t cost + sin t + C₁)
= t² sin t + 2t cost – 2 sint – 2C₁
= t² sin t + 2t cost – 2 sint + C (∵ C = -2C₁)
= x(sin^-1 x)² + 2 sin^-1\(x \sqrt{1-x^2}\) – 2x + C

प्रश्न 11.
\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
हल:
माना I = ∫\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\) dx
cos^-1 x = t रखने पर
⇒ x = cos t
(t को प्रथम फलन तथा cost को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = -[t ∫cos t dt – ∫{\(\frac{d}{d t}\) t ∫cost dt}dt
=- [t sint – ∫1.sin t dt] = -t sin t + ∫sin t dt
= -tsin t + (-cost) + C
= -tsint – cost + C
= -t\(\sqrt{1-\cos ^2 t}\) – cost + C
= – (cos^-1x)\(\sqrt{1-x^2}\) – x + C

प्रश्न 12.
x sec² x
हल:
माना
I = ∫x sec² x dx
(x को प्रथम तथा sec² x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = x∫sec² x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) x ∫sec² x dx)dx
= x tan x – ∫1.tan x dx
= x tan x – ∫tanx dx
= xtan x – (-log|cos x|) + C
= xtanx + log|cosx| + C

प्रश्न 13.
tan^-1 x
हल:
माना
I = ∫tan^-1 x dx
= ∫(tan^-1 x ) 1. dx
(tan^-1 x को प्रथम फलन तथा 1 को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = tan^-1 x∫1 dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) tan^-1 x ∫1 dx)dx
= x tan^-1 x – ∫\(\frac{1}{1+x^2}\) x dx
= x tan^-1 x – ∫\( \frac{x}{1+x^2}\) dx
I = x tan^-1 x – I₁(माना) ………….(1)
∴ I₁ = ∫\( \frac{x}{1+x^2}\) dx
माना 1 + x² = t
तब 2x dx = dt
∴ xdx = \(\frac{1}{2}\) dt
I₁ = \(\frac{1}{2}\)∫\(\frac{d t}{t}\) = \(\frac{1}{2}\)log|t| + C₁
= \(\frac{1}{2}\)log|1 + x²| + C₁
I₁ का मान (1) में रखने पर,
I = xtan^-1 x – {\(\frac{1}{2}\)log|1 + x² | – C₁
= xtan^-1 x – \(\frac{1}{2}\)log|1 + x² | + C
= xtan^-1 x – \(\frac{1}{2}\)log(1 + x²) + C
(∵ x² > 0 1 > 0, ∴ 1 + x² > 0)

प्रश्न 14.
x (logx)²
हल:
माना I = ∫x (logx)² dx
((logx)² को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = (logx)²∫x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(logx)²∫x dx)dx
= \(\frac{x^2}{2}\)(logx)² – ∫\(\frac{2 \log x}{x}\) × \(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)(logx)² – ∫xlogx dx
I = \(\frac{x^2}{2}\)(logx)² – I₁(माना) …………….(1)

प्रश्न 15.
(x² + 1)logx
हल:
माना I = ∫(x² + 1)logx dx
(logx को प्रथम फलन तथा (x² + 1) को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = logx∫(x² + 1)dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) (logx) ∫(x² + 1)dx
= logx(\(\frac{x^3}{3}\) + x) – ∫\(\frac{1}{x}\) (\(\frac{x^3}{3}\) + x)dx
= (\(\frac{x^3}{3}\) + x)logx – ∫\(\frac{1}{3x}\)(\(\frac{x^3}{3}\) + x)dx
= \(\left(\frac{3 x+x^3}{3}\right)\) logx – \(\frac{1}{3}\)∫x²dx – ∫dx
= \(\left(\frac{3 x+x^3}{3}\right)\) logx – \(\frac{1}{3}\)\(\frac{x^3}{3}\) – x + C
= \(\frac{1}{3}\)(3x + x³) logx – \(\frac{x^3}{9}\) – x + C

प्रश्न 16.
e^x (sinx + cosx)
हल:
माना I = ∫e^x (sinx + cosx) dx
= ∫e^xsinx + ∫e^xcosx dx
(प्रथम समाकलन में sin x को प्रथम फलन तथा e^x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = sinx∫e^x dx – ∫\(\frac{d}{d x}\) sinx∫e^x dx + ∫e^xcosx dx
= e^xsinx – ∫(cosx)e^xdx + ∫e^xcosxdx + C
= e^xsinx – ∫e^xcosxdx + ∫e^xcosxdx + C
= e^xsinx + C

प्रश्न 17.
\(\frac{x e^x}{(1+x)^2}\)
हल:

प्रश्न 18.
e^x \(\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\)
हल:
I = ∫e^x \(\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\) dx
= ∫e^x \(\frac{(1+2 \sin x / 2 \cos x / 2)}{2 \cos ^2 x / 2}\) dx
[∵ sinx = 2 sin x / 2cosx / 2 तथा cos x = 2 cos² x / 2 – 1]
= ∫e^x(\(\frac{1}{2}\) sec² \(\frac{x}{2}\) + tan\(\frac{x}{2}\))dx
= ∫e^xtan\(\frac{x}{2}\)dx + \(\frac{1}{2}\)∫e^xsec² \(\frac{x}{2}\)dx
(प्रथम समाकलन में tan\(\frac{x}{2}\) को प्रथम फलन तथा e^x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = [tan\(\frac{x}{2}\)∫e^xdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)tan\(\frac{x}{2}\)dx∫e^xdx)dx + \(\frac{1}{2}\)∫e^xsec² \(\frac{x}{2}\) dx + C
= [tan\(\frac{x}{2}\) e^x – ∫\(\frac{1}{2}\) sec²\(\frac{x}{2}\) dx + C
= e^x tan\(\frac{x}{2}\) – \(\frac{1}{2}\)∫e^xsec² \(\frac{x}{2}\) dx + C
= e^x tan\(\frac{x}{2}\) + C

प्रश्न 19.
e^x(\(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x^2}\))
हल:
I = ∫e^x(\(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x^2}\)) dx
या I = ∫e^x\(\frac{1}{x}\) dx – ∫e^x\(\frac{1}{x^2}\) dx
(प्रथम समाकलन में \(\frac{1}{x}\) को प्रथम फलन तथा e^x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = \(\frac{1}{x}\)∫e^xdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)∫e^xdx)dx – ∫e^x \(\frac{1}{x^2}\)dx
= \(\frac{1}{x}\)∫e^x – ∫-\(\frac{1}{x^2}\)e^xdx – ∫e^x \(\frac{1}{x^2}\)dx
= \(\frac{1}{x}\)∫e^x + ∫e^x\(\frac{1}{x^2}\)dx – ∫e^x\(\frac{1}{x^2}\)dx + C
= \(\frac{1}{x}\)∫e^x + C

प्रश्न 20.
\(\frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3}\)
हल:
I = ∫\(\frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3}\) dx
= ∫\(\frac{e^x(x-1-2)}{(x-1)^3}\) dx
= ∫e^x(\(\frac{(x-1)}{(x-1)^3}\) – \(\frac{2}{(x-1)^3}\))dx
= ∫e^x(\(\frac{1}{(x-1)^2}\) – \(\frac{2}{(x-1)^3}\))dx
यहाँ f(x) = \(\frac{1}{(x-1)^2}\) तथा f(x) = –\(\frac{2}{(x-1)^3}\)
तब सूत्र ∫e^x[f(x) + f(x)]dx = e^x f(x) से
I = \(\frac{e^x}{(x-1)^2}\) + C

प्रश्न 21.
e^2x sinx
हल:
I = ∫e^2x sinx dx
(e^2x प्रथम समाकलन में sinx को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = ∫e^2x∫sinx dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)e^2x ∫cosx dx)dx
या I₁ = e^2xsinx – ∫2e^2xsinx dx + C₁
I₁ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
I = -e^2xcosx + 2[e^2x sinx – 2∫e^2xsinx – 2∫e^2xsinx dx + C₁
या
I = -e^2xcosx + 2e^2x sinx – 4∫e^2xsinxdx + 2C₁
या
I = -e^2xcosx + 2e^2x sinx – 4I + 2C₁
या
I + 4I = -e^2xcosx + 2e^2x sinx + 2C₁
या
5I = -e^2xcosx + 2e^2x sinx + 2C₁
या
I = –\(\frac{1}{5}\) e^2xcosx + \(\frac{2}{5}\)2e^2x sinx + \(\frac{2}{5}\)C₁
या
I = –\(\frac{1}{5}\) e^2xcosx + \(\frac{2}{5}\)e^2x sinx + C
(∵ C = \(\frac{2}{5}\)C₁)
I = \(\frac{e^{2 x}}{5}\) (2sinx – cosx) + C

प्रश्न 22.
sin^-1 \(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
हल:
I = ∫sin^-1 \(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) dx
मान
x = tanθ तब θ = tan^-1 x
तथा dx = sec² θ dθ
I = ∫sin^-1\(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\) sec² θ dθ
= ∫sin^-1 (sin2θ) sec² θ dθ
[∵ sin2θ = \(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\)]
= ∫2θ sec² θ dθ = 2∫θsec² θ dθ
(θ को प्रथम फलन तथा sec² θ को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = 2[θ∫sec² θ dθ – ∫(\(\frac{d}{d \theta}\)∫sec² θ dθ)dθ
= 2θtanθ – 2∫1.tanθdθ
= 2θtanθ – 2(-log|cosθ|) v + C

= 2xtan^-1 x + 2log\(\left|\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right|\) + C
= 2xtan^-1 x + 2log|(1 + x² )^-1/2| + C
= 2xtan^-1 x + 2(-1/2)log|(1 + x²)| + C
= 2xtan^-1 x – log(1 + x²) + C

प्रश्न 23.
∫x²ex³ dx
(A) \(\frac{1}{3}\) ex³ + C
(B) \(\frac{1}{3}\)ex² + C
(C) \(\frac{1}{2}\)ex³ + C
(D) \(\frac{1}{2}\)ex² + C
हल:
I = ∫x²ex³ dx
माना x³ = t
तब 3x² = dt
या x²dx = dt
∴ I = \(\frac{1}{3}\)∫e^t + C
= \(\frac{1}{3}\)∫ex³ + C
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 24.
∫e^x x(1 + tanx)dx
(A) e^xcosx + C
(B) e^xsecx + C
(C) e^xsinx + C
(D) e^xtanx + C
हल:
I = ∫e^xsecx(1 + tanx) dx
= ∫e^x(secx + secx tanx)dx
यहाँ f(x) = secx तथा f(x) = secxtanx
तब सूत्र ∫e^x[f(x) + f(x)]dx = e^xf(x) + C
I = e^xsecx + C
अतः विकल्प (B) सही है।