These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 7 समाकलन Ex 7.6
प्रश्न 1.
xsin x
हल:
माना I = ∫x sinx dx
[x को प्रथम फलन तथा sin x को द्वितीय फलन लेने पर ]
= x∫sin x dx – ∫[\(\frac{d}{d x}\) x ∫sin x dx]dx
= x(- cos x) – ∫[ [1.(- cos x) dx]
= – x cos x + ∫cos x dx
= – x cos x + sin x + C
प्रश्न 2.
x sin 3x
हल:
माना I = ∫x sin 3xdx
[x को प्रथम फलन तथा sin 3x को द्वितीय फलन लेने पर]
= x∫sin 3x dx – ∫[\(\frac{d}{d x}\) x ∫sin x dx]dx
= x\(\left(-\frac{\cos 3 x}{3}\right)\) – ∫1\(\left(-\frac{\cos 3 x}{3}\right)\) dx
= – \(\frac{x}{3}\)cos 3x + \(\frac{x}{3}\)∫cos 3x dx
= – \(\frac{x}{3}\)cos 3x + \(\frac{x}{3}\)\(\frac{\sin 3 x}{3}\) + C
= – \(\frac{x}{3}\)cos 3x + \(\frac{1}{9}\)sin 3x + C
प्रश्न 3.
x2 ex
हल:
माना I = ∫x2 ex dx
(x2 को प्रथम फलन तथा को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर )
I = x2∫ex dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x2).∫ex dx)dx
= x2ex – ∫2x.exdx = x2ex – 2∫x ex dx
(पुनः को प्रथम फलन तथा को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
= x2ex – 2[x∫ex dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(x)∫ex dx)
= x2ex – 2[x∫ex – ∫1.exdx]
= x2ex – 2[xex – ex] + C
= x2ex – 2xex + 2ex + C
= ex(x2 – 2x + 2) + C
प्रश्न 4.
x log x
हल:
माना I = ∫x logx
(log को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = [logx ∫xdx – ∫{\(\frac{d}{d x}\) logx∫x dx} dx
= logx × \(\frac{x^2}{2}\) – ∫\(\frac{1}{x}\) \(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)log x – \(\frac{1}{2}\)∫x dx
= \(\frac{x^2}{2}\)log x – \(\frac{1}{2}\)\(\frac{x^2}{2}\) + C
= \(\frac{x^2}{2}\)log x – \(\frac{1}{4}\)x2 + C
प्रश्न 5.
x log 2x
हल:
माना I = ∫x log 2x dx
(log 2x को प्रथम तथा फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = [log 2x ∫xdx – ∫{\(\frac{d}{d x}\) logx∫x dx} dx
= (log 2x) × \(\frac{x^2}{2}\) – ∫\(\frac{1}{2 x}\) × 2.\(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) log 2x – \(\frac{1}{2}\)∫x dx
= \(\frac{x^2}{2}\) log 2x – \(\frac{1}{2}\)\(\frac{x^2}{2}\) + C
= \(\frac{x^2}{2}\) log 2x – \(\frac{1}{4}\)x2 + C
प्रश्न 6.
x2 logx
हल:
I = x2 log x dx
(logx को प्रथम फलन तथा x2 को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
1 = log x ∫x2 dx – ∫{\(\frac{d}{d x}\) logx∫x dx} dx
= (logx) × \(\frac{x^3}{3}\) – ∫\(\frac{1}{x}\) \(\frac{x^3}{3}\) dx
= \(\frac{x^3}{3}\) logx – \(\frac{1}{3}\) ∫x2 dx
= \(\frac{x^3}{3}\) logx – \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{x^3}{3}\) + C
= \(\frac{x^3}{3}\) logx – \(\frac{x^3}{9}\) + C
प्रश्न 7.
x sin-1 x
हल:
माना
I = ∫x sin-1 x dx
(sin-1 x को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = sin-1 x ∫xdx – ∫{\(\frac{d}{d x}\) logx∫x dx} dx
= (sin-1 x)\(\frac{x^2}{2}\) – ∫\(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\frac{x^2}{2}\)
प्रश्न 8.
x tan-1 x dx
हल:
माना
I = ∫x tan-1 x dx
(tan-1 x को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर )
I = tan-1x∫x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) (tan-1x)∫xdx) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan-1x – ∫\(\frac{1}{1+x^2}\) × \(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan-1x – \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{x^2}{1+x^2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan-1x – \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{1+x^2-1}{1+x^2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan-1x – \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)}\) dx – \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{1}{1+x^2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\) tan-1x – \(\frac{1}{2}\) ∫x dx + \(\frac{1}{2}\)tan-1x
= \(\frac{x^2}{2}\) tan-1x – \(\frac{1}{2}\)x + \(\frac{1}{2}\)tan-1x + C
= \(\frac{1}{2}\)(x2 + 1)tan-1x – \(\frac{1}{2}\)x + C
प्रश्न 9.
x cos-1 x
हल:
माना I = ∫x cos-1 x dx
(cos-1 x को प्रथम फलन तथा x को द्वितीय फलन लेने पर)
I = cos-1∫x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) cos-1 x∫x dx ) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)cos-1x – ∫ – \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) \(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)cos-1x + \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)cos-1x + \(\frac{1}{2}\) I1 ………….(1)
I1 = ∫\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\) dx
माना x = sinθ तब dx = cosθ dθ
प्रश्न 10.
(sin-1 x)2
हल:
माना I = ∫(sin-1 x)2 dx
माना sin-1 x = t
तब x = sint
dx = cost dt
∴ I = ∫(sin-1 x)2 dx
= ∫t2 cos t dt
t2 को प्रथम फलन तथा cos t को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = t2∫cost dt – ∫(\(\frac{d}{d t}\)(t2) ∫cos t dt) dt
t2sint – ∫2tsint dt
= t2sint – 2∫tsint dt
I = t2sint – 2I1 ……………….(1)
∴ I1 = ∫t sint dt – ∫(\(\frac{d}{d t}\) (t) ∫sint dt) dt
( t को प्रथम फलन तथा sin t को द्वितीय फलन लेने पर)
= t(-cost) – ∫1.(-cost)dt
= -tcost + ∫cos t dt
= -t cost + sin t + C1
I1 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
I = t2 sint – 2(-t cost + sin t + C1)
= t2 sin t + 2t cost – 2 sint – 2C1
= t2 sin t + 2t cost – 2 sint + C (∵ C = -2C1)
= x(sin-1 x)2 + 2 sin-1\(x \sqrt{1-x^2}\) – 2x + C
प्रश्न 11.
\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
हल:
माना I = ∫\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\) dx
cos-1 x = t रखने पर
⇒ x = cos t
(t को प्रथम फलन तथा cost को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = -[t ∫cos t dt – ∫{\(\frac{d}{d t}\) t ∫cost dt}dt
=- [t sint – ∫1.sin t dt] = -t sin t + ∫sin t dt
= -tsin t + (-cost) + C
= -tsint – cost + C
= -t\(\sqrt{1-\cos ^2 t}\) – cost + C
= – (cos-1x)\(\sqrt{1-x^2}\) – x + C
प्रश्न 12.
x sec2 x
हल:
माना
I = ∫x sec2 x dx
(x को प्रथम तथा sec2 x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = x∫sec2 x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) x ∫sec2 x dx)dx
= x tan x – ∫1.tan x dx
= x tan x – ∫tanx dx
= xtan x – (-log|cos x|) + C
= xtanx + log|cosx| + C
प्रश्न 13.
tan-1 x
हल:
माना
I = ∫tan-1 x dx
= ∫(tan-1 x ) 1. dx
(tan-1 x को प्रथम फलन तथा 1 को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = tan-1 x∫1 dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) tan-1 x ∫1 dx)dx
= x tan-1 x – ∫\(\frac{1}{1+x^2}\) x dx
= x tan-1 x – ∫\( \frac{x}{1+x^2}\) dx
I = x tan-1 x – I1(माना) ………….(1)
∴ I1 = ∫\( \frac{x}{1+x^2}\) dx
माना 1 + x2 = t
तब 2x dx = dt
∴ xdx = \(\frac{1}{2}\) dt
I1 = \(\frac{1}{2}\)∫\(\frac{d t}{t}\) = \(\frac{1}{2}\)log|t| + C1
= \(\frac{1}{2}\)log|1 + x2| + C1
I1 का मान (1) में रखने पर,
I = xtan-1 x – {\(\frac{1}{2}\)log|1 + x2 | – C1
= xtan-1 x – \(\frac{1}{2}\)log|1 + x2 | + C
= xtan-1 x – \(\frac{1}{2}\)log(1 + x2) + C
(∵ x2 > 0 1 > 0, ∴ 1 + x2 > 0)
प्रश्न 14.
x (logx)2
हल:
माना I = ∫x (logx)2 dx
((logx)2 को प्रथम तथा x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = (logx)2∫x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)(logx)2∫x dx)dx
= \(\frac{x^2}{2}\)(logx)2 – ∫\(\frac{2 \log x}{x}\) × \(\frac{x^2}{2}\) dx
= \(\frac{x^2}{2}\)(logx)2 – ∫xlogx dx
I = \(\frac{x^2}{2}\)(logx)2 – I1(माना) …………….(1)
प्रश्न 15.
(x2 + 1)logx
हल:
माना I = ∫(x2 + 1)logx dx
(logx को प्रथम फलन तथा (x2 + 1) को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = logx∫(x2 + 1)dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) (logx) ∫(x2 + 1)dx
= logx(\(\frac{x^3}{3}\) + x) – ∫\(\frac{1}{x}\) (\(\frac{x^3}{3}\) + x)dx
= (\(\frac{x^3}{3}\) + x)logx – ∫\(\frac{1}{3x}\)(\(\frac{x^3}{3}\) + x)dx
= \(\left(\frac{3 x+x^3}{3}\right)\) logx – \(\frac{1}{3}\)∫x2dx – ∫dx
= \(\left(\frac{3 x+x^3}{3}\right)\) logx – \(\frac{1}{3}\)\(\frac{x^3}{3}\) – x + C
= \(\frac{1}{3}\)(3x + x3) logx – \(\frac{x^3}{9}\) – x + C
प्रश्न 16.
ex (sinx + cosx)
हल:
माना I = ∫ex (sinx + cosx) dx
= ∫exsinx + ∫excosx dx
(प्रथम समाकलन में sin x को प्रथम फलन तथा ex को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = sinx∫ex dx – ∫\(\frac{d}{d x}\) sinx∫ex dx + ∫excosx dx
= exsinx – ∫(cosx)exdx + ∫excosxdx + C
= exsinx – ∫excosxdx + ∫excosxdx + C
= exsinx + C
प्रश्न 17.
\(\frac{x e^x}{(1+x)^2}\)
हल:
प्रश्न 18.
ex \(\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\)
हल:
I = ∫ex \(\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\) dx
= ∫ex \(\frac{(1+2 \sin x / 2 \cos x / 2)}{2 \cos ^2 x / 2}\) dx
[∵ sinx = 2 sin x / 2cosx / 2 तथा cos x = 2 cos2 x / 2 – 1]
= ∫ex(\(\frac{1}{2}\) sec2 \(\frac{x}{2}\) + tan\(\frac{x}{2}\))dx
= ∫extan\(\frac{x}{2}\)dx + \(\frac{1}{2}\)∫exsec2 \(\frac{x}{2}\)dx
(प्रथम समाकलन में tan\(\frac{x}{2}\) को प्रथम फलन तथा ex को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = [tan\(\frac{x}{2}\)∫exdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)tan\(\frac{x}{2}\)dx∫exdx)dx + \(\frac{1}{2}\)∫exsec2 \(\frac{x}{2}\) dx + C
= [tan\(\frac{x}{2}\) ex – ∫\(\frac{1}{2}\) sec2\(\frac{x}{2}\) dx + C
= ex tan\(\frac{x}{2}\) – \(\frac{1}{2}\)∫exsec2 \(\frac{x}{2}\) dx + C
= ex tan\(\frac{x}{2}\) + C
प्रश्न 19.
ex(\(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x^2}\))
हल:
I = ∫ex(\(\frac{1}{x}\) – \(\frac{1}{x^2}\)) dx
या I = ∫ex\(\frac{1}{x}\) dx – ∫ex\(\frac{1}{x^2}\) dx
(प्रथम समाकलन में \(\frac{1}{x}\) को प्रथम फलन तथा ex को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = \(\frac{1}{x}\)∫exdx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)∫exdx)dx – ∫ex \(\frac{1}{x^2}\)dx
= \(\frac{1}{x}\)∫ex – ∫-\(\frac{1}{x^2}\)exdx – ∫ex \(\frac{1}{x^2}\)dx
= \(\frac{1}{x}\)∫ex + ∫ex\(\frac{1}{x^2}\)dx – ∫ex\(\frac{1}{x^2}\)dx + C
= \(\frac{1}{x}\)∫ex + C
प्रश्न 20.
\(\frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3}\)
हल:
I = ∫\(\frac{(x-3) e^x}{(x-1)^3}\) dx
= ∫\(\frac{e^x(x-1-2)}{(x-1)^3}\) dx
= ∫ex(\(\frac{(x-1)}{(x-1)^3}\) – \(\frac{2}{(x-1)^3}\))dx
= ∫ex(\(\frac{1}{(x-1)^2}\) – \(\frac{2}{(x-1)^3}\))dx
यहाँ f(x) = \(\frac{1}{(x-1)^2}\) तथा f(x) = –\(\frac{2}{(x-1)^3}\)
तब सूत्र ∫ex[f(x) + f(x)]dx = ex f(x) से
I = \(\frac{e^x}{(x-1)^2}\) + C
प्रश्न 21.
e2x sinx
हल:
I = ∫e2x sinx dx
(e2x प्रथम समाकलन में sinx को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = ∫e2x∫sinx dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\)e2x ∫cosx dx)dx
या I1 = e2xsinx – ∫2e2xsinx dx + C1
I1 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
I = -e2xcosx + 2[e2x sinx – 2∫e2xsinx – 2∫e2xsinx dx + C1
या
I = -e2xcosx + 2e2x sinx – 4∫e2xsinxdx + 2C1
या
I = -e2xcosx + 2e2x sinx – 4I + 2C1
या
I + 4I = -e2xcosx + 2e2x sinx + 2C1
या
5I = -e2xcosx + 2e2x sinx + 2C1
या
I = –\(\frac{1}{5}\) e2xcosx + \(\frac{2}{5}\)2e2x sinx + \(\frac{2}{5}\)C1
या
I = –\(\frac{1}{5}\) e2xcosx + \(\frac{2}{5}\)e2x sinx + C
(∵ C = \(\frac{2}{5}\)C1)
I = \(\frac{e^{2 x}}{5}\) (2sinx – cosx) + C
प्रश्न 22.
sin-1 \(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
हल:
I = ∫sin-1 \(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) dx
मान
x = tanθ तब θ = tan-1 x
तथा dx = sec2 θ dθ
I = ∫sin-1\(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\) sec2 θ dθ
= ∫sin-1 (sin2θ) sec2 θ dθ
[∵ sin2θ = \(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\)]
= ∫2θ sec2 θ dθ = 2∫θsec2 θ dθ
(θ को प्रथम फलन तथा sec2 θ को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
I = 2[θ∫sec2 θ dθ – ∫(\(\frac{d}{d \theta}\)∫sec2 θ dθ)dθ
= 2θtanθ – 2∫1.tanθdθ
= 2θtanθ – 2(-log|cosθ|) v + C
= 2xtan-1 x + 2log\(\left|\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right|\) + C
= 2xtan-1 x + 2log|(1 + x2 )-1/2| + C
= 2xtan-1 x + 2(-1/2)log|(1 + x2)| + C
= 2xtan-1 x – log(1 + x2) + C
प्रश्न 23.
∫x2ex3 dx
(A) \(\frac{1}{3}\) ex3 + C
(B) \(\frac{1}{3}\)ex2 + C
(C) \(\frac{1}{2}\)ex3 + C
(D) \(\frac{1}{2}\)ex2 + C
हल:
I = ∫x2ex3 dx
माना x3 = t
तब 3x2 = dt
या x2dx = dt
∴ I = \(\frac{1}{3}\)∫et + C
= \(\frac{1}{3}\)∫ex3 + C
अतः विकल्प (A) सही है।
प्रश्न 24.
∫ex x(1 + tanx)dx
(A) excosx + C
(B) exsecx + C
(C) exsinx + C
(D) extanx + C
हल:
I = ∫exsecx(1 + tanx) dx
= ∫ex(secx + secx tanx)dx
यहाँ f(x) = secx तथा f(x) = secxtanx
तब सूत्र ∫ex[f(x) + f(x)]dx = exf(x) + C
I = exsecx + C
अतः विकल्प (B) सही है।