NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए:
(a) \(\left(\frac{17}{81}\right)^{1 / 4}\)
(b) (33)^-1/5
हल:
\(\left(\frac{17}{81}\right)^{1 / 4}\) = \(\frac{(17)}{3}^{1 / 4}\) ………….(1)
माना
y = x^1/4 , x = 16 तथा y = (16)^1/4 = 2,
∆x = 16 – 17 = 1
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{4}\) x ^3/4 = \(\frac{1}{4 x^{3 / 4}}\)
तथा
dy = \(\frac{d y}{d x}\) ∆x = \(\frac{1}{4 x^{3 / 4}}\) (1)
dy = \(\frac{1}{4(16)^{3 / 4}}\) = \(\frac{1}{4 \times 8}\) = \(\frac{1}{32}\) = 0.03125
= ∆y (∴ ∆y = 0.03125)
अत: (1) से,
(17)^1/4 = y + ∆y = 2 + 0.03125 = 2.03125
∴ \(\left(\frac{17}{81}\right)^{1 / 4}\) = \(\frac{2.03125}{3}\)
= 0.677083 = 0.677 (लगभग)

(b) (33)^-1/5 = \(\frac{1}{(33)^{1 / 5}}\)
माना y = x^-1/5, x = 32 y = (32)^-1/5 = 2, ∆x = 33 – 32 = 1
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{5}\) x^-1/5 = \(\frac{1}{5\left(x^{4 / 5}\right)}\)
तथा
dy = \(\frac{d y}{d x}\) × ∆x = \(\frac{1}{5\left(x^{4 / 5}\right)}\) × 1
⇒ dy = \(\frac{1}{5(32)^{4 / 5}}\) = \(\frac{1}{5 \times 16}\) = \(\frac{1}{80}\)
∴ dy = \(\frac{1}{80}\) = ∆y
अत: (1) से, (33)^-1/5 = y + ∆y = y + ∆y
∴ (33)^-1/5 = 2 + \(\frac{1}{80}\) = \(\frac{160+1}{80}\) = \(\frac{161}{80}\)
∴ (33)^-1/5 = \(\frac{161}{80}\) = 0.49689 = 0.497 (लगभग)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = \(\frac{\log x}{x}\) द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
हल:
f(x) = \(\frac{\log x}{x}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
⇒ f(x) = \(\frac{\frac{1}{x} \times x-1 \times \log x}{x^2}\) = \(\frac{1-\log x}{x^2}\) ………….(1)
उच्चतम के लिए, f(x) = 0
∴ f(x) = 0
⇒ \frac{1-\log x}{x^2} = 0
⇒ 1 – logx = 0 ⇒ logx = 1 = loge
⇒ x = e
समीकरण (1) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
f(x) = \(\frac{-\frac{1}{x} \times x^2-2 x(1-\log x)}{x^4}\)
= \(\frac{-x-2 x+2 x \log x}{x^4}\)
= \(\frac{-3 x+2 x \log x}{x^4}\)
xe के लिए = \(\frac{-3 e+2 e \log e}{e^4}\)
= \(\frac{-3 e+2 e}{e^4}\)
= \(\frac{-e}{e^4}\) < 0
∴ xe के लिए फलन उच्चतम है।

प्रश्न 3.
किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 सेमी / से. की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है।
हल:
माना ΔABC समद्विबाहु & है।
जिसमें AB = AC = x, BC = b (दिया है)

माना M, आधार BC का मध्य- बिन्दु है।
∴ BM = MC = b/2
[∴ AC² = AM² + MC²]
⇒ x² = AM² + \(\left(\frac{b}{2}\right)\)²
⇒ AM² = (x² – \(\frac{b^2}{4}\))
प्रश्नानुसार, \(\frac{d x}{d t}\) = -3 ……………..(1)
(-3, क्योंकि घट रहा है)
ΔABC का क्षेत्रफल, A = \(\frac{1}{2}\) BC × AM
= \(\frac{1}{2}\) × b × \(\sqrt{x^2-\frac{b^2}{4}}\)
⇒ A = \(\frac{1}{2}\) × b × \(\frac{\sqrt{4 x^2-b^2}}{2}\)
⇒ A = \(\frac{b}{4}\) . \(\sqrt{4 x^2-b^2}\)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

\(\frac{d A}{d t}\) = -√3b अत: ΔABC का क्षेत्रफल √3b (सेमी)²/से. की दर से घट रहा है।

प्रश्न 4.
वक्र x² = 4y के बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण x² = 4y
⇒ y = \(\frac{x^2}{4}\) ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x}{4}\) = \(\frac{x}{2}\)
∴ बिन्दु (1, 2) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = \(\frac{1}{2}\) = m(माना )
∴ बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब की प्रवणता
= – \(\frac{1}{m}\) = –\(\frac{1}{1 / 2}\) = -2
∴ बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब का समीकरण
y – 2 =(−2) (x – 1)
⇒ y – 2 = -2x + 2
⇒ 2x + y – 4 = 0
∴ 2x + y – 4 = 0 अभिलम्ब का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि वक्र a cos + asin, y = asinθ – aθcosθ के किसी बिन्दु θ पर अभिलम्ब मूलबिन्दु से अचर दूरी पर है।
x = a cosθ + aθ sinθ y = a sinθ – aθ cos θ
x = a cos θ + aθ sin θ का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d x}{d \theta}\) = – a sinθ + a sinθ + aθ cosθ
⇒\(\frac{d x}{d \theta}\) = aθ cos θ ………….(1)
पुन: y = a sin θ – aθ cos θ का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
⇒\(\frac{d x}{d \theta}\) = a cosθ acosθ – aθ (- sinθ )
⇒\(\frac{d x}{d \theta}\) = aθ sinθ …………(2)
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d x}{d \theta}\)\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta}\) = a tan θ
∴ स्पर्श रेखा की प्रवणता = tanθ = m (माना)
∴ अभिलम्ब की प्रवणता = – \(\frac{1}{m}\) = – \(\frac{1}{\tan \theta}\) = – cotθ
∴ अभिलम्ब का समीकरण
y = -(a sinθ – aθ cosθ)
= – cotθ (x – (a cosθ + aθ sinθ)
दोनों पक्षों में sinθ से गुणा करने पर,
y sinθ – a sin² θ + aθcosθsinθ
= sinθ + (- \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)) × [(x – (acosθ + aθ sinθ)]
⇒ ysinθ – a sin2θ + aθ cosθ sinθ
= – xcosθ + acos²θ + aθcosθsinθ
⇒ x cosθ+ y sinθ
= a (sin²θ + cos²θ)
⇒ x cosθ + y sinθ = a(sin²θ + acos²θ)
⇒ x cosθ + y sinθ = a
मूलबिन्दु से अभिलम्ब की दूरी
\(\left(\frac{0 \times \cos \theta+0 \times \sin \theta-a}{\sqrt{\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta}}\right)\) = |a| (अचर संख्या)
|-a| = a अचर संख्या (दूरी ऋणात्मक नहीं होती है)
अतः वक्र पर अभिलम्ब मूलबिन्दु से अचर दूरी पर है।

प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर
f(x) = \(\frac{4 \sin x-2 x-x \cos x}{2+\cos x}\), 0 ≤ x ≤ 2π
से प्रदत्त फलन (i) वर्धमान (ii) ह्रासमान है।
हल:

⇒ 4 – cos x > 0
(∵ 1 ≤ cos x ≤ 1)
तथा (2 + cosx)² > 0 (∴ \(\frac{4-\cos x}{(2+\cos x)^2}\) > 0)
⇒ cos x > 0
∵ cosx(0, \(\frac{\pi}{2}\)) तथा (\(\frac{3 \pi}{2}\), 2π) में वर्धमान है।
∴ x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\)) ∪ (\(\frac{3 \pi}{2}\), 2π) में f(x) वर्धमान है।
पुन: (x) के ह्रासमान के लिए, f(x) < 0 ⇒ \(\frac{\cos x(4-\cos x)}{(2+\cos x)^2}\) < 0 ⇒ cos x < 0 (∵ \(\frac{4-\cos x}{(2+\cos x)^2}\) > 0)
⇒ x ∈ (\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{3 \pi}{2}\)) में समान है।
अर्थात् x ∈ (\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{3 \pi}{2}\)) के लिए, cos x < 0
∴ f(x), अन्तराल (\(\frac{\pi}{2}\) , \(\frac{3 \pi}{2}\))

प्रश्न 7.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर
f(x) = x³ + \(\frac{1}{x^3}\), x ≠ 0
से प्रदत्त फलन (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
हल:
प्रश्नानुसार,
f(x) = x³ + \(\frac{1}{x^3}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
f(x) = 3x² – \(\frac{3}{x^4}\)
वर्धमान या ह्रासमान के लिए f(x) = 0
∴ f(x) = 0 ⇒ 3x² – \(\frac{3}{x^4}\) = 0
⇒ x² = \(\frac{1}{x^4}\)
⇒ x⁶ = 1
⇒ (x²)³ = 1
⇒ x² = 1
⇒ x = ± 1
∴ x = – 1, x = 1
बिन्दु – 1, 1, वास्तविक संख्या रेखा को असंयुक्त अन्तरालों (- ∞, -1 ), ( – 1,0), (0, 1) तथा (1, ∞) में विभक्त करते हैं।

(i) अंतराल ( -∞, 1 ) के लिए
f(x) = 3x² – \(\frac{3}{x^4}\)
x = – 2 के लिए
f(-2) = 3(-2)² – \(\frac{3}{(-2)^2}\)
= 3 x 4 – \(\frac{3}{4}\) = 12 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{45}{4}\) > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है।
∴ x ∈ ( – ∞, – 1 ) के लिए फलन वर्धमान है।

(ii) (-1,0) के लिए,
f(x) = 3x² – \(\frac{3}{x^4}\)
x = – \(\frac{1}{2}\) के लिए
f(-\(\frac{1}{2}\)) = 3(-\(\frac{1}{2}\))² – \(\frac{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)^4}\)
= 3 × \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{3}{1 / 16}\)
= \(\frac{3}{4}\) – 48 = \(\frac{3-192}{4}\) = – \(\frac{189}{4}\) < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं के लिए भी दिखाया जा सकता ∴ (-1, 0) फलन समान है।

(iii) (0, 1) के लिए
f(x) = 3x² – \(\frac{3}{x^4}\)
x = – \(\frac{1}{2}\) के लिए
f(-\(\frac{1}{2}\)) = 3(-\(\frac{1}{2}\))² – \(\frac{3}{\left(-\frac{1}{2}\right)^4}\)
= 3 × \(\frac{1}{4}\) – \(\frac{3}{1 / 16}\)
= \(\frac{3}{4}\) – 48 = \(\frac{3-192}{4}\) = – \(\frac{189}{4}\) < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं के लिए भी दिखाया जा सकता है।
∴ (0,1) में फलन ह्यसमान है।

(iv) (1, ∞) के लिए
f(x) = 3x² – \(\frac{3}{x^4}\)
के लिए
f(-\(\frac{3}{2}\)) = 3\(\frac{1}{2}\)² – \(\frac{3}{\left(\frac{3}{2}\right)^4}\)
= \(\frac{27}{4}\) – \(\frac{\frac{3}{81}}{16}\)
= \(\frac{27}{4}\) – \(\frac{48}{81}\)
= \(\frac{27 \times 81-4 \times 48}{4 \times 81}\)
= \(\frac{2287-192}{324}\) = \(\frac{2195}{324}\)
= \(\frac{2195}{324}\) > 0
∴ (1, ∞) में फलन वर्धमान है।

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{x^2}{b^2}\) = 1 के अन्तर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
हल:
माना दीर्घवृत्त पर एक बिन्दु P( a cosθ, b sinθ) है तथा APQ समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा 4 है। ∆MPQ की भुजा PQ दीर्घ अक्ष को बिन्दु M पर काटती है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

∆AMPQ का क्षेत्रफल A = \(\frac{1}{2}\)PQ × AM
⇒ A = \(\frac{1}{2}\) (2b sinθ) (a – a cosθ)
⇒ (∴ PQ = 2PM = 2b sin θ)
तथा AM = OA – OM = a -a cos θ)
⇒ A = ab(sinθ – sinθcosθ)
A = ab (sinθ – \(\frac{1}{2}\) sin 2θ)
(∴ sinθcosθ = \(\frac{1}{2}\) sin 2θ)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d \theta}\) = ab(cosθ – \(\frac{1}{2}\) × 2cos2θ)
= ab (cosθ – cos 2θ) ………..(1)
A महत्तम होगा जब \(\frac{d A}{d \theta}\) = 0
\(\frac{d A}{d \theta}\) = 0
⇒ ab (cosθ – cos 2θ) = 0
⇒ cosθ – cos 2θ = 0
⇒ cos 2θ = cosθ ⇒ 2θ = 2π – θ
⇒ 3θ = 2π
∴ θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
समी. (1) का θ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2mm गहरी और 8m आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए ₹70 प्रति m’ और दीवारों पर ₹45 प्रति m’ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
हल:
माना आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर तथा चौड़ाई मीटर है।

टंकी की गहराई = 2 मीटर
टंकी का आयतन = 2 x x x y = 8 ( दिया है)
⇒ xy = 4 ………..(1)
आधार का क्षेत्रफल = xy
आधार पर खर्च की दर = ₹70 प्रति m²
∴ आधार के लिए किया गया खर्च = ₹70xy
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 (x + y) x 2 = 4(x+y) m
दीवारों पर सर्च की दर = ₹ 45 प्रति m²
दीवारों परे कुल खर्च = ₹ [45 × 4(x + y) ] = ₹180 (x + y )
तब आधार तथा दीवारों पर कुल खर्च
S = ₹ [70xy + 180 (x + y)] ………….. (2)
समीकरण (1) से y = \(\frac{4}{x}\) समीकरण (2) में रखने पर,
S = 70 x x \(\frac{4}{x}\) + 180(x + \(\frac{4}{x}\))
⇒ S = 280 + 180x + \(\frac{720}{x}\)
⇒ S = 280 + 180x + \(\frac{720}{x}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d S}{d x}\) = 180 – \(\frac{720}{x^2}\)
न्यूनतम खर्च (S) के लिए, \(\frac{d S}{d x}\) = 0
∴ \(\frac{d S}{d x}\) = 0
⇒ 180 – \(\frac{720}{x^2}\) = 0
⇒ \(\frac{720}{x^2}\) = 180
⇒ 720 = 180x²
⇒ x² = \(\frac{720}{180}\) = 4
⇒ x² = 4
⇒ x = ±2
⇒ x = 2
समीकरण (3) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 S}{d x^2}\) = \(\frac{-720 \times(-2)}{x^3}\) = \(\frac{1440}{x^3}\)
x = 2 के लिए,
\(\frac{d^2 S}{d x^2}\) = \(\frac{1440}{8}\) = 180 > 0
अतः x = 2 खर्च न्यूनतम है।
x = 2 पर न्यूनतम खर्च S = 280 + 180 × 2 + \(\frac{720}{2}\)
= 280 + 360 + 360 – 1000
∴ न्यूनतम खर्च = ₹1,000

प्रश्न 10.
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योग है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगनी है।
हल:
माना वर्ग की भुजा तथा वृत्त की त्रिज्या है।
वर्ग का परिमाप = 4x,
वृत्त की परिमाप (परिधि) = 2πr
दोनों परिमापों का योग = 4x + 2πr = k ….(1)
वृत्त का क्षेत्रफल A1 = πr²
वर्ग का क्षेत्रफल A2 = x²
क्षेत्रफलों का योग A = πr² + x² …………..(2)
समीकरण (1) से,
r = \(\frac{k-4 x}{2 \pi}\)
तब समीकरण (2) से,

न्यूनतम क्षेत्रफल (A) के लिए, \(\frac{d A}{d x}\) = 0
∴ \(\frac{d A}{d x}\) = 0
⇒ \(\frac{-2(k-4 x)}{\pi}\) + 2x = 0
⇒ -2 (k – 4x ) = -2πrx
⇒ k – 4x = πx
⇒ k = x + 4x ⇒
x = \(\frac{k}{\pi+4}\)
समीकरण (3) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 A}{d x^2}\) = (\(\frac{8}{\pi}\) + 2)
x = \(\frac{k}{\pi+4}\) के लिए \(\frac{d^2 A}{d x^2}\) = 2 + \(\frac{8}{\pi}\) > 0
अतः x = \(\frac{k}{\pi+4}\) के लिए क्षेत्रफलों का योग न्यूनतम है।

अतः वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी है जबकि दोनों क्षेत्रफलों का योग न्यूनतम है।

प्रश्न 11.
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 मीटर है। पूर्णतः खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने वे लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCDPA खिड़की है जिसमें APD अर्धवृत्त है। अर्धवृत्त का केन्द्र 0 है।
∴ AD = 2r, AB = CD=x
तब
APD = \(\frac{1}{2}\) x 2πr = πr

∴ खिड़की का परिमाप 2x + 2r + 2πr
= 10 मीटर
⇒ 10 = 2x + r(π + 2)
तथा खिड़की का क्षेत्रफल A = 2rx + \(\frac{1}{2}\)πr²
समीकरण (1) से, 2x = 10 – (π + 2) …….(1)
∴ A = r[10 – (π + 2)r] + \(\frac{1}{2}\)πr²
⇒ A = r[10 – (π + 2)r] + \(\frac{1}{2}\)πr²
⇒ A = 10r – πr² – 2r² + \(\frac{1}{2}\)πr²
⇒ A = 10r – \(\frac{\pi}{2}\)r² – 2r²
⇒ A = -(\(\frac{\pi}{2}\) + 2)r² + 10r
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d r}\) = -(\(\frac{\pi}{2}\) + 2) x 2r + 10 ………..(2)
अधिकतम क्षेत्रफल के लिए, \(\frac{d A}{d r}\) = 0
∴ \(\frac{d A}{d r}\) = 0
⇒ -(\(\frac{\pi}{2}\) + 2) x 2r + 10 = 0
⇒ -2r (\(\frac{\pi}{2}\) + 2) = -10
⇒ 2r(\(\frac{\pi+4}{2}\)) = 10 ⇒ r = \(\frac{10}{\tau+4}\)
समी (2) का पुन: के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 12.
त्रिभुज की भुजाओं से और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^2/3 + b^2/3 )^3/2 हैं।
हल:
माना ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90°, तथा कर्ण AC पर बिन्दु है जो कि भुजा AB से a दूरी पर तथा भुजा BC से b दूरी पर है।
PM भुजा AB पर लम्ब है तथा PN भुजा BC पर लम्ब हैं।
पुनः माना ∠ACB = θ = ∠APM,

∴ AP = a secθ
तथा
PC = b cosecθ
माना कर्ण की लम्बाई / है तब
l = AP + PC
l = a secθ + b cosecθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d l}{d \theta}\) = a secθ tanθ – bcosecθ cotθ ….(1)
न्यूनतम l के लिए, \(\frac{d l}{d \theta}\) = 0
∴ \(\frac{d l}{d \theta}\) = 0
⇒ a sec θ tan θ – b cosecθ cotθ = 0

समीकरण (1) का पुन: 0 के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 l}{d \theta^2}\) = a sec θ tanθ x tanθ + a secθ.sec²θ – b cosecθ cotθ cotθ – b cosecθ (-cosec² θ)
⇒ \(\frac{d^2 l}{d \theta^2}\) = a secθ tan²θ+ a sec³θ – b cosecθcot²θ + bcosec³θ
tanθ = \(\frac{b^{1 / 3}}{a^{1 / 3}}\) के लिए,

= a^2/3 (a^2/3 + b^2/3)^1/2 + b^2/3 (a^2/3 + b^2/3)^1/2
= (a^2/3 + b^2/3)^1/2 (a^2/3 + b^2/3) = (a^2/3 + b^2/3)^3/2

प्रश्न 13.
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)⁴ (x + 1)³ द्वारा प्रदत्त फलन का (i) स्थानीय उच्चतम बिन्दु है, (ii) स्थानीय निम्नतम बिन्दु है, (iii) नति परिवर्तन बिन्दु है।
हल:
f(x) = (x – 2)⁴ (x + 1)³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
⇒ f(x) = 4(x – 2)³ (x + 1 )³ + 3 (x – 2)⁴ (x + 1)²
⇒ f(x) = (x – 2)³ (x + 1 )² [ 4 (x + 1) + 3 (x – 2)]
⇒ f'(x) = (x – 2)³ (x + 1)² (4x + 4 + 3x – 6)
⇒ f’ (x) = (x – 2)³ (x + 1)² (7x – 2)
स्थानीय उच्चतम/निम्नतम के लिए, f (x) = 0
f’ (x) = 0 = (x – 2)³ (x + 1)² ( 7x – 2 ) – 0
= (x – 2 )² – 0 या (x + 1 )² = 0 या 7x – 2 = 0
⇒ x = 2 या x = – 1 या x = \(\frac{2}{7}\)

(i) x = 1 के लिए,
x = 1.1 लेने पर (-1 के बायीं ओर),

f'(-1.1) = (-1.1 – 2)³ (−1·1 + 1)2 [7 (-1.1) – 2]
⇒ f(x) = (-3.1)³ (-0.1)² (- 9.7)
= f (x) = ( 3.1)³ (0.1)² (9.7)
⇒ f'(1.1) = (3.1)³ (0.1² (9.7) > 0
अब x = 0.9 लेने पर (-1 के दायी ओर),
f'(-0.9) = (- 0.9 – 2)³ (- 0.9 + 1)² (7 – (-0.9) – 2)
f'(-0.9) = (- 2.9)³ (0.1)² (- 6.3 – 2)
= f’ (-0.9) = (-2.9)³ (0.1)² (-8.3)
⇒ ƒ'(-0.9) = (2.9)³ (0.1) (8.3)
⇒ f’ (-0.9 ) = (2.9)³ (0.1) (8.3) > 0
अतः x = 1 पर फलन का चिह्न परिवर्तित नहीं होता है x = 1 नति परिवर्तन बिन्दु है।

(ii) x = के लिए,

x = \(\frac{3}{7}\) को लेने पर (\(\frac{2}{7}\) के के दायीं ओर)

∴ f (x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता हैं।
अतः x = \(\frac{2}{7}\) फलन का स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।

(iii) x = 2 के लिए, x = 1.9 लेने पर (2 के बायीं ओर),
f'(1.9) = (1.9 – 2)² (1.9 + 1)² (7 × (1.9) – 2}
⇒ (1.9) = (-0.1)³ (2.9)³ (13.3 – 2) (1.9) – (-0.1) (2.9)² (11 – 3) < 0
x = 2.1 लेने पर (2 दायीं ओर),
ƒ'(2.1) (2.1 – 2)³ (2.1 + 1) (7 × (1.9) – 2}
⇒ (1.9) = (-0.1)³ (2.9) f'(2.1 ) = (0.1 ) ( 3.1) (7 × (1.9) – 2}
⇒ (1.9) = (-0.1)³ (2.9)<su( 14.7 – 2) ⇒ f'(2.1) = (0.1)’ (3.1) (7 × (1.9) – 2}
⇒ (1.9) = (-0.1)³ (2.9) अत: x = 2 पर f(x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है।
∴ x = 2 फलन का स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
उत्तर:
(i) x = 2 फलन का स्थानीय उच्चतम बिन्दु
(ii) x = 2 फलन का स्थानीय निम्नतम बिन्दु
(iii) x = 1 फलन का नति परिवर्तन बिन्दु

प्रश्न 14.
f(x) = cos² x + sin x x ∈ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
⇒ f(x) = 2 cosx (-sinx) + cos x
⇒ (x) = 2sinxcos x + cos x
⇒ f(x) = cosx(1 – 2 sin x)
उच्चतम / निम्नतम के लिए,
∴ f (x) = 0 => cos x ( 1 – 2 sin x) = 0 =>
⇒ cos x = 0 या 12sinx = 0
⇒ x = π/2 या sin x = \(\frac{1}{2}\) = sin (\(\frac{\pi}{6}\))
⇒ x = π/2 या x = π/6
अब [\(\pi / 6\), \(\pi / 2\) ∈ [0, π ]
f(0) = cos²0 + sin 0 = 1 + 0 = 1
f(π/6) = cog² (π/6) + sin (π/6)
= (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))² + \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3+2}{4}\) = \(\frac{5}{4}\)
के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f(π/2) = cos² (π/2) + sin π/2
= 0 + 1 = 1
f(x) = cos²π + sinπ = (-1)² + 0 = 1
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान = \(\frac{5}{4}\)
तथा निरपेक्ष निम्नतम मान = 1

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई \(\frac{4r}{3}\) है।
हल:
माना ABC शंकु है जो कि त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत बना O है। गोले का केन्द्र है।

माना शंकु की त्रिज्या = R
शंकु की ऊँचाई (i) = AM = AP-MP
AM = (2r – x )
समकोण & OMB में,
OM² + BM² = OB²
(r – x)² + R² = p²
⇒ R² = r² – (r – x)²
⇒ R² = r² – (r² – 2rx + x² )
⇒ R² = r² – r² + 2rx – x² = 2rx – x²
शंकु का आयतन v = \(\frac{1}{3}\)πR²h
v = \(\frac{1}{3}\)π(2rx – x²) x (2r – x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d x}\) = \(\frac{1}{3}\)π[(2r – 2x)(2r – x) + (2rx – x²)(-1)]
⇒ \(\frac{d V}{d x}\) = \(\frac{1}{3}\)π[2(r – x)(2r – x) – x (2r – x)]
⇒ \(\frac{d V}{d x}\) = \(\frac{1}{3}\)π[(2r – x) (2r – x – x)]
⇒ \(\frac{d V}{d x}\) = \(\frac{1}{3}\)π[(2r – x)(2r – 3x)] ………….(1)
महत्तम v के लिए, \(\frac{d V}{d x}\) = 0
∴ \(\frac{d V}{d x}\) = 0
⇒ \(\frac{1}{3}\)π[(2r – x)(2r – 3x)] = 0
⇒ (2r – x) = 0
या 2r – 3x = 0
⇒ x = 2r, 3x = 2r या x = \(\frac{2}{3}\)r
परन्तु x = 2r, x = \(\frac{2}{3}\)r
समीकरण (1) काx के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,

अत: x = \(\frac{2}{3}\)r के लिए आयतन महत्तम होगा
अब शंकु की ऊँचाई h = AM
= 2r – x = 2r – \(\frac{2}{3}\)rv = \(\frac{6 r-2 r}{3}\) = \(\frac{4 r}{3}\)

प्रश्न 16.
मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित फलन / इस प्रकार है कि सभी xE (a, b) के लिए f(x) > 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना x₁, x₂ ∈ (a, b) इस प्रकार है कि x₁ < x₂ के लिए f(x)
अन्तराल (a, b) में अवकलनीय है तथा (x₁, x ₂) ∈ (a, b)
∴ फलन / अन्तराल [x₁, x₂] पर सतत है और (x₁, x₂) में अवकलनीय है तब मध्यमान प्रमेय से,
∴ C ∈ (x₁, x ₂) का अस्तित्व इस प्रकार है कि
f(c) = \(\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\) …………(1)
∴ यहाँ (a, b) के लिए ƒ ‘(x) > 0
∴ f ‘(c) > 0 ∵ [c ∈ (x₁, x₂) c (a, b)]
⇒ c ∈ (a, b)
तथा f’ (c) > 0 ⇒ \(\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}\) > 0
⇒ f(x₂) – f(x₁) > 0
(∵ x₂ – x₁ > 0, जब x₁ < x₂)
⇒ f(x₂) > f(x₁)
⇒ f(x₁) < (x₂), यदि x₁ < x₂
क्योंकि x₁, x₂ ∈ (a, b) स्वेच्छ बिन्दु हैं।
∴ x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < ƒ(x₂) ∀ x₁, x₂ ∈ (a, b)
∴ f (x) अन्तराल (a, b) में वर्धमान फलन है।

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCD बेलन है जो R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत बना है। गोले का केन्द्र O है।
माना h तथा r क्रमशः बेलन की ऊँचाई व त्रिज्या है तथा बेलन का आयतन V
V = πr²h ……………….(1)

समकोण ∆Opc में,
R² = OQ² + QC²
⇒ R² = \(\left(\frac{h}{2}\right)\)² + r²
⇒ r² = R² – \(\left(\frac{h}{2}\right)\)² = R² – \(\frac{h^2}{4}\)
∴ V = πr²h = π(R² – \(\left(\frac{h}{4}\right)\)²)h [ समी. (1) से ]
⇒ V = πr²h – \(\frac{\pi}{4}\)h³
h के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d h}\) = πr² – \(\frac{3}{4}\)πh²
उच्चतम आयतन के लिए,
\(\frac{d V}{d h}\) = 0
⇒ πR² – \(\frac{3 \pi}{4}\)h² = 0
⇒ πR² = \(\frac{3 \pi}{4}\)h²
⇒ h² = \(\frac{4 R^2}{3}\) ⇒ h = \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\)
समीकरण (2) का h के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 V}{d h^2}\) = – \(\frac{3}{4}\)π × 2h = \(\frac{3}{2}\)πh
h = \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) के लिए,
\(\frac{d^2 V}{d h^2}\) = – \(\frac{3}{2}\)π × \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) = – \(\sqrt{3}\)πR < 0
अतः बेलन का आयतन महत्तम है जब h = \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\)
∴ बेलन की ऊँचाई = \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\)
अब अधिकतम आयतन के लिए
(V) = лR²h – \(\frac{\pi}{4}\) h³
= лR²\(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) – \(\frac{\pi}{4}\)(\(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\))³
= \(\frac{2 \pi R^3}{\sqrt{3}}\) – \(\frac{2 \pi R^3}{3 \sqrt{3}}\)
= \(\frac{2 \pi R^3}{\sqrt{3}}\) (1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2 \pi R^3}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{2}{3}\)
अधिकतम आयतन (V) = \(\frac{4 \pi R^3}{3 \sqrt{3}}\) घन मात्रक।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण α और ऊँचाई h के लम्बवृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई, शंकु की ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन
\(\frac{4}{27}\)πh³ tan²α है।
हल:
माना ABC शंकु है।
शंकु की ऊँचाई = h
अर्द्धशीर्ष कोण = α
PORS बेलन शंकु ABC के अन्तर्गत बनाया गया है। माना बेलन की त्रिज्या x है।

बेलन की ऊँचाई = MN = AN – AM = hx – cotα
∵ ∆AMQ में, cot α = \(\frac{A M}{x}\)
⇒ AM = x cot α
बेलन का आयतन v = πx² ( h – x cotα)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d x}\) = 2πx (h – x cotα) + πx² (-1. cotα)
⇒ \(\frac{d V}{d x}\) = 2πxh – 2π²x cotα πx²cotα
⇒ \(\frac{d V}{d x}\) = 2πxh – 3πx²cotα
बेलन का आयतन अधिकतम होगा यदि \(\frac{d V}{d x}\) = 0
⇒ 2πxh – 3πxcotα = 0
⇒ πx (2h – 3x cotα) = 0
⇒ 2h – 3x cotα = 0
⇒ x = \(\frac{2 h}{3 \cot \alpha}\)
समीकरण (1) का के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = 2πh – 6πx cotα
x = \(\frac{2 h}{3 \cot \alpha}\) के लिए,
\(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = 2πh – 6πcotαx × \(\frac{2 h}{3 \cot \alpha}\)
⇒ \(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = 2πh – 4rh = – 2πh < 0
अतः आयतन v अधिकतम है जब
x = \(\frac{2 h}{3 \cot \alpha}\) = \(\frac{2}{3}\)htanα
अब बेलन की ऊँचाई = h – xcotα
= h – \(\frac{2}{3}\)hcotα tanα
= h – \(\frac{2}{3}\)h
∴ बेलन की ऊँचाई = \(\frac{1}{3}\)h = \(\frac{2}{3}\) (शंकु की ऊँचाई)
अतः बेलन की ऊँचाई शंकु की ऊँचाई की एक-तिहाई है।
बेलन का अधिकतम आयतन = πx²(h – xcotα)
= π(\(\frac{2h}{3}\) tanα)² (h – \(\frac{2h}{3}\))
= π(\(\frac{4 h^2}{9}\) tan²α (\(\frac{1}{3}\)h) = \(\frac{4}{27}\)πh³ tan²α

प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों के सही उत्तर चुनिए-
प्रश्न 19.
एक 10 cm त्रिज्या के बेलनाकार टंकी में 314m³/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूं की गहराई की वृद्धि दर है:
(A) 1m/h
(C) 1. Im/h
(B) 0.1 m/h
(D) 0.5m/h.
हल:
माना बेलनाकार टंकी की ऊँचाई तथा त्रिज्या है।
टंकी का आयतन v = πr²H
r = 10 पर,
V = π x 10 x 10 × H
∴ V = 100πH ………….(1)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d t}\) = 100π × \(\frac{d H}{d t}\)
314 = 100π × \(\frac{d H}{d t}\)
⇒ \(\frac{d H}{d t}\) = \(\frac{314}{100 \pi}\) = \(\frac{314}{100 \times 3.14}\) = \(\frac{314}{314}\) = 1 m/h
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 20.
वक्र x = t² + 3t – 8 y = 2t² – 2t – 5 के बिन्दु (2, t-1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है:
(a) \(\frac{22}{7}\)
(b) \(\frac{6}{7}\)
(c) \(\frac{7}{6}\)
(d) \(\frac{6}{7}\)
हल:
x = t² + 3t – 8 y = 2t² – 2t – 5
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d x}{d t}\) = 2t + 3 तथा \(\frac{d y}{d t}\) = 4t – 2
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d y}{d t}\)/\(\frac{d x}{d t}\) = \(\frac{4 t-2}{2 t+3}\) ………….(1)
अब x = t² + 3t – 8 में x = 2 रखने पर,
⇒ t² + 3t – 8 – 2 = 0
⇒ t² + 3t – 10 = 0
⇒ t² + (5 – 2)t – 10 = 0
⇒ t² + 5t – 2t – 10 = 0
⇒ t(t + 5) – 2 (t + 5) = 0
⇒ (t + 5) (t – 2) = 0
⇒ (t + 5) = 0
(t – 2) = 0 t = -5 t = -2
इसी प्रकार y = 2t² + 2t – 5 में y = 1 रखने पर,
-1 = 2t² + 2t – 5
⇒ 2t² + 2t – 5 + 1 = 0
⇒ 2t² + 2t – 4 = 0
⇒ t² – t – 2 = 0
⇒ (t – 2) (t + 1) = 0
⇒ t – 2 = 0 या t + 1 = 0
⇒ t = 2 या t = -1
दोनों में t = 2 उभयनिष्ठ है।
t = 2 पर, \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{4 \times 2-2}{2 \times 2+3}\) = \(\frac{8-2}{4+3}\) = \(\frac{6}{7}\)
समी. (1) से]
∴ स्पर्श रेखा की प्रवणता = \(\frac{6}{7}\)
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 21.
रेखा y = mx + 1, वक्र y² = 4x की एक स्पर्श रेखा है यदि m का मान है:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) \(\frac{1}{2}\)
हल:
वक्र y² = 4x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2y \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{4}{2y}\) = \(\frac{2}{y}\)
(x₁ , y₁) पर, \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2}{y1}\)
∴ स्पर्श रेखा का समीकरण y – y₁ = \(\frac{2}{y1}\)(x – x₁)
⇒ y = \(\frac{2}{y}\)(x – x₁) + y₁
⇒ y = \(\frac{2}{y1}\)x + y₁ – \(\frac{2x}{y1}\) …………….(1)
रेखा y = mx + 1 …………(2)
समी. (1) तथा (2) की तुलना करने पर,
\(\frac{2x}{y1}\) = m तथा y₁ – \(\frac{2×1}{y1}\) = 1
∴ my₁ = 2 तथा 1 = \(\frac{y_1^2-2 x_1}{y_1}\)
⇒ y₁ = y²₁ – 2x₁ ……..(3)
(X₁, y₁) वक्र पर है
∴ y²₁ = 4x₁ ⇒ x₁ = \(\frac{y_1^2}{4}\)
समीकरण (3) तथा (4) से,
y₁ = y²₁ – 2 × \(\frac{y_1^2}{4}\)
⇒ y₁ = y²₁ – \(\frac{y_1^2}{2}\)
⇒ y₁ = \(\frac{y_1^2}{2}\)
⇒ y₁ (1 – \(\frac{y1}{2}\) = 0
⇒ y₁ = 0 या y = 2
परन्तु
y₁ ≠ 0 या y₁ ≠ 2
∴ y₁ = 2
y₁ = 2 समीकरण m y₁ = 2 में रखने पर,
2m = 2 m = 1
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 22.
वक्र 2y + x² = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण है:
(A) x + y = 0
(C) x + y +10
(B) x-y= (0)
(D) x-y=3
हल:
वक्र 2y + x² = 3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2 \(\frac{d y}{d x}\) + 2x = 0 ⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = – \(\frac{2 x}{2}\) = -x
बिन्दु (1, 1) पर, \(\frac{d y}{d x}\)(1, 1) = -1
∴ स्पर्श रेखा की प्रवणता = -1
अभिलम्ब की प्रवणता = – \(\frac{-1}{-1}\) = 1
∴ अभिलम्ब का समीकरण
y – 1 = 1(x – 1)
y – 1 = x – 1 या x – y = 0
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 23.
वक्र x² = 4 का बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाला अभिलम्ब है:
(A) x + y = 3
(C)x+y=1
(B)x-y=3
(D)x-y=1
हल:
वक्र का समीकरण x² = 4y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x = \(\frac{4 d y}{d x}\)
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x}{4}\) = \(\frac{x}{2}\)
बिन्दु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा रेखा की प्रवणता = \(\frac{x1}{2}\)
तब बिन्दु (x₁, y₁) पर अभिलम्ब की प्रवणता

= – \(\frac{1}{x_1 / 2}\) = \(\frac{-2}{x_1}\)
बिन्दु (x₁, y₁) पर अभिलम्ब का समीकरण
y – y₁ = –\(\frac{-2}{x_1}\)(x – x₁) ……………(1)
दिया है, अभिलम्ब का समीकरण बिन्दु (1, 2) से होकर जाता है, तब
समी. (1) से,
2 – y₁ = –\(\frac{-2}{x_1}\)(1 – x₁)
या 2x₁ – y₁ = – 2 + 2x₁
या x₁y₁ = 2
या y₁ = \(\frac{-2}{x_1}\) ………………(2)
बिन्दु (x₁, y₁) वक्र x² = 4y पर स्थित है। अतः
x² = 4y₁
समी (2) से x का मान समी. (3) में रखने पर
x²₁ = 4 \(\frac{-2}{x_1}\)
⇒ x³₁ = 8 ⇒ x₁ = 2
x₁ का मान समी. (3) में रखने पर
(2)² = 4y₁
4 = 4y₁ ⇒ y₁ = 1
x₁ = 2 समी. (1) में रखने पर
y – 1 = \(\frac{-2}{2}\) (x – 2)
या y – 1 = – x + 2
या x + y = 3
अतः अभिलम्ब का समीकरण x + y = 3 है।
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 24.
वक्र 9y² = x² पर वे बिन्दु जहाँ पर वक्र का अभिलम्ब अक्षों से समान अन्तः खण्ड बनाता है, हैं:
(a) (4, ± \(\frac{8}{3}\))
(b) (4, – \(\frac{8}{3}\))
(c) (4 ± \(\frac{3}{8}\))
(d) (±4 \(\frac{3}{8}\))
हल:
वक्र 9y² = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
18y \(\frac{d y}{d x}\) = 3x²
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{3 x^2}{18 y}\) = \(\frac{x^2}{6 y}\)
बिन्दु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता –
∴ बिन्दु (x). ) पर अभिलम्ब की प्रवणता
= \(-\frac{1}{\frac{x_1^2}{6 y_1}}\) = \(-\frac{6 y_1}{x_1^2}\)
पुनः अभिलम्ब अक्षों पर समान अन्तःखण्ड बनाता है।
∴ अभिलम्ब की प्रवणता = ± 1
∴ \(-\frac{6 y_1}{x_1^2}\) = ± 1 …………(1)
∴(x₁, y₁) वक्र पर है
∴ 9 y₁ = x y₁ ………….(2)
समीकरण (1) से) का मान समीकरण (2) में रखने पर,

x₁ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
бy₁ = ± 16
= y₁ = ± \(\frac{16}{6}\) = ± \(\frac{8}{3}\)
∴ बिन्दु (4, ± \(\frac{8}{3}\))
अतः विकल्प (A) सही है।