These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4
प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-सा एक यादृच्छिक चर के लिए सम्भव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
(i)
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(X) | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
(ii)
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(X) | 0.1 | 0.5 | 0.2 | -0.1 | 0.3 |
(iii)
| Y | -1 | 0 | 1 |
| P(Y) | 0.6 | 0.1 | 0.2 |
(iv)
| X | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 |
| P(Z) | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.05 |
हल:
(i) प्रायिकताओं का योग
= 0.4 + 0.4 + 0.2 = 1
अतः दिया गया बंटन प्रायिकता बंटन है।
(ii) यहाँ पर एक प्रायिकता, P(3) = -0.1 ऋणात्मक है।
अतः यह प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iii) प्रायिकताओं का योग
= 0.6 + 0.1 + 0.2 = 0.9 ≠ 1
अत: दिया गया बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iv) प्रायिकताओं का योगफल
= 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05
= 1.05 > 1
प्रश्न 2.
एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंदें हैं। दो गेंदें यदृच्छया निकाली गईं। मान लीजिए X काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है। X के सम्भावित मान क्या हैं? क्या X यादृच्छिक चर है?
हल:
एक कलश से दो गेंदें निकाली गई R R, R B, B R, B B, जहाँ लाल गेंद को R से तथा काली गेंद को B से व्यक्त करते हैं।
X चर के मान 0,1,2 हैं।
( ∵ यहाँ कोई काली गेंद नहीं, एक काली गेंद या दोनों गेंदें काली हैं।)
अत: हाँ, X यादृच्छिक चर है।
प्रश्न 3.
मान लीजिए X चितों की संख्या और पटों की संख्या में अन्तर को व्यक्त करता है, जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। X के सम्भावित मूल्य क्या हैं?
हल:
जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है, हम चित और पटों की संख्या निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं:
| चितों की संख्या | 6 | 5 | 4 | 3 |
| पटों की संख्या | 0 | 1 | 2 | 3 |
| चर X | 6 | 4 | 2 | 0 |
प्रश्न 4.
निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए:
(i) एक सिक्वे की दो उछालों में चितों की संख्या का
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
(iii) एक सिक्के की चार उछालों में चितों की संख्या का।
हल:
(i) एक सिक्के की दो उछालों में प्रतिदर्श समष्टि,
S = {T T, T H, H T, H H}
X एक यादृच्छिक चर है जिसे 0,1 या 2 मानते हैं।
अब
P(X = 0) = P( चित नहीं ) ⇒ (T T)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(X = 1) = P(चित या 1 पट) ⇒ {T H, H T}
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
P(X = 2) = P(दोनों चित) ⇒ {(H, H)}
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(x) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{4}\) |
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ फेंकने पर प्रतिदर्श समष्टि
S = {H H H, H H T, I T H, T H H, H T T}
{THT, T T H, T T T}
X एक यादृच्छिक चर है जिसे 0, 1, 2, 3 मानते हैं।
अब
P(X = 0) = P (पट नहीं)
= t { सभी चित }[H H H]
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{8}\)
P(X = 1) = P(1 पट और 2 चित )
= {T H H, H T H, H H T}
= 3 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{8}\)
P(X = 2) = P(2 पट और 1 चित)
= {T T H, T H T, H T T}
= 3 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{8}\)
P(X = 3) = P(सभी पट) = {T T T}
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{8}\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्न है:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(x) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) |
(iii) जब एक सिक्के को चार बार उछला जाएX एक यादृच्छिक चर है, जो 0,1,2,3,4 मानते हैं। अब
अब
P(X = 0) = P(चित नहीं )
= { सभी पट हैं }{T T T T}
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{16}\)
P(X = 1) = P(1 चित 3 पट)
= {{ HTTT, THTT, TTHT, TTTH }}
= 4 C1 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{4}{16}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(X = 2) = P(2 चित 2पट)
= {H H T T, H T H T, H T T H, { THHT, } { THTH, TTHH }}
= 4 C2 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)
P(X = 3) = P(3 चित और 1 पट)
= {H H H T, H H T H, H T H H, T H H H}
= 4 C3 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{4}{16}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(X = 4) = P(सभी चित) = {H H H H}
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{16}\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत है:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P(x) | \(\frac{1}{16}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{4}\) | \(\frac{1}{16}\) |
प्रश्न 5.
एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए, जहाँ
(i) ” 4 से बड़ी संख्या” को एक सफलता माना गया है।
(ii) “पासे पर संख्या 6 प्रकट होना” को एक सफलता माना गया है।
हल:
(i) जब पासे फेंके जाते हैं, तो प्रतिदर्श समष्टि के परिणामों की कुल संख्या = 6 × 6 = 36.
एक पासे पर 4 से अधिक संख्या = 5,6
∴ पासे पर 4 से अधिक संख्या आने की प्रायिकता
= \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
पासे पर 4 से अधिक संख्या न आने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
अब P(0) = P( पासे पर दोनों बार 5,6 नहीं आता)
= \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{9}\)
P(1) = P(पासे पर एक बार 5 या 6 आना )
= 2 × \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{9}\)
P(2) = P(पासे पर दोनों बार 5 या 6 आना)
= \(\frac{1}{3}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{9}\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(x) | \(\frac{4}{9}\) | \(\frac{4}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) |
(ii) एक पासे पर 6 प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
पासे पर 6 न आने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) दो पासों पर 6 न आने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\) × \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{25}{36}\) दो पासों पर कम-से-कम एक 6 आने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{25}{36}\) = \(\frac{11}{36}\)
अत: X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 |
| P(x) | \(\frac{25}{36}\) | \(\frac{11}{36}\) |
प्रश्न 6.
30 बल्बों के ढेर से, जिसमें 6 बल्ब खराब हैं, 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदश) यद्च़्छया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
30 बल्बों के एक केर में से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं, एक खराब बल्ब चुनने की प्रायिकता = \(\frac{6}{30}\) = \(\frac{1}{5}\)
एक अच्छा बल्ब चुनने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\) चूँक X खराब बल्बों की संख्या को व्यक्त करता है,
∴ P(X = 0) = (\(\frac{4}{5}\))4 = \(\frac{256}{625}\)
P(X = 1) = 4 C1 (\(\frac{4}{5}\))3 (\(\frac{1}{5}\))
= 4 × \(\frac{64}{125}\) × \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{256}{625}\)
P(X = 2) = 4 C1 (\(\frac{4}{5}\))2 (\(\frac{1}{5}\))2
= 6 × \(\frac{16}{25}\) × \(\frac{1}{25}\) = \(\frac{96}{625}\)
P(X = 3) = 4 C3(\(\frac{4}{5}\))(\(\frac{1}{5}\))3
= 4 × \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{1}{125}\) = \(\frac{16}{625}\)
P(X = 4) = (\(\frac{1}{5}\))4 = \(\frac{1}{625}\)
∴ खराब बल्बों का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 |
| P(x) | \(\frac{25}{36}\) | \(\frac{11}{36}\) |
प्रश्न 7.
एक सिक्का समसर्वत्र संतुलित नहीं है जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की सम्भावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
जब सिक्का उछला जाता है, जिसमें चित प्रकट होने की सम्भावना पट प्रकट होने की सम्भावना की तीन गुनी है।
माना पट x बार आया।
∴ चित 3 x बार आयेगा।
परिणामों की कुल संख्या = x + 3 x = 4 x
∴ चित प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{3 x}{4 x}\) = \(\frac{3}{4}\)
∴ पट प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{4 x}\) = \(\frac{1}{4}\)
जब पट की सम्भावना नहीं है तब प्रायिकता होगी
(H H) = \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{9}{16}\)
∴ P(X – 0) = \(\frac{9}{16}\)
जब एक पट और एक चित की सम्भावना हो:
P(X = 1) = P(H)P(T) + P(T) P(H)
= \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{3}{4}\)
= \(\frac{3}{16}\) + \(\frac{3}{16}\) = \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)
दोनों पटों की प्रायिकता
P(X = 2) = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{1}{16}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(x) | \(\frac{9}{16}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{16}\) |
प्रश्न 8.
एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P(X) | 0 | K | 2k | 2k | 3k | k2 | 2k2 | 7k + k2 |
ज्ञात कीजिए:
(i) k
(ii) P(X < 3) (iii) P(X > 6)
(iv) P(0 < X < 3)
हल:
(i) प्रायिकताओं का योगफल = 1
∴ 0 + k + 2 k + 2 k + 3 k + k2 + 2 k2 + 7 k2
+ k = 1
⇒ 10 k2 + 9 k = 1
⇒ 10 k2 + 9 k – 1 = 0
⇒ (k + 1)(10k – 1) = 0
k + 1 = 0 10k – 1 = 0
∴ k = -1 ⇒ 10 k = 1
⇒ k = \(\frac{1}{10}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P(X) | 0 | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{2}{10}\) | \(\frac{2}{10}\) | \(\frac{3}{10}\) | \(\frac{1}{10}\) | \(\frac{2}{10}\) | \(\frac{7}{10}\) + \(\frac{1}{10}\) |
(ii) P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0 + \(\frac{1}{10}\) + \(\frac{2}{10}\) = \(\frac{3}{10}\) (iii) P(X > 6) = \(\frac{7}{100}\) + \(\frac{1}{10}\)
= \(\frac{7+10}{100}\) = \(\frac{17}{100}\)
(iv) P(0 < X < 3) = P(1) + P(2)
= \(\frac{1}{10}\) + \(\frac{2}{10}\) = \(\frac{3}{10}\)
प्रश्न 9.
एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन P(x) निम्न प्रकार से है, जहाँ k कोई संख्या है:
P(x) = k यदि x = 0
2 k यदि x = 1
3 k यदि x = 2
0 अन्यथा
(a) k का मान ज्ञात कीजिए।
(b) P(X < 2), P(X ≤ 2), P(X ≥ 2) ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) प्रायिकताओं का योग = 1
∴ k + 2 k + 3 k = 1
⇒ 6k = 1
∴ k = \(\frac{1}{6}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(x) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{2}{6}\) | \(\frac{3}{6}\) |
(b) (i) P(X < 2) = P(0) + P(1)
= \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
(ii) P(X ≤ 2) = P(0) + P(1) + P(2)
= \(\frac{1}{6}\) + \(\frac{2}{6}\) + \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{6}{6}\) = 1
(iii) P(X ≥ 2) = P(2) + P(3) + P(4) +
= \(\frac{3}{6}\) + 0 + 0
= \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
प्रश्न 10.
एक न्याय्य सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चित की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछलने पर प्रतिदर्श समष्टि = {T T T, T T H, T H T, H T T, THH, HTH, HHT, HHH}
P(X = 0) = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{8}\)
P(X = 1) = 3 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{8}\)
P(X = 2) = 3 × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{3}{8}\)
P(X = 3) = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{8}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P(x) | \(\frac{1}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{3}{8}\) | \(\frac{1}{8}\) |
∴ माध्य = \(\sum_{i=0}^3\) pi xi
= 0 × \(\frac{1}{8}\) + 1 × \(\frac{3}{8}\) + 2 × \(\frac{3}{8}\) + 3 × \(\frac{1}{8}\)
∴ माध्य = 0 + \(\frac{3}{8}\) + \(\frac{6}{8}\) + \(\frac{3}{8}\)
= \(\frac{12}{8}\) = \(\frac{3}{2}\) = 1.5
प्रश्न 11.
दो पासों को युग्मतः उछाला गया। यदि X, छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है, तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : X, छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है।
एक पासा उछलने से प्रतिदर्श समष्टि
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
एक पासे पर छक्का प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
पासे पर छक्का न प्राप्त होने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
जब दो पासे उछाले जाते हैं, n(S) = 36.
P(X = 0) = P(कोई छका प्राप्त न होना)
= \(\frac{5}{6}\) × \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{25}{36}\)
P(X = 1) = P( एक छक्का प्राप्त होना)
= \(\frac{1}{6}\) × \(\frac{5}{6}\) + \(\frac{5}{6}\) × \(\frac{1}{6}\)
= \(\frac{5}{36}\) + \(\frac{5}{36}\) = \(\frac{10}{36}\)
P(X = 2) = P( दो छक्के प्राप्त होना )
= \(\frac{1}{6}\) × \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{1}{36}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(x) | \(\frac{25}{36}\) | \(\frac{10}{36}\) | \(\frac{1}{36}\) |
∴ X की प्रत्याशा = E(X) = ∑ pi xi
= 0 × \(\frac{25}{36}\) + 1 × \(\frac{10}{36}\) + 2 × \(\frac{1}{36}\)
= 0 + \(\frac{10}{36}\) + \(\frac{2}{36}\)
= \(\frac{12}{36}\) = \(\frac{1}{3}\)
प्रश्न 12.
प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ बद्च्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गड़ं। मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रथम छः धन पूर्णांक संख्याएँ = 1,2,3,4,5,6
एक अंक 6 तरीकों से चुना जा सकता है।
जब 1 संख्या को चुना जाता है तब 5 संख्याएँ छोड़ते हैं।
छ: धनात्मक पूर्णांक में से दो संख्याओं को यद्च्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुने जाने पर इनकी संख्या
= 6 × 5 = 30
अब
P(X = 2) = P{(1,2),(2,1)}
= \(\frac{2}{30}\)
P(X = 3) = P{(1,3),(2,3),(3,1),(3,2)}
= frac{4}{30}
P(X = 4) = P{(1,4),(2,4),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3)}
= \(\frac{6}{30}\)
P(X = 5) = P{(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}
= \(\frac{8}{30}\)
P(X = 6) = P\{(1,6),(2,6),(3,6),(4,6), (5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)}
= \(\frac{10}{30}\)
X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X या xi | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P(X) या pxi | \(\frac{2}{30}\) | \(\frac{4}{30}\) | \(\frac{6}{30}\) | \(\frac{8}{30}\) | \(\frac{10}{30}\) |
प्रत्याशा, µ = E(X) = ∑ pi xi
= 2 × \(\frac{2}{30}\) + 3 × \(\frac{4}{30}\) + 4 × \(\frac{6}{30}\) + 5 × \(\frac{8}{30}\) + 6 × \(\frac{10}{30}\)
∴ प्रत्याशा = \(\frac{4}{30}\) + \(\frac{12}{30}\) + \(\frac{24}{30}\) + \(\frac{40}{30}\) + \(\frac{60}{30}\)
= \(\frac{4+12+24+40+60}{30}\)
= \(\frac{140}{30}\) = \(\frac{14}{3}\) = 4 \(\frac{2}{3}\)
प्रश्न 13.
मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को X से व्यक्त किया गया है। X का प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल:
जब दो पासे पेंके जाते हैं, तब परिणामों की संख्या = 6 × 6 = 36.
P(X = 2) = P{(1,1)} = \(\frac{1}{36}\)
P(X = 3) = P{(1,2),(2,1)} = \(\frac{2}{36}\)
P(X = 4) = P{(1,3),(2,2),(3,1)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 5) = P{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}
= \(\frac{4}{36}\)
P(X = 6) = P{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
= \(\frac{5}{36}\)
P(X = 7) = P{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3)
= \(\frac{6}{36}\)
P(X = 8) = P{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
= \(\frac{5}{36}\)
P(X = 9) = P{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}
= \(\frac{4}{36}\)
P(X = 12) = P{(6,6)} = \(\frac{1}{36}\)
अतः प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | P(X) | X | PiXi | PixI |
| 2 | \(\frac{1}{36}\) | 4 | \(\frac{2}{36}\) | \(\frac{4}{36}\) |
| 3 | \(\frac{2}{36}\) | 9 | \(\frac{6}{36}\) | \(\frac{18}{36}\) |
| 4 | \(\frac{3}{36}\) | 16 | \(\frac{12}{36}\) | \(\frac{48}{36}\) |
| 5 | \(\frac{4}{36}\) | 25 | \(\frac{20}{36}\) | \(\frac{100}{36}\) |
| 6 | \(\frac{5}{36}\) | 36 | \(\frac{30}{36}\) | \(\frac{180}{36}\) |
| 7 | \(\frac{6}{36}\) | 49 | \(\frac{42}{36}\) | \(\frac{320}{36}\) |
| 8 | \(\frac{5}{36}\) | 64 | \(\frac{40}{36}\) | \(\frac{320}{36}\) |
| 9 | \(\frac{4}{36}\) | 81 | \(\frac{36}{36}\) | \(\frac{324}{36}\) |
| 10 | \(\frac{3}{36}\) | 100 | \(\frac{30}{36}\) | \(\frac{300}{36}\) |
| 11 | \(\frac{2}{36}\) | 121 | \(\frac{22}{36}\) | \(\frac{242}{36}\) |
| 12 | \(\frac{1}{36}\) | 144 | \(\frac{12}{36}\) | \(\frac{144}{36}\) |
| योग | \(\frac{252}{36}\) | \(\frac{1974}{36}\) |
X का प्रसरण = E(X)2 – [E(X)]2
= ∑ pi xi2 – [∑ pi xi]2
= \(\frac{1974}{36}\) – (\(\frac{252}{36}\))2
= \(\frac{987}{18}\) – (7)2
= \(\frac{987}{18}\) – \(\frac{49}{1}\) = \(\frac{987-882}{18}\)
= \(\frac{105}{18}\) \(\frac{35}{6}\) = 5.83
X का मानक विचलनंन (r) = \(\sqrt{5.83}\)
= 2.4 (लगभग)।
प्रश्न 14.
कक्षा में 15 छात्र हैं, जिनकी आयु 14,17,15,44,21,17,19,20,16,18,20,17,16,19 और 20 वर्ष है। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की सम्भावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया। यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। X का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: एक कक्षा में 15 छात्र हैं।
∴ प्रत्येक छात्र को चुने जाने की प्रायिकता = \(\frac{1}{15}\)
दिये हुए बंटन का प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार है:
| Xi | fi | P(i) | PiXi | PixI |
| 14 | 2 | \(\frac{2}{15}\) | \(\frac{28}{15}\) | \(\frac{392}{15}\) |
| 15 | 1 | \(\frac{1}{15}\) | \(\frac{15}{15}\) | \(\frac{225}{15}\) |
| 16 | 2 | \(\frac{2}{15}\) | \(\frac{32}{15}\) | \(\frac{512}{15}\) |
| 17 | 3 | \(\frac{3}{15}\) | \(\frac{51}{15}\) | \(\frac{867}{15}\) |
| 18 | 1 | \(\frac{1}{15}\) | \(\frac{18}{15}\) | \(\frac{324}{15}\) |
| 19 | 2 | \(\frac{2}{15}\) | \(\frac{38}{15}\) | \(\frac{722}{15}\) |
| 20 | 3 | \(\frac{3}{15}\) | \(\frac{60}{15}\) | \(\frac{1200}{15}\) |
| 21 | 1 | \(\frac{1}{15}\) | \(\frac{21}{15}\) | \(\frac{441}{15}\) |
| Total | \(\frac{263}{15}\) | \(\frac{4683}{15}\) |
माध्य (µ) = ∑ xi pi
प्रसरण = Var(X) = E(X2 ) – [E(X)]2
= ∑ pi xi2 – (∑ pi xi)2
= \(\frac{4683}{15}\) – (17.53)2
= 312.20 – 307.41766
= 4.78234 = 4.78
तथा मानक विचलन (∑) = \(\sqrt{4 \cdot 782}\) = 2.19
प्रश्न 15.
एक बैठक में 70 % सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30 % सदस्यों ने विरोध किया। एक सदस्य को यदृच्छया चुना गया और यदि उस सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तो X = 0 लिया गया, जबकि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो X = 1 लिया गया। E(X) और var(X) ज्ञात कीजिए।
हल:
X = 1, पर किसी प्रस्ताव का अनुमोदन करने वाले सदस्यों की प्रायिकता = 70% = \(\frac{70}{100}\) = 0.70
X = 0, पर किसी प्रस्ताव का विरोध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
= 30 % = \(\frac{30}{100}\) = 0.30
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 |
| P(x) | 0.30 | 0.70 |
∴ E(X) = ∑ pi xi = 0.30 × 0 + 0.70 × 1 = 0.7
E(X2) = ∑ pi xi = 0.3 × 0 + 0.7 × 12
= 0 + 0.7 = 0.7
Var(X) = E(X2) – [E(X)]2
= 0.7 – (0.7)2
= 0.7 – 0.49 = 0.212
प्रश्न 16.
ऐसे पासे, जिसके तीन फलकों पर 1 , अन्य दो पर 2 और एक फलक पर 5 लिखा गया है, को उछालने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य है :
(A) 1
(B) 2
(C) 5
(D) \(\frac{8}{3}\)
हल:
जब एक पासे को फेंकते हैं, तो {1,2,3,4,5,6} प्राप्त हो सकते हैं, तीन फलकों पर 1 है।
∴ 1 प्राप्त करने की प्रायिकता,
P(1) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
दो फलकों पर 2 लिखा है।
∴ 2 प्राप्त करने की प्रायिकता, P(2) = \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{1}{3}\)
1 फलक पर 5 लिखा है।
∴ 5 प्राप्त करने की प्रायिकता, P(5) = \(\frac{1}{6}\)
अतः प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 1 | 2 | 5 |
| P(x) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{6}\) |
माध्य = E(X) = ∑ pi xi
= \(\frac{1}{2}\) × 1 + \(\frac{1}{3}\) × 2 + \(\frac{1}{6}\) × 5
= \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{2}{3}\) + \(\frac{5}{6}\)
= \(\frac{3+4+5}{6}\) = \(\frac{12}{6}\) = 2
अतः विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 17.
मान लीजिए ताश की एक गड्डी में से यदृच्छया दो पत्ते निकाले जाते हैं। मान लीजिए X इक्कों की संख्या प्रकट करता है। तब E(X) का मान है:
(A) \(\frac{37}{221}\)
(B) \(\frac{5}{13}\)
(C) \(\frac{1}{13}\)
(D) \(\frac{2}{13}\)
हल:
(i) ताश की एक गड्डी में से यदृच्छया दो पत्ते खींचे जाते हैं।
दोनों पत्ते इक्के न होने पर कुल विधियाँ
= 48C2 = \(\frac{48 × 47}{2}\) = 1128
52 पत्तों में से 2 पत्ते खींचे जा सकंते हैं
= 52C2 = \(\frac{52 × 51}{2}\) = 26 × 51 = 1326
∴ इक्का न खींचने की प्रायिकता = \(\frac{1128}{1326}\)
(ii) 4 C1 × 48C2 में एक इक्का और एक इक्का न होने की विधि I = 4 C1 × 48C1
= 4 × 48 = 192
∴ एक इक्का और एक इक्का न होने की प्रायिकता
= \(\frac{192}{1326}\)
(iii) दो इक्कों को खींचने की विधियाँ = 4 C2
∴ 2 इक्कों की संख्या प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{6}{1326}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है:
| X | 0 | 1 | 2 |
| P(x) | \(\frac{1128}{1326}\) | \(\frac{192}{1326}\) | \(\frac{6}{1326}\) |
∴ E(X) = ∑ p1 x1
= \(\frac{1128}{1326}\) × 0 + \(\frac{192}{1326}\) × 1 + \(\frac{6}{1326}\) × 2
= \(\frac{192}{1326}\) + \(\frac{12}{1326}\)
= \(\frac{204}{1326}\) = \(\frac{2}{13}\)
अतः विकल्प (D) सही है।