NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5

प्रश्न 1.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि ” पासे पर सम संख्या प्राप्त होना” एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकताएँ क्या होंगी?
(i) तध्यतः 5 सफ्लताएँ,
(ii) न्यूनतम 5 सफलताएँ,
(iii) अधिकतम 5 सफलताएँ।
हल:
एक पासे पर 3 सम संख्याएँ 2,4,6 हैं।
प्रतिदर्श समष्टि = {1,2,3,4,5,6}
∴ एक पासे पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)

(i) 5 सफलताएँ प्राप्त होने की प्रायिकता
P(5) = 6 C₅ (\(\frac{1}{2}\)) (\(\frac{1}{2}\))⁵
= 6(\(\frac{1}{2}\))⁶ = \(\frac{6}{64}\) = \(\frac{3}{32}\)

(ii) P (न्यूनतम 5 सफलताएँ)
= P(5) + P(6)
= 6 C₁(\(\frac{1}{2}\))(\(\frac{1}{2}\))⁵ + (\(\frac{1}{2}\))⁶
= 6 × (\(\frac{1}{2}\))⁶ + (\(\frac{1}{2}\))⁶
= (\(\frac{1}{2}\))⁶ (6 + 1) = \(\frac{7}{64}\)

(iii) P (अधिकतम 5 सफलताएँ)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= {[P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)} + P(6)] – P(6)
= 1 – P(6) = 1 – (\(\frac{1}{2}\))⁶ = 1 – \(\frac{1}{64}\) = \(\frac{63}{64}\)

प्रश्न 2.
पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि “पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक होना” एक सफलता मानी जाती है, तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे के एक जोड़े को उछलने पर,
n(S) = 36
1 जोड़े पासे से 6 द्विक बन सकते हैं : {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
∴ पासों पर प्राप्त अंकों का द्विक प्राप्त होने की प्रायिकता,
p = \(\frac{6}{36}\) = \(\frac{1}{6}\)
तथा द्विक प्राप्त न होने की प्रायिकता,
q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
पासे के जोड़े को 4 बार फेंका गया, n = 4 r सफलताओं की प्रायिकता
= 4 C_r q4 – r p^r
2 सफलताओं की प्रायिकता,
P(2) = 4 C₂ q² p²
= 4 C₂(\(\frac{5}{6}\))² × (\(\frac{1}{6}\))²
= \(\frac{4 × 3}{1 × 2}\) × \(\frac{25}{36}\) × \(\frac{1}{36}\)
= \(\frac{25}{6 × 36}\) = \(\frac{25}{216}\)

प्रश्न 3.
वस्तुओं के एक ढेर में 5 % त्रुटियुक्त वस्तुएँ हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी?
हल:
एक त्रुटियुक्त वस्तु प्राप्त करने की प्रायिकता
p = 5 % = \(\frac{5}{100}\) = \(\frac{1}{20}\)
एक अच्छी वस्तु के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता
q = 1 – \(\frac{1}{20}\) = \(\frac{19}{20}\)
P(10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी।)
= P(0) + P(1)
= (\(\frac{19}{20}\))¹⁰ + 10C₁(\(\frac{19}{20}\))⁹(\(\frac{1}{20}\))
= (\(\frac{19}{20}\))⁹ (\(\frac{19}{20}\) + 10 × \(\frac{1}{20})
= ([latex]\frac{29}{20}\))(\(\frac{19}{20}\))⁹

प्रश्न 4.
52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते ोतर प्रतिस्थापन सहित निकाले जाते है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हैं?
(ii) केवल 3 पत्ते पुकुम के हों?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नर्हीं हो?
हल:
एक ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते हैं और उसमें 13 पत्ते हुकुम के हैं।
एक हुकुम का पत्ता खींचने की प्रायिकता
p = 13 C₁ 52 C₁ = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)
एक हुकुम का पत्ता न खींचने की प्रायिकता
q = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)

(i) P (सभी 5 पत्ते हुकुम के हों)
= (\(\frac{1}{4}\))⁵ = \(\frac{1}{1024}\)

(ii) P (केवल 3 पत्ते हुकुम के हैं)
= 5 C₃(\(\frac{3}{4}\))²(\(\frac{1}{4}\))³
= 5 C₃ × \(\frac{9}{16}\) × \(\frac{1}{64}\)
= \(\frac{10 × 9}{16 × 64}\) = \(\frac{45}{8 × 64}\) = \(\frac{45}{512}\)

(iii) P (एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो)
= (\(\frac{3}{4}\))⁵= \(\frac{243}{1024}\)

प्रश्न 5.
किसी फैक्ट्री में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हेने की प्रायिकता 0.05 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से:
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम-से-कम एक, 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएँगे।
हल:
150 दिनों का उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता p = 0.05
150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज न होने की प्रायिकता
q = 1 – 0.05 = 0.95

(i) P (पाँचों में से कोई भी बल्ब 10 दिनों के उपयोग
के बाद फ्यूज नहीं होगा)
= (0.95)⁵ = 0.7738
= 0.77 (लगभग)।

(ii) P (एक से अधिक बल्ब फ्यूज नहीं होगा)
= P(0) + P(1)
= (0.95)⁵ + 5 C₁(0.95)⁴ .(0.05)
= (0.95)⁴[0.95 + 5 × 0.05]
= (0.95)⁴[0.95 + 0.25]
= (0.95)⁴ × 1.2 = 0.98 (लगभग)।

(iii) P (एक से अधिक बल्ब फ्यूज होंगे)
= P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)]
= 1 – [P(0) + P(1)] [P(0) + P(1)]
= 1 – (0.95)⁴ × 1.2 = 1 – 0.98 = 0.02 . (ii) से]

(iv) P (कम-से-कम एक बल्ब फ्यूज होता है)
= P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= 1 – P(0)
= 1 – (0.95)⁵ = 1 – 0.77 = 0.23

प्रश्न 6.
एक धैले में 10 गेंदें हैं जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है। यदि बैले से 4 गेंदें उत्तरोतर पुन: वापस रखते हुए निकाली जाती हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो?
हल:
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिन पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है।
0 अंक वाली एक गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
p = \(\frac{1}{10}\) = 0.1
गेंद पर 0 न लिखा होने की प्रायिकता
q = 1 – 0.1 = 0.9
अब 4 गेंदें निकाली गई
उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा होने की प्रायिकता
= (0.9)⁴ = (\(\frac{9}{10}\))⁴

प्रश्न 7.
एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछालकर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो तो वह प्रश्न का उत्तर ‘सत्य’ देता है और यदि पट प्रकट हो तो ‘असत्य’ लिखता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम-से-कम दो प्रश्नों के सही उत्तर देता है।
हल:
P (सिक्का उछ्धलने पर चित आता है) p = \(\frac{1}{2}\) P (सिक्का उछलने पर चित नहीं आता है)
q = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
सत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
तथा असत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
P( कम-से-कम 2 प्रश्नों के उत्तर सत्य हैं) = P(2) + P(3) + P(4) + P(20)
= 1 – [P(0) + P(1)]
= 1 – [(\(\frac{1}{2}\))²⁰ + 20C₁(\(\frac{1}{2}\))¹⁹ (\(\frac{1}{2}\))]
= 1 – [(\(\frac{1}{2}\))²⁰ + 20(\(\frac{1}{2}\))²⁰]
= 1 – (\(\frac{1}{2}\))²⁰[1 + 20]
= 1 – 21 (\(\frac{1}{2}\))²⁰

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि X का बंटन B(6, \(\frac{1}{2}\)) द्विपद बंटन है। दर्शाइए कि X = 3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
हल:
B(6, \(\frac{1}{2}\)) = (\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\))⁶
∵ p = \(\frac{1}{2}\), q = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
= 6 C₀(\(\frac{1}{2}\))⁶ + 6 C₁(\(\frac{1}{2}\))⁵ + 6 C₆(\(\frac{1}{2}\))⁶
= (\(\frac{1}{2}\))⁶ [6 C₀+ 6 C₁ + 6 C₂ + 6 C₃ + 6 C₄ + 6 C₅ + 6 C₆]
= (\(\frac{1}{2}\))⁶ [6 C₀+ 6 C₁ + 6 C₂ + 6 C₃ + 6 C₂ + 6 C₁ + 6 C₀]
= 6 C₀, 6 C₁, 6 C₂, 6 C₃ में अधिकतम मान 6 C₃ है।
इस प्रकार {6 C₃(\(\frac{1}{2}\))⁶ = P(X = 3) अधिकतम है।
⇒ P(X = 3) अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।

प्रश्न 9.
एक बहुविकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न हैं जिनमें प्रत्येक के तीन सम्भावित उत्तर है। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगाकर चार या अधिक प्रश्नों के सही उत्तर दे देगा ?
हल:
तीन सम्भावित उत्तरों में से एक उत्तर सही है।
सही उत्तर की प्रायिकता,
p = \(\frac{1}{3}\)
गलत उत्तर की प्रायिकता,
q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
चार या अधिक प्रश्नों में सही उत्तर की प्रायिकता
= p(4) + p(5)
= 5 C₄ q p⁴ + p⁵
= 5 × (\(\frac{2}{3}\)) (\(\frac{1}{3}\))⁴ + (\(\frac{1}{3}\))⁵
= (\(\frac{1}{3}\))⁵ [10 + 1] = \(\frac{11}{3^5}\) = \(\frac{11}{243}\)

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{100}\) है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह (a) न्यूनतम एक बार, (b) तथ्यतः एक बार, (c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीत लेगा।
हल:
प्रत्येक टिकट जीतने की प्रायिकता = \(\frac{1}{100}\)
प्रत्येक टिकट हारने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{100}\) = \(\frac{99}{100}\)
(a) न्यूनतम एक बार जीतने की प्रायिकता
= 1 – ( \(\frac{99}{100}\))⁵⁰ = 1 – (0.99)⁵⁰

(b) तथ्यतः एक बार जीतने की प्रायिकता
= 50 C₁ (\(\frac{99}{100}\))⁴⁹ (\(\frac{1}{100}\))1
= \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{99}{100}\))⁴⁹

(c) न्यूनतम दो बार जीतने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) + P(50)
= [P(0) + P(1) + P(50)] – [P(0) + P(1)]
= 1 – [P(0) + P(1)]
= 1 – (\(\frac{99}{100}\))⁵⁰ – 50C₁ (\(\frac{99}{100}\))⁴⁹ (\(\frac{1}{100}\))
= 1 – (\(\frac{99}{100}\))⁴⁹ (\(\frac{99}{100}\) + \(\frac{50}{100}\))
= 1 – (\(\frac{99}{100}\))⁴⁹ (\(\frac{149}{100}\))

प्रश्न 11.
एक पासे को 7 बार उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक पासे को उछलने पर {1,2,3,4,5,6} प्रतिदर्श समष्टि प्राप्त होती है।
तब, 5 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\) = p
5 न आने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) = q
7 बार पासा उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता
= 7 C₂ ( \(\frac{5}{6}\))⁵ (\(\frac{1}{6}\))²
= \(-\frac{7 \times 6}{1 \times 2}\) \(\frac{1}{36}\) (\(\frac{5}{6}\))⁵ = \(\frac{7}{12}\) (\(\frac{5}{6}\))⁵

प्रश्न 12.
एक पासे को छः बार उछालने पर अधिकतम 2 बार छः: आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
एक पासे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
= [1 ,2, 3, 4, 5, 6]
एक छः प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\) = p
एक छः न प्राप्त होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) = q
एक पासे को छः बार उछला गया। अधिकतम दो बार 6 प्राप्त हुआ।
∴ अधिकतम दो बार 6 प्राप्त होने की प्रायिकता
= P(0) + P(1) + P(2)
= q⁶ + 6 C₁ q⁵ p + 6 C₂ q⁴ p²
= (\(\frac{5}{6}\))⁶ + 6 C₁(\(\frac{5}{6}\))⁵ (\(\frac{1}{6}\)) + 6 C₂ (\(\frac{5}{6}\))⁴ (\(\frac{1}{6}\))²
=(\(\frac{5}{6}\))⁶ + 6(\(\frac{5}{6}\))⁵ × \(\frac{1}{6}\) +
= (\(\frac{5}{6}\))⁶ + (\(\frac{5}{6}\))⁵ + \(\frac{5}{12}\)(\(\frac{5}{6}\))⁴
= (\(\frac{5}{6}\))⁴ [\(\frac{25}{36}\) + \(\frac{5}{6}\) + \(\frac{5}{12}\)]
= (\(\frac{5}{6}\))⁴ \(\frac{25+30+15}{36}\)
= (\(\frac{5}{6}\))⁴ (\(\frac{70}{36}\))
= \(\frac{35}{18}\)(\(\frac{5}{6}\))⁴

प्रश्न 13.
यह ज्ञात है कि किसी विशेष प्रकार की निर्मित वस्तुओं की संख्या में 10% खराब हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार की 12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब हों?
हल:
निर्मित वस्तुओं में खराब वस्तुओं को चुनने की प्रायिकता; p = \(\frac{10}{100}\) = \(\frac{1}{10}\)
अच्छी वस्तुओं को चुनने की प्रायिकता,
q = 1 – \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{9}{10}\)
∴ 12 वस्तुओं में से 9 वस्तुएँ खराब होने की प्रायिकता
= 12 C₉ (\(\frac{9}{10}\))³ (\(\frac{1}{10}\))⁹ = 12C₃ 9³ 10¹²
= 9³ 10¹² = 22 × 9³ 10¹¹

प्रश्न 14.
एक बॉक्स में 100 बल्ब हैं जिसमें 10 त्रुटियुक्त हैं। 5 बल्ब के नमूने में से, किसी भी बल्ब के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता है:
(A) 10^-1
(B) (\(\frac{1}{2}\))⁵
(C) (\(\frac{9}{10}\))⁵
(D) \(\frac{9}{10}\)
हल:
बॉक्स में बल्बों की संख्या = 100
खराब बल्बों की संख्या = 10
बल्ब के खराब होने की प्रायिकता = \(\frac{10}{100}\) = \(\frac{1}{10}\)
बल्ब के अच्छे होने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{9}{10}\)
∴ 5 बल्बों के नमूने में से किसी भी बल्ब के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता = (\(\frac{9}{10}\))⁵
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 15.
एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता \(\frac{1}{5}\) है। तब 5 छात्रों में से 4 छात्रों के तैराक ह्योने की प्रायिकता है:
(A) 5 C₄ (\(\frac{4}{5}\))⁴ \(\frac{1}{5}\)
(B) (\(\frac{4}{5}\))⁴ , \(\frac{1}{5}\)
(C) 5 C₁ \(\frac{1}{5}\) (\(\frac{4}{5}\))⁴
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
एक छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता p = \(\frac{1}{5}\)
एक छात्र के तैराक होने की प्रायिकता q = 1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\) छात्रों का प्रायिकता बंटन जो तैराक हैं, है:
= (\(\frac{1}{5}\) + \(\frac{4}{5}\))⁵
∴ 5 छात्रों से 4 छात्रों के तैराक होने की प्रायिकता
= 5 C₄ × \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{4}{5}\)⁴
= 5 C₄ \(\frac{4}{5}\)⁴ \(\frac{1}{5}\)
अत: विकल्प (A) सही है।