NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0 . P(B/A) ज्ञात कीजिए, यदि (i) A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है,
(ii) A ∩ B = Φ
हल:
(i) B का उपसमुच्चय A है।
⇒ A∩B A
P(B/A) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\) = \(\frac{P(A)}{P(A)}\) = 1

(ii) A∩B = Φ ⇒ P(A∩B) = 0
∴ P(B / A) = \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\) = \(\frac{0}{P(A)}\) = 0

प्रश्न 2.
एक दम्पत्ति के दो बच्चे हैं।
(i) दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि दोनों बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
हल:
(i) माना घटनाएँ,
A = दोनों बच्चे लड़के हैं = M M
B = कम-से-कम एक बच्चा लड़का है
= M F, F M, M M
प्रतिदर्श समष्टि = M F, F M, M M, F F
∴ प्रतिदर्श समष्टि में अवयवों की कुल संख्या =4
प्रायक्त्रा से 489
∴ A ∩B = M M
∴ P(A) = \(\frac{1}{4}\)
P(B) = \(\frac{3}{4}\)
P(A∩B) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(A/B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}\) = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{4}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)

(ii) माना A = दोनों बच्चे लड़की हैं = F F
P(A) = \(\frac{1}{4}\)
B = बड़ा बच्चा लड़की है
= F F, F M
∴ A ∩B = F F
P(A∩B) = \(\frac{1}{4}\)
तथा P(B) = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{2}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)
P (दोनों बच्चे लड़की हैं, यदि बड़ा बच्चा लड़की है)
P(A / B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}\) = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{1}\) = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 3.
कल्पना कीजिए कि 5 % पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं। एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है ? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।
हल:
दिया है: महिलाओं व पुरुषों की संख्या समान है।
मान घटनाएँ, E₁ = पुरुषों का होना
E₂ = महिला का होना
A = सफेद बाल होना
एक पुरुष चुनने की प्रायिकता, P(E₁) = \(\frac{1}{2}\)
एक महिला चुनने की प्रायिकता, P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
5% पुरुषों के बाल सफेद हैं।
⇒ P(A E₁) = 5 % = \(\frac{5}{100}\) = 0.05
0.25 % महिलाओं के बाल सफेद हैं।
⇒ P(A / E₂) = 0.25 % = \(\frac{0.25}{100}\) = 0.0025
अब P(E₁/A)
= P(E₁) P(A / E₁) P(E₂) P(A / E₁) + P(E₂) P(A / E₂)
= {\(\frac{1}{2}\) × 0.05} {\(\frac{1}{2}\) × 0.05 × \(\frac{1}{2}\) × 0.0025}
= \(\frac{0.05}{0.05+0.0025}\)
= \(\frac{0.05}{0.0525}\) = \(\frac{500}{525}\) = \(\frac{20}{21}\)

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि 90 % लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से यदृच्छया चुने गये अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?
हल:
किसी व्यक्ति के दाहिने हाथ से काम करने की प्रायिकता
p = 90% = \(\frac{90}{100}\) = 0.9 = \(\frac{9}{10}\)
10% लोग बायें हाथ से काम करते हैं
⇒ q = \(\frac{10}{100}\) = \(\frac{1}{10}\) और n = 10
p (अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों)
= p(0) + p(1) + p(6)
= [p(0) + p(1) + p(2) + p(10)]
– [p(7) + p(8) + p(9) + p(10)]
= 1 – [p(7) + p(8) + p(9) + p(10)]
= 1 – 10C₇ (\(\frac{1}{10}\))³ (\(\frac{9}{10}\))⁷ + 10C₈ (\(\frac{1}{10}\))² (\(\frac{9}{10}\))⁸ .
+ 10C₉ (\(\frac{1}{10}\)) (\(\frac{9}{10}\))⁹ + (\(\frac{9}{10}\))¹⁰
= 1 – \(\sum_{r=7}^{10}\) 10C_r (0.9)^r (0.1)^10-r

प्रश्न 5.
एक कलश (पात्र) में 25 गें दें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिह्न ‘ X ‘ अंकित है और शेष 15 पर चिह्न ‘ Y ‘ अंकित है। कलश में से एक गेंद यदृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिह्न को नोट (लिख) करके उसे कलश में प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें निकाली जाती हों, तो निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
(i) सभी पर चिह्न ‘ X ‘ अंकित हो।
(ii) 2 से अधिक पर चिह्न ‘ Y ‘ नहीं अंकित हो।
(iii) कम-से-कम 1 गेंद पर चिह्न ‘ Y ‘ अंकित हो।
(iv) ‘ X ‘ तथा ‘ Y ‘ चिह्नों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों।
हल:
कुल गेंदों की संख्या = 25
X अंकित गेंदों की संख्या = 10
माना घटनाएँ, A = गेंद पर X अंकित होना B = गेंद पर Y अंकित होना n = 6 गेंदें कलश से निकाली गईं।
P(A) = \(\frac{10}{25}\) = \(\frac{2}{5}\)
P(B) = 1 – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)
(i) P (सभी पर चिह्न X अंकित हो) = (\(\frac{2}{5}\))⁶
(ii) P(2 से अधिक पर चिह्न Y नहीं अंकित हो) = P(6) + P(5) + P(4)
= (\(\frac{2}{5}\))⁶ + 6 C₅ (\(\frac{3}{5}\))(\(\frac{2}{5}\))⁵ + 6 C₄(\(\frac{3}{5}\))² (\(\frac{2}{5}\))⁴
= (\(\frac{2}{5}\))⁴ [\(\frac{4}{25}\) + \(\frac{6 \times 3 \times 2}{25}\) + \(\frac{15 \times 9}{25}\)]
= (\(\frac{2}{5}\))⁴ \(\frac{4+36+135}{25}\)
= (\(\frac{2}{5}\))⁴ \(\frac{175}{25}\)= 7 (\(\frac{2}{5}\))⁴

(iii) P (कम-से-कम 1 गेंद पर चिह्न Y अंकित हो)
= 1 – (चिह Y अंकित न हो)
= 1 -(सभी गेंदों पर चिह्न X अंकित हो)
= 1 – (\(\frac{2}{5}\))⁶

(iv) P(X तथा ‘ Y ‘ चिह्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों)
= P(3) = 6 C₃ (\(\frac{3}{5}\))³ (\(\frac{2}{5}\))³
= \(\frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3}\) × \(\frac{27}{125}\) × \(\frac{8}{125}\) = \(\frac{864}{3125}\)

प्रश्न 6.
एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा को पार कर लेगा, \(\frac{5}{6}\) है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा) ?
हल:
कुल बाधाओं की संख्या =10
n = 10
बाधा को पार करने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\) = p (माना)
∴ बाधाएँ पार न करने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{1}{6}\) = q (माना)
कम बाधाओं को पार न करना)
= p(10) + p(9)
= (\(\frac{5}{6}\))¹⁰ + 10C₉ (\(\frac{5}{6}\))⁹ × (\(\frac{1}{6}\))
= (\(\frac{5}{6}\))⁹ [\(\frac{5}{6}\) + 10 × \(\frac{1}{6}\)]
= (\(\frac{5}{6}\))⁹ × \(\frac{15}{6}\) = \(\frac{5}{2}\) (\(\frac{5}{6}\))⁹

प्रश्न 7.
एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।
हल:
एक पासे को बार-बार उछाला जाता है।
पासे पर 6 का अंक आने की प्रायिकता, p = \(\frac{1}{6}\)
पासे पर 6 का अंक न आने की प्रायिकता
q = 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)
पासे पर 5 उछालों पर 2 बार 6 और 3 बार 6 न आने की प्रायिकता
= 5 C₂(\(\frac{1}{6}\))² (\(\frac{5}{6}\))³
छठी बार उछालने पर 6 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
∴ पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छ्ठी बार उछालने पर आने की प्रायिकता
= 5 C₂(\(\frac{1}{6}\))² (\(\frac{5}{6}\))³ × \(\frac{1}{6}\)
= 10 × \(\frac{125}{6^6}\) = \(\frac{1250}{46656}\) = \(\frac{625}{23328}\)

प्रश्न 8.
यदि एक लीप वर्ष को यदृच्छया चुना गया हो, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे?
हल:
एक लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं। इसमें 52 पूर्ण सप्ताह और 2 दिन शेष रहते हैं।
दिनों के क्रम इस प्रकार हो सकते है
(सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार), (बुधवार, बृहस्पतिवार), (बृहस्पतिवार, शुक्रवार), (शुक्रवार, शनिवार), (शनिवार, रविवार), (रविवार, सोमवार)
इस प्रकार कुल समूह = 7
इनमें से मंगलवार दो बार आता है यानि (सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार)।

प्रश्न 9.
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छ: परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे।
हल:
माना सफल होने की प्रायिकता p तथा असफल होने की प्रायिकता q है।
दिया है, p = 2 q = 2(1 – p) = 2 – 2 p
या
3 p = 2
∴ p = \(\frac{2}{3}\)
तथा 2 q = p
∴ q = \(\frac{p}{2}\) = \(\frac{2}{3 \times 2}\) = \(\frac{1}{3}\)
अगले छः परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होने की प्रायिकता
= p(4) + p(5) + p(6)
= 6 C₄ q² p⁴ + 6 C₅ q p⁵ + p⁶
= 6 C₂ (\(\frac{1}{3}\))² (\(\frac{2}{3}\))⁴ + 6 C₁ (\(\frac{1}{3}\))(\(\frac{2}{3}\))⁵ + (\(\frac{2}{3}\))⁶
= \(\frac{6 \times 5}{2}\) × \(\frac{16}{3^6}\) + \(\frac{6 \times 32}{3^6}\) + \(\frac{64}{3^6}\)
= \(\frac{15 \times 16+6 \times 32+64}{3^6}\)
= \(\frac{240+192+64}{729}\) = \(\frac{496}{729}\) = \(\frac{31}{9}\) (\(\frac{2}{3}\))⁴

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक न्याय्य सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता 90% से अधिक हो?
हल:
माना सिक्के को n बार उछाला गया है।
एक सिक्के को उछालने पर चित आने की प्रायिकता
p = \(\frac{1}{2}\)
एक सिक्के के चित न आने की प्रायिकता
q = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
n सिक्कों को उछालने पर कोई भी चित न आने की
प्रायिकता = (\(\frac{1}{2}\))ⁿ
⇒ कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता
= 1 – (\(\frac{1}{2}\))ⁿ
कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता 90 % से अधिक है =
∴ 1 – (\(\frac{1}{2}\))ⁿ >0.9
⇒ (\(\frac{1}{2}\))ⁿ < 1 – 0.9
⇒ (\(\frac{1}{2}\))ⁿ < 0.1 ⇒ n ≥ 4
⇒ \(\frac{1}{2^n}\) < \(\frac{1}{10}\)
⇒ 2ⁿ > 10
∴ n ≥ 4 .(∵ 2⁴ = 16,16 > 10)

प्रश्न 11.
एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
एक पासे को उध्धलने पर 6 आने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{6}\) = p (माना)
∴ 6 न आने की प्रायिकता
= 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\) = q (माना)
(i) P( पहली बार में 6 प्राप्त होना) = \(\frac{1}{6}\)
(ii) P (दूसरी बार में 6 आना) = \(\frac{5}{6}\) × \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{5}{36}\)
(iii) P (तीसरी बार में 6 आना) = \(\frac{5}{6}\) × \(\frac{5}{6}\) × \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{25}{216}\)
पहली बार में 6 आने पर उसे 1 रुपया मिलता है। दूसरी बार में 6 आने पर -1+1=0 रुपया मिलता है। तीसरी बार में 6 आने पर – 1 – 1 + 1 = -1 रुपया मिलता है अर्थात् 1 रुपया कम।
∴ प्रायिकता बंटन निम्न प्रकार है-

X	1	0	-1
P(X)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{5}{36}\)	\(\frac{25}{216}\)

∴ प्रत्याशा = 1 × \(\frac{1}{6}\) + 0 × \(\frac{5}{36}\) + (-1) + \(\frac{25}{216}\)
= \(\frac{1}{6}\) – \(\frac{25}{216}\) = \(\frac{11}{216}\)
अतः हारी गई राशि की प्रत्याशा = \(\frac{11}{216}\)

प्रश्न 12.
मान लीजिए हमारे पास A, B, C और D बॉक्स हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है। यदृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स A, बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

बॉक्स	संगमरमर की टुकड़ियों का रंग
	लाल	सफ़ेद	काला
A	1	6	3
B	6	2	2
C	8	1	1
D	0	6	4

हल :
माना एक बॉक्स चुने जाने की घटना F और लाल गेंद चुनने की घटना A है।
P(F₁) = P(F₂) = P(F₃) = P(F₄) = \(\frac{1}{4}\)
प्रत्येक बॉक्स में 10 गेंदें हैं।
∴ P(A / F₁) = \(\frac{1}{10}\), P(A / F₂) = \(\frac{6}{10}\)
P(A / F₃) = \(\frac{8}{10}\), P(A / F₄) = 0

(i) P(F₁ / A)
= \(\frac{P(F_1) \cdot P(A / F_1)}{P(F_1) \cdot P(A / F_1)+P(F_2) / P(A / F_2)}\)
+ P(F₃) P(A / F₃) + P(F₄) P(A / F₄)
= \(\frac{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}+0}\)
= \(\frac{\frac{1}{40}}{\frac{1}{40}+\frac{6}{40}+\frac{8}{40}}\)
अंश तथा हर को 40 से गुणा करने पर,
P(F₁ / A) = \(\frac{1}{1+6+8}\) = \(\frac{1}{15}\)

(ii) P(\(\frac{F_2}{A}\)) = \(\frac{P(F_2) \cdot P(A / F_2)}{P(F_1) \cdot P(A / F_1)+P(F_2) \cdot P(A / F_2)}\)
+ P(F₃) P(A / F₃)
= \(\frac{\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}}\)
= \(\frac{\frac{6}{40}}{\frac{1}{40}+\frac{6}{40}+\frac{8}{40}}\)
= \(\frac{6}{1+6+8}\) = \(\frac{6}{15}\) = \(\frac{2}{5}\)

(iii) P(F₃ / A)
= \(\frac{P(F_3) \cdot P(A / F_3)}{P(F_1) \cdot P(A / F_1)+P(F_2) \cdot P(A / F_2)}\)
+ P(F₃) P(A / F₃)
= \(\frac{\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}}{\frac{1}{4} \times \frac{1}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{6}{10}+\frac{1}{4} \times \frac{8}{10}}\)
= \(\frac{\frac{8}{40}}{\frac{1}{40}+\frac{6}{40}+\frac{8}{40}}\)
= \(\frac{8}{1+6+8}\) = \(\frac{8}{15}\)
इस प्रकार एक लाल गेंद उछासने पर प्रायिकता
बॉक्स A चुनने पर = \(\frac{1}{15}\)
बॉक्स B चुनने पर = \(\frac{2}{5}\)
बॉक्स C चुनने पर = \(\frac{8}{15}\)

प्रश्न 13.
मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान और योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देती है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपर्युक्त विकल्पों से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यदृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना घटनाएँ,
E₁ = ध्यान और योग विधि का इलाज
E₂ = दवा द्वारा इलाज
A = दिल के दौरे से रोगी
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\), P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
माना P(A) = 40 % = \(\frac{40}{100}\) = 0.40
ध्यान व योग से दिल का दौरा पड़ने का खतरा 30 % कम हो जाता है।
⇒ ध्यान व योग करने पर दिल का दौरा पड़ने का खतरा 70 %
∴ P(A / E₁) = 0.40 × 0.70 = 0.28
दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने का खतरा 25 % कम हो जाता है।
⇒ दवा न लेने पर दिल का दौरा पड़ने का खतरा 75 % है।
∴ P(A / E₂) = 0.40 × 0.75 = 0.30
इस प्रकार, P(E₁) = \(\frac{1}{2}\), P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
∴ P(E₁/ A) P(A / E₁) = 0.28, P(A / E₂) = 0.30
= \(\frac{P\left(E_1\right) \cdot P\left(A / E_1\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(A / E_1\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(A / E_2\right)}\)
= \(\frac{\frac{1}{2} \times 0.28}{\frac{1}{2} \times 0.28+\frac{1}{2} \times 0.30}\)
= \(\frac{0 \cdot 28}{0 \cdot 28+0 \cdot 30}\) = \(\frac{0 \cdot 28}{0.58}\) = \(\frac{28}{58}\) = \(\frac{14}{29}\)

प्रश्न 14.
यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हों तो सारणिक का धनात्मक मान होने की प्रायिकता क्या है ? (मान लीजिए कि सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतन्त्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है।)
हल:
यहाँ 2 कोटि के सारणिक के चार अवयव हैं।
∴ सारणिकों द्वारा बनाई गई संख्या = 24 = 16
सारणिक का मान धनात्मक है।
अतः
सारणिक का धनात्मक मान होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{16}\)

प्रश्न 15.
एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात हैं:
P(A के असफल होने की) = 0.2
P(B के अकेले असफल होने की) = 0.15
P(A और B के असफल होने की) = 0.15
तो निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
(i) P(A असफल / B असफल हो चुकी हो)
(ii) P(A के अकेले असफल होने की)।
हल:
% असफल A और B की घटनाएँ क्रमशः \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) हैं।
∴ P(\(\bar{A}\)) = 0.2
और P( असफल A और B) = 0.15
⇒ P(\(\bar{A}\) ∩ \(\bar{B}\)) = 0.15
P(अकेले \(\bar{B}\)) = P(\(\bar{B}\)) – P(\(\bar{A}\) ∩ \(\bar{B}\))
=0.15
अब
0.15 = P(\(\bar{B}\)) – 0.15
∴ P(\(\bar{B}\)) = 0.30
\(\frac{\bar{A}}{\bar{B}}\) = \(\frac{P(\bar{A} \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}\)
= \(\frac{0.15}{0.30}\) = \(\frac{15}{30}\) = \(\frac{1}{2}\) = 0.5

(ii) P (अकेला A असफल)
= P(अकेला \(\bar{A}\))
= P(\(\bar{A}\)) – P(\(\bar{A}\) ∩ \(\bar{B}\))
= 0.20 – 0.15 = 0.05

प्रश्न 16.
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं तथा थैला II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला I से थैला II में स्थानांतरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला II से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानांतरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं। थैला II में 4 लाल तथा 5 काली गेंदें हैं।
माना घटनाएँ,
E₁ = थैला I में से लाल गेंद निकाली गई
E₂ = थैला I में से काली गेंद निकाली गई
∴ P(E₁) = \(\frac{3}{7}\), P(E₂) = \(\frac{4}{7}\)
माना लाल गेंद निकालने की घटना A है।
∴ P(A / E₁) = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ P(E₂ / A)
= \(\frac{P\left(E_2\right) \cdot P\left(A / E_2\right)}{P\left(E_1\right) \cdot P\left(A / E_1\right)+P\left(E_2\right) \cdot P\left(A / E_2\right)}\)
= \(\frac{4}{\frac{4}{7} \times \frac{2}{5}} \frac{2}{5} \times \frac{1}{2}+\frac{4}{7} \times \frac{2}{5}\)
∴ P(E₂ / A) = \(\frac{\frac{8}{35}}{\frac{15+16}{70}}\)
= \(\frac{8}{35}\) × \(\frac{70}{31}\) = \(\frac{16}{31}\)

निम्नलिखित प्रश्नों के सही उत्तर का चुनाव कीजिए:
प्रश्न 17.
यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0 और P(B / A) = 1, तब :
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ A
(C) B = Φ
(D) A = Φ
हल:
दिया है: P \(\frac{B}{A}\) = 1
⇒ \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) = 1
∴P(A ∩ B) = P(A)
जहाँ A ⊂ B, A∩B = A
∴ P(A ∩B) = P(A)
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 18.
यदि P(A / B) > P(A), तब निम्न में से कौन सही है:
(A) P(B / A) < P(B)
(B) P(A ∩ B) < P(A) P(B) (C) P(B / A) > P(B)
(D) P(B / A) = P(B)
हल:
दिया है :
P(A / B) > P(A)
⇒ \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) > P(A)
∴ P(A ∩ B) > P(A) P(B)
या \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) > P(B)
⇒ P(\(\frac{B}{A}\) > P(B)
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A) + P(B) – P(A और B) = P(A), तब:
(A) P(B / A) = 1
(B) P(A / B) = 1
(C) P(B / A) = 0
(D) P(A / B) = 0
हल:
दिया है:
P(A) + P(B) – P(A और B) = P(A)
या
P(A) + P(B) – P(A ∩B) = P(A)
⇒ P(B) – P(A ∩ B) = 0
⇒ P(A ∩ B) = P(B)
⇒ \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) = 1
∴ P(A / B) = 1
अतः विकल्प (B) सही है।