These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली
प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए ।
प्रश्न 1.
(3x² -9x + 5)9
हल :
माना y = (3x² -9x + 5)9
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = ·9(3x² – 9x + 5)8.\(\frac{dy}{dx}\) (3x² – 9x + 5)
= 9(3x² – 9x + 5)8. (6x – 9)
= 9(6x – 9) (3x² – 9x + 5)8 9 × 3(2x – 3) (3x² – 9x + 5)8
=27(2x – 3) (3x² – 9x + 5)8
∴ \(\frac{dy}{dx}\) {(3x² – 9x + 5)9}
= 27(2x – 3) (3x² – 9x + 5)8
प्रश्न 2.
sin3x + cos6 x
हल:
माना y = sin3x + cos6 x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = 3sin2 x. \(\frac{dy}{dx}\) (sin x)+ 6 cos5 x. \(\frac{dy}{dx}\) (cos x)
= 3 sin2 x cos x + 6 cos5 x (- sin x)
= 3 sin2 x cos x 6 cos5 x sin x
= 3 sin x cos x (sin x – 2 cos4 x)
\(\frac{dy}{dx}\) (sin3 x + cos6 x)
= 3 sin x cos x (sin x-2 cos4 x)
प्रश्न 3.
(5x)3 cos 2x
हल:
माना y = (5x)3 cos 2x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = 3 cos 2x log (5x)
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 4.
sin-1 (x\(\sqrt{x}\)), 0 ≤ x ≤ 1
हल:
माना y = sin-1 (x\(\sqrt{x}\))
⇒ sin-1 (x)3/2
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 5.
\(\frac{\cos ^{-1} \frac{x}{2}}{\sqrt{2 x+7}},-2<x<2\)
हल:
माना y = \(\frac{\cos ^{-1} \frac{x}{2}}{\sqrt{2 x+7}}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 6.
\(\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right], 0<x<\frac{\pi}{2}\)
हल:
माना y = \(\cot ^{-1}\left[\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right]\)
प्रश्न 7.
(log x)logx , x > 1
हल :
माना y = (log x)logx
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
logy = log x.{log (log x)}
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 8.
cos (a cos x+b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
हल:
माना y = cos (a cos x + b sin x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(=\frac{dy}{dx}\) – sin (a cos x + b sin x) × \(=\frac{dy}{dx}\) (a cos x + b sin x)
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) – sin (a cos x + b sin x) × {-a sin x + b cos x}
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = (a sin x – b cos x) × sin (a cos x + b sin x)
∴ \(\frac{dy}{dx}\) {cos (a cos x + b sin x)}
= (a sin x – b cos x) sin (a cos x + b sin x)
प्रश्न 9.
(sin x – cos x)sin x-cos x, \(\frac { π }{ 4 }\)< x < \(\frac { 3π }{ 4 }\)
y = (sin x – cos x)sin x-cos x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = (sin x cos x) log (sin x cos x)
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 10.
xx + xa + ax + aa किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
हल:
माना y = xx + xa + ax + aa
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 11.
\(x^{x^{2}-3}+(x-3)^{x^{2}}\) , x > 3 के लिए।
हल:
माना y = \(x^{x^{2}-3}+(x-3)^{x^{2}}\)
तथा u = \(x^{x^{2}-3},v(x-3)^{x^{2}}\)
y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) …………..(1)
अब u = xx² – 3 के दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log u = (x 2 – 3) log . x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
पुन: v m=(x – 3)x² के दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log v =x² log (x – 3)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 12.
यदि = 12(1 – cos t), x = 10(t – sin t), \(\frac { – π }{ 2 }\) < t < \(\frac { π }{ 2 }\) ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
y = 12 ( 1 – cost) तथा x = 10 (t- sin t) दोनों फलनों का 1 के सापेक्ष अवकलन करने पर
प्रश्न 13.
यदि y = sin– 1 x + sin– 1 \(\sqrt{1-x^2},-1 \leq x \leq 1\) है तो \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए ।
हल:
y = sin– 1 x + sin– 1 \(\sqrt{1-x^2}\)
sin– 1 x = θ रखने पर,
x = sin θ
प्रश्न 14.
यदि – 1 < x < 1 के लिए \(x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}\) = 0 तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(1+x)^2}\)
हल:
प्रश्नानुसार,
\(x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x}\) = 0
⇒ \(x \sqrt{1+y}=-y \sqrt{1+x}\) = 0
प्रश्न 15.
यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)² + (v – b)² = c² तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\left\{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right\}^{3 / 2}}{\frac{d^2 y}{d x^2}}\) a और 6 से स्वतन्त्र एक स्थिर राशि है।
हल:
प्रश्नानुसार,
(x – a )² + (y – b)² = c² …………..(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
समीकरण (3) तथा (4) से क्रमशः (y – b) तथा (x – a) के मान समीकरण (1) में रखने पर,
जो कि a तथा b से स्वतन्त्र एक स्थिर राशि है।
प्रश्न 16.
यदि cos y = x cos (a + y ) तथा cos a ≠ ± 1 तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{d y}{d x}=\frac{\cos ^2(a+y)}{\sin a}\)
हल:
प्रश्नानुसार,
cos y = x cos (a + y)
⇒ \(\frac{\cos y}{\cos (a+y)}\) = x
y के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 17.
यदि x = a (cost+t sint) तथा y = a(sin t – t cos t) तो \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) ज्ञात कीजिए। (CBSE 2012)
हल:
प्रश्नानुसार,
x = a(cost + t sin t)
तथा y = a(sin t – t cos t)
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 18.
यदि f(x) = | x |3, तो प्रमाणित कीजिए कि f ”(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
f(x) = x3
यदि x > 0, | x | = x तब f(x) = x3
∴ f(x) = x3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(=\frac{d}{dx}\) [f(x)] = \(=\frac{d}{dx}\) (x3 )
⇒ f ‘(x) = 3x²
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
f ”(x) = 6x
अतः f ”(x) का अस्तित्व है।
जब x < 0, | x | = – x
∴ f(x) = | x |3 = (− x3) = – x3
∴ f(x) = x3 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = – 3x²
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
f”(x) = – 6x ……………(1)
अतः f “(x) का अस्तित्व है।
(1) तथा (2) से,
f”(x) = 6| x | …………….(2)
जिससे प्रमाणित होता है कि f”(x) का अस्तित्व है।
प्रश्न 19.
गणितीय आगमन के सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए \(\frac { d }{ dx }\)(xⁿ) = \(n x^{n^{-1}}\)
हल:
\(\frac { d }{ dx }\)(xⁿ) = \(n x^{n^{-1}}\)
माना P(n): \(\frac{d}{d x}\left(x^n\right)=n x^{n-1}\)
n= 1 रखने पर,
P(1): \(\frac{d}{dx}\) (x1) = 1x1 – 1 = 1.x0 = 1.1 = 1
अतः दिया गया फलन n = 1 के लिए सत्य है अर्थात् P(1) सत्य
माना n = k के लिए कथन सत्य है, तब
P(k):\(\frac{d}{d x}\left(x^k\right)=k x^{k-1}\)
= 1x0 = 1.1 = 1
अब हम सिद्ध करेंगे कि कथन n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
P(k) +1): \(\frac{d}{d x}\left(x^{k+1}\right)=(k+1) x^k\)
बायाँ पक्ष (L.H.S.) = \(\frac{d}{d x}\left(x^{k+1}\right)=\frac{d}{d x}\left(x \cdot x^k\right)\)
= 1.xk + x.(kxk – 1)
(∴ \(\frac{d}{d x}\left(x^k\right)=k x^{k-1}\))
= xk +kxk
= xk (k + 1) = (k + 1)xk
= दायाँ पक्ष (R.H.S.)
∴ कथन, n = k + 1 के लिए भी सत्य है ।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त से कथन सभी धनात्मक पूर्णांक संख्याओं के लिए सत्य है ।
प्रश्न 20.
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए ।
हल:
प्रश्नानुसार,
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B …………..(1)
माना A तथा B दोनों के फलन हैं। तब (1) के दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac { d }{ dt }\) [sin (A + B)]
= \(\frac { d }{ dt }\) [sin A cos B + cos A sin B]
⇒ cos (A + B) = cos Acos B – sin Asin B
∴ cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
प्रश्न 21.
क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिन्दु पर सतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय न हो ? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए ।
हल:
हाँ, ऐसे फलन का अस्तित्व है जो प्रत्येक बिन्दु पर सतत है किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय न हो ।
जैसे – फलन f(x) = | x | + | x | x ∈ R सभी बिन्दुओं पर सतत है परन्तु x = 0 तथा x = 1 अवकलनीय नहीं हैं, क्योंकि | x |, x = 0 पर अवकलनीय नहीं है। इसी प्रकार x 1 x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।
अतः फलन दो बिन्दुओं x = 0, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है जबकि यह सभी बिन्दुओं पर सतत है (जहाँ x ∈ R) ।
इसी प्रकार फलन f(x) = | x – 2 | + | x – 3 |,x ∈ R, सभी बिन्दुओं पर सतत है परन्तु x = 2,x = 3 पर अवकलनीय नहीं है।
प्रश्न 22.
यदि y = \(\left|\begin{array}{ccc}
f(x) & g(x) & h(x) \\
l & m & n \\
a & b & c
\end{array}\right|\), तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
f^{\prime}(x) & g^{\prime}(x) & h^{\prime}(x) \\
l & m & n \\
a & b & c
\end{array}\right|\)
हल:
प्रश्नानुसार,
टिप्पणी: सारणिक का अवकलन ज्ञात करने के लिए सारणिक का प्रसरण करने के पश्चात् अवकलन किया जाता है।
प्रश्न 23.
यदि y = \(e^{a \cos ^{-1} x}\), – 1 ≤ x ≤ 1 तो दर्शाइए कि (1 – x²)\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-a^{2} y\) = 0
हल:
प्रश्नानुसार,
y = \(e^{a \cos ^{-1} x}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=e^{a \cos ^{-1} x} \frac{d}{d x}\left(a \cos ^{-1} x\right)\)
⇒ \(\frac{d y}{d x}=e^{a \cos ^{-1} x}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) a\)
