These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.4
प्रश्न 1.
अवकल का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान दशमलव के तीन स्थानों तक ज्ञात कीजिए
(i) √25.3
(ii) √49.5
(iii) √0.6
(iv) (0.009)1/3
(v) (0.999)1/10
(vi) (15)1/4
(vii) (26)1/3
(viii) (255)1/4
(ix) (82)1/4
(x) (401)1/2
(xi) (0.0037)1/2
(xii) (26.57)1/3
(xiii) (81.5)1/4
(xiv) (3.968)3/2
(xv) (32.15)1/5
हल:
(i) √25.3
माना
y = √x, x = 25, ∆x = 0.3
= ∆y (∵ ∆y = dy).
∴ √25.3 = y + ∆y = 5 + 0.03 = 5.03
(ii) √49.5
माना
y = √x, x = 49, ∆x = 0.5
y = √49 = 7
= ∆y
(∵ ∆y = dy)
∴ √49.5 = y + ∆y = 7 + 0.036 = 7.036
(iii) √0.6
माना
y = √x, x = 0.64, y = 0.8
∆x = 0.6 – 0.64 = – 0.04
= ∆y
∴ √06 = y + ∆y
= 0·8 + (- 0.025)
= 0.8 – 0.025 = 0.775
(iv) (0-009)1/3
माना
y = x/3 x = 0.008
∆x = 0·0090 – 0080 = 001
= ∆y
(∵ ∆y= dy)
∴ (0.009)1/3 = y + ∆y
= 0.2 + 0.008 = 0.208
(v) (0.999)1/10
माना
y = x1/10, x = 1, y = 1
∆x = 0.999 – 1 = – 0.001
= – 0.001 = ∆y
(0.999)1/0 = y + dy
(∵ ∆y = dy)
∴
(0.999)1/10 = y + dy
= 1 – 0.0001 = 0.9999
(vi) (15)1/4
माना
y = x1/4
x = 16, y(16)1/4 = 2
∆x = 15 – 16 = -1
= 0.03125 = ∆y
(∵ dy = ∆y)
∴ (15)1/4 = y + ∆y
= 2 + (- 0.03125)
= 2 – 0.03125 = 1.96875.
(vii) (26)1/3
हम जानते हैं,
(27)1/3 = 3
माना
y = x1/3, x = 27, y = 3, ∆x = -1
= – 0.037037
= ∆y
(∵ ∆y = dy)
∴(26)1/3= y + ∆y
= 3 + (- 0.037037)
= 3 – 0.037037
= 2.962963 = 2.963
(viii) (255)1/4
माना
y = x1/4, x = 256, y = 4
तथा
∆x = 255 – 256 = -1
⇒ dy = – 0.0039063
= -0.0039
∴ (255)1/4= y + ∆y = ∆y
( ∵ ∆y = dy)
= 4 + (-0.0039)
= 4 – 0.0039 = 3.9961
(ix) (82)1/4
माना
y = x1/4 , x = 81, y = 3
∆x = 82 – 81 = 1
⇒ dy = 0.0092593
= ∆y (∴ ∆y = dy)
∴ (82)1/2 = y + dy
= 3 + 0.0092593
= 3.0092593 = 3.009
(x) (401)1/2
माना
y = x1/2, x = 400, y = 20,
∆x = 401 – 400 = 1
अब
⇒ dy = 0.025 ∆y
∴(401) 1/2 = y + dy
= 20 + 0.025 = 20.025
(xi) (0.0037)1/2
माना
y = √x, x = 0·0036, y = 0.06
∆x = 0.0037 – 0.0036 = 0.0001
⇒ dy = 0.000833 (∴∆y = dy)
∴ √0.0037 = y + ∆y
= 0.060 + 000833
= 0.060833 = 0.0608
(xii) (26.57)1/3
माना
y = x1/3, x = 27, y = 3,
∆x = 26.57 – 27 = -0.43
= – 0.0159259
= ∆y (∆y = dy)
∴(26.57)1/3 = y + dy = 3 – 0.0159259
= 2.9840741 = 2.984
(xiii) (81.5)1/4
माना
y = x1/4 , x = 81, y =3
∆x = 81.5 – 81 = 0.5
= 0.0046296
(∵ ∆y = dy)
∴ (81.5)1/4 = y + ∆y = 3 + 0.0046296
(xiv) (3.968)3/2
माना
y = x3/2, x = 4
y = (4)3/2 = (22)3/2 = 23 = 8
∆x = 3.968 – 4 = 0.032
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{3}{2}\) x3/2-1 = \(\frac{3}{2}\) x3/2-1
⇒ dy = \(\frac{3}{2}\)(4)1/2 x (- 0.032)
⇒ dy = \(\frac{3}{2}\) x 2 x (-0.032)
∴ dy = 3 x (-0.032) = – 0.096
= ∆y
∴ (3.968)3/2 = y + ∆v
(∵ ∆y = dy)
= 8 + (-0.096)
= 8 – 0.096 = 7.904
(xv)
(32.15)1/5
माना
y = x1/5, x = 32, y = (32)1/5 = 2,
∆x = 32.15 – 32 = 0.15
= 0. 001875 = ∆y
(∆y = dy)
∴ (32.15)1/5 = y + ∆y = 2 + 0·001875
= 2·001875 = 2.002
प्रश्न 2.
f(2.01) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ
f(x) = 4x2 + 5x + 21
हल:
यदि f(x) = 4x2 + 5x + 2
f(2) = 4(2)2 + 5 × 2 + 2
= 4 x 4 + 10 + 2 = 28
∆x = 2.01 – 2 = 0.01
f'(x) = 8x + 5
df (x) = f'(x) × ∆x
= (8x + 5) × ∆x
= (8 x 2 + 5) × 0·01 = (16 + 5) × 0.01
= 21 x 0.01 = 0.21
∴ f(2.01) = f(2) + df(x)
=28 + 0.21 = 28.21
प्रश्न 3.
(5.001) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए जहाँ f(x) = x3 – 7x2 + 15 है।
हल:
यदि f(x) = x3 – 7x2 + 15
तब
f(5) = 53 – 7 × (5)2 + 15
= 125 – 7 x 25 + 15
= 125 – 175 + 15 = -35
∆x = 5-001 – 5 = 0.001
f’ (x) = 3x2 – 14x
df(x) = f’ (x) × ∆x
= (3x2 – 14x) ∆x
= (3 × 52 – 14 × 5 ) 0.001
df(x) = (75.70 ) x 0.001
= 5 × 0.001 = 0.005
∴ f(5.001) = (5) + df(x)
= -35 + 0.005 = – 34.995
प्रश्न 4.
xm (मीटर) भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना xm (मीटर) भुजा वाले घन का आयतन v है।
तब
V = x3
∴ \(\frac{d V}{d x}\) = 3x3
प्रश्नानुसार,
∆x = \(\frac{1}{100}\) × xm = 0.01x
आयतन में सन्निकट वृद्धि
dv = \(\frac{d V}{d x}\) × ∆x = 3x2 × 0.01x
dx = 0.03x3 m3
आयतन में प्रतिशत वृद्धि
= \(\frac{d V}{V}\) × 100 = \(\frac{0.03 x^3}{x^3}\) × 100 = 3%
∴ घन के आयतन में होने वाली सन्निकट प्रतिशत वृद्धि = 3%
प्रश्न 5.
xm (मीटर) भुजा वाले घन की भुजा में 1% ह्रास के कारण घन के पृष्ठ क्षेत्रफल में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना घन के पृष्ठ का क्षेत्रफल S है
S = 6x2
\(\frac{d S}{d x}\)
तब
घन की भुजा में स= x का 1% = \(\frac{1}{100}\) × x = 0.01x
पृष्ठीय क्षेत्र में परिवर्तन = ds = \(\frac{d S}{d x}\) × ∆x
= 12x × (0.01x)
= 0.012x2 m2
∴ पृष्ठीय क्षेत्र में % परिवर्तन = \(\frac{d S}{S}\) × 100
\(\frac{0 \cdot 12 x^2}{6 x^2}\) × 100 = 2%
अतः पृष्ठीय क्षेत्र में प्रतिशत ह्रास = 2%
प्रश्न 6.
एक गोले की त्रिज्या 7m मापी जाती है जिसमें 0-02m की त्रुटि है। इसके आयतन क परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
गोले की त्रिज्या r = 7 m
∆r = त्रिज्या के मापन में त्रुटि = 0.02m
अब गोले का आयतन v = \(\frac{4}{3}\) πr3
∴ \(\frac{d V}{d r}\) = \(\frac{4}{3}\) × 3πr2 = 4πr2
∴ गोले के आयतन की गणना करने में त्रुटि
dV = \(\frac{d V}{d r}\) × (∆r) = 4πr2 × ∆r
dV = 4π × 49 x 0.02
= 3-92πm3
प्रश्न 7.
एक गोले की त्रिज्या 9m मापी जाती है जिसमें 0-03m की त्रुटि है। इसके पृष्ठ के क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए।
हल:
गोले की त्रिज्या r = 9m
त्रिज्या में त्रुटि = 0.03m = ∆r
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
S = 4πr2
=> \(\frac{d S}{d r}\)
= 4π × 2r = 8πr
पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करने में त्रुटि
dS = \(\frac{d S}{d r}\) x ∆r = 8πr x ∆r
ds = 8π × 9 x 0.03
∴ ds = 2.16πm2
प्रश्न 8.
यदि f(x) = 3x2 + 15x + 5 हो, तो f(3.02) का सन्निकट मान है:
(A) 47-66
(C) 67-66
हल:
f(x) = 3x2 + 15x + 5
x = 3
तथा
∆r = 3.02 – 3 = 0.02
=> f’ (x) = 6x + 15
f(3) = 3 × 32 + 15 × 3 + 5
= 3 × 9 + 45 + 5
= 27 + 45 + 577
df(x) = f (x).∆x
x = 3
= (6x + 15) × (0.02)
= (6 × 3 + 15) x 0.02
= (18 + 15) × 0.02 = 33 × 0.02 = 0.66
f(3.02) = f(3) + df(x)
= 77 + 0.66 = 77.66
अत: विकल्प (D) सही है।
प्रश्न 9.
भुजा में 3% वृद्धि के कारण भुजा x के घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन है:
(A) 0.06x3 m3
(B) 0.6x3 m3
(C) 0.09x3 m3
(D) 0.9x3 m3
हल:
घन का आयतन V = x3
भुजा में वृद्धि = x का 3%
∴ ∆x = \(\frac{3}{100}\) × x = 0.03x
∵ \(\frac{d V}{d x}\) = 3x2
आयतन में वृद्धि
dV = 3x2 x 0.03x
dv = 0.09x3 m3
अत: विकल्प (C) सही है।