NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.5

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित दिए गए कथनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों तो ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) – (2x – 1)² + 3
(ii) f(x) = 9x² + 12x + 2
(iii) f(x) = (x – 1)² + 10
(iv) g(x) = x³ +1
हल:
(i) f(x) = (2x – 1)² + 3
∵ (2x – 1)² > 0 = f (x) का कोई उच्चतम मान नहीं है।
परन्तु (2x – 1)² का निम्नतम मान 0 है
∴ 2x – 1 = 0 ⇒ x = \(\frac{1}{2}\) तब फलन का न्यूनतम मान 3 होगा।
(∴ f (\(\frac{1}{2}\)) = 3)

(ii) f(x) = 9x² + 12x + 2
⇒ f(x) = (3x)² + 2 x 3x × 2 + 4 – 4 + 2
⇒ f(x) – (3x + 2)² – 2
पुन (3x + 2)² > 0, अतः फलन का कोई उच्चतम मान नहीं है।
अब (3x + 2)² का न्यूनतम मान 0 है।
∴ 3x + 2 = 0 ⇒ x = \(-\frac{2}{3}\) पर फलन का निम्नतम मान -2 है।
(∵ f(\(-\frac{2}{3}\)) = – 2)

(iii) f(x) = – (x – 1)² + 10
– (x – 1)²< 0, अतः फलन का कोई निम्नतम मान नहीं है।
(x – 1)² का अधिकतम मान 0 है।
∴ (x – 1)² = 0 ⇒ x = 1
1 तब फलन का उच्चतम मान 10 है।
(∵ f(1) = 0 + 10 = 10)

(iv) g(x) = x³ + 1
g(x) = x³ + 1, x ∈R
जैसे-जैसे x का मान बढ़ेगा, g(x) का मान भी बढ़ेगा तथा 8(x) का मान जितना बड़ा बढ़ाना चाहें तो x का मान भी बढ़ाना पड़ेगा। अत: g (x) का कोई उच्चतम मान नहीं है। इसी प्रकार जैसे-जैसे x का मान कम होता जाएगा, g (x) का मान भी कम होता जाएगा। ऐसी दशा में g(x) का कोई न्यूनतम मान नहीं होगा।

वैकल्पिक विधि:
g(x) = x³ + 1
⇒ g(x) = 3x², x ∈ R
( x² >0, x ∈ R)
g(x) > 0 अत: फलन वर्धमान है।
अतः इसका कोई उच्चतम या न्यूनतम मान नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हों, तो ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = |x + 2| – 1
(ii) g(x)= -|x + 1| + 3
(iii) h(x) = sin (2x) + 5
(iv) f (x) = |sin 4x +3|
(v) h(x)= x + 1, x ∈ (−1, 1)
हल:
(i) f (x) = |x + 2|– 1
|x + 2 | > 0 अत: f (x) का कोई उच्चतम मान नहीं है।
पुन: |x + 2 | का निम्नतम मान 0 है।
|x + 2] = 0 ⇒ x = -2 तब f (x) का निम्नतम मान है।

(ii) g (x) = |x + 1| + 3
– x + 1 < 0, अत: फलन का कोई निम्नतम मान नहीं है।
पुन: |x + 1| का उच्चतम मान 0 है।
∴ -|x + 1 | 0 ⇒ x = 1
तब g (x) का उच्चतम मान 3 है।
[∵ g(-1) = -|-1 + 1] + 3 = 3]

(iii) h (x) = sin 2x + 5
sin (2x) का अधिकतम मान है।
अत: h (x) का अधिकतम मान 1 + 5 = 6
पुनः sin (2x) का निम्नतम मान 0 है।
अत: h (x) का निम्नतम मान -1 + 5 = 4 है।

(iv) f(x)= |sin 4x + 3|
sin 4x का अधिकतम मान 1 है।
∴ f(x) का अधिकतम मान |1 + 3| = 4 है।
पुनः sin 4x का निम्नतम मान 1 है।
∴ f (x) का निम्नतम मान |-1 + 3| = |2| = 2 है।

(v) h(x) = x + 1, x ∈ (-1, 1)
∵ x ∈ (-1, 1), अतः – 1 < x < 1 तब h(x) > 0 अर्थात् जैसे-जैसे x का मान बढ़ता जाएगा h(x) का मान भी बढ़ता जाएगा।
पुन: h(x) < 0 अर्थात् जैसे-जैसे x का मान घटता जाएगा (x) का मान भी घटता जाएगा।
∴ h(x) वर्धमान है।
अतः इसका कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।
टिप्पणी :
x = – \(-\frac{1}{2}\) के लिए, h(x) = –\(-\frac{1}{2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\)
x= 0 के लिए, h(x) = 0 + 1 = 1
x = \(\frac{1}{2}\) के लिए,
h(x) = \(-\frac{1}{2}\) + 1 = \(\frac{3}{2}\), इत्यादि

स्पष्टतः जैसे-जैसे x का मान बढ़ रहा है (x) का मान भी बढ़ रहा है। अतः फलन का अधिकतम मान नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हों तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान, जैसी स्थिति हो, तो ज्ञात कीजिए-
(i) f(x) = x²
(ii) g(x) = x³ – 3x
(iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x < \(-\frac{π}{2}\)
(iv) f(x) – sinx – cos x, 0 < x < 2x
(v) f(x) = x³ + – 6x² + 9x + 15
(vi) g(x) = \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{2}{x}\) , x > 0
(vii) g(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\)
(viii) f(x) = x\(\sqrt{1-x}\), x > 0
हल:
(i) f (x) = x²
=> f(x) = 2x
स्थानीय निम्नतम या उच्चतम मान के लिए, f(x) = 0
f'(x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
x = – 0.1 के लिए (0 के बायीं ओर),
fx = 2 (-0.1 ) = 0.2 < 0
f(x) = 2 (-0.1 ) – 0.2 < 0

x = 0.1 के लिए (0 की दायीं ओर), f(x) = 2 (0.1 ) – 0.2 > 0
∵ f (x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है।
अत: x = 0 स्थानीय निम्नतम बिन्दु है
तथा f का स्थानीय निम्नतम मान 0 है।

(ii) g(x) = x³ – 3x
= g(x) = 3x² – 3
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम के लिए g(x) = 0
g(x) = 0
=> 3(x² – 1) = 0
= 3x² – 3 = 0
=> x² – 1 = 0
=> x² = 1
अतः
x = -1,1

(a) x = -1 के लिए,
x = -1.1 लेने पर (-1 की बायीं ओर)
g'(x) = 3(-1.1)² – 3 = 3 × 1.21 – 3
= 3.63 – 3 = 0.63 > 0
x = – 0.9 लेने पर (-1 की दायीं ओर),
g’ (x) = 3(-0.9)² – 3
= 3 × 0.81 – 3
= 2.43 – 3 = -0.57 < 0
g’ (x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।
∴ x = -1 स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x = -1 पर फलन का उच्चतम मान
=(-1)³ – 3(-1) = -1 + 3 = 2

(b) x = 1 के लिए,
अब x = 0.9 लेने पर (1 की बायीं ओर),
g'(x) = 3(0.9)² – 3
= 3 × 0.81 – 3
= 2.43 – 3 = -0.57 < 0
x = 1.1 लेने पर (1 की दायीं ओर),
g’ (x) = 3(1.1)² – 3
= 3 × 1.21 – 3
= 3.63 – 3 = 0.63 > 0

x = 1 पर g’ (x) चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है।
अतः x = 1 स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
x = 1 फलन का स्थानीय निम्नतम मान
= (1) – 3 × 1 = 1 – 3 = -2.

(iii) h(x) = sin x + cosx, 0 < x < π/2 हल: h(x) = sinx + cos x => h'(x) = cosx – sinx
स्थानीय उच्चतम तथा निम्नतम के लिए 1 (x) – 0
∴ h'(x) = 0
=> cos x – sinx = 0
=> cos x = sin x => tan x = 1 => tanx = tanπ/4

⇒ x = 0 \(< \pi / 4\) < \(\pi / 2\), \(\pi / 4\) \(\pi / 4\) ∈ (0, \(\pi / 2\))
x = \(< \pi / 4\) के लिए.
अब x = \(< \pi / 6\) लेने पर (4 के बायीं ओर),
h'(x) = cos \(< \pi / 6\) – sin\(< \pi / 3\)
= \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\) < 0
∴ h (x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।
∴ x = \(< \pi / 4\) स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x = \(< \pi / 4\) पर फलन का स्थानीय उच्चतम मान,
f(\(< \pi / 4\)) = sin\(< \pi / 4\) + cos\(< \pi / 4\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) =√2.

(iv) f(x) = sin x – cos x, 0 < x < 2π f(x) = sin x – cos x ⇒ f'(x) = cos x – (-sin x) = cos x + sin x स्थानीय उच्चतम या निम्नतम के लिए, f(x) = 0 f(x) = 0 ⇒ cos x + sin x =0 ⇒cos x = – sin x ⇒ tan x = -1 ⇒ x = \(\frac{3 \pi}{4}\), \(\frac{7 \pi}{4}\) (a) x = \(\frac{3 \pi}{4}\) x = \(\frac{2 \pi}{3}\) लेने पर ( \(\frac{3 \pi}{4}\) के बायीं ओर),
f(x) = cos\(\frac{2 \pi}{3}\) + sin \(\frac{2 \pi}{3}\) = cos(π – \(\frac{\pi}{3}\)) + sin (π – \(\frac{\pi}{3}\)) = – cos\(\frac{\pi}{3}\) + sin\(\frac{\pi}{3}\)
= – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\) > 0
(∴ √3 > 1)
x = \(\frac{5\pi}{6}\) लेने पर ( \(\frac{3 \pi}{4}\) के बायीं ओर),
f’x = cos\(\frac{5 \pi}{6}\) + sin\(\frac{5 \pi}{6}\)
= cos (π – \(\frac{\pi}{6}\)) + sin(π – \(\frac{\pi}{6}\))
= -cos\(\frac{\pi}{6}\) + sin\(\frac{\pi}{6}\)
= – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)
= \(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\) < 0
(∴1 < √3) ∴ f (x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।
अत: x = \(\frac{3 \pi}{4}\) फलन का स्थानीय उच्चतम बिन्दु है। x = \(\frac{3 \pi}{4}\) पर फलन का स्थानीय उच्चतम मान, f(x) = sin\(\frac{3 \pi}{4}\) – cos\(\frac{3 \pi}{4}\) = sin(π – \(\frac{\pi}{4}\)) – cos(π – \(\frac{\pi}{4}\)) = sin\(\frac{\pi}{4}\) + cos\(\frac{\pi}{4}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = √ 2 (b) x = \(\frac{7 \pi}{4}\) के लिए, x = \(\frac{5 \pi}{3}\) लेने पर (\(\frac{7 \pi}{4}\) की बायीं ओर,
f'(x) = cos\(\frac{5 \pi}{3}\) + sin\(\frac{5 \pi}{3}\) = cos(2π + \(\frac{\pi}{3}\) ) + sin(2π – \(\frac{\pi}{3}\)) = cos\(\frac{\pi}{3}\) – sin\(\frac{\pi}{3}\)
= \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = \(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\) पुन:
x = \(\frac{11 \pi}{6}\) लेने पर, (\(\frac{7\pi}{6}\) की बायीं ओर)
f'(x) = cos \(\frac{11 \pi}{6}\) + sin \(\frac{11 \pi}{6}\) = cos(2π – \(\frac{\pi}{6}\)) + sin(2π – \(\frac{\pi}{6}\)) = cos\(\frac{\pi}{6}\) – sin\(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\) > 0
f (x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है, अतः
x = \(\frac{7 \pi}{4}\) फलन का स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
x = \(\frac{7 \pi}{4}\) पर फलन का स्थानीय निम्नतम मान
f(x) = sin\(\frac{7 \pi}{4}\) – cos\(\frac{7 \pi}{4}\)
= sin(2π – \(\frac{\pi}{4}\)) – cos(2π – \(\frac{\pi}{4}\))
= – sin\(\frac{\pi}{4}\) – cos\(\frac{\pi}{4}\)
= –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{-2}{\sqrt{2}}\) = √ 2

(v) f(x) = x³ – 6x² – 9x + 15
f'(x) = 3x² – 12x + 9
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम मान के लिए, f(x) = 0
f'(x) =0
⇒ 3x² – 12x + 9 = 0
⇒ 3(x² – 4x + 3) = 0
⇒ 3(x – 3) (x – 1) = 0
⇒ x – 1 = 0 x – 3 = 0
(a) x = 1 के लिए,
x = 0.9 लेने पर (1 के बायीं ओर),

f(x) = 3(0.9)² – 12(0.9) + 9
= 3 × 0.81 – 10.8 + 9
= 2.43 – 10.8 + 9 = 0.63 > 0
x = 1.1 लेने पर (1 की दायीं ओर),
f(x) = 3(1.1)² – 12(1.1) + 9
= 3 × 1.21 – 13.2 + 9
= 3.63 – 13.2 + 9
= 2.63 – 13.2 = -0.57 < 0
f(x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है। अत: x = 1 फलन का स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
अतः x = 1 पर फलन का स्थानीय उच्चतम मान
f (x) = 1³ – 6(1)² + 9 × 1 + 15

(b) x = 3 के लिए,
x = 2.9 लेने पर (3 की बायीं ओर),

f(x) = 3(2.9)² – 12(2.9) + 9
= 3 x 8.41 – 34.8 + 9
= 25.23 – 34.8 + 9
= 34.23 – 34.8 = -0.57 < 0
x = 3.1 लेने पर (3 की दायीं ओर),
f'(x) = 3(3.1)² – 12 (3.1) +9
= 3 × 9.61 – 37.2 + 9
= 28.83 – 37.2 + 9
= 37.83 – 37.2 = 0.63 > 0
f(x) का चि ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है।
x = 3 फलन का स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
x 3 पर फलन का स्थानीय निम्नतम मान
f(x) = 3³ – 6(3)² + 9 × 3 + 15
= 27 – 54 + 27 + 15 = 15.

(vi) g(x) = \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{2}{x}\), x > 0
g(x) = \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{2}{x}\) => \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{x^2}\)
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम के लिए g(x) = 0
g'(x) = 0 => \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{x^2}\) = 0
=> x² – 4 = 0
=> x² = 4
x = ±2
(लेकिन x = 2 )
x = 2 के लिए,
x = 1.9 लेने पर (2 की बायीं ओर),

g'(x) = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{(1.9)^2}\) = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{3.61}\)
= \(\frac{3.61-4}{7.22}\) = \(\frac{0.39}{7.22}\)
x = 2.1 लेने पर (2 की दार्थी ओर),
g'(x) = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{(2.1)^2}\) – \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{2}{4.41}\)
= \(\frac{4.41-4}{8.82}\) = \(-\frac{0.41}{8.82}\) > 0
g’ (x) का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है।
x = 2 फलन g का स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
x = 2 पर फलन g का स्थानीय निम्नतम मान
g(x) = \(\frac{2}{2}\) + \(\frac{2}{2}\) = 1 + 1 = 2.

(vii) g(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\)
g'(x) = \(-\frac{1}{\left(x^2+2\right)^2}\) × 2x
=> \(-\frac{2 x}{\left(x^2+2\right)^2}\)
स्थानीय उच्चतम या निम्नतम के लिए g(x) = 0
∴ g'(x) = 0
=>\(-\frac{1}{\left(x^2+2\right)^2}\)
– 2x = 0 ⇒ x = 0
x = 0 के लिए,
x = -0.1 लेने पर (0 की बायीं ओर)

g(x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।
अत: x = 0 फलन g का स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
x = 0 पर फलन g का स्थानीय उच्चतम मान
g(x) = \(\frac{1}{(0)^2+2}\) = \(\frac{1}{2}\)

f(x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है।
अत: x = \(\frac{2}{3}\) फलन का स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
X = \(\frac{2}{3}\) पर फलन का स्थानीय उच्चतम मान
f(x) = \(\frac{2}{3}\) \( \sqrt{1-\frac{2}{3}}\)
= \(\frac{2}{3}\) × \(\sqrt{\frac{3-2}{3}}\) = \(\frac{2}{3}\) \(\sqrt{\frac{1}{3}}\)
= \(\frac{2}{3 \sqrt{3}}\) = \(\frac{2 \times \sqrt{3}}{3 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}\) = \(\frac{2 \sqrt{3}}{9}\)

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है:
(i) f(x) = ex
(ii) g(x) = log x
(iii) (x) = x³ + x² + x + 1
हल:
(i) f (x) = e^x ⇒ f (x) = e^x > 0, x ∈ R
अत: f (x) का चिह्न x के किसी मान के लिए सदैव धनात्मक रहता है।
फलन का न तो कोई उच्चतम मान है और न ही निम्नतम है।

(ii) g(x) = log x, x > 0
g(x) = logx ⇒ g'(x) = \(\frac{1}{x}\) > 0, x ∈ R
(चूँकि g(x) = logx में x > 0 ही रहेगा, नहीं तो फलन परिभाषित नहीं होगा। )
g (x) का चिह्न परिवर्तित नहीं होता है।
क्योंकि जैसे-जैसे x का मान बढ़ेगा g(x) का मान घटेगा तथा जैसे-जैसे x का मान घटेगा g(x) का मान बढ़ेगा। दोनों परिस्थितियों में g (x) > 0 ही रहेगा।
अतः फलन का कोई न तो उच्चतम मान है और न ही न्यूनतम मान

(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
⇒ h(x) = 3x² + 2x + 1
उच्चतम तथा निम्नतम के लिए,
∴ h'(x) = 0
⇒ 3x² + 2x + 1 = 0

जो वास्तविक नहीं है।
∴ x ∈ R के लिए h(x) = 0
अतः फलन का न तो उच्चतम मान है और न ही निम्नतम।

प्रश्न 5.
प्रदत्त अन्तरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए:
(i) f(x) = x³, x ∈ [-2, 2]
(ii) f(x) = sin x + cos x, x ∈ [0, x]
(iii) f(x) = 4x – \(\frac{1}{2}\)x², x ∈ [-2, \(\frac{9}{2}\)]
(iv) f (x)=(x – 1)² +3, x ∈ |-3, 1|
हल:
(i) f(x) = x³, x ∈ [-2, 2]
f(x) = x³ ⇒ f'(x) = 3x²
∴ f'(x) = 0
⇒ 3x² ⇒ x = 0
f(-2) = (-2)³ = -8
f(0) = 0³ = 0
तथा f(2) = (2)³ – 8
अतः निरपेक्ष निम्नतम मान = 8
निरपेक्ष उच्चतम मान = 8

(ii) f(x) = sinx + cos x, x ∈ [0, π]
=> f'(x) = cos x – sin x
∴ f'(x)=0
=> cosx – sinx = 0
=> cos x = sin x
=> tan x = 1 – tan \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\)
तब f(0) = sin0 + cos0 = 0 + 1 = 1
f(\(\frac{\pi}{4}\)) = sin\(\frac{\pi}{4}\) + cos\(\frac{\pi}{4}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = \(\sqrt{2}\)
f(π) = sinπ + cosπ = 0 – 1 = -1
अतः फलन का निरपेक्ष उच्चतम मान = √2
तथा फलन का निरपेक्ष निम्नतम मान = -1

(iii) f(x) = 4x – \(\frac{1}{2}\)x² – x ∈ [-2, \(\frac{9}{2}\)]
f(x) = 4x – \(\frac{1}{2}\)x²
f(x) = 4 – \(\frac{1}{2}\) × 2x = 4 – x
∴ f'(x) = 0 ⇒ 4 – x = 0 ⇒ x = 4
x = -2 के लिए,
f(-2) = 4(-2) – \(\frac{1}{2}\) (-2)²
= -8 – \(\frac{1}{2}\) × 4 = -8 – 2 = -10
x = 4 के लिए, f(4) = 4 x 4 – \(\frac{1}{2}\)(4)²
= – 16 x \(\frac{1}{2}\) × 16 = 16 – 8 = -8
x = \(\frac{9}{2}\) के लिए,
f(\(\frac{9}{2}\)) = 4 × \(\frac{9}{2}\) – \(\frac{1}{2}\) \(\frac{9}{2}\)²
= 2 × 9 – \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{81}{4}\)
= 18 – \(\frac{81}{8}\) = \(\frac{144-81}{8}\) = \(\frac{63}{8}\)
अतः फलन का निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
तथा निरपेक्ष निम्नतम मान = -10

(iv) f(x) = (x – 1)² + 3, x € [-3, 1]
f(x) = (x – 1)² + 3
⇒ f(x) = 2(x – 1)
∴ f(x) = 0
⇒ 2(x – 1) = 0
⇒ x = 1
x = -3 के लिए,
f(-3) = (-3 – 1)² + 3
= (-4)² + 3 = 16 + 3 = 19
x = 1 के लिए, f(1) = (1 – 1)² + 3 = 0 + 3 = 3
अतः फलन का निरपेक्ष उच्चतम मान = 19
निरपेक्ष निम्नतम मान = 3

प्रश्न 6.
यदि लाभ फलन p(x) = 41 – 72x – 18x² से प्रदत्त है तो किसी कम्पनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
लाभ फलन p(x) = 41 – 72x – 18x²
X के सापेक्ष अवकलन करने पर, => p(x) = -72 – 36x ……………(1)
उच्चतम लाभ के लिए, p(x) = 0
∴ p'(x) = 0
=> -72 – 36x = 0
=> 36x = -72
=> x = -2
समी. (1) का पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर, p(x) = -36
x = – 2 के लिए, p(x) = – 36 < 0
अतः कम्पनी का लाभ उच्चतम है
x = -2 पर कम्पनी का उच्चतम लाभ
= 41 – 72(-2) – 18(-2)²
= 41 + 144 – 72
= 41 + 72 = 113 इकाई

प्रश्न 7.
अन्तराल 10, 3] पर 3×4 8x + 12×2 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = 3x⁴ – 8x³ + 12x² – 48x + 25, x ∈ [0, 31]
के सापेक्ष अवकलन करने पर
=> f(x) = 12x³ – 24x² + 24x – 48 = 0
‘उच्चतम तथा निम्नतम मान के लिए f(x) = 0
∴ f(x) = 0
=> 12x³ – 24x² + 24x – 48 = 0
=> 12(x³ – 2x² + 2x – 4) = 0
⇒ 12[x²(x – 2) + 2 (x- 2)] =0
⇒ 12(x² + 2)(x – 2) = 0
⇒ x² + 2 = 0 या x – 2 = 0
⇒ x² = -2x = 2
⇒ x² = – 2 या x = 2
⇒ x² = ±√-2 या x = 2
परन्तु x = ±√2 सम्भव नहीं है क्योंकि यह वास्तविक संख्या नहीं
अत: x = 2
x = 0 पर फलन का मान
f (0) = 3 × 0⁴ – 8 × 0³ + 12 x 0² – 480 + 25 = 25 –
x = 2 पर फलन का मान
f(2) = 3 × 2⁴ – 8 × 2³+ 12 × 2² – 48 × 2 + 25
= 48 – 64 + 48 – 96 + 25 = -39
x = 3 पर फलन का मान
f(3) = 3 × 34 – 8 × 33 + 12 × 32 – 48 × 3 + 25
= 243 – 216 + 108 – 144 + 25
= 376 – 360 = 16
अतः फलन का निरपेक्ष उच्चतम मान = 25 (x = 0 पर)
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 39 (x = 2 पर)

प्रश्न 8.
अन्तराल [0, 2π] के किन बिन्दुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है?
हल:
माना
f(x) = sin2x ⇒ f(x) = 2 cos 2x
∴ f(x) = 0
⇒ 2 cos 2x = 0
⇒ cos 2x = 0
⇒ cos 2x = cos \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 2x = \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3 \pi}{2}\), \(\frac{5 \pi}{2}\), \(\frac{7 \pi}{2}\)
⇒ x = 0, तो f(0) = sin 2 × 0 sin 0 = 0

x = 2π, f(2π) = sin 2(2π) = sin 4π = 0
अतः फलन का उच्चतम मान = 1
अत: अन्तराल [0, 2π] के बिन्दुओं \(\frac{\pi}{4}\) तथा पर फलन का मान \(\frac{5\pi}{4}\) उच्चतम है।

प्रश्न 9.
फलन sinx + cos x x ∈ [0, 2π] का निरपेक्ष उच्चतम मान क्या है?
हल:
f(x) = sinx + cosx, x ∈ [0, 2π]
⇒ f(x) = cos x – sin x
उच्चतम मान के लिए, f(x) = 0
अतः
f(x) = 0
⇒ cosx – sin x = 0
⇒ cos x = sin x
⇒ tan x = 1 = tan = \(\frac{\pi}{4}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{5\pi}{4}\)
x = 0 तो
f(0) = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1
x = \(\frac{\pi}{4}\) तो f(\(\frac{\pi}{4}\))
= sin \(\frac{\pi}{4}\) + cos \(\frac{\pi}{4}\)
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\) = √2
x = \(\frac{5\pi}{4}\) तो f(\(\frac{5\pi}{4}\)) = sin\(\frac{5\pi}{4}\) + cos\(\frac{5\pi}{4}\)
= sin (π + \(\frac{\pi}{4}\)) + cos (π + \(\frac{\pi}{4}\))
= – sin\(\frac{\pi}{4}\) – cos\(\frac{\pi}{4}\)
= \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{-2}{\sqrt{2}}\) = -√2
x = 2π, तो f(2π) = cos2π + sin2π = 1 + 0 = 1
अत: फलन का उच्चतम मान = √2

प्रश्न 10.
अन्तराल [1 3] में 2x³ – 24x + 107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए। इसी फलन का अन्तराल [-3, -1] में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
f(x) = 2x³ – 24x + 107
⇒ f(x) = 6x² – 24
f'(x) = 0
⇒ f(x) = 0 ⇒ 6x² – 24 = 0
⇒ 6x² = 24
⇒ x² = 4
⇒ x = ± 2
(∴ -2 ∈ [1,3])
∴ x = 2, क्योंकि 2 ∈ [1, 3]
अब x = 1 पर फलन का मान,
f(1) = 2 × 1³ – 24 × 1 + 107
= 2 – 24 + 107 = 109 – 24 = 85
x = 2 पर फलन का मान,
f(2) = 2 × 2³ – 24 × 2 + 107
= 16 – 48 + 107 = 123 – 48 = 75
x = 3 पर फलन का मान,
f(3) = 2 × 3³ – 24 × 3 + 107
= 54 – 72 + 107 = 161 – 72 – 89
अतः अन्तराल [1, 3] में x = 3 पर फलन का उच्चतम मान 89 है।
अब अन्तराल [-3, -1] के लिए,
f(x) = 2x³ – 24x + 107
=> f(x) = 6x² – 24
∴ f(x) = 0 => 6x² – 24 ⇒ x = 4
=> x = ± 2 ⇒ x = 2, x = -2
परन्तु 2 ∈ [-3 – 1], अत: x = – 2
अब x = – 3 के लिए,
f(-3) = 2(-3)³ – 24(-3) + 107
= 2 × (−27) + 72 + 107
= -54 + 72 + 107 = 179 – 54 = 125
x = – 2 के लिए,
ƒ(-2) = 2(-2)³ – 24(-2) + 107 = 2(-8) + 48 + 107
= -16 + 48 + 107 = 155 – 16 = 139
x = -1 के लिए,
f(-1) = 2(-1)³ – 24 (-1) + 107
= -2 + 24 + 107 = 131 – 2 = 129
अत: अन्तराल [-3, 1] में x = -2 पर फलन का उच्चतम मान 139.

प्रश्न 11.
यदि दिया है कि अन्तराल (0, 2) में x = 1 पर फलन x⁴ – 62x² + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है, तो का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = x⁴ – 62x² + ax + 9
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = 4x³ – 124x + a = 0 …………..(1)
∴ x = 1 पर फलन का मान उच्चतम है।
=> f'(1) = 0 => 4(1)³ – 124 × 1 + a = 0
=> 4 – 124 + a = 0
=> a = 124 – 4 = 120
∴ a = -120
समी. (1) काx के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर
f”(x) = 12x² – 124
x = 1 के लिए,
f”(x) = 12 × 1² – 124
= 12 – 124 = -112 < 0
अतः x = 1 पर a = 120 उच्चतम है जब

प्रश्न 12.
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = x + sin 2x
⇒ f(x) = 1 + 2 cos 2x
उच्चतम तथा निम्नतम के लिए, f(x) = 0
∴ f(x) = 0
⇒ 1 + 2cos 2x = 0
2 cos 2x = – 1
cos 2x = – \(\frac{1}{2}\)
⇒ 2x = \(\frac{2 \pi}{3}\), \(\frac{4 \pi}{3}\), \(\frac{8 \pi}{3}\), \(\frac{10 \pi}{3}\)
⇒ x = \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{2 \pi}{3}\), \(\frac{4 \pi}{3}\), \(\frac{5 \pi}{3}\)
अब x = 0 के लिए, f(0) = 0 + sin 0 = 0

x = 2π के लिए,
f(2π) = 2π + sin 2π = 2π
∴ f(x) का उच्चतम मान = 2π
f(x) का निम्नतम मान = 0

प्रश्न 13.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
हल:
माना संख्याएँ x तथा 24 – x x हैं तथा उनका गुणनफल P(x) है।
∴ P(x) = x(24 – x) = 24x – x²
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
P (x) = 24 – 2x ………….(1)
∴ P(x) उच्चतम होगा, यदि P(x) = 0
=> x = 12
समी. (1) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
P”(x) = -2
x = 12 के लिए, P (x) = – 2 < 0
अतः गुणनफल महत्तम है, जब x = 12
अतः अभीष्ट संख्याएँ 12, 12 हैं।

प्रश्न 14.
ऐसी दो धन संख्याएँ और ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 तथा xy” उच्चतम हो।
हल:
प्रश्नानुसार, x + y = 60 माना P(x)=xy = x (60 – x)³
P(x) = x (60 – x)³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
P(x) = 1. (60 – x)³ + x x 3 ( 60 – x)² (-1)
=> P (x) = (60 – x)³ – 3x (60 – x)² ……………(1)
P (x) उच्चतम होगा, यदि P (x) = 0
∴ P(x) = 0
=> (60 – x)² – 3x (60 – x)² = 0
=> (60 – x)² (60 – x – 3x) = 0
(60 – x)² (60 – 4x) = 0
=> x = 60 या 4x = 60 या x = 15
परन्तु
x = 60 ∴ x = 15
समी. (1) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
P*(x) = 3(60 – x)² ( 1 ) – 3 [(60 – x)² ( 1 ) + 2x(60 – x)(-1)]
=> P*(x) = -3(60 – x)² – 3 (60 – x )² + 6x (60 – x)
x = 15 के लिए,
P(15) = -3(60 – 15)² – 3 (60 – 15)² + 6 × 15 (60 – 15)
= -3(45)² – 3(45)² + 90 × 45
= -3 x 2025 – 3 x 2025 + 90 x 45
= -6075 – 6075 + 4050
P(15) = -12150 + 4050 = -8100 < 0
अत: P (x) महत्तम है जब x = 15
y = 60 – x
= 60 – 15
=45
अत: अभीष्ट संख्याएँ 15 तथा 45 हैं।

प्रश्न 15.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y⁵ उच्चतम हो।
हल:
प्रश्नानुसार x + y = 35
∴ y = 35 – x …………(1)
पुनः माना
P(x) = x²y⁵ = x² (35 – x)⁵ [समीकरण (1) से]
P(x) = x² (35 – x)⁵
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
P(x) = 2x(35 – x)⁵ + 5x² (35 – x)⁴(−1)
=> P(x) = 2x (35 – x)⁵ – 5x² (35 – x)
P(x) के उच्चतम होने के लिए, P/(x) = 0
∴ P(x) = 0
⇒ 2x (35 – x)⁵ – 5x² (35 – x)⁴ – 0
⇒ x(35 – x)⁴ {2 (35 – x) – 5x)} = 0
⇒ x (35 – x)⁴ (70 – 2x – 5x) = 0
⇒ x (35 – x)⁴ (70 – 7x) = 0
⇒ x = 0 या x = 35 या 7x = 70
=> x = 0, x = 35 या x = 10
परन्तु x = 0, x = 35
अतः x = 10
समी. (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
P” (x) = 2 (35 – x)⁵ + 10x (35 – x)⁴(- 1) – 10x (35 – x)⁴ – 20x² (35 – x)³ (−1)
P”(x) = 2 (35 – x)⁵ – 10x (35 – x)⁴ – 10x (35 – x)⁴ + 20x² (35 – x)³
x = 10 के लिए.
P(x) = 2(35 – 10)⁵ – 10 × 10 (35 – 10)⁴ -10 × 10 (35 – 10)⁴ + 20 × 10² (35 – 10)³
= 2 x 25⁵ – 100(25)⁴ – 100(25)⁴ + 2000 (25)³
= 25³ (2 × 25² – 100 × 25 – 100 × 25 + 2000)
= 25³ (1250 – 2500 – 2500 + 2000)
= 25³ (1250 – 5000 + 2000)
∴ P”(x) = 1750 x 25³ < 0
अत: P(x) उच्चतम है जब x = 10
∴ x = 10, तो y = 35 – 10 = 25 [ समी. (1) से]
अतः अभीष्ट संख्याएँ 10 तथा 25 हैं।

प्रश्न 16.
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
हल:
माना संख्याएँ तथा 16 – x हैं।
तथा
S(x) = x³ + (16 – x)³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
S'(x) = 3x² + 3 (16 – x)²(-1)
S’ (x) = 3x² – 3 (16 – x)² ………….(1)
S(x) निम्नतम होगा, यदि S'(x) = 0
∴ S'(x) = 0
=> 3x² – 3(16 – x)² = 0
=> x² – (16 – x)²
=> x² – ( 256 + x² – 32x) = 0
=> x² – 256 – x² + 32x = 0
=> 32x – 256 = 0
=> x = \(\frac{256}{32}\) = 8
समीकरण (1) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
=> S”(x) = 6x – 6(16 – x ) (- 1)
S”(x) = 6x + 6(16- x )
x = 8 के लिए.
S”(8) = 6 × 8 + 6 (16 – 8)
= 48 + 6 x 8 – 48 + 48 – 96 > 0
अत: S(x) निम्नतम होगा जब x = 8
दूसरी संख्या = 16 – 8 = 8
अतः अभीष्ट संख्याएँ 8 और 8 हैं।

प्रश्न 17.
18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना ABCD टिन का वर्गाकार टुकड़ा है जिसकी भुजा 18 cm है।
पुनः माना प्रत्येक कोने से सेमी भुजा का वर्ग टिन से काटकर निकाला गया है।
अतः टिन से बने सन्दूक की
लम्बाई (I) = (18- 2x ) सेमी
चौड़ाई (b) = (18 – 2x ) सेमी
तथा
ऊँचाई (h) = x सेमी
माना सन्दूक का आयतन v है।
तब
V = l x b x h
=> V = (18 – 2x) × (18 – 2x ) x x
=> V = x(18- 2x)²

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d x}\) = 1.(18 – 2x)² + x × 2 (18 – 2x) (-2 )
=> \(\frac{d V}{d x}\) = (18 – 2x)² – 4x(18 – 2x) …………(1)
V उच्चतम होगा, \(\frac{d V}{d x}\) = 0
\(\frac{d V}{d x}\) = 0
=> (18 – 2x)² – 4x(18 – 2x) = 0
⇒ (18 – 2x) (18 – 2x – 4x ) = 0
⇒ (18 – 2x) (18 – 6x) = 0
⇒ 18- 2x = 0 या 18 – 6x = 0
=> 18 = 2x या 18 = 6x
=> x – 9 या x = 3
परन्तु
x = 9, अतः x = 3
समी. (1) काx के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = – 2(18 – 2x) (-2) – 4[1 – (18 – 2x) + (-2)x]
= -4(18 – 2x) – 4(18 – 2x) + 8x
= -8 (18 – 2x) + 8x -144 + 16x + 8x
\(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = -144 + 24x
x = 3 के लिए,
\(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = -144 + 24 x 3
= -144 + 72 = -72 < 0
आयतन उच्चतम होगा जब x = 3
अतः काटे जाने वाले वर्ग की भुजा 3 सेमी होनी चाहिए, तब सन्दूक का आयतन उच्चतम होगा।

प्रश्न 18.
45cm x 24 cm की टिन का आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो।
हल:
माना ABCD आयताकार टिन की चादर है, तथा प्रत्येक कोने से काटे गए वर्ग की भुजा x cm है।

अतः सन्दूक की
लम्बाई (l) = 45 – x – x = (45 – 2x) cm
चौड़ाई (b) = 24 – x – x = (24 – 2x) cm
तथा ऊँचाई (h) = xcm
माना सन्दूक का आयतन है, तब
V = l x b x h
=> V = ( 45 – 2x ) (24 – 2x ) x x
=> V = 4x – 138x² + 1080x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d x}\) = 12x² – 276x + 1080 ………….(1)
V उच्चतम होगा, यदि \(\frac{d V}{d x}\) = 0
∴ \(\frac{d V}{d x}\) = 0
=> 12x² – 276x + 1080 = 0
⇒ 12 (x² – 23x + 90) = 0
⇒ x² – 23x + 90 = 0
⇒ x² (18+5x +90 – 0
⇒ x² – 18x – 5x + 90
⇒ x (x – 18) – 5 (x – 18) = 0
⇒ (x – 18) (x – 5) =
⇒ x – 180 या x – 5 = 0
⇒ x – 18 या x = 5
परन्तु x = 18 अतः
समी. (1) सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d x}\) = 24x – 276
x = 5 के लिए, \(\frac{d V}{d x}\) = 24 × 5 – 276
= 120 – 276 = -156 < 0
अतः x = 5 पर आयतन उच्चतम होगा।
अत: काटे जाने वाले वर्ग की भुजा 5 सेमी होनी चाहिए तब आयतन उच्चतम होगा।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अन्तर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
हल:
माना आयत ABCD वृत्त पर बना है जिसका केन्द्र 0 तथा त्रिज्या a है तथा आयत की लम्बाई तथा चौड़ाई क्रमश: x तथा हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

अत: समकोण त्रिभुज BCD से, x² + y² = (2a)² = 4a²
=> y² = 4a² – x²
=> y = √4a² – x²
माना आयत का क्षेत्रफल 4 है
∴ A = xy
y का मान रखने पर,
=> A = x \(\sqrt{4 a^2-x^2}\)
=> A² = x²(4a² – x²)
∴ A² = x²(4a² – x²)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2A \(\frac{d A}{d x}\) = 4a²(2x) – 4x³
=> A \(\frac{d A}{d x}\) = 4a²(x) – 2x³ ………….(1)
A उच्चतम होगा यदि, \(\frac{d A}{d x}\) = 0
∴ \(\frac{d A}{d x}\) = 0
=> 4a2x – 2x = 0
=> 2x(2a² – x²) = 0
=> 2a² – x² = 0 [∴ A = 0]
=> x² = 2a² [∴ x = 0]
∴ x = a √2
समी. (1) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,

∴ x = a√2 पर 4 का मान उच्चतम है।
इस स्थिति में,
y = \(\sqrt{4 a^2-2 a^2}\) = \(\sqrt{2 a^2}\)
y = a√2
∴ आयत की भुजाएँ x = y = a√2
अतः उच्चतम क्षेत्रफल पर आयत एक वर्ग है।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई, आधार के व्यास के बराबर होती है।
हल:

माना कि बेलन के पृष्ठ का क्षेत्रफल = S
त्रिज्या = r
तथा ऊँचाई = h
आयतन = V
अब बेलन के पृष्ठ का क्षेत्रफल
S = 2πr² + 2πrh
=> 2πrh = S – 2πr²
=> h = \(\frac{S-2 \pi r^2}{2 \pi r}\) ……….(1)
बेलन का आयतन V = πr²h = πr² \(\left(\frac{S-2 \pi r^2}{2 \pi r}\right)\)
=> v = (sr – 2πr³) ……..(2)
समीकरण (2) के दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d V}{d r}\) = \(\frac{1}{2}\)(sr – 6πr³) ………….(3)
महत्तम आयतन के लिए \(\frac{d V}{d r}\) = 0
=> s – 6πr² = 0
=> r² = \(\frac{s}{6 \pi}\)
=> r = \(\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}\)
समी. (3) का r के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
=> \(\frac{d^2 V}{d r^2}\) = \(\frac{1}{2}\) (0 – 12πr)
=> \(\frac{d^2 V}{d r^2}\) = -6πr
r = \(\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}\) के लिए,
\(\frac{d^2 V}{d r^2}\) = -6π × \(\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}\) < 0
अतः r = \(\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}\) के लिए आयतन महत्तम होगा।
समीकरण (1) में
r = \(\sqrt{\frac{S}{6 \pi}}\) या r² = \(\frac{s}{6 \pi}\)
या
S = 6πr² रखने पर,
h = \(\frac{6 \pi r^2-2 \pi r^2}{2 \pi r^2}\) = \(\frac{4 \pi r^2}{2 \pi r}\)
∴ बेलन की ऊँचाई (h) = 2r = (आधार का व्यास)
अतः जब बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होगी तो बेलन का आयतन महत्तम होगा।

प्रश्न 21.
100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बन्द बेलना कार (लम्बवृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेलनाकार डिब्बों की त्रिज्या तथा ऊँचाई क्रमशः r तथा h है।
आयतन
V = πr² h = 100
⇒ h = \(\frac{100}{\pi r^2}\) ………..(1)
माना बेलनाकार डिब्बों का पृष्ठ क्षेत्रफल S है, तब
S = 2πr² + 2πrh …………..(2)
समीकरण (1) से का मान (2) में रखने पर,
S = 2πr² + 2πr × \(\frac{100}{\pi r^2}\)
⇒ S = 2πr² + \(\frac{200}{r}\)
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d S}{d r}\) = 4πr – \(\frac{200}{r^2}\) ……(3)
न्यूनतम पृष्ठ के लिए, \(\frac{d S}{d r}\) = 0
\(\frac{d S}{d r}\) = 0 ⇒ 4πr – \(\frac{200}{r^2}\) = 0
⇒ 4πr³ = 200 = πr³ = 50
⇒ r³ = \(\frac{50}{\pi}\) ⇒ r = (\(\frac{50}{\pi}\))^1/3
समी. (3) का r के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 S}{d r^2}\) = 4π – \(\frac{200(-2)}{r^3}\) = 4π + \(\frac{400}{r^3}\)
⇒ \(\frac{d^2 S}{d r^2}\) = 4π + \(\frac{400}{r^3}\)
⇒ r³ = \(\frac{50}{\pi}\) के लिए,
\(\frac{d^2 S}{d r^2}\) = 4π + \(\frac{400}{\frac{50}{\pi}}\)
= 4π + \(\frac{400 \pi}{50}\)
= 4π + 8π = 12π > 0
r³ = \(\frac{50}{\pi}\) लिए बेलनाकार डिब्बों के पृष्ठ क्षेत्रफल न्यूनतम
समीकरण (1) तथा (4) से,
h = \(\frac{100}{\pi r^2}\) = \(\frac{100}{\pi\left\{\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1 / 3}\right\}^2}\)
= \(\frac{100}{\pi}\left(\frac{\pi}{50}\right)^{2 / 3}\)
= 2. \(\left(\frac{50}{\pi}\right)^{1 / 3}\)

प्रश्न 22.
एक 28 cm लम्बे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लम्बाइयाँ कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
हल:
माना तार के एक भाग की लम्बाई सेमी है तब दूसरे भाग की लम्बाई (28 – x) सेमी होगी।
माना x लम्बाई वाले तार से r त्रिज्या का एक वृत्त बनाया जाता है।
तब वृत्त की परिधि = 2πr = x
=> r = \(\frac{x}{2 \pi}\)
वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr² = π(\(\frac{x}{2 \pi}\))²
=> A₁ = π \(\frac{x^2}{4 \pi^2}\) = \(\frac{x^2}{4 \pi}\)
माना (28 – x) तार की लम्बाई से वर्ग बनाया जाता है तब वर्ग की
भुजा की लम्बाई = \(\left(\frac{28-x}{4}\right)\)
वर्ग का क्षेत्रफल, A₂ = \(\left(\frac{28-x}{4}\right)\)²
माना दोनों का सम्मिलित क्षेत्रफल A है।
∴ A = A₁ + A₂ = \(\frac{x^2}{4 \pi}\) + \(\left(\frac{28-x}{4}\right)^2\)
=> A = \(\frac{x^2}{4 \pi}\) + \(\left(\frac{28-x}{4}\right)^2\) + \(\frac{(28-x)^2}{16}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d x}\) = \(\frac{2 x}{4 \pi}\) + \(\frac{2(28-x)}{16}\) (-1)
\(\frac{d A}{d x}\) = \(\frac{x}{2 \pi}\) – \(\frac{(28-x)}{8}\) …………(2)
क्षेत्रफल न्यूनतम होने के लिए, \(\frac{d A}{d x}\) = 0
∴ \(\frac{d A}{d x}\) = 0
=> \(\frac{x}{2 \pi}\) – \(\frac{28-x}{8}\) = 0
=> \(\frac{x}{2 \pi}\) = \(\frac{28-x}{8}\)
=> 8x = 2π (28 – x) = 56π – 2πx
=> 8x + 2πx = 56π
=> 2x (4 + π) = 56π
=> x = \(\frac{56 \pi}{2(4+\pi)}\) = \(\frac{28 \pi}{(4+\pi)}\)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 A}{d x^2}\) = \(\frac{1}{2 \pi}\) – \(\frac{(-1)}{8}\) = \(\frac{1}{2 \pi}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{4+\pi}{8 \pi}\)
x = \(\frac{28 \pi}{(4+\pi)}\) के लिए, \(\frac{d^2 A}{d x^2}\) = \(\frac{4+\pi}{8}\) > 0
अतः सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम होगा।
∴ तार के एक भाग की लम्बाई x = \(\frac{28 \pi}{4+\pi}\)
तथा दूसरे भाग की लम्बाई = 28 – x = 28 – \(\frac{28 \pi}{4+\pi}\)
∴ दूसरे भाग की लम्बाई = \(\frac{112+28 \pi-28 \pi}{4+\pi}\)
= \(\frac{112}{4+\pi}\) सेमी
अत: जब दोनों टुकड़ों की लम्बाइयाँ \(\frac{28 \pi}{4+\pi}\) सेमी तथा \(\frac{112}{4+\pi}\) सेमी
होंगी तो सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम होगा।

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन का \(\frac{8}{27}\) होता है।
हल:
माना ABC शंकु है जो R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत बना है।

O गोले का केन्द्र है।
अतः OA = OB = OQ – R (गोले की त्रिज्या)
पुनः माना PQ = x ⇒ OP = (R – x)
तब AP = AO + OP
=> AP = R + R – x = 2R – x
अत: शंकु की ऊँचाई (h) = 2R – x
शंकु की त्रिज्या (r),

माना शंकु का आयतन है। तब
v = \(\frac{1}{3}\)πr2 h = \(\frac{1}{3}\)π \(\left(\sqrt{2 R x-x^2}\right)^2\) (2R – x)
=> v = \(\frac{1}{3}\)π (2Rx – x2)(2R – x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d x}\) = \(\frac{1}{3}\)π[(2R – x) + 2(R – x)(-1) -1(2R – x) – x(-1)]
=> \(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = \(\frac{1}{3}\)π[-2R + 2x – 2R + 2x – 2R + x – x]
=> \(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = \(\frac{1}{3}\)π (6x – 6R) = \(\frac{1}{3}\)π × 6(x – R)
∴ \(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = 2π(x – R)
x = \(\frac{2 R}{3}\) के लिए,
\(\frac{d^2 V}{d x^2}\) = 2π \(\left(\frac{2 R}{3}-R\right)\)
= 2π \(\left(-\frac{1}{3} R\right)\) = – \(\frac{2}{3}\)πR < 0
अत: शंकु का आयतन महत्तम होगा, जब
x = \(\frac{2}{3}\)
पुन: शंकु की ऊँचाई (h) = 2R – x = 2R – \(\frac{2 R}{3}\)
= \(\frac{6 R-2 R}{3}\) = \(\frac{4 R}{3}\)
शंकु की त्रिज्या (r) = \(\sqrt{2 R x-x^2}\)
= \(\sqrt{2 R \times \frac{2 R}{3}-\frac{4 R^2}{9}}\)
शंकु की त्रिज्या (r)
= \(\sqrt{\frac{4 R^2}{3}-\frac{4 R^2}{9}}\) = \(\sqrt{\frac{12 R^2-4 R^2}{9}}\) = \(\sqrt{\frac{8 R^2}{9}}\)
∴ शंकु का आयतन v = \(\frac{1}{3}\)πr2h
v = \(\frac{1}{3}\)π \(\left(\sqrt{\frac{8 R^2}{9}}\right)^2\) \(\frac{4 R}{3}\)
∴ v = \(\frac{1}{3}\)π \(\frac{8 R^2}{9}\) × \(\frac{4 R}{3}\) = \(\frac{8}{27}\) \(\left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)\)
शंकु का आयतन = गोले का आयतन।
(∴ गोले का आयतन = \(\frac{1}{3}\)π R3

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लम्बवृत्तीय शंकु की ऊंचाई, आधार की त्रिज्या की √2 गुनी होती है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या, ऊँचाई तथा आयतन क्रमश:r. h तथा v है।
तब
V = \(\frac{1}{3}\)π r²h (अचर है) …(1)
∴ h = \(\frac{3 V}{\pi r^2}\) (अचर राशि)
शंकु का वक्र पृष्ठ S = πr
वर्ग करने पर, s² = π²r²l²
=> s² = 2 π²r²(h² + r²)
(∴ l² = h² + r²)

r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2s \(\frac{d S}{d r}\) = – \(\frac{18 V^2}{r^3}\) + 4π²r³ ………..(2)
न्यूनतम पृष्ठ के लिए.
\(\frac{d S}{d r}\) = 0
∴ समीकरण (2) से,
\(\frac{d S}{d r}\) = 0
=> – \(\frac{18 V^2}{r^3}\) + 4π²r³ = 0
=> 4π²r³ = \(\frac{18 V^2}{r^3}\)
=> 4π²r³ = \(\frac{18}{r^3}\) \(\left(\frac{1}{3} \pi r^2 h\right)^2\) [समी. (1) से]
=> 4π²r³ = \(\frac{18}{r^3}\) × \(\frac{1}{9}\) × π²r⁴h²
=> h² = 2r²
=> h = r√2
समीकरण (2) का r के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,

अत: h = r√2 के लिए वक्र पृष्ठ न्यूनतम है।
∴ शंकु की ऊँचाई √2 x आधार की त्रिज्या

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊंचाई और महत्तम आयतन वा शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण tan-1 √2 होता है।
हल:
माना कि
शंकु की त्रिज्या = r
शंकु की ऊँचाई = h
शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l
शंकु का आयतन = V
शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण = α

समकोण ∆AOC में,
sin α = \(\frac{r}{l}\) ⇒ r = lsinα
cos α = \(\frac{h}{l}\) ⇒ h = lcosα
शंकु का आयतन v = \(\frac{1}{3}\)πr²h
⇒ v = \(\frac{1}{3}\)π(l sin α)²(lcosα)²
⇒ v = \(\frac{1}{3}\)π l³ sin²α cosα
(यहाँ l दिया हुआ है, अतः यह अचर है) α के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d \alpha}\) = \(\frac{1}{3}\)π l³[2sinα.cpsαcosα + sin²α(-sinα)]
⇒ \(\frac{d V}{d \alpha}\) = \(\frac{1}{3}\)(2sinαcos²α – sin³α) ………….(1)
महत्तम आयतन के लिए, \(\frac{d V}{d \alpha}\) =0
\(\frac{d V}{d \alpha}\) = 0
\(\frac{1}{3}\)πl³ (2sinαcos²α – sin³α) = 0
⇒ 2sinαcos²α – sin³α = 0
⇒ sinα(2cos²α – sin²α) = 0
⇒ sinα = 0 2cos²α – sin²α = 0
परन्तु sinα ≠ 0
अत: 2cos²α – sin²α = 0
⇒ 2 = \(\frac{\sin ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha}\) = tan²α
⇒ tan²α = 2 ⇒ tanα = √2
समीकरण (1) का α के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 V}{d \alpha^2}\) = \(\frac{1}{3}\)πl³{2cosα cos²α + 2sinα × 2 cosα(-sinα) – 3sin²αcosα}
⇒ \(\frac{d^2 V}{d \alpha^2}\) = \(\frac{1}{3}\)πl³ (2cos³α – 4sin²αcosα – 3sin²αcosα)
\(\frac{d^2 V}{d \alpha^2}\) = \(\frac{1}{3}\)πl³ (2cos³α – 7sin²αcosα) ………..(2)
tan α = √2 के लिए sinα = \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) cosα = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
sinα = \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) cosα = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) समीकरण (2) का करने पर,

अतः tan α = √2 के लिए आयतन महत्तम
अतः आयतन महत्तम होगा, जब शंकु का
अर्द्धशीर्ष कोण = tan^-1 √2 है।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लम्बवृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण sin-1 \(\left(\frac{1}{3}\right)\) होता है।
हल:
माना शंकु की तिर्यक् ऊँचाई = l
ऊँचाई = h
त्रिज्या = r
सम्पूर्ण पृष्ठ = s
आयतन = v
तथा
अर्द्धशीर्ष कोण = α

शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = πr² + πrl
s = πr² + πrl
l = \(\frac{S-\pi r^2}{\pi r}\) …….(1)
शंका आयतन
v = \(\frac{1}{3}\)πr²h
= \(\frac{1}{3}\)πr²[latex]\sqrt{l^2-r^2}[/latex],
[∴ l² = h² + r²]
= \(\frac{1}{3}\)πr² \(\sqrt{\left[\frac{S-\pi r^2}{\pi r}\right]^2-r^2}\)
= \(\frac{1}{3}\) \(\frac{\pi r^2}{\pi r}\) \( \sqrt{\left(S-\pi r^2\right)^2-\pi^2 r^4}\)
v = \(\frac{1}{3}\)r \(\sqrt{S^2-2 \pi S r^2}\)
v² = \(\frac{r^2}{9}\)[s² – 2πsr²]
स्पष्ट है कि दिये हुए s के लिए जब v उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ होगा तभी v² भी उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ होगा।
माना
v² = Z
∵ Z = \(\frac{r^2}{9}\)[s² – 2πsr²]
= \(\frac{1}{9}\)[r²s² – 2πsr⁴]
\(\frac{d Z}{d r}\) = \(\frac{1}{9}\)[s².2r – 2πsr⁴]
= \(\frac{1}{9}\)[2rs² – 8πsr³]
\(\frac{d^2 Z}{d r^2}\) = \(\frac{1}{9}\)[2s² – 24πsr²]
Z का मान उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ होगा, जब
\(\frac{d Z}{d r}\) = 0
\(\frac{1}{9}\)[S².2r- 8πSr³] = 0 को हल करने पर
\(\frac{1}{9}\)2rS[S – 4πr²] = 0
∴ S = 4πr²
⇒ r²
इस स्थिति में Z उच्चिष्ठ है।
समीकरण (1) में S = 4πr² रखने पर
l = 4πr²
∴ l = 3r
∴ \(\frac{l}{r}\) = \(\frac{3}{1}\)
∴ \(\frac{r}{l}\) = \(\frac{3}{1}\) = \(\frac{1}{3}\)
परन्तु यदि अर्द्धशीर्ष कोण है, तब
sin α = \(\frac{r}{l}\) = \(\frac{1}{3}\)
α = sin^-1 \(\frac{1}{3}\)
अत: जब शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण sin^-1 \(\frac{1}{3}\) है तो आयतन महत्तम है।

प्रश्न संख्या 27 से 29 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए-
प्रश्न 27.
वक्र x² = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु है:
(A) (2√2, 4)
(C) (0,0)
(B) (2√2,0)
(D) (2, 2).
हल:
माना बिन्दु P(x, y) वक्र x² = 2y है जो कि बिन्दु A (0, 5) से
न्यूनतम दूरी पर है।
PA = √ (x – 0 ) 2 + (y – 5 ) 2
तब
PA2 = (x – 0)² + (y – 5 )² = D (माना )
D = x² + (y – 5)² …(1)
वक्र
x² = 2y …(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
D = 2y+ (y – 5)²
⇒ D = 2y + y² – 10 y + 25
D = y² – 8y + 25
y के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d D}{d y}\) = 2y – 8
न्यूनतम D के लिए \(\frac{d D}{d y}\) = 0
∴ \(\frac{d D}{d y}\) = 0 2y – 8 = 0
⇒ y = 4
समीकरण (3) काy के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 D}{d y^2}\) = 2
y = 4 के लिए.
\(\frac{d^2 D}{d y^2}\) = 2 > 0
अर्थात् दूरी D न्यूनतम है।
समीकरण (2) में y = 4 रखने पर,
x² = 2 × 4 = 8 ⇒ x = 2√2
∴ अभीष्ट बिन्दु (2√2, 4) है।
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 28.
x के सभी वास्तविक मानों के लिए \(\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}\) का न्यूनतम मान है:
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) \(\frac{1}{3}\)
हल:
माना y = \(\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(-1+2 x)\left(1+x+x^2\right)-(1+2 x)\left(1-x+x^2\right)}{\left(1+x+x^2\right)^2}\)
न्यूनतम के लिए
\(\frac{d y}{d x}\) = 0
⇒ -1 – x – x² + 2x + 2x² + 2x³
⇒ -1 + x – x² – 2x + 2x² – 2x² = 0
⇒ 2x² – 2x = 1
x = 1 पर, f(1) = y((1)} = \(\frac{1-1+1}{1+1+1}\) = \(\frac{1}{3}\)
x = -1 पर,
f(1) = {y((1)} = \(\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1+(-1)+(-1)^2}\)
= \(\frac{1-1+1}{1+1+1}\) = \(\frac{1}{3}\)
f(1) = 3
फलन का न्यूनतम मान = \(\frac{1}{3}\)
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 29.
[x (x – 1) + 1]^1/3 , 0 ≤ x ≤ 1 का उच्चतम मान है
(A) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1 / 3}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) 1
(D) 0.
हल:
माना y = [x (x – 1 ) + 1]^1/3 – (x² – x + 1)^1/3
⇒ y = (x² – x + 1)^1/3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{3}\) (x² – x + 1)^1/3 – 1 × (2x – 1)
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = (x² – x + 1)^-2/3. (2x – 1)
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{(2 x-1)}{3\left(x^2-x+1\right)^{2 / 3}}\) …………(1)
उच्चतम मान के लिए, \(\frac{d y}{d x}\) = 0
\(\frac{d y}{d x}\) = 0 ⇒ \(\frac{(2 x-1)}{3\left(x^2-x+1\right)^{2 / 3}}\) = 0
⇒ 2x – 1 = 0
x = \(\frac{1}{2}\)
∵ x ∈ (0,1) अथवा 0 ≤ x ≤ 1
x = 0 के लिए
y = [0 (0 – 1) + 1]\(\frac{1}{3}\) – 1
x = \(\frac{1}{2}\) के लिए,
y = [\(\frac{1}{2}\)(\(\frac{1}{2}\) – 1) + 1)^1/3
= (-\(\frac{1}{4}\) + 1)^1/3 = \(\frac{3}{4}\)^1/3
अतः फलन का उच्चतम मान 1 है।
∴ विकल्प (C) सही है।