NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.2

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.2

प्रश्न 1 से 10 में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत समीकरण का हल है।
प्रश्न 1.
y = e^x + 1: y”- y = 0
हल:
दिया गया फलन
y = e^x + 1 ……(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x
या
y’ = e^x ……..(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y” = e^x
या
y” = y’
(समीकरण (2) से)
या
y” – y’ = 0
अतः दिया गया फलन y = e^x +1 अवकल समीकरण
y” – y = 0 का हल है।

प्रश्न 2.
y = x² + 2x + C y’ – 2x – 2 = 0
हल:
दिया गया फलन
y = x² + 2x + C …..(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
या
y” = 2x + 2
y’ – 2x – 2 = 0
अतः दिया गया फलन y = x² + 2x + C, अवकल समीकरण
y’ – 2x – 2 = 0 का हल है।

प्रश्न 3.
y = cos x + C y’ + sin x = 0
हल:
दिया हुआ फलन
y = cos x + C ……(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ = -sin x
या
y’ + sin x = 0
अतः फलन y = cos x + C, अवकल समीकरण y + sin x = 0 का हल है।

प्रश्न 4.
y = √1+ x² : y = \(\frac{x y}{1+x^2}\)
हल:
दिया गया फलन
y = √1+ x² …(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2} \frac{1 \times 2 x}{\sqrt{1+x^2}}\) = \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
या
y = \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) = \(\frac{x \times \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2} \sqrt{1+x^2}}\)
या
y = \(\frac{x y}{1+x^2}\)
[समीकरण (1) से]
अतः फलन y = √1 + x², अवकल समीकरण) y = \(\frac{x y}{1+x^2}\)

प्रश्न 5.
y = Ax : xy’ = y (x ≠ 0)
हल:
दिया हुआ फलन
y = Ax …(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ = A …(2)
समीकरण (2) कोx से गुणा करने पर,
xy = Ax = y
[समीकरण (1) से]
या
xy’ = y
अतः दिया गया फलन y = Ax, अवकल समीकरण xy = y का हल है।

प्रश्न 6.
y = x sin x : .xy’ = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\) (x + 0 और xy अथवा x <- y)।
हल:
दिया हुआ फलन
y = x sin x …(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ = 1 x sin x + x cos x
y’ = sin x + x cos x …(2)
या
समीकरण (2) को x से
गुणा करने पर,
xy’ = x sin x + x² cos x
xy’ = x sin x + x²\(\sqrt{1-\sin ^2 x}\)
xy’ = y + x²\(\sqrt{1-\frac{y^2}{x^2}}\) [समीकरण (1) से]
xy’ = y + x²\(\frac{\sqrt{x^2-y^2}}{x}\)
xy’ = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\)
∴ दिया गया फलन yx sin x, अवकल समीकरण
xy = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\) का हल है।

प्रश्न 7.
xy = log y + C y = \(\frac{y^2}{1-x y}\) (xy = 1)
हल:
दिया हुआ फलन
xy = log y + C ……(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
x \(\frac{d y}{d x}\) + y = \(\frac{1}{y}\) \(\frac{d y}{d x}\)
या
xy + y = \(\frac{1}{y}\) . y
या
xyy + y² = y
या
y² = y’- xyy
या
y² = y (1 – xy)
या
y = \(\frac{y^2}{1-x y}\)
अतः दिया गया फलन xy = logy + C अवकल समीकरण y = \(\frac{y^2}{1-x y}\) का हल है।

प्रश्न 8.
y – cos y = x (sin y + cos y + x)y = y
हल:
दिया गया फलन
y – cos y = x …………(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ + (sin y)y = 1
या
(1 + sin y)y’ = 1 …………..(2)
समीकरण (2) के दोनों पक्षों को से गुणा करने पर,
(y + y sin y)y’ = y ………..(3)
या
(y sin y + cos y + x)y’ = y
[समीकरण (1) से y = cos y + x, समीकरण (3) के बायें पक्ष में रखने पर]
अतः दिया गया फलन y – cosy = x, अवकल समीकरण
(y sin y + cos y + x)’का हल है।

प्रश्न 9.
x + y = tan^-1 y : yy² + y² + 1 = 0
हल:
दिया गया फलन
x + y = tan^-1 y …………..(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
1 + y = \(\frac{1}{1+y^2}\) y
या
(1 + y² ) + (1 + y² )y’ = y
या
1 + y² + y + y²y = y’
या
y²y + y² + 1 = 0
अतः दिया गया फलन x + y = tan^-1 y, अवकल समीकरण y²y + y² + 1 = 0 का हल है।

प्रश्न 10.
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\) x ∈ ( – a, a)
: x + y \(\frac{d y}{d x}\) = 0, (y = 0)
हल:
दिया गया फलन
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\) ……..(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{2 \sqrt{a^2-x^2}}\) (-2x)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\)
या
\(\sqrt{a^2-x^2}\) \(\frac{d y}{d x}\) = -x
या
= x + \(\sqrt{a^2-x^2}\) \(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
x + y \(\frac{d y}{d x}\) = 0
[समीकरण (1) से]
अतः दिया गया फलन y = (\(\sqrt{a^2-x^2}\)), अवकल समीकरण x + y = 0 का हल है।

प्रश्न 11 व 12 में सही विकल्प का चयन कीजिए।

प्रश्न 11.
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल:
चार कोटि वाले किसी भी अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या 4 होती है।
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 12.
तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है:
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
हल:
किसी भी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में कोई भी
स्वेच्छ अचर उपस्थित नहीं होता।
अत: विकल्प (D) सही है।