NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.4

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.4

प्रश्न 1 से 10 में प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\) = \(\frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 \cos ^2 \frac{x}{2}}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{\sin ^2 \frac{x}{2}}{\cos ^2 \frac{x}{2}}\) = \(\tan ^2 \frac{x}{2}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = sec²\(\frac{x}{2}\) – 1
या
dy = (sec²\(\frac{x}{2}\) – 1)dx …………(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫dy = ∫(sec²\(\frac{x}{2}\) – 1)dx
या
= ∫sec²\(\frac{x}{2}\) dx – ∫dx
या
y = 2tan\(\frac{x}{2}\) – x + C
समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

प्रश्न 2.
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\sqrt{4-y^2}\) (-2 < y < 2)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\sqrt{4-y^2}\)
या
\(\frac{d y}{\sqrt{4-y^2}}\) = dx …………(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{\sqrt{4-y^2}}\) = ∫dx
या
sin^-1\(\frac{y}{2}\) = x + C
या
\(\frac{y}{2}\) = sin (x + C)
या
y = 2 sin (x + C) …………(2)
समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण का व्यापक हल है।

प्रश्न 3.
\(\frac{d y}{d x}\) + y = 1 (y = 1)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + y = 1
या
\(\frac{d y}{d x}\) = 1 – y
या
\(\frac{d y}{1-y}\) = dx …………(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{1-y}\) = ∫dx
या – log|1 – y|= x + log C
या
x = -log C – log (1 – y)
या
– x = log C + log (1 – y)
या
-x = log C (1 – y)
या
(1 – y) C = e^-x
या
y = 1 – \(\frac{e^{-x}}{C}\)
या
y = 1 + Ae^-x
अतः दिए गए समीकरण का y = 1 + Ae^-x अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
sec² x tany dx + sec² y tan x dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
sec² x tany dx + sec² y tan x dy = 0
समीकरण को tan x tan y से भाग देने पर,
\(\frac{\sec ^2 x}{\tan x}\) dx + \(\frac{\sec ^2 y}{\tan y}\)dy = 0 …(1)
समीकरण (1) का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{\sec ^2 x}{\tan x}\) dx + ∫\(\frac{\sec ^2 y}{\tan y}\)dy = 0
या
log | tan x | + log | tany | = log C
या
log | tan x tan y | = log C
या
tan x tan y = C ….(2)
(x, y ∈ R तथा x, y, π/2 के विषम गुणांक नहीं हैं।)
समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
(e^x + e^-x) dy – (e^x – e^-x) dx = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
(e^x + e^-x) dy – (e^x – e^-x) dx = 0
या
dy – \(\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)\) dx = 0 ………..(1)
समीकरण (1) का समाकलन करने पर,
∫dy – ∫\(\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)\) dx = 0
[∴ e^x + e^-x = t
(e^x – e^-x)dx = dt
∴ ∫\(\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)\) dx = ∫\(\frac{d t}{t}\)
= log|t|
= log(e^x + e^-x)
या
y – log(e^x + e^-x) + C = 0
या
y = log(e^x + e^-x) + C
समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 6.
\(\frac{d y}{d x}\) = (1 + x²) (1+ y²)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) = (1 + x²) (1+ y²)
या
\(\frac{d y}{1+y^2}\) = (1 + x²) dx
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{1+y^2}\) = ∫(1 + x²) dx
या
tan^-1 y = x + \(\frac{x^3}{3}\) + c ……..(2)
समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.
y log y dx – x dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d x}{x}\) – \(\frac{d y}{y \log y}\) = 0 …(1)
समीकरण (1) का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d x}{x}\) – ∫\(\frac{d y}{y \log y}\) = 0
∴ log y = t
\(\frac{1}{y}dy\) = dt
∴ ∫\(\frac{d y}{y \log y}\) = ∫\(\frac{d t}{t}\)
= log t
= log|logy|
या
logx – log |logy| = log A
या
x = Alogy
या
\(\frac{x}{A}\) = log y
या
y = e^x/A = e^cx
या
y = e^cx …………(2)
या
समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.
x⁵ \(\frac{d y}{d x}\) = -y⁵
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
x⁵ \(\frac{d y}{d x}\) = -y⁵
या
\(\frac{d y}{y^5}\) = \(-\frac{d x}{x^5}\) …………(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
\(\frac{d y}{y^5}\) = \(-\frac{d x}{x^5}\)
या
–\(\frac{1}{4 y^4}\) = \(\frac{1}{4 x^4}\) + \(\frac{1}{C_1}\)
या
–\(\frac{1}{4 y^4}\) + \(\frac{1}{4 x^4}\) = –\(\frac{1}{C_1}\)
या
\(\frac{1}{x^4}\) + \(\frac{1}{y^4}\) = \(-\frac{4}{C_1}\)
या
x^-4 + y^-4 = C
समीकरण (2) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 9.
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1 x
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1 x
या
dy = sin^-1 x
या
dy = 1.sin^-1 x dx …………(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫dy = ∫1.sin^-1 x dx
(1 को द्वितीय फलन तथा sin^-1x को प्रथम फलन लेने पर)

प्रश्न 10.
e^x tany dx + (1 – e^x) sec² y dy = 0
हल:
दिया अवकल समीकरण
e^x tany dx + (1 – e^x) sec² y dy = 0 …………(1)
समीकरण (1) को (1 – e^x) tany से भाग देने पर,
∫\(\frac{e^x}{1-e^x}\) dx + ∫\(\frac{\sec ^2 y}{\tan y}\) dy = 0
समीकरण (2) का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{e^x}{1-e^x}\) dx + ∫\(\frac{\sec ^2 y}{\tan y}\) dy = 0
या – log | 1 – e^x| + log | tany| = log C
[.1 – e^x = u
या e^-x dx = du
या e^x dx = – du
∴ ∫\(\frac{e^x}{1-e^x}\) dx = -∫\(\frac{d u}{u}\)
= – log|u|
= – log | 1 – e^x|
तथा tan y = V
sec² y dy = dv
∫\(\frac{\sec ^2 y}{\tan y}\)dy = ∫\(\frac{d V}{V}\)
= log |V|
= log | tany |
या
log | tan y| = log C + log | 1 – e^x|
या
log | tan y | = log C( 1 – e^x)
या
tan y = C( 1 – e^x) ……….(3)
समीकरण (3) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 11 से 14 में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 11.
(x³ + x² + x + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + X
यदि x = 0, y = 1
हल
दिया गया अवकल समीकरण
(x³ + x² + x + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + X
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x^2+x}{x^3+x^2+x+1}\)
या
dy = \(\frac{2 x^2+x}{x^3+x^2+x+1}\) dx ………..(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫dy = ∫\(\frac{2 x^2+x}{x^3+x^2+x+1}\) dx
[∵ x³ + x² + x + 1 = x²(x + 1) + (x + 1) = (x² + 1)(x + 1)]
या
∫dy = ∫\(\frac{2 x^2+x}{(x+1)\left(x^2+1\right)}\) dx …………(2)
अब \(\frac{2 x^2+x}{(x+1)\left(x^2+1\right)}\) = \(\frac{A}{x+1}\) + \(\frac{B x+C}{x^2+1}\)
या
2x² + x = A(x² + 1) + (Bx + C)(x + 1)
या
2x² + x = Ax² + A + Bx² + Bx + Cx + C
या
2x² + x = (A + B)x² + (B + C)x + A + C

प्रश्न 12.
x(x² – 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 1; y = 0 यदि x = 2
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
x(x² – 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 1
या
dy = \(\frac{d x}{x\left(x^2-1\right)}\) = \(\frac{d x}{x(x-1)(x+1)}\) …………(1)
अब
\(\frac{1}{x(x-1)(x+1)}\) = \(\frac{A}{x}\) + \(\frac{B}{x-1}\) + \(\frac{C}{x+1}\)
1 = A(x² – 1)+ B(x² + x) + C(x² – x)
या 1 = (A + B + C) x² + (B – C)x – A
दोनों पक्षों में x x² के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर, A + B + C = 0, B – C = 0, A = -1
समीकरणों को हल करने पर,
A = -1, B = \(\frac{1}{2}\), C = \(\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{1}{x(x-1)(x+1)}\) = \(-\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{2(x-1)}\) + \(\frac{1}{2(x+1)}\) ………..(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
dy = \(-\frac{d x}{x}\) + \(\frac{1}{2(x-1)}\) d x + \(\frac{1}{2(x+1)}\) d x ………….(3)
समीकरण (3) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫dy = -∫\(\frac{d x}{x}\) + \(\frac{1}{2}\) ∫\(\frac{d x}{(x-1)}\) + \(\frac{1}{2}\)∫ \(\frac{d x}{(x+1)}\)
y = – log x + log |(x – 1)| + \(\frac{1}{2}\) log (x + 1) + C …………..(4)
अब समीकरण (4) में x = 2 तथा y = 0 रखने पर,
0 = – log 2 + \(\frac{1}{2}\) log (2 – 1) + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 1) + C
या
0 = – log 2 + \(\frac{1}{2}\) log1 + \(\frac{1}{2}\)log 3 + C
या
0 = – log 2 + log√3 + C
या
C = log 2 – log √3 = log \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
C का मान समीकरण (4) में रखने पर,

समीकरण (5) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 13.
cos \(\frac{d y}{d x}\) = a (a ∈ R); y = 1 यदि x = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
cos \(\frac{d y}{d x}\) = a
या
\(\frac{d y}{d x}\) = cos^-1 a
या
dy = cos^-1 a dx …………..(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫dy = cos^-1 a∫dx
या
y = x cos^-1 a + C
जब x = 0 तब y = 1,
∴ 1 = 0 × cos^-1 a +C ……………(2)
∴ C = 1
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
y = x cos^-1 a + 1
या
y – 1 = x cos^-1 a
या
\(\frac{y-1}{x}\) = cos^-1 a
या
a = cos \(\left(\frac{y-1}{x}\right)\) ……….(3)
समीकरण (3) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}\) = y tan x; y = 1 यदि x = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) = y tan x
या
\(\frac{d y}{y}\) = tan x dx ……………(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
∫\(\frac{d y}{y}\) = ∫tan x dx
या
logy = – log cos x + C ……………….(2)
समीकरण (2) में x = 0 तथा y = 1 रखने पर,
log 1 = – log cos 0 + C
या
0 = – log 1 + C
या
0 = 0 + C
या
C = 0
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
logy = -log cos x
या
logy = – log secx
या
y = secx ………………..(3)
समीकरण (3) दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y = e^x sinx है।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
y = e^x sinx
या
\(\frac{d y}{d x}\) = e^x sinx
या
dy = e^x sinx dx ……………..(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫dy = ∫e^x sinx dx
y = ∫e^x sinx dx + c …………..(2)
या
y = ∫e^x sinx dx + C
माना
I = sin.x ∫e^x dx – ∫(\(\frac{d}{d x}\) sinx ∫e^x dx)dx
(sin x को प्रथम तथा को द्वितीय फलन मानकर खण्डशः समाकलन करने पर)
I = sin.xe^x – ∫cosx e^x dx
(cos x को प्रथम तथा e^x को द्वितीय फलन मानकर समाकलन करने पर)
या
I₁ = cos.x∫e^x dx – {∫\(\frac{d}{d x}\) cosx ∫e^x dx
या
I₁ = cosx e^x + ∫sinx e^x dx
I₁ का मान समीकरण (3) में रखने पर,
या
I = sin x e^x – cos xe^x – ∫sin x e^x dx
या
= sinx e^x – cos x e^x – I
या
2I = sinx e^x – cosx e^x
या 2I = (sin x – cos x) e^x
या
I = \(\frac{e^x}{2}\)(sin x – cos x)
या
y = \(\frac{e^x}{2}\)(sin x – cos x) + C
समीकरण (5) मैं x = 0 तथा y = 0 रखने पर,
अत: 0 = \(\frac{e^o}{2}\)(sin x – cos x) + C
या
0 = – \(\frac{1}{2}\) + C
या
C = \(\frac{1}{2}\)
या
C = \(\frac{1}{2}\) समीकरण (5) में रखने पर,
y = \(\frac{e^x}{2}\) (sinx – cosx ) + \(\frac{1}{2}\)
2y = e^x (sin x – cos x) + 1
या 2y – 1 = e^x (sinx – cosx )
जो कि अभीष्ट वक्र का समीकरण है।

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण
xy \(\frac{d y}{d x}\) = (x + 2) (y + 2) के लिए बिन्दु (1, 1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
xy \(\frac{d y}{d x}\) = (x + 2) (y + 2)
या
\(\frac{y d y}{y+2}\) = \(\frac{(x+2)}{x}\) dx ……..(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{y d y}{y+2}\) = ∫\(\frac{(x+2)}{x}\) dx
या∫ \(\left(\frac{y+2-2}{y+2}\right)\) dy = ∫ \(\left(1+\frac{2}{x}\right)\) dx
या
∫\(\frac{y+2}{y+2}\) dy – 2 ∫\(\frac{d y}{y+2}\) = ∫1dx + 2∫\(\frac{d x}{x}\)
या y – 2 log | y + 2 | = x + 2 log x + C
समीकरण (2) में x = 1, y = -1 रखने पर,
या
– 1 – 2 log | -1 + 2| = 1 + 2 log 1 + C
या
– 1 – 2 log 1 = 1 + 2 × 0 + C
या
– 1 – 0 = 1 + C
या
C = -1 – 1 = -2
या
C = -2
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
y – 2 log ( y + 2) = x + 2 logx 2
या
y – x + 2 = 2 log x + 2 log (Y + 2 )
या
y – x + 2 = log x² + log (Y + 2)²
या
Y – x + 2 = log {x² जो वक्र का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, 2) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के y-निर्देशांक का गुणनफल बिन्दु के x-निर्देशांक के बराबर है।
हल:
वक्र के बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
= \(\frac{d y}{d x}\)
प्रश्नानुसार, y x \(\frac{d y}{d x}\) = x
या
y dy = x dx ………..(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर
∫ydy = ∫x dx
या
\(\frac{y^2}{2}\) = \(\frac{x^2}{2}\) + C
समीकरण (2) में x = 0 तथा y = -2 रखने पर,
\(\frac{(-2)^2}{2}\) = \(\frac{0}{2}\) + C
या
C = \(\frac{0}{2}\) = 2
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\(\frac{y^2}{2}\) = \(\frac{x^2}{2}\) + 2
या
y² = x² + 4
या
y² – x² = 4 वक्र का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिन्दुओं को बिन्दु ( 4, 3) से मिलाने वाले रेखा खण्ड की प्रवणता की दुगनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (- 2, 1) से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र के बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = \(\frac{d y}{d x}\)
बिन्दु (x, y) तथा बिन्दु (-4, -3) को मिलाने वाली रेखा की
प्रवणता = \(\frac{y-(-3)}{x-(-4)}\) = \(\frac{y+3}{x+4}\)
प्रश्नानुसार,
\(\frac{d y}{d x}\) = 2\(\frac{y+3}{x+4}\)
या
\(\frac{d y}{y+3}\) = 2 \(\frac{d x}{x+4}\) …………(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{y+3}\) = 2∫\(\frac{d y}{x+4}\)
या
log | y + 3 | = 2 log | x + 4| + C
समीकरण (2) में x = -2 तथा y = 1 रखने पर,
log | 1 + 3 | = 2 log | – 2 + 4 | + C
या
log 4 = 2 log 2 + C
या
log 4 = log 4 + C
(∵ 2 log 2 = log 2² = 4 )
C = 0
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
या
log|y + 3| = 2 log x + 4 + 0
या
log (y + 3 ) = log (x + 4)²
या
y + 3 = (x + 4)²
(x + 4)² = y + 3
वक्र का अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है, तो सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना किसी समय t पर गुब्बारे का आयतन v है। तब
प्रश्नानुसार,
\(\frac{d V}{d t}\) = k
या
\(\frac{d }{d t}\)(\(\frac{4}{3}\) πr³) = k
(जहाँ V = \(\frac{4}{3}\) πr³ गुब्बारे की त्रिज्या है। )
या
\(\frac{4}{3}\) π × 3r² \(\frac{d r}{d t}\) = k
या
4πr² dr = k dt ………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
4π∫r² dr = k∫dt
या
4π × \(\frac{r^3}{3}\) = kt + C …………(2)
जब t = 0, तब r = 3
∴ 4π × \(\frac{3^3}{3}\) = k × 0 + C
या
4π x 9 = C
या
C = 36π
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
\(\frac{4}{3}\)πr³ = kt + 36π
पुन: जब 3
∴ तब समीकरण (3) से,
\(\frac{4}{3}\)π × 6³ = k × 3 + 36π
या
\(\frac{4}{3}\)π × 6 × 6 × 6 = 3k + 36π
या
288π = 3k + 36π
या
3k = 288π – 36.
या
3k = 252π
या
k = 84π
k का मान समीकरण (3) में रखने पर,
\(\frac{4}{3}\)πr³ = 84πt + 36π
या
\(\frac{r^3}{3}\) = \(\frac{4 \pi}{4 \pi}\)(21t + 9)
या
r³ = 63t + 27
या
r³ = 9 (7t + 3)
r = [9(7t + 3)]^1/3
अतः सेकण्ड बाद गुब्बारे की त्रिज्या [9 (7t+ 3)]^1/3 है।

प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि % वार्षिक की दर से होती है। यदि ₹ 100, 10 वर्षों में दोगुने हो जाते हैं, तो का मान ज्ञात कीजिए। (log_e 2 = 0.6931)
हल:
माना मूलधन P है।
प्रश्नानुसार,
\(\frac{d P}{d t}\) = \(\frac{r}{100}\) × p
या
\(\frac{d P}{d t}\) = \(\frac{r}{100}\) dt ……………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d P}{p}\) = ∫\(\frac{r}{100}\) dt
या
log P = \(\frac{r}{100}\) t + log C
या
log P – log C = \(\frac{r}{100}\) t
या
log \(\frac{P}{C}\) = \(\frac{r}{100}\)t
या
\(\frac{P}{C}\) = \(\frac{r}{100}\)t
या
\(\frac{P}{C}\) = e^r/100t
जब 10 तब P = 100 ………(2)
जब t = 0, तब P = 200
∴ 100 = Ce^r/100t
या
Ce⁰ = C
या
∴ C =100
समी. (2) से, P = 100 e^r/100t
जब t = 0, तब P = 200
∴ 200 = 100e^r/100t = 100e^r/10
या
2 = e^r/10
या
= log 2 = 0.6931 (दिया है)
r = 0.6931 × 10 = 6.931
r = 6.93
अतः ब्याज दर = 6.93%.

प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिकी दर से होती है। इस बैंक में ₹1000, जमा कराए जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी ? (e^0.5 = 1.648)
हल:
माना मूलधन P है।
प्रश्नानुसार,
\(\frac{d P}{d t}\) = \(\frac{5}{100}\)p = \(\frac{1}{20}\)p
या
\(\frac{d P}{p}\) = \(\frac{1}{20}\)dt ………(1)
समीकरणों (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d P}{p}\) = \(\frac{1}{20}\)∫dt
या
log P = \(\frac{1}{20}\)t + log C
या
log P – log C = \(\frac{1}{20}\)t
या
log \(\frac{Pc}{c}\) = \(\frac{t}{20}\) = 0·05t
या
\(\frac{Pc}{c}\) = e^0.05t
या
p = Ce^0.05t ………(2)
जब 10, तब P = 1000
∴ 1000 = Ce^0.05t × 0 = Ce⁰ = C
∴ C = 1000
समी. (2) से, P = 1000e^0.05t
जब 10, तब P = 1000e^0.05t x 10
= 1000e^0.05t
= 1000 × 1.648
P = 1648
अतः 10 वर्षों में ₹1000, ₹1648 हो जायेंगे।

प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 100000 है। 2 घण्टे में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 200000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं में वृद्धि की दर उनकी उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
हल:
माना जीवाणुओं की संख्या P है।
प्रश्नानुसार,
\(\frac{d P}{d t}\) α p
या
\(\frac{d P}{d t}\) = kP
या
\(\frac{d P}{p}\) = k dt ………….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d P}{p}\) = ∫k dt
या
log P = kt + C
जब t = 0 तब p = p0
log Po = k x 0 + C
या
[जहाँ Po जीवाणुओं की प्रारंभिक संख्या है]
C = log Po
log P = kt + log Po
या log P – log Po = kt
या
log\(\frac{P}{P_0}\) = kt ………….(2)
प्रश्नानुसार, 2 घण्टे में जीवाणुओं की संख्या में 10% की वृद्धि होती
अतः t = 2, तब P = Po + \(\frac{10}{100}\) x Po
= Po + \(\frac{P_0}{10}\)
p = \(\frac{11 P_0}{10}\)
या
समीकरण (2) मैं P = \(\frac{11 P_0}{10}\) तथा t = 2 रखने पर,
log \(\frac{\frac{11 P_0}{10}}{P_0}\) = k x 2
या
log \(\frac{11}{10}\) = 2k
या
k = \(\frac{1}{2}\) log \(\frac{11}{10}\)
k का मान समीकरण (2) में रखने पर,
log \(\frac{P}{P_0}\) = (\(\frac{1}{2}\) log \(\frac{11}{10}\) )t ………..(3)
माना समय में जीवाणुओं की संख्या 100000 से बढ़कर 200000 हो जाती है।
तब \(\frac{P}{P_0}\) = \(\frac{200000}{100000}\) = \(\frac{2}{1}\) = 2
समीकरण (3) में \(\frac{P}{P_0}\) का मान रखने पर,
या
log 2 = \(\frac{1}{2}\) log\(\frac{11}{10}\) × t
या
2 log 2 = t x log \(\frac{11}{10}\)
t = \(\frac{2 \log 2}{\log \frac{11}{10}}\)
अतः घण्टे में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 से 200000 हो जाएगी।

प्रश्न 23.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = e^{x + y} का व्यापक हल है:
(B) e^x + e^-y = C
(A) e^x + e^y = C
(C) e^-x + e^y = C
(D) e^-x + e^y = C
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) = e^{x + y} = e^x.e^y
या
\(\frac{d y}{d x}\) = e^xdx
या
e^-ydy =e^xdx ……….(1)
समीकरण (1) के दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫e^-ydy = ∫ e^xdx
या
-e^-y = e^x + C1
या
e^x + e^-y = – C1
या
e^x + e^-y = C
(जहाँ C = -C1)
अत: विकल्प (A) सही है।