NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

प्रश्न 1 से 10 में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए।
प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y² ) dx
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(x² + xy) dy = (x² + y² ) dx
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x^2+y^2}{x^2+x y}\)
माना
f(x, y) = \(\frac{x^2+y^2}{x^2+x y}\)
अब
f(λx, λy) = \(\frac{(\lambda x)^2+(\lambda y)^2}{(\lambda x)^2+(\lambda x)(\lambda y)}\)
या
f(λx, λy) = \(\frac{\lambda^2\left(x^2+y^2\right)}{\lambda^2\left(x^2+x y\right)}\)
या
f(λx, λy) = λ₀\(\left(\frac{x^2+y^2}{x^2+x y}\right)\)
अत: f (x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण भी समघातीय है।
माना y = vx ……….(2)
तब
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\) ………….(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{x^2+v^2 x^2}{x^2+x^2 v}\)

प्रश्न 2.
y = \(\frac{x+y}{x}\)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
y = \(\frac{x+y}{x}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+y}{x}\)
माना f(x, y) = \(\frac{x+y}{x}\)
तब
f(x, y) = \(\frac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x}\) = \(\frac{\lambda(x+y)}{\lambda x}\)
अतः (x, y) फलन शून्य घात का समघातीय फलन है। इसलिए दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
अब
y= vx ………..(2)
तब
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\) ………(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{x+v x}{x}\) = \(\frac{x(1+v)}{x}\) = 1 + v
या
x\(\frac{d v}{d x}\) = 1 + v – v = 1
या
dv = \(\frac{d x}{x}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫dv = ∫\(\frac{d x}{x}\)
या
v = log|x| + C
या
\(\frac{y}{x}\) = log|x| + C
या
y = xlog|x| + C
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
(x – y) dy – (x + y) dx = 0
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(x – y) dy – (x + y) dx = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x+y}{x-y}\)
माना
f(x,y) = \(\frac{x+y}{x-y}\)
तब
f( λx, λy) = \(\frac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x-\lambda y}\)
या
f( λx, λy) = \(\frac{\lambda(x+y)}{\lambda(x-y)}\)
= λ0 \(\left(\frac{x+y}{x-y}\right)\)
या f(λx, λy) = λ0(x, y)
अतः f (x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
इसलिए दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
अब
y= vx ………………….(2)
तब
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,

प्रश्न 4.
(x² – y² ) dx + 2xy dy = 0
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(x² – y² ) dx + 2xy dy = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{x^2-y^2}{2 x y}\)
माना
f(x, y) = \(-\frac{x^2-y^2}{2 x y}\)
तब
f(λx, λy) = \(-\frac{\lambda^2 x^2-\lambda^2 y^2}{2(\lambda x)(\lambda y)}\)
= \(-\frac{\lambda^2\left(x^2-y^2\right)}{2 \lambda^2 x y}\)
= -λ⁰ \(\frac{\left(x^2-y^2\right)}{2 x y}\)
= -λ⁰ f(x, y)
∴ f(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
अत: दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
y = vx …………….(2)
तब
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\) ………………(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = \(-\frac{x^2-v^2 x^2}{2 x^2 v}\)
या
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = \(-\frac{x^2\left(1-v^2\right)}{x^2 \times 2 v}\)
या
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = \(-\frac{1-v^2}{2 v}\)
या
x \(\frac{d v}{d x}\) = \(-\frac{1-v^2}{2 v}\) – v
या
x \(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{-1+v^2-2 v^2}{2 v}\) = \(\frac{-1-v^2}{2 v}\)
या
x \(\frac{d v}{d x}\) = \(-\left(\frac{1+v^2}{2 v}\right)\)
या
\(\frac{2 v}{1+v^2}\) dv = \(-\frac{d x}{x}\)
दोनों पक्ष्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{2 v}{1+v^2}\) dv = ∫\(-\frac{d x}{x}\)
या
log|1 + v² | = -log|x| + logC
या
log|1 + \(\frac{y^2}{x^2}\)| = -log|x| + logC
या
log \(\left|\frac{x^2+y^2}{x^2}\right|\) + log|x| = logC
या
log \(\left|\frac{x^2+y^2}{x^2} \times x\right|\) = logC
या
log\(\left|\frac{x^2+y^2}{x}\right|\) = logC
या
\(\frac{x^2+y^2}{x}\) = C
या
x² + y² = Cx

प्रश्न 5.
x² \(\frac{d y}{d x}\) = x² – 2y² + xy
हल:
x² \(\frac{d y}{d x}\) = x² – y² + xy
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x^2-2 y^2+x y}{x^2}\) …………..(1)
अब f(x, y) = \(\frac{x^2-2 y^2+x y}{x^2}\)
तब f(λx, λy) = \(\frac{\left(\lambda x^2\right)-2(\lambda y)^2+(\lambda x)(\lambda y)}{(\lambda x)^2}\)
= \(\frac{\lambda^2\left[x^2-2 y^2+x y\right]}{\lambda^2 x^2}\)
या
f(λx, λy) = λ₀ \(\frac{x^2-2 y^2+x y}{x^2}\)
= λ₀f(x, y)
∴ f(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
अत: दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
अब y = vx ……………(2)
तब \(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{dv}{d x}\) …………….(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{dv}{d x}\) = \(\frac{x^2-2 v^2 x^2+x^2 v}{x^2}\)
या
v + x \(\frac{dv}{d x}\) = \(\frac{x^2\left(1-2 v^2+v\right)}{x^2}\)
या
v + x \(\frac{dv}{d x}\) = 1 – 2v² + v
या
x \(\frac{dv}{d x}\) = 1 – 2v²
या
\(\frac{d v}{1-2 v^2}\) = \(\frac{d x}{x}\)
समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d v}{1-2 v^2}\) = ∫\(\frac{d x}{x}\)
\(\sqrt{2} v\) = t
तब
\(\sqrt{2}\) v dv = dt
या
dv = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) dt

प्रश्न 6.
xdy – ydx = \(\sqrt{x^2+y^2}\) dx
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
xdy – ydx = \(\sqrt{x^2+y^2}\) dx
या
xdy = (y + \(\sqrt{x^2+y^2}\) )dx
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}\) ………….(1)
माना
f(x, y) = \(\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}\)
तब
f(λx, λy) = \(\frac{\lambda y+\sqrt{\lambda^2 x^2+\lambda^2 y^2}}{\lambda x}\)
= \(\frac{\lambda y+\lambda \sqrt{x^2+y^2}}{\lambda x}\)
= \(\frac{\lambda\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\lambda x}\)
= λ₀ \(\frac{\left(y+\sqrt{x^2+y^2}\right)}{x}\)
या
f(λx, λy) = λ₀f(x, y)
अत: f(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
अब y = vx …………………..(2)
तब
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\)

प्रश्न 7.
{x cos \(\left(\frac{y}{x}\right)\) + y sin \(\left(\frac{y}{x}\right)\)} y dx
= {y sin \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – x cos \(\left(\frac{y}{x}\right)\)} x dy
हल:

प्रश्न 8.
x \(\frac{d y}{d x}\) – y + xsin\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
x \(\frac{d y}{d x}\) – y + xsin\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0
या
x \(\frac{d y}{d x}\) = y – x sin \(\left(\frac{y}{x}\right)\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – sin \(\left(\frac{y}{x}\right)\) ………….(1)
अब
f(x, y) = \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\)
तब
f(λx, λy) = \(\frac{\lambda y}{\lambda x}\) – sin\(\frac{\lambda y}{\lambda x}\)
= λ⁰{\(\left(\frac{y}{x}\right)\) – sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\)}
अत: f(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
y = vx रखने पर …………..(2)
तब
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\) …………………(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = v – sin v
या
x\(\frac{d v}{d x}\) = – sin v
या
\(\frac{d v}{\sin v}\) = \(-\frac{d x}{x}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d v}{\sin v}\) = ∫\(-\frac{d x}{x}\)
या
∫cosec v = – ∫\(-\frac{d x}{x}\)
या
या log | cosec v – cot v| = – log | x + log C
या log | cosec v – cot v | + log | x = log C
या log {| x | (cosec v – cot v) |} = log C
या
x (cosec v – cot v) = C
या
x cosec(\(\left(\frac{y}{x}\right)\) – cot \(\left(\frac{y}{x}\right)\)) = C
या
x\(\left(\frac{1}{\sin \frac{y}{x}}-\frac{\cos \frac{y}{x}}{\sin \frac{y}{x}}\right)\) = C
या
\(\frac{x\left(1-\cos \frac{y}{x}\right)}{\sin y^y}\) = C
या
x[1 – cos\(\left(\frac{y}{x}\right)\)] = C sin \(\left(\frac{y}{x}\right)\)
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 9.
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\) dy – 2x dy = 0.
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\) dy – 2x dy = 0.
या
y dx = [2x – xlog\(\left(\frac{y}{x}\right)\)] dy
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{2 x-x \log \frac{y}{x}}\) ………..(1)
या
f(x, y) = \(\frac{y}{x\left\{2-\log \left(\frac{y}{x}\right)\right\}}\)
या
f(x, y) = \(\frac{y}{x\left\{2-\log \left(\frac{y}{x}\right)\right\}}\)
माना
f(x, y) = \(\frac{y}{x\left\{2-\log \left(\frac{y}{x}\right)\right\}}\)
तब
f(λx, λy) = \(\frac{\lambda y}{\lambda x\left[2-\log \left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)\right]}\)
या
f(λx, λy) = \(\frac{y}{x\left\{2-\log \left(\frac{y}{x}\right)\right\}}\)
अतः f (x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
y = vx रखने पर ……………………..(2)
तब
\(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x\(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{v x}{x(2-\log v)}\) = \(\frac{v}{2-\log v}\)
या
x\(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{v}{2-\log v}\) – v
या
x\(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{v-2 v+v \log v}{2-\log v}\)
या
x\(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{-v+v \log v}{2-\log v}\)
या
= – \(\frac{-(v-v \log v)}{(2-\log v)}\)
या
= – \(\frac{-(v-v \log v)}{(2-\log v)}\) = \(\frac{v(\log v-1)}{(2-\log v)}\)
या
\(\frac{2-\log v}{v(\log v-1)}\) dv = \(\frac{d x}{x}\)
या
\(\frac{1-\log v+1}{v(\log v-1)}\) dv = \(\frac{d x}{x}\)
या
\(-\frac{1}{v}\) d v + \(\frac{1}{v(\log v-1)}\) dv = \(\frac{d x}{x}\)
या
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
या
∫\(-\frac{1}{v}\) d v + ∫\(\frac{1}{v(\log v-1)}\) dv = ∫\(\frac{d x}{x}\)
या
log v + log (log v – 1) = log x + log C
[ log v – 1 = t
\(\frac{1}{v}\)dv = dt
∴∫\(\frac{1 d v}{v(\log v-1)}\) = \(\frac{d t}{t}\)
या
log (logv – 1) = logv + log x + log C
= log(vxc)
या
log v – 1= vxC
या
log \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – 1 = Cy
या
Cy = log\(\left(\frac{y}{x}\right)\) – 1
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 10.
(1 + e^x/y)dx + e^x/y(1 – \(\frac{x}{y}\))dy = 0
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(1 + e^x/y)dx + e^x/y(1 – \(\frac{x}{y}\))dy = 0
या
\(\frac{d x}{d y}\) + \(\frac{e^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{x / y}}\) = 0
या
\(\frac{d x}{d y}\) = \(-\frac{e^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{x / y}}\) ………….(1)
माना
f(x, y) = \(-\frac{e^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right)}{1+e^{x / y}}\)
तब
f(λx, λ y) = \(-\frac{e^{\lambda x / \lambda y}\left(1-\frac{\lambda x}{\lambda y}\right)}{1+e^{\lambda x / \lambda y}}\)
अत: f(x, y) शून्य घात का समघातीय फलन है।
∴ दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है।
x = vy रखने पर …………….(2)
तब
\(\frac{d x}{d y}\) = v + y \(\frac{d v}{d y}\) ……………..(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + y \(\frac{d v}{d y}\) = \(-\frac{e^v(1-v)}{1+e^v}\)
या
y \(\frac{d v}{d y}\) = \(-\frac{e^v(1-v)}{1+e^v}\) – v
या
y \(\frac{d v}{d y}\) = \(\frac{-e^v+v e^v-v-v e^v}{1+e^v}\)
या
y \(\frac{d v}{d y}\) = \(\frac{-\left(v+e^v\right)}{\left(1+e^v\right)}\)
या
\(\left(\frac{1+e^v}{v+e^v}\right)\) dv = \(-\frac{d y}{y}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\left(\frac{1+e^v}{v+e^v}\right)\) dv = ∫\(-\frac{d y}{y}\)
या
v + e^v = t
या
1 ( 1 + e^v) dv = dt
या
∴ ∫\(\left(\frac{1+e^v}{v+e^v}\right)\) dv = ∫\(-\frac{d y}{y}\)
या
log (v + e^v) = – logy + log C
log (v + e^v) = log \(\left(\frac{C}{y}\right)\)
या
v + e^v = \(\frac{C}{y}\)
या
\(\frac{x}{y}\) + e^x/y = \(\frac{C}{y}\)
या
ye^x/y + x = C
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 11 से 15 में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:

प्रश्न 11.
(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(x + y) dy + (x – y) dx = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{(x-y)}{x+y}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{(x-y)}{x+y}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{\left(1-\frac{y}{x}\right)}{\left(1+\frac{y}{x}\right)}\) …………..(1)
स्पष्टतः अवकल समीकरण (1) समघातीय है।
माना y = vx ……………(2)
तब \(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{dv}{d x}\) …………….(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{dv}{d x}\) = \(-\left(\frac{1-v}{1+v}\right)\)
या
x \(\frac{dv}{d x}\) = \(\frac{-1+v}{1+v}\) – v
या
x \(\frac{dv}{d x}\) = \(\frac{-1+v-v-v^2}{1+v}\)
या
x \(\frac{dv}{d x}\) = \(\frac{-1-v^2}{1+v}\)
या
x \(\frac{dv}{d x}\) = \(\frac{-\left(1+v^2\right)}{1+v}\)
समाकलन करने पर,
∫\(\left(\frac{1}{1+v^2}+\frac{v}{1+v^2}\right)\) = -∫\(\frac{d x}{x}\)
या
∫\(\frac{1}{1+v^2}\) dv + ∫\(\frac{v}{1+v^2}\)dv = -∫\(\frac{d x}{x}\)
या
1 + v² = t
या
2v dv = dt
∴ v dv = \(\frac{1}{2}\) dt
∫\(\frac{v}{1+v^2}\) = ∫\(\frac{1}{2}\)\(\frac{d t}{t}\)
= \(\frac{1}{2}\) log|t|
= \(\frac{1}{2}\) log |1 + v²|
या
tan^-1 v + \(\frac{1}{2}\)log|1 + v²| = – logx + C

प्रश्न 12.
x² dy + (xy + y²) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
x² dy + (xy + y²) dx = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{x y+y^2}{x^2}\) = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{x^2\left(\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}\right)}{x^2}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\left(\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}\right)\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\left[\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2\right]\) …………(1)
स्पष्टतः अवकल समीकरण समघातीय है।
माना y = vx …………….(2)
तब \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\) …………….(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x\(\frac{d v}{d x}\) = -(v + v²)
या
x\(\frac{d v}{d x}\) = -v – v – v²
या
x\(\frac{d v}{d x}\) = – 2v – v²
या
x\(\frac{d v}{d x}\) = -(v² + 2v)
या
\(\frac{d v}{v^2+2 v}\) = \(-\frac{d x}{x}\)
या
\(\frac{d v}{v(v+2)}\) = \(-\frac{d x}{x}\)
या
\(\frac{d v}{v^2+2 v+1-1}\) = \(-\frac{d x}{x}\)
या
\(\frac{d v}{(v+1)^2-1}\) = \(-\frac{d x}{x}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d v}{(v+1)^2-1}\) = ∫\(-\frac{d x}{x}\)
या
\(\frac{1}{2}\) log \(\frac{v+1-1}{v+1+1}\) = -logx + logC
या
log\(\sqrt{\frac{v}{v+2}}\) + logx = log C
या
log\(\left(\frac{x \sqrt{v}}{\sqrt{v+2}}\right)\) = log C
या
log\(\frac{x \sqrt{v}}{\sqrt{v+2}}\) = log C
या
\(\frac{x \sqrt{y}}{\sqrt{y+2 x}}\) = C
x² y = C² (y + 2x) …………..(4)
समीकरण (4) में x = 1 तथा y = 1 रखने पर,
1² × 1 = C²(1 + 2 × 1)
या
1 = C²
या
C² = \(\frac{1}{3}\)
C² का मान समीकरण (4) में रखने पर,
x² y = \(\frac{1}{3}\)(y + 2x)
या
y + 2x = 3x² y
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 13.
[x sin² \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y] dx + x dy = 0; y = \(\frac{\pi}{4}\) यदि x = 1
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
[x sin² \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y] dx + x dy = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\left(\frac{x \sin ^2 y / x-y}{x}\right)\) = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) + sin² \(\frac{y}{x}\) – \(\frac{y}{x}\) = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{x}\) – sin² \(\frac{y}{x}\) ……………..(1)
स्पष्टतः समीकरण (1) समघातीय अवकल समीकरण है।
माना y = vx …………(2)
तब \(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\) ……………..(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = v – sin²v
या
x \(\frac{d v}{d x}\) = – sin²v
या
\(-\frac{d v}{\sin ^2 v}\) = \(\frac{d x}{x}\)
या
– cosec²v dv = \(\frac{d x}{x}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫ cosec²v dv = ∫\(\frac{d x}{x}\)
या
cot v = logx + C
या
cot \(\frac{y}{x}\) = logx + C ………….(4)
(∴ y = vx)
अब x = 1 तथा y = \(\pi / 4\) रखने पर,
cot\(\pi / 4\) = log 1 + C
या
cot\(\pi / 4\) = 0 + C
या
1 = C
या
C = 1 समीकरण (4) में रखने पर,
cot \(\frac{y}{x}\) = log x + 1 = logx + loge
या
cot \(\frac{y}{x}\) = logex
जो कि विशिष्ट हल है।

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}\) – \(\frac{y}{x}\) + cosec\(\frac{y}{x}\) = 0, y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) – \(\frac{y}{x}\) + cosec\(\frac{y}{x}\) = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{x}\) – cosec\(\frac{y}{x}\) ………….(1)
स्पष्टतः समीकरण (1) समघातीय अवकल समीकरण है।
माना y = vx …………(2)
तब \(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\) ……………..(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = v – cosecv
या
x \(\frac{d v}{d x}\) = – cosecv
या
\(-\frac{d v}{\sin ^2 v}\) = \(\frac{d x}{x}\)
या
-sinv dv = \(\frac{d x}{x}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫ -sinv dv = ∫\(\frac{d x}{x}\)
या
cos v = logx + C
या
cos \(\frac{y}{x}\) = logx + C ………….(4)
x = 1 तथा y = 0 समीकरण (4) में रखने पर,
cos \(\frac{y}{x}\) = log x + 1
या
cos \(\frac{y}{x}\) = logx + loge
या
cos \(\frac{y}{x}\) = logex
जो कि विशिष्ट हल है।

प्रश्न 15.
2xy + y² – 2x² \(\frac{d y}{d x}\) = 0, y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
2xy + y² – 2x² \(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
– 2x² \(\frac{d y}{d x}\) = -(2xy + y²)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x y+y^2}{2 x^2}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{x}\) + \(\frac{1}{2}\) \(\left(\frac{y}{x}\right)^2\)
स्पष्टतः समीकरण (1) समघातीय अवकल समीकरण है।
माना y = vx …………(2)
तब \(\frac{d y}{d x}\) = v + x \(\frac{d v}{d x}\) ……………..(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
v + x \(\frac{d v}{d x}\) = v + \(\frac{1}{2}\)v²
या
x \(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{1}{2}\)v²
या
x \(\frac{d v}{d x}\) = \(\frac{1}{2}\)v²
या
\(\frac{d v}{v^2}\) = \(\frac{1}{2}\)\(\frac{d x}{x}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫ v^-2 dv = \(\frac{1}{2}\)∫\(\frac{d x}{x}\)
या
\(-\frac{1}{v}\) = \(\frac{1}{2}\) log|x| + C
या
\(-\frac{x}{y}\) = \(\frac{1}{2}\) log|x| + C ……….(4)
x = 1 तथा y = 2 समीकरण (4) में रखने पर,
–\(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)log 1 + C
या
C = –\(\frac{1}{2}\)
C समीकरण (4) में रखने पर,
\(-\frac{x}{y}\) = \(\frac{1}{2}\)log|x| – \(\frac{1}{2}\)
या
\(\frac{x}{y}\) = \(\frac{1}{2}\) – \(\frac{1}{2}\)log|x|
या
= \(\frac{1}{2}\)(1 – log|x|)
या
\(\frac{2 x}{y}\) = (1 – log|x|)
या
y = \(\frac{2 x}{(1-\log |x|)}\)
जो कि विशिष्ट हल है।

प्रश्न 16.
\(\frac{d x}{d y}\) = h \(\left(\frac{x}{y}\right)\) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है:
(A) y = vx
(B) v = yx
(C) x – vy
(D) x = v
हल:
जब अवकल समीकरण के रूप का हो तो \(\frac{d x}{d y}\) = h \(\left(\frac{x}{y}\right)\) प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
निम्नलिखित में कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है?
(A) (4x + 6y + 5) dy- ( 3y + 2x + 4 ) dx = 0.
(B) (xy) dx – (x³ + y³) dy = 0
(C) (x + 2y² ) dx + 2xy dy = 0
(D) y² dx + (x² – xyy – y² ) dy = 0
हल: