NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.3

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन 1.3

प्रश्न 1.
मान लीजिए f: {1, 3, 4} {1, 2, 5} तथा g : 1, 2, 5} → {1,3}, ƒ = {(1, 2), (3, 5), (4, 1)} तथा g = {(1, 3), (2, 3), (5, 1)} द्वारा प्रदत्त हैं। gof ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1)}
तथा g = {(1, 3), (2, 3), (5, 1)}
तब ƒ(1) = 2, ƒ(3) = 5, f(4) = 1
तथा g(1) = 3, g(2) = 3, g(5) = 1

अब (gof)(1) = g(f(1)) = g(2) = 3
(gof)(3) = g(f(3)) = g(5) = 1
(gof)(4) = g(f(4)) = g(1) = 3
अत: gof = {(1, 3), (3, 1), (4, 3)}

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि f, g तथा h, R से R तक दिए फलन हैं।
सिद्ध कीजिए कि
(f + g)oh = foh + goh
(f.g)oh = (foh).(goh)
हल:
दिए गए फलन f, g, h, R → R हैं।
∵ (f+g)oh (x) = (f + g) (h(x))
= f(h(x)) + g(h(x))
= (foh)(x) + (goh)(x)
अतः (f + g)oh = foh + goh
तथा (f.g)oh(x) = (f.g)(h(x))
= f(h(x)).g(h(x))
= {(foh)(x)}. {goh(x)}
= {(foh), (goh)} (x)
अतः (f.g)oh = (foh).(goh)

प्रश्न 3.
gof तथा fog ज्ञात कीजिए, यदि
(i) f(x) = | x | g(x) = | 5x – 2 |
(ii) f(x) = 8x³ & g(x) = x^1/3
हल:
(i) f(x) = | x | तथा g(x) = | 5x − 2 |
तब gof(x) = g(f(x)) = g(x) =| 5 | x | -2|
अब fog(x) = f(g(x)) = f(| 5x-2 |) = | | 5x-2 | |

(ii) f(x) = 8x³ en g(x) = x^1/3
तब gof(x) = g(f(x)) = g(8x³)
= (8x³)^1/3
= [(2x)³]^1/3
= 2x
अब fog(x) = f(g(x)) = f(x^1/3)
= 8(x = 8(x^1/3 )^1/3 = 8x)³ = 8x

प्रश्न 4.
यदि f(x)= \(\frac{(4 x+3)}{(6 x-4)}, x \neq \frac{2}{3}\) तो सिद्ध कीजिए कि सभी \(x \neq \frac{2}{3}\)
के लिए fof(x) = x है। / का प्रतिलोम फलन क्या है ?
हल :
यहाँ f(x) = \(\frac{(4 x+3)}{6 x-4}, x \neq \frac{2}{3}\)
fof(x) = f(f(x))

∴ fof(x) = x
यदि फलन f का प्रतिलोम f^-1 हो तो
fof^-1(x) = x
f(f^-1(x)) = x

अतः f का प्रतिलोम स्वयं f है।

टिप्पणी –
फलन f का प्रतिलोम हम इस प्रकार भी प्राप्त कर सकते हैं:

अर्थात् फलन f स्वयं का प्रतिलोम है।

प्रश्न 5
कारण सहित बताइए कि क्या निम्नलिखित फलनों के प्रतिलोम हैं ?
(i) f: {1, 2, 3, 4} → {10}
जहाँ f = {(1, 10) (2, 10), (3, 10), (4, 10 ) }
(ii) g (5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4}
जहाँ g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
(iii) h: {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13}
जहाँ h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}
हल:
(i) f = {1, 2, 3, 4} → {10}
जहाँ f = {(1, 10), (2, 10), ( 3, 10), (4, 10)}
फलन का प्रतिलोम नहीं है क्योंकि यह एकैकी आच्छादक नहीं है, यह बहुएकैकी आच्छादक है।
f(1) = 10, (2) = 10, (3) = 10, (4) = 10

(ii) g = {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4}
जहाँ g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)} यहाँ g(5) = 4, g(6) = 3, g(7) = 4, 8 (8) = 2
फलन g एकैकी आच्छादक नहीं है।
यह बहु-एक अन्त:क्षेपी है।
समुच्चय {1, 2, 3, 4} का अवयव 1 समुच्चय {5, 6, 7, 8} के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
अतः फलन g एकैकी आच्छादक नहीं है।
∵ फलन g का प्रतिलोम नहीं होगा।

(iii) जहाँ h = {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13}
h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}
यहाँ h(2) = 7, h(3) = 9, h(4) = 11, h(5) = 13
अतः समुच्चय {2, 3, 4, 53} के प्रत्येक अवयव का समुच्चय {7, 9, 11, 13} में अद्वितीय (unique) प्रतिबिम्ब है तथा समुच्चय {7, 9, 11, 13} में कोई अवयव ऐसा नहीं है जो कि समुच्चय {7, 9, 11, 133} के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब न हो ।
अतः फलन h एकैकी आच्छादक है।
∵ फलन h का प्रतिलोम है,
h^-1 = {(7, 2), (9, 3), (1, 4), (3, 5)}
जहाँ: {7, 9, 11, 13} → {2, 3, 4, 5}

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि : [-1, 1] → R, f(x) = \(\frac{x}{x+2}\) द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन : [- 1 1] (f का परिसर), का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x₁ x₂ ∈[- 1, 1] तब
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\frac{x_1}{x_1+2}=\frac{x_2}{x_2+2}\)
⇒ \(x_1\left(x_2+2\right)=x_2\left(x_1+2\right)\)
⇒ x₁x₂ + 2x₁ = x₁x₂ + 2x₂
⇒ 2x₁ = 2x₂
⇒ x₁ = x₂
अत: फलन f: [ – 1, 1] R एकैकी है।
माना y ∈ (परिसर f) का कोई स्वेच्छ अवयव है तथा y = f(x), जहाँ x [- 1, 1]
तब f(x) = y
⇒ \(\frac{x}{x + 2}=y\)
⇒ y(x + 2) = y
⇒ yx + 2y = x
⇒ yx – x – 2y
⇒ x(y – 1)= – 2y
⇒ x = \(\frac{-2 y}{y-1}\)
⇒ x = \(\frac{2 y}{1-y}\) y ≠ 1 …….(i)
अत: f का परिसर = R- {1}
पुन: x = \(\frac{2 y}{1-y}\) y ≠ 1

∵ f आच्छादक है।
चूँकि एकैकी आच्छादक है, जहाँ
f: [-1, 1] → R {1}
अतः व्युत्क्रमणीय होगा ।
तब fof ^-1(x) = ff^-1(x)) = x

प्रश्न 7.
f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: RR पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।.
हल:
f(x) = 4x + 3 तथा f: R → R
माना x₁, x₂ ε R (डोमेन), तब
f(x₁) = f(x₂)
⇒ 4x₁+3 = 4x₂ + 3
⇒ 4x₁ = 4x₂
⇒ x₁ = x₂
अतः एकैकी है।
पुनः माना y ∈R (सहडोमेन) का कोई स्वेच्छ अवयव है, तब समुच्चय R (डोमेन) में एक अवयव x ऐसा होगा जिसके लिए
f(x) = y
अब y = f(x)
⇒ y = 4x + 3
⇒ y – 3 = 4x
⇒ x = \(\frac{y-3}{4}\) ∈ R (डोमेन)

∵ फलन आच्छादक है।
∵ फलन एकैकी आच्छादक है
अतः व्युत्क्रमणीय है। अब के प्रतिलोम F^-1 के लिए

प्रश्न 8.
f(x) = x² + 4 द्वारा प्रदत्त फलन f: R₊→ [4, ∞) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि/व्युत्क्रमणीय है तथा/का प्रतिलोम f^-1
f^-1(y) = \(\sqrt{y-4}\) द्वारा प्राप्त होता है, जहाँ R₊ सभी ऋणेत्तर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
हल:
माना x₁, x₂ ∈ R, तब
f(x₁) = f(x₂)
⇒ x²₁ + 4 = x²₂ + 4
⇒ x²₁ = x²₂
⇒ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।
पुनः माना y ∈ [4, ∞) एक स्वेच्छ अवयव है। तब x ∈ R₊ एक ऐसा अवयव होगा जिसके लिए y = f(x)
अब y = f(x)
y = x₂ + 4
⇒ x² = y – 4
⇒ x = \(\sqrt{y-4}, y \geq 4\)
प्रत्येकy ≥ 4, के लिए \(\sqrt{y – 4}\) since x ∈ R₊
अब f(x) = f(\(\sqrt{y – 4}\))
= (\(\sqrt{y – 4}\))² + 4
= y – 4 + 4
= y f( की परिभाषा से) (\sqrt{y-4})
∵ f\((\sqrt{y – 4})\) = y
अतः आच्छादक है।
अब f एकैकी आच्छादक है तब यह व्युत्क्रमणीय भी होगा। अतः
f व्युत्क्रमणीय है।
अब f के प्रतिलोम f^-1 के लिए
fof² (x) = x
⇒ f(f^-1(x)) = x
⇒ [f^-1(x)]² + 4 = x
⇒ (f^-1(x))² = x – 4
⇒ f^-1(x) = \(\sqrt{x-4}\)
⇒ f^-1(y) = \(\sqrt{y-4}\)
टिप्पणी- f \(\sqrt{y-4}\) = y
∵ f^-1(y) = \(\sqrt{y-4}\)
जो फलन f का प्रतिलोम फलन है।

प्रश्न 9.
f (x) = 9x² + 6x – 5 द्वारा प्रदत्त फलन f : R₊ → (15, ∞) पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f^-1(y) = \(\left(\frac{(\sqrt{y+6})-1}{3}\right)\) है।
हल:
माना x₁, x₂ ∈ R₊ तब
f(x₁) = f(x₂)
9x₁² + 6x₁ – 5 = 9x₁² + 6x₂ – 5
⇒ 9x₁² + 6x₁ + 1 – 6 = 9x₂² + 6x₂ + 1 – 6 ⇒
⇒ (3x₁ + 1 )² – 6 = ( 3x₂ + 1 )² – 6
⇒ 3x₁ + 1 = 3x₂ + 1 [∵ x₁x₂∈ R₊]
⇒ 3x₁ = 3x₂
⇒ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।
पुन: माना ye [- 5, ∞) कोई स्वेच्छ अवयव है तब x ∈ R₊ एक ऐसा अवयव होगा जिसके लिए y = f(x), तब
y = f(x)
⇒ y = 9x² + 6x – 5
⇒ y = 9x² + 6x + 1 – 1 – 5
y = (3x + 1)² – 6
⇒ (3x + 1)² = y + 6
⇒ 3x + 1 = \(\sqrt{(y+6)}\)
⇒ 3x = \(\sqrt{(y+6)}\) – 1
⇒ x = \(\frac{\sqrt{(y+6)}-1}{3}\)
पुन: f(x) = f\(\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)\)
= 9 \(\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)^2+6\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)\) – 5 (f की परिभाषा से)
= 9 \(\left\{\frac{(y+6)+1-2 \sqrt{y+6}}{9}\right\}\) + 2\(\sqrt{(y+6)}\) – 2 – 5
= y + 6 + 1 – 2\(\sqrt{(y+6)}\) + 2\(\sqrt{(y+6)}\) – 7
∴ f \(\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)\) = y ………….(i)
अतः आच्छादक है
अब एकैकी आच्छादक है अतः व्युत्क्रमणीय है।

(i) f^-1(y) = \(\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)\)
अथवा
fof^-1 (x) = x (∴f^-1, फलन का प्रतिलोम )
f(f^-1(x)) = x
9(ƒ ^-1(x))² + 6ƒ^-1(x) – 5 = x
⇒ 9(f^-1(x))² + 6ƒ ^-1(x) + 1 – 1 – 5 = x
(3f^-1(x) + 1)² = x + 6
3f^-1(x) + 1 = \(\sqrt{x+6}\)
3ƒ^-1(x) = \(\sqrt{x+6}\) – 1
f^-1(x) = \(\left(\frac{\sqrt{x+6}-1}{3}\right)\)
अतः f^-1(y) = \(\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)\)
जहाँ f^-1 (y), f(y) का प्रतिलोम है।

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि f: X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है। (संकेत: कल्पना कीजिए कि के दो प्रतिलोम फलन तथा g₁ तथा g₂ हैं, तब सभी y ∈ Y के लिए fog₁ (y) = I_y (y) = fog₂(y) है। अब के एकैकी गुण का प्रयोग कीजिए।)
हल:
f: X → Y व्युत्क्रमणीय है। अतः यह एकैकी हम दिया है, आच्छादक होगा।
माना g₁. g₂ के दो प्रतिलोम हैं।
तब
fog₁ (y) = I_y (y) …………(i)
तथा fog₂ (y) = I_y (y) …………(ii)
(i) तथा (ii) से,
fog₁(y) = fog₂ (y) (क्योंकि I_y (y) एक ही होगा दो नहीं)
अतः
⇒ f(g₁(y)) = f(g₂(y))
g₁(y) = g₂(y)
g₁ = g₂ [क्योंकि f एकैकी है]
अतः
f(x₁) = f (x₂)
x₁ = x₂
अर्थात् का प्रतिलोम अद्वितीय (unique) है।

प्रश्न 11.
f: {1, 2, 3} → {a, b, c}, f(1) = a, f(2) = b तथा f(3) = c द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए। f^-1 ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि
(f^-1)^-1 = f
हल:
f : {1, 2, 3} { a, b, c }, f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c फलनको क्रमित युग्मों के रूप में लिखने पर,
f = {(1, a), (2, b), (3, c)}
स्पष्टतः समुच्चय {1, 2, 3) के प्रत्येक अवयव का एक और केवल एक (अद्वितीय) प्रतिबिम्ब समुच्चय {a, b, c} में है और समुच्चय {a, b, c} का कोई ऐसा अवयव नहीं है जो कि समुच्चय {1, 2, 3} के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब न हो। अतः फलन एकैकी आच्छादक है
अतः f व्युत्क्रमणीय है।
माना f का प्रतिलोम f^-1 है,
तब – { ( 1, a), (2, b) (3, c)} में अवयवों को आपस में बदलने पर f ^-1 प्राप्त होगा।
अतः f^-1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
अर्थात् – f^-1 : {a, b, c} → {1, 2, 3} इस प्रकार परिभाषित होगा:
f ^-1(a) = 1, f^-1 (b) = 2, f ^-1 (c) = 3
चूँकि फलन एकैकी आच्छादक है अतः इसका प्रतिलोम – 1 भी एकैकी आच्छादक होगा। तब f ^-1 का प्रतिलोम (f^-1)^-1 होगा।
अत: f^-1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} में क्रमित युग्मों के अवयवों को आपस में बदलने पर (f^-1)^-1 प्राप्त होगा।
अतः (f^-1)^-1 = {(1, a), (2, b), (3, c)} = f (f की परिभाषा से)
यहाँ (f^-1)^-1 (1) = a, (f ^-1)^-1 ( 2 ) = b तथा (f ^-1)^-1 ( 3 ) = c, जो कि फलन की परिभाषा है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए कि f: X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f^-1 का प्रतिलोम है अर्थात् (f^-1)^-1 = f. X Y व्युत्क्रमणीय है तब सिद्ध करना है कि
हल:
दिया है: f X → Y व्युत्क्रमणीय है तब सिद्ध करना है कि f^-1 का प्रतिलोम फलन है अर्थात्
(f^-1)^-1 = f
यहाँ f^-1 of = I_x तथा fof^-1 = I_Y दिखाना ही (f^-1)^-1 = F के लिए पर्याप्त होगा।
स्पष्टत: f : X → Y एकैकी आच्छादक है।
∵ f^-1 : Y →X एकैकी आच्छादक है।
माना x ∈ X तथा f(x) = y तब f^-1 (y) = x
∵ (f^-1 of) (x) = f^-1 (F(x))
= f^-1(Y) [∵ f(x) = y]
= x = I_x(x)

जहाँ I_x (x) तत्समक फलन है।
∵ f^-1of = I_x
पुनः फलन / आच्छादक है, तब xe X इस प्रकार होगा कि f(x) = y, तब f^-1(1) = x
∵ (fof^-1)(y) = f(f^-1(y)) = f(x)
= y (∵ f^-1(y) = x)
= 1_y(y)
∵ fof^-1 = ly
इस प्रकार f^-1 of = I_X तथा fof^-1 = I_Y
(f^-1)^-1 = f

प्रश्न 13.
यदि f: R → R, f(x) = (3 – x³)^1/3 द्वारा प्रदत्त है, तो fof(x) बराबर है-
(A)x^1/3
(B)x³
(C) x
(D) (3 – x³‘)
हल:
दिया है : f(x) (3 – x³‘)^1/3, f: R → R
अब, fof(x) = f(f(x))
= f[(3 – x³)^1/3]
= [{3{(3 x³)^1/3}³]^1/3
= [3 – (3 – x³)^1/3
= (3 – 3 + x³)^1/3
= : ( x³)^1/3 = x
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14.
मान लीजिए कि f(x) = \(\frac{4 x}{3 x+4}\) द्वारा परिभाषित एक फलन f: R- \(\left\{-\frac{4}{3}\right\}\) R → है। का प्रतिलोम, अर्थात् प्रतिचित्र (Map) g: परिसर f → R – \(\left\{-\frac{4}{3}\right\}\) निम्नलिखित में से किसके द्वारा प्राप्त होगा:
(A) g(v) = \(\frac{3 y}{3-4 y}\)
(B) g(y) = \(\frac{4 y}{4-3 y}\)
(C) g(v) = \(\frac{4 y}{3-4 y}\)
(D) g(y) = \(\frac{3 y}{4-3 y}\)
हल:
दिया है:
f(x)= \(\frac{4 x}{3 x+4}\)
तथा f: R – \(\left\{-\frac{4}{3}\right\}\) → R
माना y = \(\frac{4 x}{3 x+4}\)
∵ 3xy + 4y = 4x
3xy – 4x = -4y
⇒ x(3y – 4) = – 4y
⇒ x = \(\frac{-4 y}{3 y-4}\)
या x = \(\frac{4 y}{4-3 y}\) g(y)
अतः विकल्प (B) सही है।