These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.3 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)
(iii) (-2,-3) (3, 2), (- 1, – 8).
हल:
(i) (1, 0), ( 6, 0), (4, 3)
यहाँ x1 = 1, x2 = 6, x3 = 4, 91 = 0, 92 = 0, y3 = 3 त्रिभुज का क्षेत्रफल
प्रश्न 2.
दिखाइए कि बिन्दु A ( a, b + c), B (b, c + a) और C(c, a + b) सरेख हैं।
हल:
(a, b + c), (b, c + a), (c, a + b) क्रमश : A, B तथा C के निर्देशांक हैं।
यहाँ x1 = a, x2 = b, x3 = c, y1 = b + c, Y2 = c + a, y3 = a + b
तीनों बिन्दु सरेख होंगे यदि ∆ABC का क्षेत्रफल शून्य है। त्रिभुज का क्षेत्रफल
(क्योंकि C1 तथा C3 सर्वसम हैं।)
अतः दिए गए बिन्दु संरेख हैं।
प्रश्न 3.
प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है, जहाँ शीर्ष बिन्दु निम्नलिखित हैं :
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)
(ii) (-2, 0), (0, 4), (0, k).
हल:
(i) शीर्ष (k, 0), (4, 0), (0, 2)
यहाँ x1 = k, x2 = 4, x 3 = 0, 11 = 0, 12 = 0, y3 = 2
अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल –
∆ = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
k & 0 & 1 \\
4 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right|\)
प्रश्नानुसार, \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
k & 0 & 1 \\
4 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1
\end{array}\right|= \pm 4\)
द्वितीय स्तम्भ के अनुदिश सारणिक का प्रसरण करने पर,
\(\frac{1}{2}\left\{-0\left|\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}
k & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{ll}
k & 1 \\
4 & 1
\end{array}\right|\right\}= \pm 4\)
या \(\frac{1}{2}\{-2(k-4)\}= \pm 4\)
धन चिह्न लेने पर,
– (k – 4) = 4
या k – 4 = – 4
k = 4 – 4
∴ k = 0
ॠण चिह्न लेने पर,
-(k – 4) = – 4
या (k – 4) = 4
∴ k = 4 + 4 = 8
अतः k = या k = 8.
(ii) शीर्ष ( – 2, 0), (0, 4), (0, k)
यहाँ x1 = – 2, = x2 = 0, x3 = 0, y1 = 0, y2 = 4, y3 = k
∴ ∆ का क्षेत्रफल =
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1
\end{array}\right|\)
= \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr}
-2 & 0 & 1 \\
0 & 4 & 1 \\
0 & k & 1
\end{array}\right|= \pm 4\)
सारणिक का प्रथम स्तम्भ (C1) के अनुदिश प्रसरण करने पर,
\(\frac{1}{2}\left\{-2\left|\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
k & 1
\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
k & 1
\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
4 & 1
\end{array}\right|\right\}= \pm 4\)
या \(\frac{1}{2}\) -2(4 – k)} = ± 4
या -(4 – k) = ± 4
धन चिह्न लेने पर,
-(4 – k) = 4
या 4- k = – 4
या k = 4 + 4
∴ k = 8
ऋण चिह्न लेने पर − (4 – k) = – 4
या 4 – k = 4
या k =4 – 4
∴ k = 0
अतः k = 8 k=0
प्रश्न 4.
(i) सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिए गए बिन्दु (1, 2) तथा ( 3, 6 ) हैं।
माना (1, 2) तथा (3, 6) को मिलाने वाली रेखा पर कोई बिन्दु (x, y) है। अत: बिन्दु (1, 2), (3, 6) तथा (x, y) सरेख हैं जिसके फलस्वरूप तीनों बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1 \\
3 & 6 & 1 \\
x & y & 1
\end{array}\right|=0\)
संक्रियाओं R2 → R2 – R1 तथा R3 → R3 – R1 से,
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 0 \\
x-1 & y-2 & 0
\end{array}\right|=0\)
सारणिक का तृतीय स्तम्भ (C3) के अनुदिश प्रसरण करने पर,
\(\frac{1}{2}\left\{1\left|\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
x-1 & y-2
\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
x-1 & y-2
\end{array}\right|\right.\)
\(\left.+0\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{array}\right|\right\}=0\)
⇒ 2(y – 2 ) – (x – 1 ) × 4 = 0
⇒ 2y – 4 – 4x + 4 = 0
⇒ 2y – 4x = 0
⇒ y – 2x = 0
∴ y – 2x
जो रेखा का अभीष्ट समीकरण है।
(ii) दिए गए बिन्दु (3, 1) तथा (9, 3) हैं। माना बिन्दुओं ( 3, 1) तथा (9, 3) को मिलाने वाली रेखा पर कोई बिन्दु (x, y) है। तब बिन्दु (3, 1), (9, 3) तथा (x, y) सरेख होंगे जिसके फलस्वरूप इन बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा । अतः
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll}
3 & 1 & 1 \\
9 & 3 & 1 \\
x & y & 1
\end{array}\right|=0\)
सारणिक में संक्रियाओं R2 → R2 – R1 तथा R3 → R3 – R1 का प्रयोग करने पर,
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 1 \\
6 & 2 & 0 \\
x-3 & y-1 & 0
\end{array}\right|=0\)
सारणिक का तृतीय स्तम्भ (C3) के अनुदिश प्रसरण करने पर,
\(\frac{1}{2}\left\{1\left|\begin{array}{cc}
6 & 2 \\
x-3 & y-1
\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}
3 & 1 \\
x-3 & y-1
\end{array}\right|\right.\)
\(\left.+0\left|\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
6 & 2
\end{array}\right|\right\}=0\)
⇒ 1{6x (y-1)-(x-3) × 2} = 0
⇒ 6y – 6 – 2x + 6 = 0
⇒ 6y – 2x = 0
⇒ 3y – x = 0
⇒ x – 3y = 0
⇒ x = 3y
जो अभीष्ट रेखा का समीकरण है।
प्रश्न 5.
यदि शीर्ष (2, 6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई हो, तोk
(A) 12
(C) – 12,-2
(B) – 2
(D) 12,- 2.
हल:
शीर्ष (2, 6), (5, 4) तथा (k, 4) हैं।
x1 = 2, x2 = 5, x3 = k, y1 = −6, y2 = 4, y3 = 4 प्रश्नानुसार त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई, k का मान है:
∆ = \(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr}
2 & -6 & 1 \\
5 & 4 & 1 \\
k & 4 & 1
\end{array}\right|= \pm 35\)
संक्रियाओं R2 → R2 – R1 तथा R3 → R3 – R1 से,
\(\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}
2 & -6 & 1 \\
3 & 10 & 0 \\
k-2 & 10 & 0
\end{array}\right|= \pm 35\)
तृतीय स्तम्भ C3 के अनुदिश सारणिक का प्रसरण करने पर,
\(\frac{1}{2}\left\{1\left|\begin{array}{cc}
3 & 10 \\
k-2 & 10
\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc}
2 & -6 \\
k-2 & 10
\end{array}\right|\right.\)
\(\left.+0\left|\begin{array}{cc}
2 & -6 \\
3 & 10
\end{array}\right|\right\}= \pm 35\)
⇒ {3 x 10-(k-2) × 10} = ± 70
⇒ 30 10k+20= ± 70
⇒ 50 – 10k = +70
धन चिह्न लेने पर,
50 – 10k = 70
⇒ – 10k = 70-50
⇒ – 10k = 20
∴ k = 2
ऋण चिह्न लेने पर,
50 – 10k = – 70
⇒ – 10k – 50 – 70
⇒ – 10k = – 120
∴ k = 12
अत: k – 2k = 12
अत: विकल्प (D) सही है।