NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन 1.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = \(\frac{1}{x}\) द्वारा परिभाषित फलन f: R*R. एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R* सभी ऋणेत्तर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रान्त R. को N से बदल दिया जाए, जबकि सहप्रान्त पूर्ववत् R. ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा ?
हल:
(1) दिया गया फलन f (x) = \(\frac{1}{x}\) f: R*→ R*
माना x₁, x₂ ∈ Ro (डोमेन)
तब f (x₁ ) = f(x₂ ) ⇒ \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\)
अतः फलन एकैकी है।
पुनः यदि सहप्रान्त (सहडोमेन) का कोई स्वेच्छ अवयव y है। यदि f (x) = y, तो
y = \(\frac{1}{x}\) x ⇒ = \(\frac{1}{y}\) , y ≠ 0
जो कि प्रान्त (डोमेन) का अवयव है।
(∀ y ∈ R*, x ∈ R*)
अतः \(f\left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{\frac{1}{y}}\) = y ∈ R**
अर्थात् ∀ y ∈ R* (सहडोमेन) \(\frac{1}{y}: f\left(\frac{1}{y}\right)=y\)
∵ f(R*) = R*
परन्तु सहप्रान्त (सहडोमेन) का प्रत्येक अवयव प्रान्त (डोमेन) में एक और केवल एक ही अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∵ f आच्छादक है।
अतः दिया हुआ फलन एकैकी तथा आच्छादक है।

(ii) जब प्रान्त (डोमेन) R* को प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N से बदल दिया जाता है तथा सहप्रान्त (सहडोमेन) R* ही रहता है, तब f: N → R*
और f(x) = \(\frac{1}{y}\), जहाँ x ∈ N
यदि x₁ x₂ ∈ N, तब f (x₁) = f (x₂) ⇒ \(\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2}\)
⇒ x₁ = x₂ , x₁, x₂ ∈ N
फलन f एकैक है।
चूँकि प्रान्त (डोमेन) प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है और सहप्रान्त (सहडोमेन) ॠणेत्तर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, तब
f: N →R* तथा f(x) = \(\frac { 1 }{2}\)
माना y ∈ R* (सहडोमेन) का कोई स्वेच्छ अवयव है।
तथा f(x) = y
y = \(\frac{1}{x} \Rightarrow x=\frac{1}{y}\)
जब y = 1, तब x = \(\frac { 1 }{1 }\) = 1 ∈N (डोमेन)
परन्तु y = \(\frac{3}{4}\) , तब x = \(\frac{1}{3/4}\) = \(\frac{4}{3}\) ∉ N, अर्थात् \(\frac{4}{3}\) प्रान्त (डोमेन) में नहीं है। इसी प्रकार y = \(\frac{4}{5}\)
तब x = \(\frac{1}{4 / 5}=\frac{5}{4} \notin N\)
अतः f का परिसर ⊂R*
(क्योंकि Re में वे अवयव भी हैं जो कि डोमेन के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं)
∵ आच्छादक नहीं है।
इस प्रकार एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है। अतः प्रान्त (डोमेन) R* को N से बदलने पर परिणाम वही नहीं रहता है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित फलनों की एकैकी ( Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :
(i) f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
(ii) f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
(iii) f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f : R → R फलन है।
(iv) f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : N → N फलन है।
(v) f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त f : Z → Z फलन है।
हल :
(i) f(x) = x² द्वारा प्रदत्त f: N → N फलन है।
माना x₁ x₂ ∈ N तब
f(x₁) = f(x₂) ⇒ x²₁ = x²₂
⇒ x₁ = x₂
अतः फलन एकैकी (injective) है।
[x₁ ± x₂, x₂ को ऋणात्मक नहीं ले सकते हैं, क्योंकि x₂ ∈ N]
पुन: f(x) = x² में x = 1, 2, 3… रखने पर,
f(1) = 1² = 1
f(2) = 2² = 4
f(3) = 3²= 9
अर्थात् सहप्रान्त (सहडोमेन) में ऐसे अवयव भी हैं जो कि प्रान्त (डोमेन) के किसी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं जैसे कि यदि 5 सहप्रान्त (सहडोमेन) में है तो 5 प्रान्त (डोमेन) के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। इसलिए / आच्छादक नहीं है।
∴ f का परिसर ⊂ N (सहडोमेन)
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f एकैकी (Injective) है परन्तु आच्छादक (Surjective) नहीं है।

(ii) f: Z → Z, जहाँ f(x) = x²
माना x₁,x₁ ∈ Z (डोमेन), तब
f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁² = x₂² (फलन f की परिभाषा से)
⇒ (x₁² = x₂²) = 0
⇒ x₁ – x₂) (x₁ + x₂) = 0
⇒ x₁ – x₂) = 0 या (x₁ + x₂) = 0
⇒ x₁ = x₂ या x₁ = -x₂
∴ f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ ≠ x₂ ∵ x₁ = – x₂
अतः f एकैकी नहीं है।
( x₁ = – x₂ )
क्योंकि x = 1 तो (1) = 1² = 1
तब x = – 1 तो f(- 1) = (- 1)² = 1
∵ 1 ≠- 1 ⇒ f(1) = f(-1) = 1
या f(1) = f(-1) ⇒ 1 (−1)

पुनः माना y ∈ Z (सहडोमेन) का कोई स्वेच्छ अवयव है।
तब y = x² ⇒ x = ± √y
अतः आच्छादक नहीं है।
f का परिसर ⊂ Z ( सहडोमेन)
∵ आच्छादक नहीं है।

क्योंकि f(x) = x² में x = – 1, – 2, – 3, 1, 2, 3 रखने पर,
f(1) = 1² = 1, (- 1) = (- 1)² = 1,
f(2) = 2² = 4, x- 2) = (- 2)² = 4,
f(3) = 3² = 9,
f(-3) = (-3)² = 9 इत्यादि

अर्थात् सहप्रान्त (सहडोमेन) में ऐसे अवयव भी हैं जो कि प्रान्त (डोमेन) के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे 7 सहप्रान्त (सहडोमेन) में है परन्तु यह प्रान्त (डोमेन) के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। इसलिए / आच्छादक नहीं है।
अतः फलन न तो एकैकी (injective) है और न ही आच्छादक (surjective) है।

(iii) f (x)= x 2 द्वारा प्रदत्त : R → R फलन है।
यदि 1 – 1 ∈ R, ⇒ (डोमेन)
तब f(1) = 1² ⇒ (- 1) = (- 1)² = 1
अत: 1 ≠ 1 ⇒ f (1) = f(- 1)

यहाँ डोमेन के दो भिन्न-भिन्न अवयवों का प्रतिबिम्ब एक ही है
∵ फलन एकैकी (injective) नहीं है।
पुनः हम देखते हैं कि -2, 3 सहप्रान्त (सहडोमेन) में हैं। परन्तु ये प्रान्त (डोमेन) के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं।
अतः f आच्छादक (surjective) नहीं है।
∵ f न तो एकैकी (injective) है और न ही आच्छादक (surjective) है ।

(iv) f(x)= x³ द्वारा प्रदत्त : N → N फलन है। यदि x² x² ∈ N (डोमेन), तब
f(x₁) = f (x²) ⇒ x³₁ = x³ ₂
⇒ x² = x²हम देखते हैं कि यदि दो अवयवों के प्रतिबिम्ब बराबर हैं तो अवयव भी बराबर हैं।
अतः f एकैकी (injective) है।
पुनः फलन f के सहप्रान्त ( सहडोमेन) N में ऐसे बहुत से अवयव हैं जो कि प्रान्त (डोमेन) के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे कि 2, 3, 4, 5 इत्यादि ।
फलन f का परिसर (Range) = {1, 8, 27, 64,…} ⊂ N
अर्थात् f(N) ⊂ N
फलन आच्छादक (surjective) नहीं है।
अत: फलन एकैकी (injective) है, परन्तु आच्छादक (surjective) नहीं है।

(v) f(x) = x² द्वारा प्रदत्त : Z → Z फलन है।
यदि x₁, x₂ ∈ Z ( प्रान्त या डोमेन), तब
f(x₁) = f (x²) ⇒ x³₁ = x³ ₂
⇒ x² = x²अतः f एकैकी (injective) है।
पुन: f(1) = 1³ = 1, f(-1)=(-1)³ = -1
f(2)=2³=8, f(-2) = (-2)³ = -8
f(3)=3³=27, f(-3)=(-3)³ = 27
f(4) = 4³ = 64, f(-4) = (-4)³ = – 64

अतः f का परिसर (Range)
= {…., 64, 27, -8, -1, 0, 1, 8, 27, 64,..}
अतः f का परिसर (Range)
= {…-64, 27, -8, -1, 0, 1, 8, 27, 64,…} ⊂ Z
अर्थात् f (Z) ⊂ Z ( सहप्रान्त या सहडोमेन)
∵ फलन f आच्छादक नहीं है।
अतः फलन एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f: R → R न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], .x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है। {[x] ≤ x}
हल:
दिया गया फलन f: RR तथा f(x) = [x] तब,
f(1.4) = 1 तथा f(1.7) 1
1.4 ≠ 17 ⇒ f(1.4) = f (1.7) = 1
यहाँ 1-4 तथा 1.7 दोनों का प्रतिबिम्ब 1 है।
∵ एकैकी नहीं है।
चूँकि fका सहडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R है तथा इसमें सभी संख्याएँ पूर्णांक नहीं हैं। परन्तु x ∈ R (डोमेन) का प्रतिबिम्ब पूर्णांक है।
∵ सहप्रान्त (सहडोमेन) का वह अवयव जो कि पूर्णांक नहीं है, प्रान्त (डोमेन) के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है अर्थात् f(R) ⊂ R (सहडोमेन)
∵ f आच्छादक नहीं है।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि f (x) = | x | द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f: R → R, न तो एकैकी है और न ही आच्छादक, जहाँ | x | बराबर x, यदि x धन या शून्य है तथा । x | बराबर – x, यदि x ऋण है।
हल:
यहाँ f: R → R तथा f(x)=| x |, तब
f(1) = | 1 | = 1 तथा f(- 1) = | – 1 | = 1
यहाँ 1 ≠ – 1 ⇒ f(1) = f(-1) = 1
अर्थात् डोमेन के दो अवयवों 1 तथा 1 का प्रतिबिम्ब एक ही अवयव 1 है
∵ एकैकी नहीं है।
f(0) = 0

पुन:
f(1) = (1) = 1, f(- 1) = | -1 | = 1
ƒ(2)= | 2 |= 2, f(-2)= | -2 |= 2
f(3) = | 3 | = 3, f(-3) = | – 3 | = 3
f(4) = | 4 | = 4, f(- 4) = | -4 | =4

चूँकि के सहडोमेन में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं परन्तु इसकी कोई भी ऋणात्मक संख्या के डोमेन के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∵ f आच्छादक नहीं है।
अतः फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक ।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि f: R → R
\(f(x)=\left\{\begin{array}{c}
1, \text { if } x>0 \\
0, \text { if } x=0 \\
-1, \text { if } x<0
\end{array}\right.\)
द्वारा प्रदत्त फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
हल :
यहाँ f: R → R, तथा
\(f(x)=\left\{\begin{array}{c}
1, \text { if } x>0 \\
0, \text { if } x=0 \\
-1, \text { if } x<0
\end{array}\right.\)
यहाँ_f(1) = 1, f(2) = 1, क्योंकि 1 > 0, 2 > 0
1 ≠ 2 ⇒ (1) = f(2)
अर्थात् डोमेन के दो अवयवों 1 तथा 2 के प्रतिबिम्ब एक ही अवयव 1 है।
∵ फलन एकैकी नहीं है।
चूँकि फलन का सहडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा डोमेन के अवयवों का प्रतिबिम्ब केवल – 1, 0, 1 है। तब
f(R) = { – 1, 0, 1) ⊂ R ( सहडोमेन)
या f का परिसर = {- 1, 0, 1} ⊂ R (डोमेन)
∵ f आच्छादक नहीं है।
अतः फलन f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक ।
इति सिद्धम् ।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f= {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} 4 से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि एकैकी है।
हल:
प्रश्नानुसार,
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}
f: A → B इस प्रकार है कि
ƒ= {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
तब_f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6
अर्थात् A के प्रत्येक अवयव का प्रतिबिम्ब भिन्न-भिन्न है ।
अतः ƒ एकैकी है।
इसे निम्न चित्र द्वारा भी प्रदर्शित किया जा सकता है :

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बताइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (Bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) f(x) = 3 – 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
(ii) f(x) = 1 + x² द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
हल:
f : R → R तथा f(x) = 3 – 4x
यदि x₁,x₂ ∈ R डोमेन तब,
f(x₁) = f(x₂) ⇒ 3 – 4x₁ = 3 – 4x₂⇒ – 4x₁ = 4x₂⇒ x₁ = x₂∴ f एकैकी है।

पुन: यदि सहप्रान्त (कोडोमेन) का कोई स्वेच्छ अवयव y इस प्रकार है कि f(x) = y
तब y = 3 – 4x
या y – 3 = -4x
या 3 – y = 4x
या x = \(\frac {3-y}{4}\)
f\(\frac {3-y}{4 }\) = 3 – 4(\(\frac {3-y}{4 }\))
= 3 – (3 – y)
= 3 – 3 + y = y
अर्थात् ∀ y ∈ R (डोमेन)
3 (\(\frac {3-y}{4}\))∈R : f (\(\frac {3-y}{4}\)) = y
अतः सहडोमेन का प्रत्येक अवयव प्रान्त (डोमेन) के किसी-न-किसी अवयव का एक प्रतिबिम्ब अवश्य है।
∴ f आच्छादक है।
अतः फलन f एकैकी तथा आच्छादक है।.

(ii) f: R→R तथा f (x) = 1 + x²
माना x₁,x₂ ∈R (प्रान्त या डोमेन ), तब
f(x₁) = f(x₂) ⇒ 1 + x₁² = 1 + x₂²
x₁² = x₂²
⇒ (x₁² – x₂²) = 0 ⇒ (x₁ – x₂) (x₁ + x₂ ) = 0
⇒ x₁ = x₂ या x₁ = -X₂
अर्थात् अवयवों के प्रतिबिम्ब बराबर होने पर भी अवयव बराबर नहीं है।
जैसे: f(1) = 1 + 1² = 2 = f(- 1) = 1 + (- 1 )² = 1 + 1 = 2
अर्थात् 1≠ -1 ⇒ f(1) = f(- 1) = 2
∴ f एकैकी नहीं है।
फलन f के सहप्रान्त की ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं जो कि प्रान्त (डोमेन) के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हैं।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः माना ye R ( सहप्रान्त या सहडोमेन ), तब
f(x) = y = 1 + x²
⇒ x² = y – 1
तब x = ± \(\sqrt{y-1}\)
यदि y = 0, तो x = ±\(\sqrt{-1}\) ∉ R
अतः आच्छादक नहीं है।
∴ फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि 4 तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f : A × B → B × 4 इस प्रकार है कि f(a, b) = (b, a) एक एकैकी आच्छादी (Bijective) फलन है।
हल:
प्रश्नानुसार,
f : A × B → B × A यदि f (a, b) = (b, a )
माना (a₁, b₁) तथा ( a₂, b₂) e Ax B, तब
f(a₁, b₁) = f (a₂, b₂)
(b₁, a₁ ) = (b₂, a₂)
b₁ = b₂, a₁ = a₂
(b₁, a₁ ) = (b₂, a₂ )
अतः f (a₁, b₁ ) = f (a₂, b₂)
⇒ (b₁, a₁ ) = (b₂, a₂ )
जहाँ (a₁, b₁), (a₂, b₂) ∈ A × B
∴फलन f एकैकी है।
पुनः माना (b, a) समुच्चय B x A का एक स्वेच्छ अवयव है, तब (b, a) ∈ B × A.
⇒ b∈B तथा a∈A
⇒ a∈A तथा b∈B
⇒ (a, b) ∈ A x B
अत: ∀ (b, a) ∈ B × A 3 (a, b) ∈ A x B इस प्रकार है कि f(a, b) = (a, b)
∴ f : A × B → B × A आच्छादक है।
अतः दिया गया फलन एकैकी तथा आच्छादक है या फलन एकैकी आच्छादी फलन (bijective) है।

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि समस्त n∈N के लिए,

द्वारा परिभाषित एक फलन f: NN है । बताइए कि क्या फलन एकैकी आच्छादी (Bijective) है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
हल :
f : N → N तथा

अब n = 1, जब n विषम है।
f (1) = \(\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}\) = 1
तथा n = 2, जब n सम है।
f(2) = \(\frac{1+1}{2}\) = 1
∴ 1 ≠ 2 ⇒ f(1) = f(2) = 1
अर्थात् दो भिन्न-भिन्न अवयवों 1 तथा 2 के प्रतिबिम्ब एक ही अवयव 1 है।
अतः फलन एकैकी नहीं है अर्थात् बहु- एकैकी है।
माना समुच्चय N का कोई स्वेच्छ अवयव ” है अर्थात् n∈N.
यदि विषम है तो (2n – 1) भी विषम होगा, तब
f(2n – 1) =\( \frac{(2 n-1)+1}{2}=\frac{2 n}{2}\) n [ f(n) = \( \frac{(n-1)}{2}\) जब n विषम है।]
तथा जब ” सम है, तो 2n भी सम होगा।
अतः f(2) = \(\frac{2n}{2}\) = n ∴ [f(n) = \( \frac{(n)}{2}\) जब n सम है।]
इस प्रकार हम देखते हैं कि ” चाहे सम हो अथवा विषम।
तब f(N) = N
∴ f आच्छादक है।
अतः दिया हुआ फलन बहु-एकैकी आच्छादक है, आच्छादक नहीं है।
परन्तु एकैकी

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि A = R – {3} तथा B = R – {1} है।
f(x) = \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)\) द्वारा परिभाषित फलन f : A→ B पर विचार कीजिए क्या एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
हल:
प्रश्नानुसार, A = R- {3} तथा B = R – {1} और f: A→ B, तब
f(x) = \(\frac{x-2}{x-3}\)
माना x₁, x₂ ∈ A, तब
माना f(x₁) = f (x₂) ⇒ \(\frac{x_1-2}{x_1-3}=\frac{x_2-2}{x_2-3}\)
⇒ (x₁-2) (x₂-3)= (x₂-2) (x₁ -3)
⇒ x₁x₂ – 3x₁ – 2x₂ + 6 = x₁x₂ – 3x₂ – 2x₁ + 6
⇒ 3x₂ – 2x₂ = 3x₁ – 2x₁
⇒ x₂ = x₁
⇒ x₁ = x₂
∴ फलन f एकैकी (one-one) है।
पुनः माना y ∈ B कोई स्वेच्छ अवयव इस प्रकार है कि
y = f(x)
y = \(\frac{x-2}{x-3}\), (x≠3)
तब (x-3) y = x – 2
⇒ xy – 3y = x – 2
⇒ xy – x = 3y – 2
⇒ x(y – 1) = 3y – 2
∴ x = \(\frac{3y-2}{y-1}\)
स्पष्टतः : y ≠ 1 के लिए x परिभाषित है।
∴ x≠3
तथा f(x) = f(\(\frac{3y-2}{y-1}\))
= \(\frac{\frac{3 y-2}{y-1}-2}{\frac{3 y-2}{y-1}-3}\)
= \(\frac{(3 y-2)-2(y-1)}{(3 y-2)-3(y-1)}\)
= \(\frac{3 y-2-2 y+2}{3 y-2-3 y+3}\)
= \(\frac{y}{1}\) = y
इस प्रकार, ∀y ∈ B, ∃ x ∈ A : f(x) = y
∴ फलन f आच्छादक ( onto ) है।
अतः दिया गया फलन f एकैकी तथा आच्छादक (one-one onto ) है।

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि f: R → R, f(x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए:
(A) f एकैकी आच्छादक है
(B) f बहु-एक आच्छादक है
(C) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है
(D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल:
प्रश्नानुसार, f : R → R, f(x) = x⁴
माना x₁,x₂∈R (डोमेन)
∴ f(x₁) = f(x₂)
x₁⁴ – x₂⁴
\(\left(x_1^2-x_2^2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)\) = 0
(x₁² – x₂²) = 0
परन्तु x₁² – x₂² ≠ 0, क्योंकि दो वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य नहीं होता है।
x₁² – x₂² = 0
(x₁ – x₂)(x₁ + x₂) = 0
x₁ – x₂ = 0 या x₁ + x₂ = 0
x₁ = x₂ या x₁ = – x₂[∴ x₁ = – x₂]
f(x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ ≠ x₂
अतः f एकैकी नहीं है।
क्योंकि x = 1 के लिए, f(1) = 1⁴ = 1
तथा x = – 1 के लिए, (-1) = (-1)⁴ = 1
इसी प्रकार x = 2 के लिए, f(2) = 2⁴ = 16
तथा x = – 2 के लिए, f(- 2) = (-2)⁴ = 16
अर्थात् f (1) = f(-1) तथा f(2) = f(-2)
∴ 1 ≠ – 1⇒ f(1) = f(- 1) = 1
तथा 2 ≠ – 2 ⇒ f(2) = f(- 2) = 16
आच्छादक के लिए माना y ∈ R ( सहडोमेन) का कोई स्वेच्छ अवयव है
तथा f(x) = y
तब y = x⁴ = x = (y)⁴, y ≥ 0
∴ सहडोमेन में धनेत्तर संख्याएँ भी हैं। अतः कोई भी ऋणात्मक संख्या (सहडोमेन की) प्रान्त (डोमेन) के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है जैसे कि सहडोमेन का अवयव (-2) डोमेन के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। दूसरे शब्दों में, फलन का परिसर ऋणेत्तर संख्याओं का समुच्चय है अर्थात् का परिसर CR ( सहडोमेन ) अतः फलन आच्छादक नहीं है।
दिया गया फलन न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है। अतः विकल्प (D) सही विकल्प है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए कि f (x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f : R→R है। सही उत्तर चुनिए :
(A) f एकैकी आच्छादक है
(B) f बहु-एक आच्छादक है
(C) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(D) fन तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।
हल:
प्रश्नानुसार, f : R→ R यदि f (x) = 3x
माना x₁ x₂∈R (प्रान्त या डोमेन )
तब f (x₁) = f (x₂) = 3x₁ = 3x₂
⇒ x₁ = x₂
अतः एकैकी है।
माना y ∈ R ( सहप्रान्त) कोई स्वेच्छ अवयव इस प्रकार हो कि y = f(x), तब
y = f(x) ⇒ y = 3x
⇒ x = \(\frac{y}{3}\)∈R (प्रान्त)
तब f(\(\frac{y}{3}\)) = 3(\(\frac{y}{3}\)) [∴ f(x) = 3x]
= y ∈ R (सहप्रान्त)
अतः प्रान्त R का अवयव \(\frac{y}{3}\) का प्रतिबिम्ब सहप्रान्त का अवयव y है।
∴ f फलन आच्छादक है।
अतः दिया हुआ फलन एकैकी तथा आच्छादक है।
∴ विकल्प (A) सही विकल्प है।