NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.2

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सदिशों के परिमाण का परिकलन कीजिए:
$\vec{a}$ = $\hat{i}$ + $\hat{j}$ + $\hat{k}$
$\vec{b}$ = 2$ =\hat{i}$ – 7 $\hat{j}$ – 3 $\hat{k}$
$\vec{c}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\hat{i}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\hat{j}$ – $\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\hat{k}$
हल:

प्रश्न 2.
समान परिमाण वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल:
माना सदिश $\vec{a}$ = 3 $\hat{i}$ + 4 $\hat{j}$ – $\hat{k}$ तथा $\vec{b}$ = 4 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + 3 $\hat{k}$ हैं।
अब
$\vec{a}|$ = $|3 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}|$
= $\sqrt{3^2+4^2+(-1)^2}$
= $\sqrt{9+16+1}$ = $\sqrt{26}$
तथा
$|\vec{b}|$ = $|4 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}|$
= $\sqrt{4^2+(-1)^2+3^2}$
= $\sqrt{16+1+9}$ = $\sqrt{26}$
अब
$|\vec{a}|$ = $|\vec{b}|$ = $\sqrt{26}$
अतः सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ समान परिमाण वाले दो सदिश हैं। ऐसे सदिशों की संख्या अनन्त है।

प्रश्न 3.
समान दिशा वाले दो विभिन्न सदिश लिखिए।
हल:
माना सदिश $\vec{a}$ = $\hat{i}$ + $\hat{j}$ + $\hat{k}$
तथा
$\vec{b}$ = 3 $\hat{i}$ + 3 $\hat{j}$ + 3 $\hat{k}$
अब सदिश $\vec{a}$ के दिक्-कोसाइन l₁, m₁, n₁ हों तो
l₁ = $\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
m₁ = $\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
तथा
n₁ = $\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
तथा यदि सदिश $\vec{b}$ के दिक्-कोसाइन l₂, m₂, n₂ हों, तो
l₂ = $\frac{3}{\sqrt{3^2+3^2+3^2}}$ = $\frac{3}{\sqrt{27}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
m₂ = $\frac{3}{\sqrt{3^2+3^2+3^2}}$ = $\frac{3}{\sqrt{27}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
तथा
n₂ = $\frac{3}{\sqrt{3^2+3^2+3^2}}$ = $\frac{3}{\sqrt{27}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
इस प्रकार हम देखते हैं कि सदिशों के दिक्-कोसाइन समान हैं अर्थात्
$\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{1}{\sqrt{3}}$
तथा
$\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\frac{1}{\sqrt{3}}$
या
सदिश समान दिशा वाले हैं।
अब $\quad|\vec{a}|$ = $|\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}|$
= $\sqrt{1^2+\mathrm{I}^2+1^2}$ = $\sqrt{3}$
तथा
$|\vec{b}|$ = $|3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k}|$
=
$\sqrt{3^2+3^2+3^2}$ = $\sqrt{27}$ = 3 $\sqrt{3}$
∴ $\quad|\vec{a}| \neq|\vec{b}|$
ऐसे सदिश अनन्त हैं।

प्रश्न 4.
x और y के मान ज्ञात कीजिए ताकि सदिश $2 \hat{i}$ + 3 $\hat{j}$ और $\hat{x i}$ + $\hat{y}$ $\hat{j}$ समान हों।
हल:
दो सदिश समान होते हैं यदि उनके घटक समान हों।
माना $\vec{a}$ = 2 $\hat{i}$ + 3 $\hat{j}$ तथा $\vec{b}$ = x $\hat{i}$ + y $\hat{j}$
अब: $\vec{a}$ = $\vec{b}$ तो 2 $\hat{i}$ + 3 $\hat{j}$ = x $\hat{i}$ + $\hat{y}$ $\hat{j}$
तब 2 = x तथा 3 = y
∴ x = 2 तथा y = 3

प्रश्न 5.
एक सदिश का प्रारम्भिक बिन्दु (2, 1) है और अन्तिम बिन्दु (-5, 7) है। इस सदिश के अदिश एवं सदिश घटक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश के प्रारम्भिक बिन्दु तथा अंतिम बिन्दु क्रमशः A तथा B हैं।
तब A के निर्देशांक (2, 1)
तथा B के निर्देशांक (-5, 7)
अब सूत्र
$\overrightarrow{A B}$ = (x₂ – x₁) $\hat{i}$ + (y₂ – y₁) $\hat{j}$ + (z₂ – z₁) $\hat{k}$
$\overrightarrow{A B}$ = (-5 – 2) $\hat{i}$ + (7 – 1)$ \hat{j}$
= -7$ \hat{i}$ + 6 $\hat{j}$
∴ $\overrightarrow{A B}$ के अदिश घटक -7 तथा 6 हैं।
तथा $\overrightarrow{A B}$ के सदिश घटक -7 $\hat{i}$ तथा 6 $\hat{j}$$हैं।

प्रश्न 6.
सदिश $\vec{a}$ = $\hat{i}$ – 2 $\hat{j}$ + $\hat{k}$, $\vec{b}$ = -2 $\hat{i}$ + 4 $\hat{j}$ + 5 $\hat{k}$ और $\vec{c}$ = $\hat{i}$ – 6 $\hat{j}$ – 7 $\hat{k}$ का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
सदिशों $\vec{a}$, $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ का योगफल
∴ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$ = $\hat{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$
($\hat{i}$ – 2 $\hat{j}$ + $\hat{k}$) + (-2 $\hat{i}$ + 4 $\hat{j}$ + 5 $\hat{k}$)
= (1 – 2 + 1) $\hat{i}$ + (-2 + 4 – 6) $\hat{j}$ + (1 + 5 – 7) $\hat{k}$
= 0 $\hat{i}$ – 4$\hat{j}$ – $\hat{k}$
= -4 $\hat{j}$ – $\hat{k}$ अभीष्ट योग है।

प्रश्न 7.
सदिश $\vec{a}$ = $\hat{i}$ + $\hat{j}$ + 2 $\hat{k}$ के अनुदिश एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
सदिश $\vec{a}$ के अनुदिश मात्रक सदिश
= $\hat{a}$ = $\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$
अब
$|\vec{a}|$ = $|\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}|$
= $\sqrt{1^2+1^2+2^2}$ = $\sqrt{1+1+4}$ = $\sqrt{6}$
∴ $\hat{a}$ = $\frac{\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{\sqrt{6}}$ $\hat{i}$ + $\frac{1}{\sqrt{6}}$ $\hat{j}$ + $\frac{2}{\sqrt{6}}$ $\hat{k}$
जो $\vec{a}$ के अनुदिश अभीष्ट मात्रक सदिश है।
उत्तर

प्रश्न 8.
सदिश $\overrightarrow{P Q}$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दु P और Q क्रमशः (1, 2, 3) और (4, 5, 6) हैं।
हल:

प्रश्न 9.
दिए हुए सदिशों $\vec{a}$ = 2 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + 2 $\hat{k}$ और $\vec{b}$ = –$\hat{i}$ + $\hat{j}$ – $\hat{k}$ के लिए सदिश $\vec{a}$ + $\vec{b}$ के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए सदिश $\vec{a}$ = 2 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + 2 $\hat{k}$
तथा $\vec{b}$ = $-\hat{i}$ + $\hat{j}$ – $\hat{k}$
अब
$\vec{a}$ + $\vec{b}$ = 2 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + 2 $\hat{k}$ + ($-\hat{i}$ + $\hat{j}$ – $\hat{k}$)
= 2 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + 2 $\hat{k}$ – $\hat{i}$ + $\hat{j}$ – $\hat{k}$
= (2 – 1) $\hat{i}$ + (-1 + 1) $\hat{j}$ + (2 – 1) $\hat{k}$
= $\hat{i}$ + 0.$\vec{j}$ + $\hat{k}$ = $\hat{i}$ + $\hat{k}$
अब $|\vec{a}+\vec{b}|$ = $|\hat{i}+\hat{k}|$ = $\sqrt{1^2+1^2}$ = $\sqrt{2}$
($\vec{a}$ + $\vec{b}$) के अनुदिश मात्रक सदिश
= $\frac{1}{|\vec{a}+\vec{b}|}$ ($\vec{a}$ + $\vec{b}$)
== $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\hat{i}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\hat{k}$
जो कि अभीष्ट मात्रक सदिश है।

प्रश्न 10.
सदिश 5 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + 2 $\hat{k}$ के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 8 इकाई है।
हल:
माना $\vec{a}$ = 5 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + 2 $\hat{k}$
तब
$|\vec{a}|$ = |5 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + 2 $\hat{k}$|
= $\sqrt{5^2+(-1)^2+2^2}$ = $\sqrt{30}$
सदिश $\vec{a}$ के अनुदिश मात्रक सदिश
$\hat{a}$ = $\frac{1}{\vec{a}}$ $\vec{a}$ = $\frac{5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{30}}$
या
$\hat{a}$ = $\frac{5}{\sqrt{30}}$ $\hat{i}$ – $\frac{1}{\sqrt{30}}$ $\hat{j}$ + $\frac{2}{\sqrt{30}}$ $\hat{k}$
अब $\vec{a}$ के अनुदिश और 8 परिमाण वाला सदिश = 8 $\vec{a}$
अत:
8 $\vec{a}$ = 8($\frac{5}{\sqrt{30}}$ $\hat{i}$ – $\frac{1}{\sqrt{30}}$ $\hat{j}$ + $\frac{2}{\sqrt{30}}$ $\hat{k}$)
= $\frac{40}{\sqrt{30}}$ $\hat{i}$ – $\frac{8}{\sqrt{30}}$ $\hat{j}$ + $\frac{16}{\sqrt{30}}$ $\hat{k}$
अत: अभीष्ट सदिश = $\frac{40}{\sqrt{30}}$ $\hat{i}$ – $\frac{8}{\sqrt{30}}$ $\hat{j}$ + $\frac{16}{\sqrt{30}}$ $\hat{k}$

प्रश्न 11.
दश्शाइए कि सदिश 2$\hat{i}$ – 3 $\hat{j}$ + 4 $\hat{k}$ और -4 $\hat{i}$ + 6 $\hat{j}$ – 8 $\hat{k}$ सरेख हैं।
हल:
माना $\vec{a}$ = 2 $\hat{i}$ – 3 $\hat{j}$ + 4 $\hat{k}$
तथा
$\vec{b}$ = -4 $\hat{i}$ + 6 $\hat{j}$ – 8 $\hat{k}$
= -2(2 $\hat{i}$ – 3 $\hat{j}$ + 4 $\hat{k}$)
∴ $\vec{b}$ = -2 $\vec{a}$
या
$\vec{a}$ = $-\frac{1}{2}$ $\vec{b}$
सदिश $\vec{b}$ को सदिश $\vec{a}$ के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। अतः सदिश $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ संरेख हैं।
[$\vec{b}$ = λ $\vec{a}$
यहाँ λ = -2,
$\vec{a}$ = $-\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ तब λ = $-\frac{1}{2}$

प्रश्न 12.
सदिश $\hat{i}$ + 2 $\hat{j}$ + 3 $\hat{k}$ का दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश $\vec{r}$ = $\hat{i}$ + 2 $\hat{j}$ + 3 $\hat{k}$
यदि a, b, c सदिश $\vec{r}$ के दिक्-अनुपात हों तथा l, m तथा n दिक्-कोसाइन हों, तो a = 1, b = 2, c = 3
∴ दिक्-कोसाइन l = $\frac{ \pm a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$,
m = $\frac{ \pm b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ तथा n = $\frac{ \pm c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
∴ l = $\frac{ \pm 1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}$ = $\frac{ \pm 1}{\sqrt{14}}$
m = $\frac{ \pm 2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}$ = $\frac{ \pm 2}{\sqrt{14}}$
तथा
n = $\frac{ \pm 3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}$ = $\frac{ \pm 3}{\sqrt{14}}$
अत: दिए गए सदिश के दिक्-कोसाइन $\frac{ \pm 1}{\sqrt{14}}$, $\frac{ \pm 2}{\sqrt{14}}$ तथा $\frac{ \pm 3}{\sqrt{14}}$ हैं।

प्रश्न 13.
बिन्दुओं A(1, 2, -3) एवं B(-1, -2, 1) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश की दिक्-कोसाइंन ज्ञात कीजिए।
हल:
हम जानते हैं कि बिन्दुओं A(x₁, y₁, z₁) तथा B(x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाले एवं A से B की तरफ दिष्ट सदिश = $\overrightarrow{A B}$
∴ $\overrightarrow{A B}$ = (x₂ – x₁) $\hat{i}$ + (y₂ – y₁) $\hat{j}$ + (z₂ – z₁) $\hat{k}$
प्रश्नानुसार, A(1, 2, -3) तथा B(-1, -2, 1)
∴ x₁ = 1, y₁ = 2, z₁ = -3
तथा x₂ = -1, y₂ = -2, z₂ = 1
∴ A से B की तरफ दिष्ट सदिश = $\overrightarrow{A B}$
∴ $\overrightarrow{A B}$ = (-1 – 1) $\hat{i}$ + (-2 – 2) $\hat{j}$ + {1 – (-3)} $\hat{k}$
या $\overrightarrow{A B}$ = -2 $\hat{i}$ – 4 $\hat{j}$ + 4 $\hat{k}$
यदि $\overrightarrow{A B}$ के दिक्-अनुपात a, b तथा c हों, तो
$\overrightarrow{A B}$ = a $\hat{i}$ + b $\hat{j}$ + c $\hat{k}$
∴ (1) तथा (2) से, a = -2, b = -4, c = 4

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि सदिश $\hat{i}$ + $\hat{j}$ + $\hat{k}$ अक्षों O X, O Y एवं O Z के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
माना $\vec{r}$ = $\hat{i}$ + $\hat{j}$ + $\hat{k}$
यदि सदिश $\vec{r}$ के दिक्-अनुपात a, b तथा c हों, तो
$\vec{r}$ = a $\hat{i}$ + b $\hat{j}$ + c $\hat{k}$
∴ a = 1, b = 1, c = 1
यदि सदिश $\vec{r}$ के दिक्-कोसाइन l, m तथा n हों, तो
l = $\frac{a}{|\vec{r}|}$, m = $\frac{b}{|\vec{r}|}$, n = $\frac{c}{|\vec{r}|}$
$\vec{r}$ = $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
= $\sqrt{1^2+1^2+1^2}$ = $\sqrt{3}$
l = $\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$
m = $\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$
n = $\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}$
l = $\frac{1}{\sqrt{3}}$, m = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ तथा n = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
तथा
∴ l = cosα = $\frac{1}{\sqrt{3}}$, m = cosβ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
n = cosγ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴ α = cos^-1$\frac{1}{\sqrt{3}}$, β = cos^-1$\frac{1}{\sqrt{3}}$
तथा
γ = cos^-1$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴ α = β = γ = cos^-1$\frac{1}{\sqrt{3}}$
अतः सदिश अक्षों के साथ बराबर कोण बनाता है अर्थात् यह अक्षों के साथ बराबर झुका हुआ है।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P($\hat{i}$ + 2 $\hat{j}$ – $\hat{k}$) और Q($-\hat{i}$ + $\hat{j}$ + $\hat{k}$) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में (i) अन्त:, (ii) बाहु, विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मूलबिन्दु O है, तब बिन्दुओं P, Q तथा R के स्थिति सदिश $\overrightarrow{O P}$, $\overrightarrow{O Q}$ तथा $\overrightarrow{O R}$ हैं।
प्रश्नानुसार, $\overrightarrow{O P}$ = $\hat{i}$ + 2 $\hat{j}$ – $\hat{k}$
तथा $\overrightarrow{O Q}$ = $-\hat{i}$ + $\hat{j}$ + $\hat{k}$
(i) जब बिन्दु R, बिन्दुओं P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2: 1 के अनुपात में अन्त: विभाजित करता है, तब
$\overrightarrow{O R}$ = $\frac{m \overrightarrow{O Q} + n \overrightarrow{O P}}{m+n}$
= $\frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+ 1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2+1} $
या $\overrightarrow{O R}$ = $\frac{-2 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{3}$
= $\frac{(-2+1) \hat{i}+(2+2) \hat{j}+(2-1) \hat{k}}{3}$
= $\frac{-\hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}}{3}$
= $-\frac{1}{3}$$ \hat{i}$ + $\frac{4}{3}$$ \hat{j}$ + $\frac{1}{3}$$ \hat{k}$
या
∴ बिन्दु R का स्थिति सदिश $-\frac{1}{3}$ $\hat{i}$ + $\frac{4}{3}$$ \hat{j}$ + $\frac{1}{3}$$ \hat{k}$ है।

(ii) जब बिन्दु R बिन्दुओं P तथा Q को मिलाने वाली रेखा को 2: 1 के अनुपात मे बाह्य विभाजित करता है, तब
$\overrightarrow{O R}$ = $\frac{m \overrightarrow{O Q}-n \overrightarrow{O P}}{m-n}$
= $\frac{2(-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})-1(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})}{2-1}$
= (-2 – 1) $\hat{i}$ + (2 – 2) $\hat{j}$ + (2 + 1)$ \hat{k}$
या $\overrightarrow{O R}$ = -3 $\hat{i}$ + 3$\hat{k}$
अतः बिन्दु R का स्थिति सदिश -3$\hat{i}$ + 3 $\hat{k}$ है।

प्रश्न 16.
दो बिन्दुओं P(2, 3, 4) और Q(4, 1, -2) को मिलाने वाले सदिश का मध्य-बिन्दु ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मूलबिन्दु O है। तब O के सापेक्ष बिन्दुओं P तथा Q के स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{O P}$ तथा $\overrightarrow{O Q}$ हैं।
अब $\overrightarrow{O P}$ = 2 $\hat{i}$ + 3 $\hat{j}$ + 4 $\hat{k}$
तथा $\overrightarrow{O Q}$ = 4 $\hat{i}$ + $\hat{j}$ – 2 $\hat{k}$
अब $\overrightarrow{P Q}$ का मध्य-बिन्दु R हो, तब
$\overrightarrow{O R}$ = $\frac{\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}}{2}$
= $\frac{2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}+4 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{2}$
= $\frac{(2+4) \hat{i}+(3+1) \hat{j}+(4-2) \hat{k}}{\hat{F}^2}$
= $\frac{6 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}}{2}$
= 3 $\hat{i}$ + 2 $\hat{j}$ + $\hat{k}$
अत: अभीष्ट मध्य-बिन्दु 3$\hat{i}$ + 2 $\hat{j}$ + $\hat{k}$ है।

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि बिन्दु A, B और C, जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}$ = 3 $\hat{i}$ – 4 $\hat{j}$ – 4 $\hat{k}$, $\vec{b}$ = 2 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + $\hat{k}$ और $\vec{c}$ = $\hat{i}$ – 3 $\hat{j}$ – 5$ \hat{k}$ हैं, एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों का निर्माण करते हैं।
हल:
माना मूलबिन्दु O है, तब
प्रश्नानुसार, $\overrightarrow{O A}$ = $\vec{a}$ = 3 $\hat{i}$ – 4$ \hat{j}$ – 4$\hat{k}$
$\overrightarrow{O B}$ = $\vec{b}$ = 2 $\hat{i}$ – $\hat{j}$ + $\hat{k}$
तथा $\overrightarrow{O C}$ = $\vec{c}$ = $\hat{i}$ – 3 $\hat{j}$ – 5 $\hat{k}$
अब $\overrightarrow{A B}$ = $\overrightarrow{O B}$ – $\overrightarrow{O A}$ = $\vec{b}$ – $\vec{a}$

प्रश्न 18.
त्रिभुज A B C. (संलग्न आकृति) के लिए निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य नहीं है:

(A) $\overrightarrow{A B}$ + $\overrightarrow{B C}$ + $\overrightarrow{C A}$ = $\overrightarrow{0}$
(B) $\overrightarrow{A B}$ + $\overrightarrow{B C}$ – $\overrightarrow{A C}$ = $\overrightarrow{0}$
(C) $\overrightarrow{A B}$ + $\overrightarrow{B C}$ – $\overrightarrow{C A}$ = $\overrightarrow{0}$
(D) $\overrightarrow{A B}$ – $\overrightarrow{C B}$ + $\overrightarrow{C A}$ = $\overrightarrow{0}$
हल:
सदिशों के योगफल त्रिभुज के अनुसार,
$\overrightarrow{A B}$ + $\overrightarrow{B C}$ = $\overrightarrow{A C}$
$\overrightarrow{A B}$ + $\overrightarrow{B C}$ = $-\overrightarrow{C A}$
या $\overrightarrow{A B}$ + $\overrightarrow{B C}$ + $\overrightarrow{C A}$ = 0
या
कथन (C) सत्य नहीं है, क्योंकि
$\overrightarrow{A B}$ + $\overrightarrow{B C}$ – $\overrightarrow{C A}$ = $\overrightarrow{A C}$ + $\overrightarrow{A C}$
= 2 $\overrightarrow{A C}$ ≠ $\overrightarrow{0}$
अतः उत्तर (C) होगा।

प्रश्न 19.
यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो संरेख सदिश हैं तो निम्नलिखित में कौन-सा कथन सत्य नहीं है :
(A) $\vec{b}$ = λ $\vec{a}$, किसी अदिश λ के लिए
(B) $\vec{a}$ = ± $\vec{b}$
(C) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ क्रमागत घटक समानुपाती हैं
(D) दोनों सदिशों $\vec{a}$ तथा $\vec{b}$ की दिशा समान हैं, परन्तु परिमाण विभिन्न हैं।
हल:
दिए हुए कथन (A, B) तथा (C) सही हैं।
पुन: सरेख सदिश समान्तर होते हैं तब यह आवश्यक नहीं है कि दिशा समान हो या परिमाण समान हो।
अतः कथन (D) सही नहीं है।
अतः उत्तर (D) होगा।