NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति विविध प्रश्नावली

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिखाइए कि मूलबिन्दु से (2, 1, 1) को मिलाने वाली रेखा, बिन्दुओं (3, 5, -1) और (4, 3, -1) से निर्धांरित रेखा पर लम्ब है।
हल:
माना बिन्दु A(2, 1, 1) और मूलबिन्दु B(0, 0, 0) से जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात 2 – 0, 1 – 0, 1 – 0 या 2, 1, 1 हैं और बिन्दु C(3, 5, -1) तथा D(4, 3, -1) से निर्धारित रेखा के दिक्-अनुपात 4 – 3, 3 – 5, -1 + 1 या 1, – 2, 0 हैं।
जब A B और C D लम्ब हैं तब
a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0
∴ a₁ a₂+b₁ b₂ +c₁ c₂
= 2 × 1 + 1 × (-2) + 1 × 0
= 2 – 2 + 0 = 0
अत: A B और C D परस्पर लम्ब हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
यदि दो परस्पर लम्ब रेखाओं की दिक-कोसाइन l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन m₁ n₂-m₂ n₁, n₁ l₂-n₂ l₁, l₁ m₂-l₂ m₁ हैं।
हल:
माना दो रेखाएँ A B और C D, जिनकी दिक्-कोसाइन क्रमश: l₁, m₁, n₁ तथा l₂, m₂, n₂ हैं जो कि परस्पर लम्ब हैं :
l₁ l₂+m₁ m₂+n₁ n₂=0
यदि l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ दिक्-कोसाइन हैं, तो
l₁^2+m₁^2+n₁^2=1
तथा
l₂^2+m₂^2+n₂^2=1
माना P Q जो A B और C D दोनों पर लम्ब है और इसके दिक्-कोसाइन l, m, n हैं।
∴l₁ + m m₁ + n n₁ = 0
और l₂ + m m₂ + n n₂ = 0
∴ \( \frac{l}{m_1 n_2-m_2 n_1}\)
= \(\frac{m}{n_1 l_2-n_2 l_1}\)
= \(\frac{n}{l_1 m_2-l_2 m_1}\)
माना m₁ m₂-m₂ n₁=p, n₁ l₂-n₂ l₁=q
और l₁ m₂-l₂ m₁ = r
∴ \(\frac{l}{p}\) = \(\frac{m}{q}\) = \(\frac{n}{r}\) = \(\frac{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}\)
⇒ \(\frac{l}{p}\) = \(\frac{m}{q}\) = \(\frac{n}{r}\) = \(\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}\)
अब (l₁² + m₁² + n₁² ) (l₂² + m₂² + n₂² )
-(l₁ l₂ + m₁ m₂ + n₁ n₂)²
+ (m₁ n₂-m₂ n₁)² + (n₁ l₂-l₂ m₁)²
समीकरण (4) से,
= p² + q² + r²
= (l₁² + m₁² + n₁²)
(l₂² + m₂² + n₂² )
– (l₁ l₂+m₁ m₂+n₁ n₂)²
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
l₁ l₂+m₁ m₂+n₁ n₂ = 0
और l₁² + m₁² + n₁² = 1 और l₂² + m₂² + n₂² = 1
समीकरण (6) में मान रखने पर,
p² + q² + r² = 1 1 – 0 = 1
∴ \(\sqrt{p^2+q^2+r^2}\) = 1
∴ \(\frac{l}{p}\) = \(\frac{m}{q}\) = \(\frac{n}{r}\) = \(\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}\)
⇒ \(\frac{l}{p}\) = \(\frac{m}{q}\) = \(\frac{n}{r}\) = \(\frac{1}{1}\) = 1
l = p = m₁ n₂-m₂ n₁, m = q = n₁ l₂-n₂ l₁,
n = r = l₁ m₂-l₂ m₁
अतः दिक्-कोसाइन:
m₁ n₂ – m₂ n₁, n₁ l₂ – n₂ l₁, l₁ m₂ – l₂ m₁
इति सिंद्धम्।

प्रश्न 3.
उन रेखाओं के मध्य कोण ज्ञात कीजिए, जिनके दिक्-अनुपात a, b, c और b – c, c – a, a – b हैं।
हल:
यदि उन रेखाओं के बीच का कोण θ है, जिनके दिक्-अनुपात a, b, c और b – c, c – a, a – b हैं, तो
cos θ = \(\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2}}\)
= \(\frac{a b-a c+b c-a b+a c-b c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2} \sqrt{(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2}}\)
= 0
cos θ = cos 90°
∴ θ = 90°

प्रश्न 4.
x-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से जाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
x-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से जाने वाली रेखा x-अक्ष ही है। x-अक्ष के दिक् कोसाइन 1,0,0 हैं।
अतः x-अक्ष की समीकरण, \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{0}\)

प्रश्न 5.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7), (-4, 3, -6) और (2, 9, 2) हैं तो A B और C D रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A(1, 2, 3), B(4, 5, 7) को मिलाने वाली रेखा A B के दिव्-अनुपात 4 – 1, 5 – 2, 7 – 3 या 3, 3, 4 तथा बिन्दु C(-4, 3, -6), D(2, 9, 2) को मिलाने वाली रेखा C D के दिक्-अनुपात 2 + 4, 9 – 3, 2 + 6 या 6, 6, 8 हैं।
A B || C D
यदि \(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\)
\(\frac{c_1}{c_2}\) = \(\frac{4}{8}\) = \(\frac{1}{2}\)
∴ \(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
अतः A B और C D परस्पर समान्तर हैं।
∴ इनके बीच का कोण 0° है।

प्रश्न 6.
यदि रेखाएँ \(\frac{x-1}{-3}\) = \(\frac{y-2}{2 k}\) = \(\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{x-1}{3 k}\) = \(\frac{y-1}{1}\) = \(\frac{z-6}{-5}\) परस्पर लम्ब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ \(\frac{x-1}{-3}\) = \(\frac{y-2}{2 k}\) = \(\frac{z-3}{2}\) में दिक्-अनुपात, 3, 2 k, 2 हैं
तथा \(\frac{x-1}{3 k}\) = \(\frac{y-1}{1}\) = \(\frac{z-6}{-5}\) के दिक्-अनुपात 3 k, 1,-5 हैं। जब रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं तब
a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0
∴ (-3) × (3 k) + 2 k × 1 + 2 × (-5) = 0
⇒ -9 k + 2 k – 10 = 0
⇒ 7 k = -10 -7 k – 10 = 0
∴ k = \(-\frac{10}{7}\)

प्रश्न 7.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाले तथा तल \(\vec{r}\) + (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\)) + 9 = 0 पर लम्बवत् रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\)) + 9 = 0 के लम्ब के अनुदिश सदिश
= \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\)
इसलिए उस रेखा का समीकरण जो (1, 2, 3) से होकर जाती है और सदिश \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\) के अनुदिश है:
\(\vec{r}\) = (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) + λ(\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\))

प्रश्न 8.
बिन्दु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल \(\vec{r}\) ( \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 2 के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 2 के समान्तर किसी भी समतल का समीकरण निम्न है:
\(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = λ
यह तल बिन्दु (a, b, c) से होकर जाता है।
∴ (a \(\hat{i}\) + b \(\hat{j}\) + c \(\hat{k}\)) (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = λ
a + b + c = λ
∴ \(\vec{r}\) = x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\) में x = a, y = b,
z = c
λ का मान समीकरण (i) में रखने पर,
∴ \(\vec{r}\)(\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = a + b + c
यही अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 9.
रेखाओं
\(\vec{r}\) = 6 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\) + λ(\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\))
और \(\vec{r}\) = – 4 \(\hat{i}\) – \(\hat{k}\) + µ(3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\))
के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
समीकरण
\(\vec{r}\) = 6 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\) + λ(\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\))
की \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_1}\) + λ \(\vec{b}\) से तुलना करने पर,
\(\overrightarrow{a_1}\) = 6 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)
\(\overrightarrow{b_1}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)
⇒ \(\vec{r}\) = -4 \(\hat{i}\) – \(\hat{k}\) + µ(3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\))
तथा
की \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_2}\) + µ \(\vec{b}\) से तुलना करने पर,
\(\overrightarrow{a_2}\) = -4 \(\hat{i}\) – \(\hat{k}\)
\(\overrightarrow{b_2}\) = 3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)
रेखा \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_1}\) + \(\hat{λ}\) \(\overrightarrow{b_1}\)
और \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_2}\) + µ \(\overrightarrow{b_2}\) के बीच की न्यूनतम दूरी
a₂ + µ b₂ के बीच की न्यूनतम दूरी
d =
∵ \(\overrightarrow{a_2}\) – \(\overrightarrow{a_1}\) = 4 \(\hat{i}\) – \(\hat{k}\) – 6 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\)
= -10 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)
∴ \(\overrightarrow{b_1}\) × \(\overrightarrow{b_2}\) = \(|\begin{array}{ccc}
\hat{i} \hat{j} \hat{k}
1 -2 2
3 -2 -2
\end{array}|\)
त्रि-विमाय ज्यामिति
= \(\hat{i}\)(4 + 4) – \(\hat{j}\) (- 2 – 6) + \(\hat{k}\) (- 2 + 6)
= 8 \(\hat{i}\) + 8 \(\hat{j}\) + 4 \(\hat{k}\)
\(|\overrightarrow{b_1} × \overrightarrow{b_2}|\) = \(\sqrt{(8)^2+(8)^2+(4)^2}\)
= \(\sqrt{64+64+16}\) = \(\sqrt{144}\) = 12
अत: S.D. = \(|\frac{(-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot(8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k})}{12}|\)
= \(|\frac{-10 × 8+(-2) × 8+(-3) × 4}{12}|\)
= \(|\frac{-80-16-12}{12}|\) = \(|\frac{108}{12}|\) = 9

प्रश्न 10.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) तथा (3, 4, 1) से जाने वाली रेखा Z X-समतल पर मिलती है।
हल:
बिन्दुओं (5, 1, 6) तथा (3, 4, 1) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x-5}{3-5}\) = \(\frac{y-1}{4-1}\) = \(\frac{z-6}{1-6}\)
\(\frac{x-5}{-2}\) = \(\frac{y-1}{3}\) = \(\frac{z-6}{-5}\)
या \(\frac{x-5}{-2}\) = \(\frac{y-1}{3}\) = \(\frac{z-6}{-5}\)
∵ रेखा (1) Z X-समतल से मिलती है।
∴ समीकरण (1) में y = 0 रखने पर
\(\frac{x-5}{-2}\) = \(-\frac{1}{3}\) = \(\frac{z-6}{-5}\)
⇒ \(\frac{x-5}{-2}\) = \(\frac{-1}{3}\) तथा \(\frac{z-6}{-5}\) = \(-\frac{1}{3}\)
⇒ x = 5 + \(\frac{2}{3}\) तथा z = \(\frac{5}{3}\) + 6
⇒ x = \(\frac{17}{3}\) तथा z = \(\frac{23}{3}\)
∴ अभीष्ट बिन्दु =(\(\frac{17}{3}\), 0, \(\frac{23}{3}\))

प्रश्न 11.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX-तल को काटती है।
हल:
माना बिन्दु (x₁, y₁, z₁) और (x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\) = \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\)= \(\frac{z-z_1}{_2-z_1}\)
∴ बिन्दु (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x-5}{3-5}\) = \(\frac{y-1}{4-1}\) = \(\frac{z-6}{1-6}\)
⇒ \(\frac{x-5}{-2}\) = \(\frac{y-1}{3}\) = \(\frac{z-6}{-5}\)
⇒ \(\frac{x-5}{2}\) = \(\frac{y-1}{-3}\) = \(\frac{z-6}{5}\) = λ (माना)
इस रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक
(5 + 2 λ, 1 – 3 λ, 6 + 5 λ)
यह बिन्दु Y Z-तल अर्थात् x = 0 पर स्थित है।
5 + 2 λ = 0
λ = -5 / 2
∴ का मान समी. (1) में रखने पर,
5 + 2 λ = 5 + 2 × (\(\frac{-5}{2}\)) = 5 – 5 = 0
1 – 3 λ = 1 – 3 × (\(\frac{-5}{2}\)) = 1 + \(\frac{15}{2}\) = \(\frac{17}{2}\)
6 + 5 λ = 6 + 5 × (\(\frac{-5}{2}\)) = 6 – \(\frac{25}{2}\) = \(\frac{-13}{2}\)
अत: अभीष्ट बिन्दु = (0, \(\frac{17}{2}\), – \(\frac{13}{2}\))

प्रश्न 12.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से गुजरने वाली रेखा, समतल 2 x + y + z = 7 के पार जाती है।
हल:
माना बिन्दु (x₁, y₁, z₁) तथा (x₂, y₂, z₂) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x – x_1}{x_2-x_1}\) = \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1}\) = \(\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\)
∴ दो बिन्दु (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x-3}{2-3}\) = \(\frac{y+4}{-3+4}\) = \(\frac{z+5}{1+5}\)
⇒ \(\frac{x-3}{-1}\) = \(\frac{y+4}{1}\) = \(\frac{z+5}{6}\) = λ (माना)
इस रेखा पर किसी बिन्दु के निर्देशांक
(3 – λ,- 4 + λ,- 5 + 6 λ)
यह बिन्दु समतल
2 x + y + z = 7 पर स्थित है
⇒ 2(3 – λ) + (-4 + λ) + (-5 + 6 λ) = 7
⇒ 6 – 2 λ – 4 + λ – 5 + 6 λ = 7
⇒ 5 λ – 3 = 7
⇒ 5 λ = 10
∴ λ = \(\frac{10}{5}\) = 2
λ का मान समी. (1) में रखने पर,
3 – λ = 3 – 2 = 1
-4 + λ = – 4 + 2 = -2
-5 + 6 λ = -5 + 6 × 2
= -5 + 12 = 7
अतः अभीष्ट बिन्दु (1, -2, 7) है।

प्रश्न 13.
बिन्दु (-1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2 y + 3 z = 5 और 3 x + 3 y + z = 0 में से प्रत्येक पर लम्ब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (-1, 3, 2) से जाने वाले समतल का समीकरण
a(x + 1) + b(y – 3) + c(z – 2) = 0
यह समतल x + 2 y + 3 z = 5 पर लम्ब है।
∴ a + 2 b + 3 c = 0
समीकरण (1) 3 x + 3 y + z = 0 पर लम्ब है:
3 a + 3 b + c = 0
समीकरण (2) तथा (3) से,
\(\frac{a}{2-9}\) = \(\frac{b}{9-1}\) = \(\frac{c}{3-6}\)
⇒ \(\frac{a}{-7}\) = \(\frac{b}{8}\) = \(\frac{c}{-3}\)
⇒ \(\frac{a}{+7}\) = \(\frac{b}{-8}\) = \(\frac{c}{+3}\) = λ (माना)
∴ a = 7 λ, b = -8 λ, c = 3 λ
a, b, c के मान समी. (1) में रखने पर,
7 λ(x + 1) + (-8 λ)(y – 3) + 3 λ(z – 2) = 0
⇒ 7(x + 1) – 8(y – 3) + 3(z – 2) = 0
⇒ 7 x + 7 – 8 y + 24 + 3 z – 6 = 0
⇒ 7 x – 8 y + 3 z + 25 = 0
अतः लम्ब समतल का समीकरण
7 x – 8 y + 3 z + 25 = 0

प्रश्न 14.
यदि बिन्दु (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल \(\vec{r}\) (3 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) – 12 \(\hat{k}\)) + 13 = 0 से समान दूरी पर स्थित हों, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु \(\vec{a}\) से समतल \(\vec{r}\) \(\vec{n}\) = d की दूरी
समतल r n = d
\(\overrightarrow{a_1 \cdot \vec{n}-d}|\vec{n}|\)
यहाँ \(\overrightarrow{a_1}\) = (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + p \(\hat{k}\)), \(\vec{n}\) = 3 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) – 12 \(\hat{k}\)
d = -13
∴ बिन्दु (1, 1, p) से दिये गये समतल की दूरी
= \(|\frac{\hat{(i+\hat{j}+p \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k})+13}}{\sqrt{(3)^2+(4)^2+(-12)^2}}| \)
= \(|\frac{1 × 3+1 × 4+p ×(-12)+13}{\sqrt{9+16+144}}|\)
= \(|\frac{3+4-12 p+13}{\sqrt{169}}|\)
= \(|\frac{20-12 p}{13}|\)
बिन्दु (-3, 0, 1) से समतल \(\vec{r}\) (3 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) – 12 \(\hat{k}\)) + 13 = 0 की दूरी
\(|\frac{(-3 \hat{i}+\hat{k}) \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-12 \hat{k})+13}{\sqrt{(3)^2+(4)^2+(-12)^2}}|\)
= \(|\frac{-3 \times 3+0 \times 4+1 \times(-12)+13}{\sqrt{9+16+144}}|\)
= \(|\frac{-9-12+13}{\sqrt{169}}|\) = \(|\frac{-8}{13}|\) = \(\frac{8}{13}\)
समी. (1) व (2) से,
या \(|\frac{20-12 p}{13}|\) = \(\frac{8}{13}\)
या 20 – 12 p = + 8
धनात्मक चिह्ल लेने पर,
20 – 12 p = 8
⇒ -12 p = 8 – 20 = -12
∴ p =1
ऋणात्मक चिह्ह लेने पर,
20 – 12 p = -8
⇒ -12 p =-8 – 20
⇒ -12 p = -28
⇒ p = \(\frac{28}{12}\)
∴ p = \(\frac{7}{3}\)
p = 1, \(\frac{7}{3}\)
अत :
p = 1, \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 15.
समतलों \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 1 और \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) + 4 = 0 की प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समतलों
\(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 1 और \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) + 4 = 0
की प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण:
\(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) – 1 + λ[\(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) + 4] = 0
⇒ \(\vec{r}\)[(1 + 2 λ) \(\hat{i}\) + (1 + 3 λ) \(\hat{j}\) + (1 – λ) \(\hat{k}\)]
-1 + 4 λ = 0
∵ यह तल x-अक्ष के समान्तर है।
∴ इस तल का अभिलम्ब x-अक्ष के अनुदिश है।
समतल का अभिलम्ब सदिश
[(1 + 2 λ) \(\hat{i}\) + (1 + 3 λ) \(\hat{j}\) + (1 – λ) \(\hat{k}\)]
के अनुदिश है।
x-अक्ष के दिक्-कोसाइन 1, 0, 0 हैं।
⇒ 1 .(1 + 2 λ) = 0 या λ = -1 / 2
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\vec{r}\) [(1 – 2 × \(\frac{1}{2}\)) \(\hat{i}\) + (1 – 3 × \(\frac{1}{2}\)) \(\hat{j}\).
+ (1 + \(\frac{1}{2}\)) \(\hat{k}\)] – 1 – 4 × \(\frac{1}{2}\) = 0
⇒ \(\vec{r}\) [(1 – 1) \(\hat{i}\) + (\(-\frac{1}{2}\)) \(\hat{j}\) + \(\frac{3}{2}\) \(\hat{k}\)] – 1 – 2 = 0
⇒ \(\vec{r}\) [\(-\frac{1}{2}\) \(\hat{j}\) + \(\frac{3}{2}\) \(\hat{k}\)] – 3 = 0
⇒ \(\vec{r}\) (\(-\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) – 6 = 0
⇒ \(\vec{r}\) (\(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)) + 6 = 0
जो यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 16.
यदि O मूलबिन्दु तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1, 2, -3 ) हैं तो बिन्दु P से जाने वाले तथा O P के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु O(0, 0, 0) और P(1, 2, -3) से होकर जाने वाली रेखा O P के दिक्-अनुपात, 1 – 0, 2 – 0, -3 – 0 अर्थात् 1, 2, -3 हैं। इसलिए समतल वें अभिलम्ब वें दिव्न-अनुपात (1, 2, -3) हैं और समतल P(1, 2, -3) से होकर जाता है।
∴ at(x – x₁) + b(y – y₁) + c(z – z₁) = 0 से
⇒ 1(x – 1) + 2(y – 2) – 3(2 z + 3) = 0
⇒ x – 1 + 2 y – 4 – 3 z – 9 = 0
⇒ x + 2 y – 3 z – 14 = 0
यही अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 17.
समतलों \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) – 4 = 0 और \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) + 5 = 0 की प्रतिच्छेदन रेखा को अन्तर्विष्ट करने वाले तथा तल \(\vec{r}\) (5 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – 6 \(\hat{k}\)) + 8 = 0 के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समतल \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) – 4 = 0 और \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) + 5 = 0 की प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण
\(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) – 4 + λ[\(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) + 5] = 0
⇒ \(\vec{r}\) [(1 + 2 λ) \(\hat{i}\) + (2 + λ) \(\hat{j}\) + (3 – λ) \(\hat{k}\)]
– 4 + 5 λ = 0
अब समतल \(\vec{r}\) (5 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – 6 \(\hat{k}\)) + 8 = 0 के लम्बवत् है।
∴ उनके अभिलम्ब भी लम्बवत् होंगे।
⇒ (1 + 2 λ) × 5 + (2 + λ) × 3 + (3 – λ) × (-6) = 0
⇒ 5 + 10 λ + 6 + 3 λ – 18 + 6 λ = 0
⇒ 19 λ – 7 = 0
⇒ 19 λ = 7
λ = \(\frac{7}{19}\)
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\vec{r}\) [(1 + 2 × \(\frac{7}{19}\)) \(\hat{i}\) + (2 + \(\frac{7}{19}\)) \(\hat{j}\).
+ (3 – \(\frac{7}{19}\)) \(\hat{k}\)] – 4 + 5 × \(\frac{7}{19}\) = 0
⇒ \(\vec{r}\) [\(\frac{33}{19}\) \(\hat{i}\) + \(\frac{45}{19}\) \(\hat{j}\) + \(\frac{50}{19}\) \(\hat{k}\)] – \(\frac{41}{19}\) = 0
∴ \(\vec{r}\) (33 \(\hat{i}\) + 45 \(\hat{j}\) + 50 \(\hat{k}\)) – 41 = 0

प्रश्न 18.
बिन्दु (-1, -5, -10) से रेखा
\(\vec{r}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\) + λ(3 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)) और समतल \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 5 के प्रतिच्छेद बिन्दु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा
\(\vec{r}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\) + λ(3 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\))
और समतल \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 5
से मिलती है।
\(\vec{r}\) { का मान समीकरण (1) से लेकर (2) में रखने पर, }
{[2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\) + λ(3 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\))] (\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 5}
⇒ (2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)) (\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\))
+ λ(3 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)) (\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 5
⇒ 2 × 1 – 1 × (-1) + 2 × 1 + λ[(3 × 1 + 4 × (-1) + 2 × 1] = 5
2 + λ(3 – 4 + 2) = 5
5 + λ = 5
λ का मान समीकरण (1) में रखने से, सरल रेखा और समतल का प्रतिच्छेदन बिन्दु
\(\vec{r}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)
दिया गया बिन्दु = \(-\hat{i}\) – 5 \(\hat{j}\) – 10 \(\hat{k}\)
इन बिन्दुओं के मध्य दूरी
= \(\sqrt{[2-(-1)]^2+(-1+5)^2+[2-(-10)]^2}\)
= \(\sqrt{(3)^2+(4)^2+(12)^2}\)
= \(\sqrt{9+16+144}\)
= \(\sqrt{169}\) = 13

प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)) = 5 और \(\vec{r}\) (3 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल :
माना बिन्दु (1,2,3) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\(\vec{r}\) = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\) + λ(b₁ \(\hat{i}\) + b₂ \(\hat{j}\) + b₃ \(\hat{k}\))
∴ यह रेखा समतल \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)) = 5 के समान्तर है।
⇒ समतल का अभिलम्ब और रेखा (1) परस्पर लम्बवत् हैं।
b₁-b₂ + 2 b₃ = 0
इसी प्रकार रेखा (1) और समतल \(\vec{r}\) (3 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 6 समान्तर हैं।
⇒ रेखा (1) और समतल का अभिलम्ब परस्पर लम्बवत् है।
⇒ 3 b₁ + b₂ + b₃ = 0
समीकरण (2) और (3) से,
\(\frac{b_1}{-1-2}\) = \(\frac{b_2}{6-1}\) = \(\frac{b_3}{1+3}\)
⇒ \(\frac{b_1}{-3}\) = \(\frac{b_2}{5}\) = \(\frac{b_3}{4}\)
या \(\frac{b_1}{3}\) = \(\frac{b_2}{-5}\) = \(\frac{b_3}{-4}\)
b₁, b₂, b₃ के मान समीकरण (1) में रखने पर,
∴ \(\vec{r}\) = (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) + λ(3 \(\hat{i}\) – 5 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\))

प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं
\(\frac{x-8}{3}\) = \(\frac{y+19}{-16}\) = \(\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-15}{3}\) = \(\frac{y-29}{8}\) = \(\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अभीष्ट रेखा
\(\vec{r}\) = (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\)) + λ(b₁ \(\hat{i}\) + b₂ \( \hat{j}\) + b₃ \(\hat{k}\))
रेखाएँ \(\frac{x-8}{3}\) = \(\frac{y+19}{-16}\) = \(\frac{z-10}{7}\)
और \(\vec{r}\) = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\) + λ(b₁ \(\hat{i}\) + b₂ \(\hat{j}\) + b₃ \(\hat{k}\))
आपस में लम्ब हैं।
इन रेखाओं के दिक्-अनुपात 3, -16, 7 और b₁, b₂, b₃ हैं। ये रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं, यदि
3 b₁-16 b₂+7 b₃=0
इसी प्रकार रेखा \(\frac{x-15}{3}\) = \(\frac{y-29}{8}\) = \(\frac{z-5}{-5}\) और
\(\vec{r}\) = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\) + λ(b₁ \(\hat{i}\) + b₂ \(\hat{j}\) + b₃ \(\hat{k}\)) के दिक् अनुपात 3, 8, -5 और b₁, b₂, b₃ हैं। ये परस्पर लम्ब हैं।
∴ 3 b₁ + 8 b₂-5 b₃ = 0
समीकरण (2) व (3) से,
\(\frac{b_1}{80-56}\) = \(\frac{b_2}{21+15}\) = \(\frac{b_3}{24+48}\)
⇒ \(\frac{b_1}{24}\) = \(\frac{b_2}{36}\) = \(\frac{b_3}{72}\)
⇒ \(\frac{b_1}{2}\) = \(\frac{b_2}{3}\) = \(\frac{b_3}{6}\)
b₁, b₂, b₃ के समानुपाती मान समी. (1) में रखने पर,
\(\vec{r}\) = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\) + λ(2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\))
यही अभीष्ट रेखा का समीकरण है।

प्रश्न 21.
यदि एक समतल के अन्तःखण्ड a, b, c हैं और इसकी मूलबिन्दु से दूरी p इकाई है, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\) + \(\frac{1}{c^2}\) = \(\frac{1}{p^2}\)
हल:
उस समतल का समीकरण जिसके अन्तःखण्ड a, b, c हैं।
∴ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1
इस समतल की मूलबिन्दु से दूरी
p = \(\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}\)
या
p² = \(\frac{1}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)
∴ \(\frac{1}{p^2}\) = \(\frac{1}{a^2}\) + \(\frac{1}{b^2}\) + \(\frac{1}{c^2}\)
इति सिद्धम्।

प्रश्न 22 और 23 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए:
प्रश्न 22.
दो समतलों 2 x + 3 y + 4 z = 4 और 4 x + 6 y + 8 z = 12 के बीच की दूरी है:
(A) 2 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 8 इकाई
(D) \(\frac{2}{\sqrt{29}}\) इकाई
हल:
दिया है : दो समतलों
2 x + 3 y + 4 z = 4
तथा 4 x + 6 y + 8 z = 12
या 2x + 3 y + 4 z = 6
माना दो समतल a x + b y + c z = d₁ तथा a x + b y + c z = d₂ के बीच की दूरी
= \(\frac{d_1 – d_2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
∴ समतलों 2 x + 3 y + 4 z = 4 तथा 2 x + 3 y + 4 z = 6 के बीच की दूरी
= \(\frac{6-4}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(4)^2}}\)
= \(\frac{2}{\sqrt{4+9+16}}\) = \(\frac{2}{\sqrt{29}}\)
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 23.
समतल 2x – y + 4 z = 5 और 5x – 2.5 y + 10z = 6 हैं:
(A) परस्पर लम्ब
(B) समान्तर
(C) y-अक्ष पर प्रतिच्छेद करते हैं
(D) बिन्दु (0, 0, \(\frac{5}{4}\)) से गुजरते हैं
हल:
दिये गये समतल
2 x – y + 4 z = 5
और 5 x – 2.5 y + 10 z = 6
यहाँ a₁ = 2, b₁ = -1, c₁ = 4 और a₂ = 5.
b₂ = -2 5 = \(-\frac{25}{10}\) = \(-\frac{5}{2}\), c₂ = 10
समान्तर होने पर, \(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
अब
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{2}{5}\)
\(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{-1}{-2 \cdot 5}\) = \(\frac{1}{\frac{5}{2}}\) = \(\frac{2}{5}\)
\(\frac{c_1}{c_2}\) = \(\frac{4}{10}\) = \(\frac{2}{5}\)
∴ \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{2}{5}\)
∴ \(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
∴ दिये गये समतल समान्तर हैं।
अतः विकल्प (B) सही है।