NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
XY-तल में, x- अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
माना XY-तल में OP मात्रक सदिश है जो धनात्मक x अक्ष के साथ 30° का कोण बनाता है।

अतः
∠XOP = 30°
सदिश \(\overrightarrow{O P}\) के अन्तबिन्दु P से x- अक्ष पर PN लम्ब है।
समकोण ∆ONP में,
cos 30° = \(\frac{O N}{|\overrightarrow{O P}|}\) = \(\frac{O N}{1}\)
(∵ \(\overrightarrow{O P}\) इकाई सदिश है)
या
ON = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
पुन: समकोण ∆ONP से,
sin 30° = \(\frac{N P}{|\overrightarrow{O P}|}\) = \(\frac{N P}{1}\)
(∵ |OP| = 1)
\(\frac{N P}{|\overrightarrow{O P}|}\)
या
NP = sin 30° = \(\frac{1}{2}\)
अब
\(\overrightarrow{O P}\) = \(\overrightarrow{O N}\) + \(\overrightarrow{N P}\) = |O N|\(\hat{i}\) + |N P|\(\hat{j}\)
या
\(\overrightarrow{O P}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\hat{i}\) + \(\frac{1}{2}\) \(\hat{j}\)
अभीष्ट मात्रक सदिश है।
[∵ \(|\overrightarrow{O P}|\) = \(\left|\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}\right|\) = \(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}\) = \(\sqrt{\frac{4}{4}}\) = 1
वैकल्पिक विधि माना OX, OY तथा OZ निर्देशांक अक्ष हैं तथा XY-तल में \(\overrightarrow{O P}\) इकाई सदिश है जो OX के साथ 30° का कोण बनाता
है। तब \(\overrightarrow{O P}\) तथा y-अक्ष के बीच का कोण 60° होगा और \(\overrightarrow{O P}\) तथा 2- अक्ष के बीच का कोण 90° होगा।

अर्थात् \(\overrightarrow{O P}\) अक्षों OX, OY तथा OZ के साथ क्रमश: 30°, 60° तथा 90° के कोण बनाता है।
\(\overrightarrow{O P}\) के दिक्-कोसाइन cos 30°, cos 60°,
∵ cos 90° या (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\frac{1}{2}\), 0)
(cos 30°) \(\hat{i}\) + (cos 60°) \(\hat{j}\) + (cos 90°)\(\hat{k}\)
तब \(\overrightarrow{O P}\) = (cos 30°) \(\hat{i}\) + (cos 60°) \(\hat{j}\) + (cos 90°)\(\hat{k}\)
या \(\overrightarrow{O P}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\( \hat{i}\) + \(\frac{1}{2} \)\(\hat{j}\) जो अभीष्ट सदिश हैं जो कि मात्रक सदिश भी है।
क्योंकि \(\overrightarrow{O P}\) = \(\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2} \)
= \(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}\) = \(\sqrt{\frac{4}{4}}\) = \(\sqrt{1}\)
= 1

प्रश्न 2.
बिन्दु p(x₁, y₁, z₁) और Q(x₂, y₂, z₂) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मूलबिन्दु O है, तब O के सापेक्ष,
बिन्दु P का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O P}\) = x₁ \(\hat{i}\) + y₁ \(\hat{j}\) + z₁ \(\hat{k}\)
बिन्दु Q का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O Q}\) = x₂\(\hat{i}\) + y₂ \(\hat{j}\) + z₂ \(\hat{k}\)
अत: P तथा Q को मिलाने वाला सदिश = \(\overrightarrow{O P}\)
\(\overrightarrow{PQ}\) = \(\overrightarrow{O Q}\) – \(\overrightarrow{O P}\)
= (x₂\(\hat{i}\) + y₂ \(\hat{j}\) + z₂ \(\hat{k}\)) – (x₁ \(\hat{i}\) + y₁ \(\hat{j}\) + z₁)
= (x₂ – x₁)\(\hat{i}\) + (y₂ – y₁)\(\hat{j}\) + (z₂ – z₁)\(\hat{k}\)
\(\overrightarrow{PQ}\) के अदिश घटक (x₂ – X₁), (y₂ – y₁) तथा (z₂ – z₁) हैं।
\(\overrightarrow{PQ}\) का परिमाण |\(\overrightarrow{PQ}\)|
= |(x₂ – x₁)\(\hat{i}\) + (y₂ – y₁)\(\hat{j}\) + (z₂ – z₁)\(\hat{k}\)|
= \(\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}\)

प्रश्न 3.
एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 किमी चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पूर्व की दिशा में 3 किमी चलती है और रुक जाती है। प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए ।
हल:
माना लड़की बिन्दु O से पश्चिम दिशा में OP (4 किमी) चलती है, जैसाकि चित्र में दिखाया गया है, तब \(\overrightarrow{O P}\) को
सदिश – 4\(\hat{i}\) से निरूपित करते हैं।
अब लड़की बिन्दु से उत्तर से 30° पूर्व की तरफ PQ (3 किमी ) चलती है, तब वह बिन्दु Q पर पहुँचती है। PQ ऊर्ध्वाधर (उत्तर दिशा) से 30° का कोण बनाता है तथा OX के साथ 60° का कोण बनाता है (चित्र में दिखाया गया है)।

प्रश्न 4.
यदि \(\vec{a}\) = \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) तब क्या यह सत्य है कि \(|\vec{a}|\) = \(|\vec{b}|\) + \(|\vec{c}|\)? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसवे लिए x(\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) एक मात्रक सदिश है।
हल:
प्रश्नानुसार, x(\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) एक मात्रक सदिश है।
∴|x \(\hat{i}\) + x \(\hat{j}\) + x \(\hat{k}\)| = 1
या \(\sqrt{x^2+x^2+x^2}\) = 1
या \(\sqrt{3 x^2}\) = 1
या x \(\sqrt{3}\) = ± 1
या
x = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

प्रश्न 6.
सदिशों \(\vec{a}\) = 2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)
और
\(\vec{b}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)
के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिमाण 5 इकाई है।
हल:
माना \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) का परिणामी \(\vec{c}\) है।
तब \(\vec{c}\) = \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)
= (2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) + (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\))
= (2 + 1) \(\hat{i}\) + (3 – 2) \(\hat{j}\) + (-1 + 1) \(\hat{k}\)
= 3 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\)
∴ \(|\vec{c}|\) = |3 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\)| = \(\sqrt{3^2+1^2}\) = \(\sqrt{10}\)
∴ \(\vec{c}\) के अनुदिश मात्रक सदिश = \(\frac{1}{\vec{c}}\) \(\vec{c}\) = \(\hat{c}\)
= \(\frac{3 \hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{10}}\) = \(\frac{3}{\sqrt{10}}\)\( \hat{i}\) + \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)\( \hat{j}\) = \(\hat{c}\)
अत: \(\vec{c}\) के अनुदिश (समान्तर) वह सदिश जिसका परिमाण 5 है
= 5 \(\hat{c}\) = 5(\(\frac{3}{\sqrt{10}}\) \(\hat{i}\) + \(\frac{1}{\sqrt{10}}\) \(\hat{j})\)
= \(\frac{15}{\sqrt{10}}\)\( \hat{i}\) + \(\frac{5}{\sqrt{10}}\)\( \hat{j}\)
= \(\frac{3 \sqrt{10}}{2}\)\( \hat{i}\) + \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)\( \hat{j}\)
= \(\frac{3}{2}\sqrt{10}\) \(\hat{i}\) + \(\frac{1}{2} \sqrt{10}\)\( \hat{j}\)

प्रश्न 7.
यदि \(\vec{a}\) = \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\), \(\vec{b}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\) और \(\vec{c}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\), तो सदिश 2 \(\vec{a}\) – \(\vec{b}\) + 3 \(\vec{c}\) के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल: प्रश्नानुसार,
\(\vec{a}\) = \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)
\(\vec{b}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)
\(\vec{c}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)
तब 2 \(\vec{a}\) – \(\vec{b}\) + 3 \(\vec{c}\)
= 2(\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) – (2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) + 3(\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\))
= 2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\) – 2 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\) + 3 \(\hat{i}\) – 6 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)
= (2 – 2 + 3) \(\hat{i}\) + (2 + 1 – 6) \(\hat{j}\) + (2 – 3 + 3) \(\hat{k}\)
= 3 \(\hat{i}\) – 3 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)
अब
|2 \(\vec{a}\) – \(\vec{b}\) + 3 \(\vec{c}\)| = |3 \(\hat{i}\) – 3\(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}|\)
= \(\sqrt{3^2+(-3)^2+2^2}\)
= \(\sqrt{9+9+4}\) = \(\sqrt{22}\)
सदिश 2\(\vec{a}\) – \(\vec{b}\) + 3 \(\vec{c}\) के समान्तर (अनुदिश) मात्रक सदिश
= \(\frac{(2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c})}{|2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}|}\)
= \(\frac{3 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{22}}\)
= \(\frac{3}{\sqrt{22}}\)\( \hat{i}\) – \(\frac{3}{\sqrt{22}}\)\( \hat{j}\) + \(\frac{2}{\sqrt{22}}\)\( \hat{k}\)

प्रश्न 8.
दर्शाइए कि बिन्दु A(1, -2, -8), B(5, 0, -2) और C(11, 3, 7) संरेख हैं और B द्वारा A C को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मूलबिन्दु O है, तब O के सापेक्ष
बिन्दु A का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O A}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 8 \(\hat{k}\)
बिन्दु B का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O B}\) = 5 \(\hat{i}\) + 0 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)
= 5 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{k}\)
बिन्दु C का स्थिति सदिश = \(\overrightarrow{O C}\) = 11 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + 7 \(\hat{k}\)
अतः \(\overrightarrow{A B}\) = \(\overrightarrow{O B}\) – \(\overrightarrow{O A}\)
= (5 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{k}\)) – (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 8 \(\hat{k}\))
= (5 – 1) \(\hat{i}\) + (0 + 2) \(\hat{j}\) + (- 2 + 8) \(\hat{k}\)
= 4 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\)
\(\overrightarrow{B C}\) = \(\overrightarrow{O C}\) – \(\overrightarrow{O B}\)
= 11 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + 7 \(\hat{k}\) – (5 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{k}\))
= (11 – 5) \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + (7 + 2) \(\hat{k}\)
= 6 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + 9 \(\hat{k}\)
\(\overrightarrow{A C}\) = \(\overrightarrow{O C}\) – \(\overrightarrow{O A}\)
= 11 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + 7 \(\hat{k}\) – (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 8 \(\hat{k}\))
= (11 – 1) \(\hat{i}\) + (3 + 2) \(\hat{j}\) + (7 + 8) \(\hat{k} \)
= 10 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 15 \(\hat{k}\)
\(|\overrightarrow{A B}|\) = \(|4 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}|\)
= \(\sqrt{4^2+2^2+6^2}\)
= \(\sqrt{16+4+36}\) = \(\sqrt{56}\)
∴ \(|\overrightarrow{A B}|\) = 2 \(\sqrt{14}\)
\(|\overrightarrow{B C}|\) = \(|6 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k}|\)
= \(\sqrt{6^2+3^2+9^2}\)
= \(\sqrt{36+9+81}\) = \(\sqrt{126}\)
∴ \(|\overrightarrow{B C}|\) = 3 \(\sqrt{14}\)
तथा
\(|\overrightarrow{A C}|\) = \(|10 \hat{i}+5 \hat{j}+15 \hat{k}|\)
= \(\sqrt{10^2+5^2+15^2}\)
= \(\sqrt{100+25+225}\) = \(\sqrt{350}\)
∴ \(|\overrightarrow{A C}|\) = 5 \(\sqrt{14}\)
∵ 2 \(\sqrt{14}\) + 3 \(\sqrt{14}\) = 5 \(\sqrt{14}\)
∴ \(|\overrightarrow{A C}|\) = \(|\overrightarrow{A B}|\) + \(|\overrightarrow{B C}|\)
अतः बिन्दु A, B तथा C सरेख हैं।
अब
\(\frac{|\overrightarrow{A B}|}{|\overrightarrow{B C}|}\) = \(\frac{2 \sqrt{14}}{3 \sqrt{14}}\) = \(\frac{2}{3}\) = 2 : 3
अतः बिन्दु B, A C को 2: 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 9.
दो बिन्दुओं P(2 \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) और Q(\(\vec{a}\) – 3 \(\vec{b}\)) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिन्दु P रेखाखण्ड R Q का मध्य-बिन्दु है।
हल:
प्रश्नानुसार, बिन्दु P तथा Q के स्थिति सदिश क्रमशः 2 \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) तथा \(\vec{a}\) – 3 \(\vec{b}\) हैं।

बिन्दु R, P Q को 1: 2 के अनुपात में बाह्यतः विभाजित करता है। ∴ R का स्थिति सदिश
= \(\frac{1(\vec{a}-3 \vec{b})-2(2 \vec{a}+\vec{b})}{1-2}\)
= \(\frac{\vec{a}-3 \vec{b}-4 \vec{a}-2 \vec{b}}{-1}\)
= \(\frac{(\vec{a}-4 \vec{a})-3 \vec{b}-2 \vec{b}}{-1}\)
= \(\frac{-3 \vec{a}-5 \vec{b}}{-1}\) = 3 \(\vec{a}+5 \vec{b}\)
\(\overrightarrow{R Q}\) के मध्य-बिन्दु का स्थिति सदिश
= \(\frac{3 \vec{a}+5 \vec{b}+\vec{a}-3 \vec{b}}{2}\)
= \(\frac{4 \vec{a}+2 \vec{b}}{2}\)
= 2 \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) जो कि P का स्थिति सदिश है अतः बिन्दु P, R Q का मध्य-बिन्दु है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ 2 \(\hat{i}\) – 4 \(\hat{j}\) + 5 \(\hat{k}\) और \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\) हैं। इसके विकर्ण के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि \(\mathrm{OX}\), \(\mathrm{OY}\) एवं \(\mathrm{OZ}\) अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक्-कोसाइन (कोज्याएँ) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) हैं।
हल:
माना सदिश \(\overrightarrow{O P}\) अक्षों O X, O Y तथा O Z से बराबर कोण पर झुका हुआ है। माना यह कोण α है।
तब \(\overrightarrow{O P}\) की दिक्-कोसाइन cos α, cos α, cos α हैं। परन्तु cos² α + cos² α + cos² α = 1.
या
(∵p² + m² + n² = 1)
cos² α = 1
cos² α = \(\frac{1}{3}\)
या
cos α= \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
अत: सदिश \(\overrightarrow{O P}\) की दिक्-कोसाइन \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) हैं।

प्रश्न 12.
मान लीजिए \(\vec{a}\) = \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 2\(\hat{k}\), \(\vec{b}\) = 3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 7 \(\hat{k}\) और \(\vec{c}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 4 \(\hat{k}\), तो एक ऐसा सदिश \(\vec{d}\) ज्ञात कीजिए जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दोनों पर लम्ब है और \(\vec{c}\) \(\vec{d}\) = 15
हल:
प्रश्नानुसार,
\(\vec{a}\) = \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)
\(\vec{b}\) = 3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 7 \(\hat{k}\)
\(\vec{c}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 4 \(\hat{k}\)
अब \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) पर लम्ब सदिश = \(\vec{a}\) × \(\vec{b}\)
तब
\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\) = \(\left|\begin{array}{rrr}
\hat{i} \hat{j} \hat{k}
1 4 2
3 -2 7
\end{array}\right|\)
= \(\left|\begin{array}{rr}
4 2
-2 7
\end{array}\right| \hat{i}-\left|\begin{array}{rr}
1 2
3 7
\end{array}\right| \hat{j}+\left|\begin{array}{rr}
1 4
3 -2
\end{array}\right| \hat{k}\)
= [4 × 7 – (-2) × 2] \(\hat{i}\) – (1 × 7 – 3 × 2) \(\hat{j}\)
+ [1 × (-2) – 3 × 4] \(\hat{k}\)
= (28 + 4) \(\hat{i}\) – (7 – 6) \(\hat{j}\) + (- 2 – 12) \(\hat{k}\)
= 32 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 14 \(\hat{k}\)
\(\vec{d}\) = λ(\(\vec{a}\) × \(\vec{b}\))
\(\vec{d}\) = λ(32 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 14 \(\hat{k}\))
\(\vec{c}\) \(\vec{d}\) = 15
∴ (2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 4 \(\hat{k}\)) λ(32 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 14 \(\hat{k}\)) = 15
(a₁ \(\hat{i}\) + a₂ \(\hat{j}\) + a₃\(\hat{k}\)) (b₁ \(\hat{i}\) + b₂ \(\hat{j}\) + b₃\(\hat{k}\))
= (a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃)
या
λ[2 × 32 – 1 ×(-1) + 4 × (-14)] = 15
या
λ(64 + 1 – 56) = 15
या = 15
∴ λ = \(\frac{15}{9}\) = \(\frac{5}{3}\)
∴ \(\vec{d}\) = \(\frac{5}{3}\)(32 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 14 \(\hat{k}\))
= \(\frac{160}{3}\) \(\hat{i}\) – \(\frac{5}{3}\) \(\hat{j}\) – \(\frac{70}{3}\) \(\hat{k}\)
= \(\frac{1}{3}\)(160 \(\hat{i}\) – 5 \(\hat{j}\) – 70 k)

प्रश्न 13.
सदिश \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\) का, सदिशों 2 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\) और λ \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\) के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
\(\vec{a}\) = \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)
\(\vec{b}\) = 2 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\)
\(\vec{c}\) = λ \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)
अब \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) = 2 \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\) + λ \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)
= (2 + λ) \(\hat{i}\) + 6 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)
|\(\vec{b}\) + \(\vec{c}|\) =|(2 + λ) \(\hat{i}\) + 6 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)|
=\(\sqrt{(2+λ)^2+6^2+(-2)^2}\)
= \(\sqrt{(2+λ)^2+36+4}\)
=\(\sqrt{4+4 λ+λ^2+40}\)
= \(\sqrt{λ^2+4 λ+44}\)
अत: \(\vec{b}\) + \(\vec{c}\) की दिशा में मात्रक सदिश
& = \(\frac{1}{|\vec{b}+\vec{c}|}(\vec{b}+\vec{c})\)
& = \(\frac{(2+λ) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k})}{\sqrt{λ^2+4 λ+44}}\)
अब प्रश्नानुसार,
\(\left\{\frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}\right\}\) = 1
या
\(\frac{(2+λ)+6-2}{\sqrt{λ^2+4 λ+44}}\) = 1
∴ (a₁ \(\hat{i}\) + a₂ \(\hat{j}\) + a₃\(\hat{k}\)) (b₁ \(\hat{i}\) + b₂ \(\hat{j}\) + b₃ \(\hat{k}\))
= (a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃)
या (λ + 6) = \(\sqrt{λ^2+4 λ+44}\)
या (λ + 6)² = (λ² + 4 λ + 44)
या λ² + 12 λ + 36 = λ² + 4 λ + 44
या 8 λ = 8
∴ λ = 1

प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) समान परिमाणों वाले परस्पर लम्बवत् सदिश हैं, तो दर्शाइए कि सदिश \(\vec{a}\)+\(\vec{b}\)+\(\vec{c}\)सदिशों \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि \((\vec{a}+\vec{b})\) \((\vec{a}+\vec{b})\) = \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\), यदि और केवल यदि \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) लम्बवत् हैं। यह दिया हुआ है कि \(\vec{a}\) ≠ 0, \(\vec{b}\) ≠ 0.
हल:
माना \((\vec{a}+\vec{b})\) \((\vec{a}+\vec{b})\) = \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\)
तब हम सिद्ध करेंगे कि \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) लम्बवत् हैं।
\((\vec{a}+\vec{b})\) \((\vec{a}+\vec{b})\) = \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\)
या \(\vec{a}\) \((\vec{a}+\vec{b})\) + \(\vec{b}\) \((\vec{a}+\vec{b})\) = \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\)
या \(\vec{a}\) \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) \(\vec{b}\) = \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\)
या \(|\vec{a}|^2\) + 2 \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) + \(|\vec{b}|^2\) = \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\)
\(\vec{a}\) \(\vec{a}\) = \(|\vec{a}|^2\)
\(\vec{b}\) \(\vec{b}\) = \(|\vec{b}|^2\)
\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) = \(\vec{b}\) \(\vec{a}\)
या
2 \(\vec{a}\) \(\vec{b}\)
\(\vec{a}\) \(\vec{b}\) = 0
या
अत: \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) लम्बवत् हैं।
पुनः माना \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) लम्बवत् हैं, तब हम सिद्ध करेंगे कि
\((\vec{a}+\vec{b})\) \((\vec{a}+\vec{b})\) = \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\)
अब \((\vec{a}+\vec{b})\) \((\vec{a}+\vec{b})\)
= \(\vec{a}\) \((\vec{a}+\vec{b})\) + \(\vec{b}\) \((\vec{a}+\vec{b})\)
= \(\vec{a}\) \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) \(\vec{b}\)
= \(|\vec{a}|^2\) + 2 \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) + \(|\vec{b}|^2\)
= \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\)

(∵ \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) लम्बवत् हैं, ∴ \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) = 0)
अत: \((\vec{a}+\vec{b})\) \((\vec{a}+\vec{b})\) = \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\) यदि और केवल यदि \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) लम्बवत् हैं।
इति सिद्धम्।

प्रश्न 16 से 19 तक सही उत्तर का चयन कीजिए:
प्रश्न 16.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण θ है, तो \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) ≠ 0 होगा, यदि:
(A) 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
(B) 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < θ < π
(C) 0 < θ < π हल: हम जानते हैं कि \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) = \(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) cosθ दिया हुआ है कि \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) ≠ 0 ∴ \(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) cosθ ≠ 0 ∴ \(|\vec{a}|\) > 0, \(|\vec{b}|\) > 0
∴ cos θ ≠ 0
तब 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
तब
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 17.
मान लीजिए \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है, तो \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) एक मात्रक सदिश है यदि:
(A) θ = \(\frac{\pi}{4}\)
(B) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
(C) θ = \(\frac{\pi}{2}\)
(D) θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
हल:
प्रश्नानुसार, \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) मात्रक सदिश हैं तथा उनके बीच का कोण θ है।
तब \(|\vec{a}|\) = 1 तथा \(|\vec{b}|\) = 1
अब
अब \(|(\vec{a}+\vec{b})|\) = 1
तब \((\vec{a}+\vec{b})\) \((\vec{a}+\vec{b})\) = 1²
या \(\vec{a}\) \((\vec{a}+\vec{b})\) + \(\vec{b}\) \((\vec{a}+\vec{b})\) = 1
या \(\vec{a}\) \(\vec{a}\) + \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) + \(\vec{b}\)\(\vec{a}\) + \(\vec{b}\) \(\vec{b}\) = 1
या \(|\vec{a}|^2\) + 2 \(\vec{a}\)\(\vec{b}\) + \(|\vec{b}|^2\) = 1 [∴ \(\vec{b}\) \(\vec{a}\) = \(\vec{a}\)\(\vec{b}\)]
या \(|\vec{a}|^2\) + \(|\vec{b}|^2\) + 2\(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) cosθ = 1
1 + 1 + 2(1)(1) cos θ = 1
2 + 2 cosθ = 1
2 cosθ = -2 + 1 = -1,\(|\vec{a}|\) = 1
cosθ = \(-\frac{1}{2}\)
θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 18.
\(\hat{i}\)(\(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) + \(\hat{j}\) (\(\hat{i}\) + \(\hat{k}\)) + \(\hat{k}\) (\(\hat{i}\) × \(\hat{j}\)) का मान है:
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 3
हल:
सदिश \(\hat{i}\), \(\hat{j}\) तथा \(\hat{k}\) परस्पर लम्बवत् हैं तथा मात्रक सदिश भी हैं।
अब \(\hat{i}\) (\(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) + \(\hat{j}\) \(\hat{i}\) + \(\hat{k}\)) + \(\hat{k}\) (\(\hat{i}\) × \(\hat{j}\))
= \(\hat{i}\) \(\hat{j}\) + \(\hat{i}\) \(\hat{k}\) + \(\hat{j}\) \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) \( \hat{k}\) + \(\hat{k}\) \(\hat{k}\) (∵ \(\hat{i}\) × \(\hat{j}\) = \(\hat{k}\))
= 0 + 0 + 0 + 0 + \(|\vec{k}|^2\) = 1 (∵ \(|\vec{k}|\) = 1)
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) के बीच का कोण θ है, तो \(|\vec{a}\) \(\vec{b}|\) = \(|\vec{a} × \vec{b}|\) जब θ बराबर है:
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{2}\)
(D) π
हल:
प्रश्नानुसार, \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) के बीच का कोण θ है, तब
\(|\vec{a}\) \(\vec{b}|\) = \(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) cosθ
\(|\vec{a} × \vec{b}|\) = \(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) sinθ \(|\hat{n}|\)
तथा
(जहाँ, \(\hat{n}\) एक मात्रक सदिश है जो \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) दोनों के लम्बवत् है)
अब \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|\) = \(|\vec{a}|\)\([latex]|\vec{b}|\)cosθ तब \(|\vec{a} × \vec{b}|\) = \(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) sinθ \(|\hat{n}|\)
या \(|\vec{a} × \vec{b}|\) = \(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) sinθ [∵ \(|\hat{n}|\) = 1]
परन्तु \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|\) = \(|\vec{a} × \vec{b}|\) (दिया है)
∴ \(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) cosθ = \(|\vec{a}|\)\(|\vec{b}|\) sinθ
या
\(\frac{|\vec{a}||\vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}\) = \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) = tanθ
या tanθ = 1 = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
अतः विकल्प (B) सही है।