NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.3

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोसाइन और मूलबिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए:
(a) z = 2
(b) x + y + z = 1
(c) 2 x + 3 y – z = 5
(d) 5 y + 8 = 0
हल:
(a) z = 2 का अभिलम्ब z-अक्ष है। इसके दिक्-कोसाइन cos 90°, cos 90°, cos 0° अर्थात् 0, 0, 1 हैं।
और मूलबिन्दु से दूरी =2
उत्तर
(b) दिया है: x + y + z = 1
∴ समतल के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 1, 1, 1 हैं। समतल के अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन:
\(\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\) या \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
समतल के समीकरण को \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) से गुणा करने पर,
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) x + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) y + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) z = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
अतः मूलबिन्दु से समतल की दूरी = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

(c) दिया है: समतल का समीकरण,
2 x – 3 y – z = 5
∴ समतल में अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 2, -3, -1 हैं।
∴ समतल में अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन :
\(\frac{2}{\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(-1)^2}}\), \(\frac{-3}{\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(-1)^2}}\),
\(\frac{-1}{\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(-1)^2}}\)
या \(\frac{2}{\sqrt{14}}\), \(\frac{-3}{\sqrt{14}}\), \(\frac{-1}{\sqrt{14}}\)
समतल के समीकरण को \(\frac{1}{\sqrt{14}}\) से गुणा करने पर,
\(\frac{2}{\sqrt{14}}\) x – \(\frac{3}{\sqrt{14}}\) y – \(\frac{1}{\sqrt{14}}\) z = \(\frac{5}{\sqrt{14}}\)
∴ मूलबिन्दु से समतल की दूरी = \(\frac{5}{\sqrt{14}}\)

(d) दिया है: समतल का समीकरण,
⇒ 5 y + 8 = 0
∴ y = \(-\frac{8}{5}\)
इस समतल का अभिलम्ब y-अक्ष है।
∴ दिक्-कोसाइन : cos 90° , cos 0° , cos 90° अर्थात् 0, 1, 0.
मूलबिन्दु से समतल की दूरी = \(|\frac{-8}{5}|\) = \(\frac{8}{5}\)

प्रश्न 2.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए, जो मूलबिन्दु से 7 मात्रक दूरी पर है और सदिश 3\(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) – 6 \(\hat{k}\) पर अभिलम्ब है।
हल:
सदिश 3 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) – 6 \(\hat{k}\) के अनुदिश इकाई सदिश
\(\hat{n}\) = \(\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{(3)^2+(5)^2+(-6)^2}}\)
= \(\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{9+25+36}}\) = \(\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{70}}\)
∴ समतल का सदिश समीकरण,
\(\vec{r}\) \(\hat{n}\) = d
∴ \(\vec{r}\) \((\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{70}})\) = 7 [जबकि दिया है, d = 7

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए:
(a) r(\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) = 2
(b) r (2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\)) = 1
(c) r[(s – 2 t) \(\hat{i}\) + (3 – t) \(\hat{j}\) + (2 s + t) \(\hat{k}\)] = 15
हल:
(a) दिया है: समीकरण \(\vec{r}\) ( \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) = 2 में \(\vec{r}\) = x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\) रखने पर,
∴ (x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\)) ( \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) = 2
⇒ x × 1 + y × 1 + z × (-1) = 2
⇒ x + y – z = 2
अतः समतल का कार्तीय समीकरण,
x + y – z = 2

(b) दिया है: समीकरण \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\)) = 1 में
\(\vec{r}\) = x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\) रखने पर,
∴ (x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\)) (2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\)) = 1
⇒ x × 2 + y × 3 + z × (-4) = 1
⇒ 2 x + 3 y – 4 z = 1
अत: समतल का कार्तीय समीकरण,
2 x + 3 y – 4 z = 1

(c) दिया है: समीकरण
\(\vec{r}\) [(s – 2 t) \(\hat{i}\) + (3 – t) \(\hat{j}\) + (2 s + t) \(\hat{k}\)] = 15
में \(\vec{r}\) = x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\) रखने पर,
∴(x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\))[(s – 2 t) \(\hat{i}\) + (3 – t) \(\hat{j}\)
⇒ x × (s – 2 t) + y × (3 – t) + z × (2 s + t) = 15
∴ समतल का कार्तीय समीकरण,
(s – 2 t) x +(3 – t) y + (2 s + t) z = 15

प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में, मूलबिन्दु से खींचे गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:
(a) 2 x + 3 y + 4 z – 12 = 0
(b) 3 y + 4 z – 6 = 0
(c) x + y + z = 1
(d) 5 y + 8 = 0
हल:
(a) समतल के समीकरण,
2 x + 3 y + 4 z – 12 = 0 में
\(\sqrt{(2)^2+(3)^2+(4)^2}\) = \(\sqrt{4+9+16}\) = \(\sqrt{29}\)
से भाग देने पर,
\(\frac{2}{\sqrt{29}}\) x + \(\frac{3}{\sqrt{29}}\) y + \(\frac{4}{\sqrt{29}}\) z = \(\frac{12}{\sqrt{29}}\)
यह समतल का अभिलम्ब रूप है।
∴ अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन (l, m, n) :
\(\frac{2}{\sqrt{29}}\), \(\frac{3}{\sqrt{29}}\), \(\frac{4}{\sqrt{29}}\)
तथा समतल से मूलबिन्दु की दूरी (r) = \(\frac{12}{\sqrt{29}}\)
∴ मूलबिन्दु से समतल पर लम्ब पाद के निर्देशांक
x = r l = \(\frac{12}{\sqrt{29}}\) × \(\frac{2}{\sqrt{29}}\) = \(\frac{24}{29}\)
y = r m = \(\frac{12}{\sqrt{29}}\) × \(\frac{3}{\sqrt{29}}\) = \(\frac{36}{29}\)
z = m = \(\frac{12}{\sqrt{29}}\) × \(\frac{4}{\sqrt{29}}\) = \(\frac{48}{29}\)
अतः लम्ब पाद के निर्देशांक (\(\frac{24}{29}\), \(\frac{36}{29}\), \(\frac{48}{29}\))

(b) समतल के समीकरण
3 y + 4 z – 6 = 0 में
\(\sqrt{(3)^2+(4)^2}\) = \(\sqrt{9+16}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
से भाग देने पर,
\(\frac{3}{5}\) y + \(\frac{4}{5}\) z = \(\frac{6}{5}\)
यह समतल का अभिलम्ब रूप है।
∴ अभिलम्ब के दिक्-कोसाइन (l, m, n):
0, \(\frac{3}{5}\), \(\frac{4}{5}\)
समतल की मूलबिन्दु से दूरी (r) = \(\frac{6}{5}\)
∴ मूलबिन्दु से समतल पर लम्ब पाद के निर्देशांक
x = r l = \(\frac{6}{5}\) × 0 = 0
y = r m = \(\frac{6}{5}\) × \(\frac{3}{5}\) = \(\frac{18}{25}\)
z = r n = \(\frac{6}{5}\) × \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{24}{25}\)
अत: समतल पर मूलबिन्दु से लम्ब पाद के निर्देशांक (0, \(\frac{18}{25}\), \(\frac{24}{25}\))

(c) समतल के समीकरण x + y + z = 1 में
\(\sqrt{(1)^2+(1)^2+(1)^2}\) = \(\sqrt{1+1+1}\) = \(\sqrt{3}\)
से भाग देने पर,
\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) x + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) y + \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) z = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
मूलबिन्दु से समतल पर लम्ब के दिक्-कोसाइन
(l, m, n) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ समतल की मूलबिन्दु से दूरी

(r) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ मूलबिन्दु से समतल पर लम्ब पाद के निर्देशांक
x = r l = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{1}{3}\)
y = r m = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{1}{3}\)
z = r n = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) × \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{1}{3}\)
अत: समतल पर मूलबिन्दु से लम्ब पाद के निर्देशांक (\(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{3}\))

(d) समतल का समीकरण,
5 y + 8 = 0 या y = -8 / 5
समतल के दिक्-कोसाइन : 0, 1, 0
∴ मूलबिन्दु से दूरी = -8 / 5
∴ मूलबिन्दु से समतल पर लम्ब पाद के निर्देशांक:
x = r l = \(-\frac{8}{5}\) × 0 = 0
y = r m = \(-\frac{8}{5}\) × 1 = \(-\frac{8}{5}\)
z = m = \(\frac{-8}{5}\) × 0 = 0
अतः समतल पर लम्ब पाद के निर्देशांक (0, \(-\frac{8}{5}\), 0)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रतिबन्धों के अन्तर्गत समतलों का सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो :
(a) बिन्दु (1, 0, -2) से जाता हो और सदिश \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\) समतल पर अभिलम्ब है।
(b) बिन्दु (1, 4, 6) से जाता हो और \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\) समतल पर अभिलम्ब सदिश है।
हल:
(a) (i) सदिश समीकरण : बिन्दु \(\vec{a}\) से जाने वाले समतल पर जो सदिश \(\vec{N}\) से लम्ब दिशा में हो सदिश का समीकरण
(\(\vec{r}\) – \(\vec{a}\)) \(\vec{N}\) = 0
यहाँ
\(\vec{a}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{k}\)
\(\vec{N}\) = \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)
∴ समतल का समीकरण
{[\(\vec{r}\) – (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{k}\))] (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) = 0}
या
\(\vec{r}\)(\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) – (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{k}\))(\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) = 0
या
\(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) – (1 + 2) = 0
\(\vec{r}\),(\(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) – 3 = 0

(ii) कार्तींय रूप : समतल का समीकरण जो (x_1, y_1, z_1\right) से गुजरता है और लम्ब के दिक्-अनुपात a, b, c हैं।
∴ a\left(x-x_1\right)+b\left(y-y_1\right)+c\left(z-z_1\right)=0
यहाँ समतल बिन्दु (1,0,-2) से गुजरता है और लम्ब के दिक्-अनुपात (1, 1, -1) हैं।
∴ 1(x – 1) + 1(y – 0) – 1(z + 2) = 0
या x – 1 + y – z – 2 = 0
या x + y – z – 3 = 0
∴ x + y – z = 3

(b) (i) सदिश समीकरण : समतल बिन्दु (1, 4, 6) से होकर गुजरता है तथा (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) के अनुदिश है।
∴ समतल का समीकरण,
(\(\vec{r}\) – \(\vec{a}\)) \(\vec{N}\) = 0
\(\vec{a}\) = \(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\)
जहाँ \(\vec{N}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)
∴ [\(\vec{r}\) – (\(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\))] (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) = 0
⇒ \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) – (\(\hat{i}\) + 4 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\))
⇒ \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) – (1 × 1 + 4 ×(-2) + 6 × 1) = 0
⇒ \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) – (1 – 8 + 6) = 0 .
∴ \(\vec{r}\) (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) + 1 = 0

(ii) कार्तीय समीकरण: ∵ समतल बिन्दु (1, 4, 6) से होकर जाता है।
समतल पर लम्ब के दिक्-अनुपात : 1, -2, 1
∴ समतल का समीकरण
1(x – 1) – 2(y – 4) + 1(z – 6) = 0
या
x – 1 – 2 y + 8 + z – 6 = 0
∴ x – 2 y + z + 1 = 0

प्रश्न 6.
उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिन्दुओं से गुजरता है :
(a) (1, 1, -1),(6, 4, -5),(-4, -2, 3)
(b) (1, 1, 0),(1, 2, 1),(-2, 2, -1)
हल : (a) (1,1,-1),(6,4,-5),(-4,-2,3)
यदि समतल के लम्ब के दिक्-अनुपात a, b, c हों, तो बिन्दु (x₁ y₁ z₁) से जाने वाले समतल का समीकरण
a(x – x₁) + b(y – y₁) + c(z – z₁) = 0
∴ माना बिन्दु A(1, 1, -1) से जाने वाले समतल का समीकरण
a(x – 1) + b(y – 1) + c(z + 1) = 0
बिन्दु B(6, 4, -5) इस पर स्थित है।
⇒ a(6 – 1) + b(4 – 1) + c(-5 + 1) = 0
∴ 5 a + 3 b – 4 c = 0
इसी प्रकार बिन्दु C(-4, -2, 3) इस पर स्थित है।
⇒ a(-4 – 1) + b(-2 – 1) + c(3 + 1) = 0
⇒ -5 a – 3 b + 4 c = 0
∴ 5 a + 3 b – 4 c = 0
स्पष्ट है कि समीकरण (2) और (3) एक ही समीकरण हैं।
∴ a, b, c के अनन्त मान हो सकते हैं जो इस समीकरण को सन्तुष्ट करते हैं।
अतः दिये गये बिन्दु संरेख हैं और बिन्दुओं से जाने वाले तल्लों की संख्या अनन्त होगी।

(b) (1, 1, 0), (1, 2, 1), (-2, 2, -1)
यदि a, b, c समतल के लम्ब के दिक्-अनुपात हों, तो (x₁ y₁ z₁) से जाने वाले समतल का समीकरण
a(x – x₁) + b(y – y₁) + c(z – z₁) = 0
∴ माना बिन्दु A(1, 1, 0) से जाने वाले समतल का समीकरण
a(x – 1) + b(y – 1) + c(z – 0) = 0
बिन्दु B(1, 2, 1) इस पर स्थित है।
∴ a(1 – 1) + b(2 – 1) + c(1 – 0) = 0
⇒ b + c = 0
तथा बिन्दु C(-2, 2, -1) इस पर स्थित है।
∴ a(-2 – 1) + b(2 – 1) + c(-1 – 0) = 0
⇒ -3 a + b – c = 0
∴ 3 a – b + c = 0
समीकरण (1), (2), (3) में से a, b, c को विलुप्त करने पर, समतल का समीकरण
\(\left|\begin{array}{ccc}
x-1 y-1 z
0 1 1
3 -1 1
\end{array}\right|\) = 0
⇒(x – 1)[1 + 1] – (y – 1) {[0 – 3]}
⇒ 2 x – 3 = 0
⇒ 2 x + 3 y – 3 – 3 z = 0
2 x + 3 y – 3 z – 5 = 0
अतः समतल का समीकरण,
2 x + 3 y – 3 z = 5

प्रश्न 7.
समतल 2 x + y – z = 5 द्वारा काटे गये अन्तःखण्डों को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : 2 x + y – z = 5
दोनों पक्षों में 5 से भाग देने पर,
\(\frac{2}{5}\) x + \(\frac{1}{5}\) y – \(\frac{1}{5}\) z = 1
\(\frac{x}{5 / 2}\) + \(\frac{y}{5}\) + \(\frac{z}{-5}\) = 1
या \(\frac{x}{5 / 2}\) + \(\frac{y}{5}\) + \(\frac{z}{-5}\) = 1
अत: समतल द्वारा काटे गये अन्तःखण्ड 5/2, 5, -5 हैं।

प्रश्न 8.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका y-अक्ष पर अन्तःखण्ड 3 और जो तल Z O X के समान्तर है।
हल:
माना Z O X के समान्तर तल का समीकरण,
y = a
तल का y-तल पर अन्तः खण्ड 3 है।
∴ a = 3
अत: समतल का समीकरण,
y = 3

प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3 x – y + 2 z – 4 = 0 और x + y + z – 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
हल:
समतल 3 x – y + 2 z – 4 = 0 और x + y + z – 2 = 0 के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
(3 x – y + 2 z – 4) + λ(x + y + z – 2) = 0
यह बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
∴(3 × 2 – 2 + 2 × 1 – 4) + λ(2 + 2 + 1 – 2) = 0
⇒ (6 – 2 + 2 – 4) + λ(5 – 2) = 0
⇒ 2 + 3 λ = 0
⇒ 3 λ = -2
∴ λ = -2 / 3
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(3 x – y + 2 z – 4) – \(\frac{2}{3}\)(x + y + z – 2) = 0
⇒ 3(3 x – y + 2 z – 4) – 2(x + y + z – 2) = 0
⇒ 9 x – 3 y + 6 z – 12 – 2 x – 2 y – 2 z + 4 = 0
⇒ 7 x – 5 y + 4 z – 8 = 0
यही अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 10.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)) = 7, \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\) )= 9 के प्रतिच्छेदन रेखा और बिन्दु (2, 1, 3) से होकर जाता है।
हल:
वह समतल जो
\(\vec{r}\)(2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)) = 7
और \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) = 9
के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाता है का समीकरण
\(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)) – 7
⇒ \(\vec{r}\) [(2 + 2 λ) \(\hat{i}\) + (2 + 5 \(\hat{r}\)) \(\hat{j}\) +(-3 + 3 λ) \(\hat{k}\)] – 7 – 9 λ = 0
यह बिन्दु (2 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) से होकर जाता है।
∴(2 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) [(2 + 2 λ) \(\hat{i}\) + (2 + 5 λ) \(\hat{j}\)
+ (-3 + 3 λ) \(\hat{k}\) – 7 – 9 λ = 0
⇒ 2(2 + 2 λ) + 1(2 + 5 λ) + 3(-3 + 3 λ)
– 7 – 9 λ = 0
⇒ 4 + 4 λ + 2 + 5 λ – 9 + 9 λ – 7 – 9 λ = 0
⇒ 9 λ – 10 = 0
⇒ 9 λ = 10
λ = \(\frac{10}{9}\)
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)) – 7
+ \(\frac{10}{9}\) [\(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) – 9] = 0
⇒ 9 \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)) – 63
+ 10 \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\) ) – 90 = 0
⇒ \(\vec{r}\) (18 \(\hat{i}\) + 18 \(\hat{j}\) – 27 \(\hat{k}\)) – 63
+ \(\vec{r}\) (20 \(\hat{i}\) + 50 \(\hat{j}\) + 30 \(\hat{k}\)) – 90 = 0
⇒ \(\vec{r}\)[18 \(\hat{i}\) + 20 \(\hat{i}\) + 18 \(\hat{j}\) + 50 \(\hat{j}\) – 27 \(\hat{k}\) + 30 \(\hat{k}\)]
⇒ \(\vec{r}\)[38 \(\hat{i}\) + 68 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)]-153 = 0
अतः समतल का सदिश समीकरण,
\(\vec{r}\)(38 \(\hat{i}\) + 68 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) = 153

प्रश्न 11.
तलों x + y + z = 1 और 2 x + 3 y + 4 z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x – y + z = 0 पर लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल x + y + z = 1 तथा 2 x + 3 y + 4 z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
(x + y + z – 1) + λ(2 x + 3 y + 4 z – 5) = 0
⇒ (1 + 2 λ) x + (1 + 3 λ) y + (1 + 4 λ) z
– 1 – 5 λ = 0
अभिलम्ब के दिक्-अनुपात (Direction Ratios) हैं:
(1 + 2 λ),(1 + 3 λ),(1 + 4 λ)
तथा समतल x – y + z = 0
की अभिलम्ब (normal) के दिक्-अनुपात (d.r.’s) 1, -1, 1 हैं।
∵ समतल (1) और (2) परस्पर लम्ब हैं।
∴ a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0
(1 + 2 λ) 1 + (1 + 3 λ) (-1) + (1 + 4 λ) 1 = 0
⇒ 1 + 2 λ – 1 – 3 λ + 1 + 4 λ = 0
⇒ 3 λ + 1 = 0
∴ λ = -1 / 3
λ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(1 – \(\frac{2}{3}\)) x + (1 – \(\frac{3}{3}\)) y + (1 – \(\frac{4}{3}\)) z – 1 + \(\frac{5}{3}\) = 0
⇒ \(\frac{1}{3}\) x + 0 – y – \(\frac{1}{3}\) z + \(\frac{2}{3}\) = 0
∴ x – z + 2 = 0.

प्रश्न 12.
समतलों, जिनके सदिश समीकरण
\(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)) = 5 और \(\vec{r}\) (3 \(\hat{i}\) – 3 \(\hat{j}\) + 5 \(\hat{k}\)) = 3
हैं, के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल \(\vec{r}\) (2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)) = 5 का अभिलम्ब 2 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\) के अनुदिश है और समतल \(\vec{r}\) (3 \(\hat{i}\) – 3 \(\hat{j}\) + 5 \(\hat{k}\)) = 3
का अभिलम्ब 3 \(\hat{i}\) – 3 \(\hat{j}\) + 5 \(\hat{k}\) के अनुदिश है।
∴ समतलों के बीच कोण θ, अभिलम्बों के बीच के कोण के समान है।
cos θ = \(\frac{(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})}{\sqrt{(2)^2+(2)^2+(-3)^2} \sqrt{(3)^2+(-3)^2+(5)^2}}\)
या cos θ = \(\frac{2 \times 3+2 \times(-3)-3 \times(5)}{\sqrt{4+4+9} \sqrt{9+9+25}}\)
या cos θ = \(|\frac{6-6-15}{\sqrt{17} \sqrt{43}}|\) = \(|\frac{-15}{\sqrt{731}}|\)
या cos θ = \(\frac{15}{\sqrt{731}}\)
∴ θ = cos^-1 \(\frac{15}{\sqrt{731}}\)
अतः समतलों के बीच का कोण,
θ = cos^-1\(\frac{15}{\sqrt{731}}\)

प्रश्न 13.
निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत् हैं, और उस स्थिति में, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत् तो उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
(a) 7 x + 5 y + 6 z + 30 = 0 और 3 x – y – 10 z + 4 = 0
(b) 2 x + y + 3 z – 2 = 0 और x – 2 y + 5 = 0
(c) 2 x – 2 y + 4 z + 5 = 0 और 3 x – 3 y + 6 z – 1 = 0
(d) 2 x – y + 3 z – 1 = 0 और 2 x – y + 3 z + 3 = 0
(e) 4 x + 8 y + z – 8 = 0 और y + z – 4 = 0
हल:
यदि समतल a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 तथा a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0, तो
(i) समान्तर होने का प्रतिबन्ध,
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)

(ii) लम्बवत् होने का प्रतिबन्ध,
a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0

(a) दिये गये समतल,
7 x + 5 y + 6 z + 30 = 0
3 x – y – 10 z + 4 = 0
= 7, b₁ = 5, c₁ = 6, d₁ = 30
= 3, b₂ = -1, c₂ = -10, d₂ = 4
यहाँ a₁ = 7, b₁ = 5, c₁ = 6, d₁ = 30
a₂ = 3, b₂ = -1, c₂ = -10, d₂ = 4
(i) समान्तर होने पर,
\(\frac{7}{3}\) ≠ \(\frac{5}{-1}\) ≠ \(\frac{6}{-10}\)
∴ ये समतल संमान्तर नहीं हैं।
(ii) लम्ब होने पर,
a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂
= 7 × 3 + 5 ×(-1) + 6 × (-10)
= 21 – 5 – 60
= 21 – 65 = -44 ≠ 0
∴ ये समतल लम्बवत् नहीं हैं।
दोनों समतलों के बीच यदि कोण θ हो, तो
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{7 × 3+5 ×(-1)+6 ×(-10)}{\sqrt{(7)^2+(5)^2+(6)^2} \sqrt{(3)^2+(-1)^2+(-10)^2}}\)
= \(\frac{21-5-60}{\sqrt{49+25+36} \cdot \sqrt{9+1+100}}\)
= \(|\frac{-44}{\sqrt{110} \sqrt{110}}|\) = \(|\frac{-44}{110}|\) = \(\frac{2}{5}\)
∴ θ = cos ^-1 \(\frac{2}{5}\)

(b) दिये गये समतल,
2 x + y + 3 z – 2 = 0
और x – 2 y + 5 = 0
यहाँ
a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = 3
a₂ = 1, b₂ = -2, c₂ = 0

(i) समान्तर होने पर,
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac{2}{1}\) ≠ \(\frac{1}{-2}\) ≠ \(\frac{3}{0}\)
∴ ये समतल समान्तर नहीं हैं।
(ii) लम्ब होने पर,
a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂
= 2 × 1 + 1 × (-2) + 3 × 0
= 2 – 2 + 0 = 0
∴ दिये गये समतल आपस में लम्बवत् हैं।
(c) दिये गये समतल,
2 x – 2 y + 4 z + 5 = 0
और 3 x – 3 y + 6 z – 1 = 0
यहाँ a₁ = 2, b₁ = -2, c₁ = 4
a₂ = 3, b₂ = -3, c₂ = 6

(i) समान्तर होने पर,
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{-2}{-3}\) = \(\frac{4}{6}\)
⇒ \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
अतः दिये गये समतल समान्तर हैं।

(d) दिये गये समतल,
2 x – y + 3 z – 1 = 0
2 x – y + 3 z +3 = 0
और यहाँ a₁ = 2, b₁ = -1, c₁ = 3
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 3

(i) समान्तर होने पर,
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac{2}{2}\) = \(\frac{-1}{-1}\) = \(\frac{3}{3}\)
⇒ 1 = 1 = 1
अतः दिये गये समतल समान्तर हैं। (e) दिये गये समतल,
4 x + 8 y + z – 8 = 0
और 0 x + y + z – 4 = 0
यहाँ a₁ = 4, b₁ = 8, c₁ = 1
a₂ = 0, b₂ = 1, c₂ = 1

(i) ∴ समान्तर होने पर,
\(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
⇒ \(\frac{4}{0}\) ≠ \(\frac{8}{1}\) ≠ \(\frac{1}{1}\)
अतः ये समतल समान्तर नहीं हैं।

(ii) लम्बवत् होने पर,
a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂
=4 × 0 + 8 × 1 + 1 × 1
= 0 + 8 + 1 = 9 ≠ 0
अतः दिये गये समतल लम्बवत् नहीं हैं। यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो
cosθ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{4 × 0+8 × 1+1 ×(1)}{\sqrt{(4)^2+(8)^2+(1)^2} \sqrt{(0)^2+(1)^2+(1)^2}}\)
= \(\frac{8+1}{\sqrt{16+64+1} \sqrt{1+1}}\)
= \(\frac{9}{\sqrt{81} \sqrt{2}}\) = \(\frac{9}{9 \sqrt{2}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
या cos θ = cos 45°
∴ θ = 45°

प्रश्न 14.
निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक दिए गए बिन्दु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए:
बिन्दु
(a) (0, 0, 0)
(b) (3, -2, 1)
(c) (2, 3, -5)
(d) (-6, 0, 0)
समतल
3x – 4 y + 12z = 3
2x – y + 2 z + 3 = 0
x + 2 y – 2 z = 9
2 x – 3 y + 6 z – 2 = 0
हल:
माना बिन्दु (x₁, y₁, z₁) की समतल a x + b y + c z + d = 0 से दूरी
d = \(|\frac{a x_1+b y_1+c z_1+d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}|\)
(a) दिया है : बिन्दु (0, 0, 0) तथा समतल,
3x – 4 y + 12 z – 3 = 0
यहाँ x₁ = 0, y₁ = 0, z₁ = 0 तथा a = 3, b = -4, c = 12, d = -3
बिन्दु (0,0,0) से समतल 3 x – 4 y + 12 z = 3 की दूरी
d = \(|\frac{3 × 0-4 × 0+12 × 0-3}{\sqrt{(-4)^2+(12)^2+(3)^2}}|\)
= \(|\frac{-3}{\sqrt{16+144+9}}|\)
= \(|\frac{-3}{\sqrt{169}}|\) = \(\frac{3}{13}\)

(b) यहाँ x₁ = 3, y₁ = -2, z₁ = 1 तथा a = 2, b = -1, c = 2, d = 3
बिन्दु (3, -2, 1) से समतल 2 x – y + 2 z + 3 = 0 की दूरी
d = \(|\frac{2 × 3+(-1) ×(-2)+2 × 1+3}{\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(2)^2}}|\)
= \(|\frac{6+2+2+3}{\sqrt{4+1+4}}|\)
= \(|\frac{13}{\sqrt{9}}|\) = \(\frac{13}{3}\)

(c) यहाँ x₁ = 2, y₁ = 3, z₁ = -5 तथा a = 1, b = 2, c = -2, d = -9
∴ बिन्दु (2, 3, – 5) से समतल x + 2 y – 2 z – 9 = 0 की दूरी
d = \(|\frac{1 \times 2+2 \times 3-2 \times(-5)-9}{\sqrt{(1)^2+(2)^2+(-2)^2}}|\)
= \(|\frac{2+6+10-9}{\sqrt{1+4+4}}|\)
= \(|\frac{9}{\sqrt{9}}|\) = \(\frac{9}{3}\) = 3

(d) यहाँ x₁ = -6, y₁ = 0, z₁ = 0 तथा a = 2, b = -3, c = 6, d = -2
∴ बिन्दु (-6, 0, 0) से समतल 2x – 3 y + 6 z – 2 = 0 की दूरी
d = \(|\frac{2 \times(-6)+(-3) \times 0+6 \times 0-2}{\sqrt{(2)^2+(-3)^2+(6)^2}}|\)
= \(|\frac{-12-2}{\sqrt{4+9+36}}|\) = \(|\frac{-14}{\sqrt{49}}|\)
= \(|\frac{-14}{7}|\) = 1 – 2 = 2