NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.2

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.2

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि दिक्-कोसाइन
\(\frac{12}{13}\), \(\frac{-3}{13}\), \(\frac{-4}{13}\); \(\frac{4}{13}\), \(\frac{12}{13}\), \(\frac{3}{13}\); \(\frac{3}{13}\), \(\frac{-4}{13}\), \(\frac{12}{13}\)
तीन रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं। }
हल:

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, -1, 2), (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है।
हल:
बिन्दुओं A(1, -1, 2) तथा B(3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा A B वे दिव्र-अनुपात 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2 या 2, 5, – 4 हैं।
बिन्दु C(0, 3, 2) और D(3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा C D के दिक्-अनुपात 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 या 3, 2, 4 हैं।
यदि AB ⊥ CD तब; a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0
अब 2 × 3 + 5 × 2 + (-4) × 4
= 6 + 10 – 16 = 16 – 16 = 0
अत: A B ⊥ C D
इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (4, 7, 8),(2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा, बिन्दुओं (-1, -2, 1),(1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
माना बिन्दु A(4, 7, 8), B(2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा A B के दिक्-अनुपात 2 – 4, 3 – 7, 4 – 8 या -2, -4, -4 या 2, 4 , 4 हैं और बिन्दु C(-1, -2, 1), D(1, 2, 5) से होकर जाने वाली रेखा C D के दिक्-अनुपात 1 – (-1), 2 – (-2), 5 – 1 या 2, 4, 4 हैं।
दो रेखाएँ समान्तर हैं यदि \(\frac{a_1}{a_2}\) = \(\frac{b_1}{b_2}\) = \(\frac{c_1}{c_2}\)
यहाँ पर A B और C D दोनों के दिक्-अनुपात 2,4,4 हैं।
\(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{4}\) = \(\frac{4}{4}\) = 1
अत : A B || C D
इति सिद्धम्।

प्रश्न 4.
बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश 3 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\) के समान्तर है।
हल:
स्थिति बिन्दु A(\(\vec{a}\)) से गुजरने वाली रेखा A P तथा सदिश \(\vec{b}\) के समान्तर रेखा का समीकरण
\(\vec{r}\) = \(\vec{a}\) + λ \(\vec{b}\)
यहाँ पर \(\vec{a}\) = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)
और \(\vec{b}\) = 3 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)
अभीष्ट रेखा A P का समीकरण
\(\vec{r}\) = (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) + λ(3 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\))

प्रश्न 5.
बिन्दु जिसकी स्थिति सदिश 2\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 4 \(\hat{k}\) से गुजरने व सदिश \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\) की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कातींय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु \(\vec{a}\) से गुजरने वाली रेखा का जो सदिश \(\vec{b}\) की दिशा में है, समीकरण, \(\vec{r}\) = \(\vec{a}\) + λ\(\vec{b}\)
यहाँ \(\vec{a}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 4 \(\hat{k}\) तथा \(\vec{b}\) = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)
∴ अभीष्ट रेखा का समीकरण
\(\vec{r}\) = (2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 4 \(\hat{k}\)) + λ(\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\))
जहाँ λ एक प्राचल है।
कार्तीय रूप में, \(\vec{r}\) = x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\) समी. (1) में रखने पर,
x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\) = (2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + 4 \(\hat{k}\)) + λ(\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\))
⇒ x \(\hat{i}\) + y \(\hat{j}\) + z \(\hat{k}\) = (2 + λ) \(\hat{i}\) + (-1 + 2 λ) \(\hat{j}\) + (4 – λ) \(\hat{k}\)
\(\hat{i}\), \(\hat{j}\) और \(\hat{k}\) के गुणांकों की करने पर,
x = 2 + λ, y = -1 + 2 λ, z = 4 – λ
⇒ x – 2 = λ, \(\frac{y+1}{2}\) = λ, \(\frac{z-4}{-1}\) = λ
⇒ \(\frac{x-2}{1}\) = \(\frac{y+1}{2}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) = λ
अत: अभीष्ट रेखा का समीकरण
\(\frac{x-2}{1}\) = \(\frac{y+1}{2}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)

प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2,4,-5) से जाती है और \(\frac{x+3}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+8}{6}\)
के समान्तर है।
हल:
माना रेखा बिन्दु (x₁, y₁, z₁) से गुजरती है और उसके दिक्-अनुपात a, b, c हैं, तो रेखा का समीकरण
\(\frac{x-x_1}{a}\) = \(\frac{y-y_1}{b}\) = \(\frac{z-z_1}{c}\)
यहाँ पर रेखा (-2,4,-5) से जाती है तथा
\(\frac{x+3}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+8}{6}\)
के समान्तर है।
अतः रेखा के दिक्-अनुपात : 3. 5, 6
∴ अभीष्ट रेखा का समीकरण
\(\frac{x+2}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+5}{6}\)

प्रश्न 7.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण \(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{y+4}{7}\) = \(\frac{z-6}{2}\) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा \(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{y+4}{7}\) = \(\frac{z-6}{2}\) बिन्दु (5, -4, 6) से होकर जाती है।
∴ \(\vec{a}\) = 5 \(\hat{i}\) – 4 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\)
दी हुई रेखा के दिक्-अनुपात 3,7,2 हैं।
∴ \( \vec{b}\) = 3 \(\hat{i}\) + 7 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)
अत: अभीष्ट रेखा का समीकरण
\(\vec{r}\) = \(\vec{a}\) + λ\(\vec{b}\)
या \(\vec{r}\) = (5 \(\hat{i}\) – 4 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\)) + λ(3 \(\hat{i}\) + 7 \(\hat{j}\) + 2 k)

प्रश्न 8.
मूलबिन्दु और (5, -2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
मूलबिन्दु O(0, 0, 0) का स्थिति सदिश \(\vec{a}\) = \(\overrightarrow{0}\) तथा बिन्दु (5, -2, 3) का स्थिति सदिश समीकरण
\(\vec{b}\) = 5 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)
∴ बिन्दुओं \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) से जाने वाली रेखा का सदिश
\(\vec{r}\) = \(\vec{a}\) + λ(\(\vec{b}\) – \(\vec{a}\))
⇒ \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{0}\) + λ(5 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\) – \(\overrightarrow{0}\))
⇒ \(\vec{r}\) = λ(5 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\))

(ii) रेखा बिन्दु O(0,0,0) से होकर जाती है तथा इसके दिक्-अनुपात 5,-2,3 हैं।
∴ रेख्बा का कार्तीय समीकरण
\(\frac{x-x_1}{a}\) = \(\frac{y-y_1}{b}\) = \(\frac{z-z_1}{c}\)
⇒ \(\frac{x-0}{5}\) = \(\frac{y-0}{2}\) = \(\frac{z-0}{3}\)
⇒ \(\frac{x}{5}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\)

प्रश्न 9.
बिन्दुओं (3, -2, -5) और (3, -2, 6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूप में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेखा बिन्दु A(3, -2, -5) तथा B(3, -2, 6) से जाती है। तब बिन्दु A(3, -2, -5) का स्थिति सदिश
\(\vec{a}\) = 3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\)
तथा बिन्दु B(3, -2, 6) का स्थिति सदिश
\(\vec{b}\) = 3 \(\hat{i}\) – 2\(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\)

(i) तब रेखा A B का सदिश समीकरण
\(\vec{r}\) = \(\vec{a}\) + λ(\(\vec{b}\) – \(\vec{a}\))
⇒ \(\vec{r}\) = 3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\) + λ[(3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\))
⇒ \(\vec{r}\) = 3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\) + λ(3 \(\hat{i}\) – 3 \(\hat{i}\)
⇒ \(\vec{r}\) = 3 \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\) + (11 λ) \(\hat{k}\)
{-2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{j}\) – 5 \(\hat{k}\)}

(ii) रेखा बिन्दुओं A(3,-2,-5) तब B(3,-2,6) से जाती है।
अत: रेखा A B का कार्तीय समीकरण
\(\frac{x-3}{3-3}\) = \(\frac{y+2}{-2+2}\) = \(\frac{z+5}{6+5}\)
⇒ \(\frac{x-3}{0}\) = \(\frac{y+2}{0}\) = \(\frac{z+5}{11}\)

प्रश्न 10.
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
(i) r = 2 \(\hat{i}\) – 5 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\) + λ(3 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\))और
r = 7 \(\hat{i}\) – 6 \(\hat{k}\) + µ (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\))
(ii) r = 3 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\) + λ(\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)) और
r = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 56 \(\hat{k}\) + µ (3 \(\hat{i}\) – 5 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\))
हल:
(i) दिया है: प्रथम रेखा
\(\vec{r}\) = 2 \(\hat{i}\) – 5 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\) + λ(3 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\))
सदिश \(\overrightarrow{b_1}\) = 3 \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\) की दिशा में है।
द्वितीय रेखा \(\vec{r}\) = 7 \(\hat{i}\) – 6 \(\hat{k}\) + µ(\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\))
सदिश \(\overrightarrow{b_2}\) = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\) की दिशा में है।
यदि रेखाओं के बीच का कोण θ हो, तो
cos θ = \(\frac{\overrightarrow{b_1} \cdot \overrightarrow{b_2}}{\left|\overrightarrow{b_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{b_2}\right|}\)
= \(\frac{(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})}{|3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}| \cdot|\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}|}\)
= \(\frac{3 × 1+2 × 2+6 × 2}{\sqrt{(3)^2+(2)^2+(6)^2} \sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}}\)
= \(\frac{3+4+12}{\sqrt{9+4+36} \sqrt{1+4+4}}\)
= \(\frac{19}{\sqrt{49} \cdot \sqrt{9}}\) = \(\frac{19}{7 × 3}\) = \(\frac{19}{21}\)
∴ cos^-1 \(\frac{19}{21}\)

(ii) प्रथम रेखा \(\vec{r}\) = 3 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\) + λ(\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\))
सदिश \(\overrightarrow{b_1}\) = \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)
द्वितीय रेखा \(\vec{r}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – 56 \(\hat{k}\) + µ(3 \(\hat{i}\) – 5 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\))
सदिश \(\overrightarrow{b_2}\) = 3 \(\hat{i}\) – 5 \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\)
यदि दो रेखाओं के बीच का कोण θ हो, तो
cos θ = \(\frac{\overrightarrow{b_1} \cdot \overrightarrow{b_2}}{\left|\overrightarrow{b_1}\right| \cdot\left|\overrightarrow{b_2}\right|}\)
= \(\frac{(\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k})}{|\hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}| \cdot|3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k}|}\)
= \(\frac{\mid × 3+(-1) ×(-5)+(-2) ×(-4)}{\sqrt{(1)^2+(-1)^2+(-2)^2} \sqrt{(3)^2+(-5)^2+(-4)^2}}\)
= \(\frac{3+5+8}{\sqrt{1+1+4} \sqrt{9+25+16}}\)
= \(\frac{16}{\sqrt{6} \sqrt{50}}\) = \(\frac{16}{\sqrt{6 × 50}}\)
= \(\frac{16}{\sqrt{2 × 3 × 25 × 2}}\)
= \(\frac{16}{2 × 5 \sqrt{3}}\) = \(\frac{8}{5 \sqrt{3}}\) = \(\frac{8 \sqrt{2}}{15}\)
∴ θ = cos^-1\(\frac{8 \sqrt{3}}{15}\)

प्रश्न 11.
निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
(i) \(\frac{x-2}{2}\) = \(\frac{y-1}{5}\) = \(\frac{z+3}{-3} \) और \(\frac{x+2}{-1}\) = \(\frac{y-4}{8}\) = \(\frac{z-5}{4}\)
(ii) \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{1}\) और \(\frac{x-5}{4}\) = \(\frac{y-2}{1}\) = \(\frac{z-3}{8}\)
हल:
(i) रेखा \(\frac{x-2}{2}\) = \(\frac{y-1}{5}\) = \(\frac{z+3}{-3}\) के लिए दिक्-अनुपात 2, 5, -3 हैं
और रेखा \(\frac{x+2}{-1}\) = \(\frac{y-4}{8}\) = \(\frac{z-5}{4}\) के लिए दिक्-अनुपात -1, 8, 4 हैं।
यदि दो रेखाएँ जिनके दिक्-अनुपात a₁, b₁, c₁ और a₂, b₂, c₂ हैं, के बीच का कोण θ हो, तो
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
यहाँ a₁ = 2, b₁ = 5, c₁ = -3
∴ cos θ² = -1, b₂ = 8, c₂ = 4
= \(\frac{2 ×(-1)+5 × 8+(-3) × 4}{\sqrt{(2)^2+(5)^2+(-3)^2} \sqrt{(-1)^2+(8)^2+(4)^2}}\)
= \(\frac{-2+40-12}{\sqrt{4+25+9} \sqrt{1+64+16}}\)
= \(\frac{26}{\sqrt{38} \sqrt{81}}\) = \(\frac{26}{9 \sqrt{38}}\)
∴ θ = cos^-1 \(\frac{26}{9 \sqrt{38}}\)

(ii) रेखा \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{1}\) के दिक्-अनुपात 2, 2, 1 हैं और रेखा \(\frac{x-5}{4}\) = \(\frac{y-2}{1}\) = \(\frac{z-3}{8}\) के दिक्-अनुपात 4, 1, 8 हैं।
∴ a₁ = 2, b₁ = 2, c₁ = 1
a₂ = 4, b₂ = 1, c₂ = 8
यदि दो रेखाओं के बीच का कोण θ हो, तो
cos θ = \(\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2} \sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\)
= \(\frac{2 × 4+2 × 1+1 × 8}{\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2} \sqrt{(4)^2+(1)^2+(8)^2}}\)
= \( \frac{8+2+8}{\sqrt{4+4+1} \cdot \sqrt{16+1+64}}\)
= \(\frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}}\) = \(\frac{18}{3 × 9}\) = \(\frac{2}{3}\)
∴ θ = cos^-1\(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 12.
p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ
\(\frac{1-x}{3}\) = \(\frac{7 y-14}{2 p}\) = \(\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{7-7 x}{3 p}\) = \(\frac{y-5}{1}\) = \(\frac{6-z}{5}\) परस्पर लम्ब हों।
हल:
दी हुई रेखाओं को मानक रूप में रखने पर,
\(\frac{x-1}{-3}\) = \(\frac{y-2}{2 p / 7}\) = \(\frac{z-3}{2}\)
और \(\frac{x-1}{-3 p / 7}\) = \(\frac{y-5}{1}\) = \(\frac{z-6}{-5}\)
रेखा \(\frac{x-1}{-3}\) = \(\frac{y-2}{2 p / 7}\) = \(\frac{z-3}{2}\) के दिक्-अनुपात -3, \(\frac{2 p}{7}\), 2 हैं तथा रेखा \(\frac{x-1}{-3 p / 7}\) = \(\frac{y-5}{1}\) = \(\frac{z-6}{-5}\) के दिक्-अनुपात \(-\frac{3 p}{7}\), 1, -5 हैं।
अब, माना a₁ = -3, b₁ = \(\frac{2 p}{7}\), c₁ = 2
a₂ = \(-\frac{3 p}{7}\), b₂ = 1, c₂ = -5
यदि रेखाएँ परस्पर लम्ब हों, तो
a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0
∴ – 3 × (\(-\frac{3 p}{7}\)) + \(\frac{2 p}{7}\) × 1 + 2 × (-5) = 0
⇒ \(\frac{9 p}{7}\) + \(\frac{2 p}{7}\) – 10 = 0
⇒ 9 p + 2 p – 70 = 0
⇒ 11 p = 70
∴ p = \(\frac{70}{11}\)

प्रश्न 13.
दिखाइए कि रेखाएँ \(\frac{x-5}{7}\) = \(\frac{y+2}{-5}\) = \(\frac{z}{1}\) और \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\) परस्पर लम्ब हैं।
हल:
रेखा \(\frac{x-5}{7}\) = \(\frac{y+2}{-5}\) = \(\frac{z}{1}\) के दिक्-अनुपात 7,- 5, 1 हैं तथा रेखा \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\) के दिक्-अनुपात 1, 2, 3 हैं।
यहाँ माना
a₁ = 7, b₁ = -5, c₁ = 1
a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 3
यदि रेखाएँ परस्पर लम्ब हों, तो
a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0
अब a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂
= 7 × 1 + (-5) × 2 + 1 × 3
= 7 – 10 + 3
= 10 – 10 = 0
अतः रेखाएँ परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 14.
रेखाओं \(\vec{r}\) = (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) + λ(\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)) और \(\vec{r}\) = 2 \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\) + µ(2 \(\hat{i}\) + \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
रेखाओं \(\frac{x+1}{7}\) = \(\frac{y+1}{-6}\) = \(\frac{z+1}{1}\) और \(\frac{x-3}{1}\) = \(\frac{y-5}{-2}\) = \(\frac{z-7}{1}\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 16.
रेखाओं, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
\(\vec{r}\) = (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) + λ(\(\hat{i}\) – 3 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)) और \(\vec{r}\) = 4 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\) + µ(2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\))
हल:
रेखाएँओं \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_1}\) + λ \(\overrightarrow{b_1}\)
और \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_2}\) + µ \(\overrightarrow{b_2}\) से रेखाओं
\(\vec{r}\) = (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)) + λ(\(\hat{i}\) – 3 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\))
और \(\vec{r}\) = (4 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\)) + µ(2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\))
की तुलना करने पर,
a₁ = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)
b₁ = \(\hat{i}\) – 3 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)
a₂ = 4 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\)
b₂ = 2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\)
रेखाओं
\(\vec{r}\) = \(\hat{a_1}\) + λ \(\hat{b_1}\) और \(\vec{r}\) = \(\hat{a}_2\) + µ \(\hat{b_2}\)
के बीच की न्यूनतम दूरी
d = \(\left|\frac{\left(\overrightarrow{a_2}-\overrightarrow{a_1}\right) \cdot\left(\overrightarrow{b_1} \times \overrightarrow{b_2}\right)}{\left|\overrightarrow{b_1} \times \overrightarrow{b_2}\right|}\right|\)
अब
\(\overrightarrow{a_2}\) – \(\overrightarrow{a_1}\) = (4 \(\hat{i}\) + 5 \(\hat{j}\) + 6 \(\hat{k}\)) – (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\))
= 3 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\)
और \(\overrightarrow{b_1}\) × \(\overrightarrow{b_2}\) = (\(\hat{i}\) – 3 \(\hat{j}\) + 2 \(\hat{k}\)) × (2 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + \(\hat{k}\))
= \(\left|\begin{array}{rrr}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}
1 & -3 & 2
2 & 3 & 1
\end{array}\right| \)
= \(\hat{i}\)(-3 – 6) – \(\hat{j}\) (1 – 4) + \(\hat{k}\) (3 + 6)
= -9 \(\hat{i}\) + 3 \(\hat{j}\) + 9 \(\hat{k}\)
∴ \(\overrightarrow{b_1}\) × \(\overrightarrow{b_2}\) = \(\sqrt{(-9)^2+(3)^2+(9)^2}\)
= \(\sqrt{81+9+81}\)
= 3 \(\sqrt{9+1+9}\) = 3 \(\sqrt{19}\)
∴ = \(\left|\frac{(3 \hat{i}+3 \hat{j}+3 \hat{k})(-9 \hat{i}+3 \hat{j}+9 \hat{k})}{3 \sqrt{19}}\right|\)
= \(\left|\frac{3 \times(-9)+3 \times(3)+3 \times 9}{3 \sqrt{19}}\right|\)
= \(\left|\frac{-27+9+27}{3 \sqrt{19}}\right|\) = \(\frac{9}{3 \sqrt{19}}\)
d = \(\frac{3}{\sqrt{19}}\)

प्रश्न 17.
रेखाओं, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए:
\(\vec{r}\) = (1 – t) \(\hat{i}\) + (t – 2) \(\hat{j}\) + (3 – 2 t) \(\hat{k}\)
और \(\vec{r}\) = (s + 1) \(\hat{i}\) + (2 s – 1) \(\hat{j}\) – (2 s + 1) \(\hat{k}\)
हल:
रेखा \(\vec{r}\) = (1 – t) \(\hat{i}\) + (t – 2) \(\hat{j}\) + (3 – 2 t) \(\hat{k}\)
या \(\vec{r}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\) + t(\(-\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\))
की तुलना \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_1}\) + λ \(\overrightarrow{b_1}\) से करने पर,
\(\overrightarrow{a_1}\) = \(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\), \(\overrightarrow{b_1}\) = \(-\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)
और रेखा \(\vec{r}\) = (s + 1) \(\hat{i}\) + (2 s – 1) \(\hat{j}\) – (2 s + 1) \(\hat{k}\)
या \(\vec{r}\) = \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\) + s(\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\))
की तुलना \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_2}\) + µ \(\overrightarrow{b_2}\) से करने पर,
\(\overrightarrow{a_2}\) = \(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\), \(\overrightarrow{b_2}\) = \(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)
∴ \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_1}\) + λ \(\overrightarrow{b_1}\) और \(\vec{r}\) = \(\overrightarrow{a_2}\) + µ \(\overrightarrow{b_2}\) के बीच की न्यूनतम दूरी
∴ \(\overrightarrow{a_2}\) – \(\overrightarrow{a_1}\) = (\(\hat{i}\) – \(\hat{j}\) – \(\hat{k}\)) – (\(\hat{i}\) – 2 \(\hat{j}\) + 3 \(\hat{k}\))
= 0 + \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\) = \(\hat{j}\) – 4 \(\hat{k}\)
और
\(\overrightarrow{b_1}\) × \(\overrightarrow{b_2}\) = (\(-\hat{i}\) + \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\)) × (\(\hat{i}\) + 2 \(\hat{j}\) – 2 \(\hat{k}\))
= \(\left|\begin{array}{rrr}
\hat{i} \hat{j} \hat{k}
-1 1 -2
1 2 -2
\end{array}\right|\)
=(-2 + 4) \(\hat{i}\) – (2 + 2) \(\hat{j}\) + (- 2 – 1) \(\hat{k}\)
= 2 \(\hat{i}\) – 4 \(\hat{j}\) – 3 \(\hat{k}\)
∴ \(\left|\overrightarrow{b_1} \times \overrightarrow{b_2}\right|\) = \(\sqrt{(2)^2+(-4)^2+(-3)^2}\)
= \(\sqrt{4+16+9}\) = \(\sqrt{29}\)
∴ d = \(\left|\frac{(\hat{j}-4 \hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-4 \hat{j}-3 \hat{k})}{\sqrt{29}}\right|\)
= \(\left|\frac{-4+12}{\sqrt{29}}\right|\) = \(\frac{8}{\sqrt{29}}\)