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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 11 त्रिविमीय ज्यामिति Ex 11.1
प्रश्न 1.
यदि एक रेखा x, y और z-अक्ष के साथ क्रमशः 90° , 135° , 45° के कोण बनाती है तो इसके दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।
हल:
एक रेखा x, y और z-अक्षों के साथ क्रमश: 90° , 135° , 45° के कोण बनाती है।
∴ cosα = cos 90° = 0,
cosβ = cos 135° = \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
cosγ = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ दिक्-कोसाइन : 0, \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
प्रश्न 2.
एक रेखा के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों के साथ समान कोण बनाती है।
हल:
माना एक रेखा निर्देशांकों के साथ α कोण बनाती है।
∴ रेखा के दिक्-कोसाइन cosα, cosα, cosα
परन्तु
l2 + m2 + n2 = 1
⇒ cos2α + cos2α + cos2α = 1
⇒ 3 cos2α = 1
⇒ cos2α = \(\frac{1}{3}\)
∴ cosα = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
अतः रेखा के दिक्-कोसाइन हैं:
± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
प्रश्न 3.
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात -18,12,-4 हैं तो इसके दिक्-कोसाइन क्या हैं?
हल:
माना यदि a, b, c दिक्-अनुपात हों, तो दिक्-कोसाइन निम्न प्रकार हैं:
यहाँ पर a = -18, b = 12, c = -4
∴ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = \(\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(-4)^2}\)
= \(\sqrt{324+144+16}\)
= \(\sqrt{484}\) = 22
∴ cosα = \(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) = \(-\frac{18}{22}\) = \(-\frac{9}{11}\)
cosβ = \(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) = \(\frac{12}{22}\) = \(\frac{6}{11}\)
cosγ = \(\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) = \(-\frac{4}{22}\) = \(-\frac{2}{11}\)
अतः रेखा के दिक्-कोसाइन हैं :
\(-\frac{9}{11}\), \(\frac{6}{11}\), \(-\frac{2}{11}\)
प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7) संरेख हैं।
हल:
माना दिये हुए बिन्दु A(2, 3, 4), B(-1, -2, 1) तथा C(5, 8, 7)
∴A B = \(\sqrt{(-1-2)^2+(-2-3)^2+(1-4)^2}\)
= \(\sqrt{(-3)^2+(-5)^2+(-3)^2}\)
= \(\sqrt{9+25+9}\) = \(\sqrt{43}\)
B C = \(\sqrt{(5+1)^2+(8+2)^2+(7-1)^2}\)
= \(\sqrt{(6)^2+(10)^2+(6)^2}\)
= \(\sqrt{36+100+36}\) = \(\sqrt{172}\) = 2 \(\sqrt{43}\)
C A = \(\sqrt{(2-5)^2+(3-8)^2+(4-7)^2}\)
= \(\sqrt{(-3)^2+(-5)^2+(-3)^2}\)
= \(\sqrt{9+25+9}\) = \(\sqrt{43}\)
∴ C A + A B = \(\sqrt{43}\) + \(\sqrt{43}\) = 2 \(\sqrt{43}\) = B C
अतः बिन्दु A, B तथा C संरेख हैं।
इति सिद्ध हैं।
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं के दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए। यदि त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3, 5, -4),(-1, 1, 2) और (-5, -5, -2) हैं।
हल:
माना ∆A B C के शीर्ष निम्न हैं:
A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2) तथा C(-5, -5, -2)
(i) A B के दिक्-अनुपात:
x2 – x1 & , y2 – y1, z2 – z1
या
-1 – 3, 1 – 5, 2 – (-4)
⇒ -4 -4, 6
∴ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = \(\sqrt{(-4)^2+(-4)^2+(6)^2}\)
= \(\sqrt{16+16+36}\)
= \(\sqrt{68}\)
= 2 \(\sqrt{17}\)
∴ A B के दिक्-अनुपात:
\(-\frac{4}{2 \sqrt{17}}\), \(-\frac{4}{2 \sqrt{17}}\), \(\frac{6}{2 \sqrt{17}}\)
या
\(-\frac{2}{\sqrt{17}}\), \(-\frac{2}{\sqrt{17}}\), \(\frac{3}{\sqrt{17}}\)
(ii) BC के दिक्-अनुपात:
x3 – x2, y3 – y2, z3 – z1
-5 + 1, -5 – 1, -2 – 2
-4, -6, -4
या
∴ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = \(\sqrt{(-4)^2+(-6)^2+(-4)^2}\)
= \(\sqrt{16+36+16}\)
= \(\sqrt{68}\) = 2 \(\sqrt{17}\)
∴ B C के दिक्-कोसाइन निम्न हैं:
\(-\frac{4}{2 \sqrt{17}}\), \(-\frac{6}{2 \sqrt{17}}\), \(-\frac{4}{2 \sqrt{17}}\)
या \(-\frac{2}{\sqrt{17}}\), \(-\frac{3}{\sqrt{17}}\), \(-\frac{2}{\sqrt{17}}\)
(iii) CA के दिक्-अनुपात:
x1 – x3, y1 – y3, z1 – z3
3 +5, 5 + 5, -4 + 2
या
8
10,
∴ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = \(\sqrt{(8)^2+(10)^2+(-2)^2}\)
= \(\sqrt{64+100+4}\)
= \(\sqrt{168}\) = 2 \(\sqrt{42}\)
∴ C A के दिक्-कोसाइन निम्न हैं:
\(\frac{8}{2 \sqrt{42}}\), \(\frac{10}{2 \sqrt{42}}\), \(-\frac{2}{2 \sqrt{42}}\)
या
\(\frac{4}{\sqrt{42}}\), \(\frac{5}{\sqrt{42}}\), \(-\frac{1}{\sqrt{42}}\)