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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन Ex 12.1
प्रश्न 1.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत Z = 3 x + 4 y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
यहाँ दिया है:
उद्देश्य फलन Z = 3 x + 4 y
तथा व्यवरोध x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
(i) x + y ≤ 4 का आरेख : रेखा x + y = 4, बिन्दु A(4, 0) और B(0, 4) से होकर जाती है।
x + y ≤ 4 में x=0 तथा y=0 रखने पर, 0 ≤ 4 जो कि सत्य है।
इसलिए मूलबिन्दु इस क्षेत्र में स्थित है।
⇒ x + y ≤ 4 में क्षेत्र रेखा x+y=4 और इसके नीचे मूलबिन्दु की ओर है।
(ii) x ≥ 0 का क्षेत्र बिन्दु y-अक्ष पर और y-अक्ष के ऊपर है।
(iii) y ≥ 0 का क्षेत्र बिन्दु x-अक्ष पर है और x-अक्ष के ऊपर है। इनसे बना उभयनिष्ठ क्षेत्र ∆OAB है।
उद्देश्य फलन : Z = 3 x + 4 y
बिन्दु O(0, 0) पर, Z = 3 × 0 + 4 × 0 = 0
बिन्दु A(4, 0) पर, , Z = 3 × 4 + 4 × 0 = 12
बिन्दु B(0, 4) पर, Z = 3 × 0 + 4 × 4 = 16
अत: Z का अधिकतम मान बिन्दु B(0, 4) पर 16 है।
प्रश्न 2.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गात Z = -3 x + 4 y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2 y ≤ 8,3 x + 2 y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
दिया है: उद्देश्य फलन,
Z = -3 x + 4 y
तथा व्यवरोध x + 2 y ≤ 8,
3 x + 2 y ≤ 12
x ≥ 0 तथा y ≥ 0
(i) x + 2 y ≤ 8 का आरेख : रेखा x + 2 y = 8, बिन्दु A(8, 0) और B(0, 4) से गुजरती है। रेखा A B इसका आरेख है।
असमिका x + 2 y ≤ 8 में x = 0 तथा y = 0 रखने पर, 0 ≤ 8 जो कि सत्य है।
⇒ x + 2 y ≤ 8 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x + 2 y = 8 पर और उसके नीचे मूलबिन्दु की ओर हैं।
(ii) 3 x + 2 y ≤ 12 का क्षेत्र : रेखा 3 x + 2 y = 12 बिन्दु P(4, 0) और Q(0, 6) से होकर जाती है। इसका आरेब P Q है।
असमिका 3 x + 2 y ≤ 12 में x=0, y=0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो कि सत्य है।
तब इसके क्षेत्र के बिन्दु रेखा 3 x + 2 y = 12 पर और इसके नीचे मूलबिन्दु की ओर हैं।
(iii) x ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और y-अक्ष के दार्यी ओर हैं।
(iv) y ≥ 0, क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र O A R P है।
रेखा A B, x + 2 y = 8 और P Q, 3 x + 2 y = 12 बिन्दु R पर प्रतिच्छेदन करती हैं। समीकरणों को हल करने पर,
x = 2 तथा y = 3
∴ बिन्दु R(2, 3) है।
उद्देश्य फलन, Z = -3 x + 4 y
बिन्दु A(0, 4) पर, Z = -3 × 0 + 4 × 4 = 16
बिन्दु R(2, 3) पर, Z = -3 × 2 + 4 × 3
= -6 + 12 = 6
बिन्दु P(4, 0) पर, Z = -3 × 4 + 4 × 0 = -12
इस प्रकार Z का न्यूनतम मान बिन्दु P(4, 0) पर -12 है।
प्रश्न 3.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत Z = 5 x + 3 y का अधिकतमीकरण कीजिए:
3 x + 5 y ≤ 15, 5 x + 2 y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0.
हल:
दिया है:
उद्देश्य फलन: Z = 5 x + 3 y तथा
व्यवरोध 3 x + 5 y ≤ 15, 5 x + 2 y ≤ 10, x ≥ 0 तथा y ≥ 0.
(i) 3 x + 5 y ≤ 15 का क्षेत्र: रेखा 3 x + 5 y = 15, बिन्दु A(5, 0)
और B(0, 3) से गुजरती है। इसका आरेख रेखा A B है।
असमिका 3 x + 5 y ≥ 15 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 15 जो कि सत्य है।
⇒ इस क्षेत्र के बिन्दु A B पर और इसके नीचे मूलबिन्दु की और हैं।
(ii) 5 x + 2 y ≤ 10 का आरेख : रेखा 5 x + 2 y = 10, बिन्दु P(2, 0) और Q(0, 5) से होकर जाती है। इसका आरेख P Q है।
असमिका 5 x + 2 y ≤ 10 में x=0, y=0 रखने पर, 0 ≤ 10, जो कि सत्य हैं।
⇒ 5 x + 2 y ≤ 10 क्षेत्र के बिन्दु रेखा P Q पर और P Q के नीचे मूलबिन्दु की ओर हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायी और हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
∴ इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र O B R P है।
रेखा A B: 3 x + 5 y = 15
और P Q: 5 x + 2 y = 10
समी. (1) व (2) को हल करने पर, बिन्दु R(\(\frac{20}{19}\), \(\frac{45}{19}\)) प्राप्त होता है।
उद्देश्य फलन: Z = 5 x + 3 y में
बिन्दु B(0, 3) पर, Z = 5 × 0 + 3 × 3 = 9
बिन्दु R(\(\frac{20}{19}\), \(\frac{45}{19}\)) पर,
Z = 5 × \(\frac{20}{19}\) + 3 × \(\frac{45}{19}\)
= \(\frac{100}{19}\) + \(\frac{135}{19}\) = \(\frac{235}{19}\)
बिन्दु P(2, 0) पर, Z = 5 × 2 + 3 × 0 = 10
∴ Z का अधिकतम मान बिन्दु R(\(\frac{20}{19}\), \(\frac{45}{19}\)) पर \(\frac{235}{19}\) है।
प्रश्न 4.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत Z = 3 x + 5 y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 3 y ≥ 3, x + y ≥ 2, x, y ≥ 0
हल:
दिया है, उद्देश्य फलन:
Z = 3 x + 5 y
और व्यवरोध x + 3 y ≥ 3
x + y ≥ 2 तथा x ≥ 0, y ≥ 0.
(i) x + 3 y ≥ 3 का आरेख : रेखा x + 3 y = 3 बिन्दु P(3, 0) और Q(0, 1) से होकर जाती है।
∴ आरेख रेखा P Q है।
असमिका x + 3 y ≥ 3 में, x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 3 जो कि असत्य है।
⇒ x + 3 y ≥ 3 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x + 3 y = 3 पर और उसके ऊपर हैं।
x + y = 2 3 x + 5 y = 7 x + 3 y = 3
(ii) x + y ≥ 2 का आरेख : रेखा x + y = 2, बिन्दु C(2, 0) और D(0, 2) से होकर जाती है। इसका आरेख D C है।
असमिका x + y ≥ 2 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 2 जो कि असत्य हैं।
⇒ x + y ≥ 2 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x + y = 2 पर और उसके ऊपर हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर हैं।
∴ इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र YDRPX है जबकि A B: x + 3 y = 3 और C D ; x + y = 2 का प्रतिच्छेद बिन्दु R(\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) है।
अय उद्देश्य फलन : Z = 3 x + 5 y
बिन्दु P(3, 0) पर,
Z = 3 × 3 + 5 × 0 = 9
बिन्दु R(\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) पर,
Z = 3 × \(\frac{3}{2}\) + 5 × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{9}{2}\) + \(\frac{5}{2}\) = \(\frac{14}{2}\) = 7
बिन्दु D(0, 2) पर,
Z = 3 × 0 + 5 × 2 = 10
सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, 3 x + 5 y < 7 और सुसंगत क्षेत्र में कोई भी बिन्दु उभर्यनिष्ठ नहीं है। ∴ Z का न्यूनतम मान बिन्दु R(\(\frac{3}{2}\), \(\frac{1}{2}\)) पर 7 है।
प्रश्न 5.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत Z = 3 x + 2 y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2 y ≤ 10, 3 x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
हल:
दिया है, उदेश्य फलन : Z = 3 x + 2 y तथा व्यवरोध : x + 2 y ≤ 10,3 x + y ≤ 15, x, y ≥ 0
(i) x + 2 y ≤ 10 का आरेख : रेखा x + 2 y = 10, बिन्दु A(10, 0) और B(0, 5) से होकर जाती है। इसलिए x + 2 y = 10 का आरेख A B है। असमिका x + 2 y ≤10 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 10 जो कि सत्य है।
⇒ x + 2 y ≤ 10 क्षेत्र के बिन्दु रेखा A B पर और A B के नीचे हैं।
(ii) 3 x + y ≤ 15 का आरेख : रेखा 3 x + y = 15 बिन्दु P(5, 0) और Q(0, 15) से होकर जाती है।
∴ 3 x + y = 15 का आरेख P Q है। असमिका 3 x + y ≤ 15 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 15 जो कि सत्य है।
⇒ 3 x + y ≤ 15 क्षेत्र के बिन्दु रेखा P Q पर और P Q के नीचे हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और इसके दायी ओर हैं।
(iv) y ≥0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और इसके ऊपर हैं। समस्या का सुसंगत क्षेत्र O B R P है जबकि बिन्दु R, A B और P Q का प्रतिच्छेदन बिन्दु है। रेखा A B: x + 2 y = 10 तथा P Q: 3 x + y = 15 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु (4, 3) प्राप्त होता है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 3 x + 2 y बिन्दु P(5, 0) पर, Z = 3 × 5 + 2 × 0 = 15
बिन्दु R(4, 3) पर, Z = 3 × 4 + 2 × 3 = 12 + 6 = 18 बिन्दु B(0, 5) पर, Z = 3 × 0 + 2 × 5 = 10
अत: Z का न्यूनतम मान बिन्दु (0, 5) पर 10 है।
प्रश्न 6.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2 y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
2 x + y ≥ 3, x + 2 y ≥ 6, x, y ≥ 0
हल:
दिया है, उद्देश फलन:
Z = x + 2 y
तथा व्यवरोध : 2 x + y ≥ 3, x + 2 y ≥ 6 तथा x, y ≥ 0
(i) 2 x + y ≥ 3 का आरेख : रेखा 2 x + y = 3, बिन्दु A(3 / 2,0) और B(0, 3) से होकर जाती है।
∴ 2 x + y = 3 का आरेख रेखा A B है।
⇒ 2 x + y ≥ 3 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 3 जो कि असत्य है।
∴ 2 x + y ≥ 3 के बिन्दु रेखा A B पर और उसके ऊपर है।
(ii) x + 2 y ≥ 6 का आरेख : रेखा x + 2 y = 6, बिन्दु P(6, 0) और B(0, 3) से होकर जाती है।
∴ x + 2 y = 6 का आरेख रेखा P B है।
⇒ x + 2 y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 6 जो कि असत्य है।
⇒ x + 2 y ≥ 6 क्षेत्र के बिन्दु रेखा P B पर और उसके ऊपर हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और इसके दार्यी ओर हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और इसके ऊपर है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र Y B P X है।
अब उद्देश्य फलन : Z = x + 2 y
बिन्दु B(0, 3) पर, Z = 0 + 2 × 3 = 6
बिन्दु P(6, 0) पर, Z = 6 + 2 × 0 = 6
साथ ही यह क्षेत्र अपरिबद्ध है और x + 2 y ≥ 6 का कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र में नहीं है।
अत: Z का न्यूनतम मान 6 है जो रेखा P B के प्रत्येक बिन्दु के लिए सत्य है।
दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिन्दुओं से अधिक बिन्दुओं पर घटित होता है।
प्रश्न 7.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत Z = 5 x + 10 y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2 y ≤ 120, x + y ≥ 60, x – 2 y ≥ 0, x, y ≥ 0
हल:
दिया है, उदेश्य फलन : Z = 5 x + 10 y तथा
व्यवरोध x + y ≥ 60, x + 2 y ≤ 120, x – 2 y ≥ 0 तथा x, y ≥ 0.
(i) x + 2 y ≤ 120 का आरेख : रेखा x + 2 y = 120, बिन्दु A(120, 0) और बिन्दु B(0, 60) से होकर जाती है।
∴ x + 2 y = 120 का आरेख रेखा A B है।
असमिका, x + 2 y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 120 जो कि सत्य है।
∴ x + 2 y ≤ 120 क्षेत्र के बिन्दु रेखा A B पर और नीचे मूलबिन्दु की ओर स्थित हैं।
(ii) x + y ≥ 60 का आरेख : रेखा x + y = 60, बिन्दु P(60, 0), B(0, 60) से होकर जाती है।
∴ x + y = 60 का आरेख रेखा P B है।
असमिका x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 60 जो कि असत्य है।
इस प्रकार x + y ≥ 60 क्षेत्र के बिन्दु रेखा P B पर और उसके ऊपर होते हैं।
(iii) x – 2 y ≥ 0 का आरेख : रेखा x – 2 y = 0 मूलबिन्दु O(0, 0) और Q(120, 60) से होकर जाती है।
∴ x – 2 y ≥ 0 का आरेख रेखा O Q है।
असमिका x – 2 y ≥ 0 में x = 1, y = 0 रखने पर,
1 ≥ 0 जो कि सत्य है।
⇒ (1, 0) इस क्षेत्र में स्थित है। x – 2 y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु रेखा O Q पर और इसके नीचे (1, 0) की ओर हैं।
(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और y-अक्ष के दायीं ओर स्थित हैं।
(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और इसके ऊपर है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र PSRA है।
जबकि बिन्दु S(40, 20), P B: x + y = 60 और
O Q: x – 2 y = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 5 x + 10 y
बिन्दु A(120, 0) पर, Z = 5 × 120 + 10 × 0 = 600
बिन्दु S(40, 20) पर, Z = 5 × 40 + 10 × 20
= 200 + 200 = 400
बिन्दु P(60,0) पर, Z=5 × 60+10 × 0=300
अत: Z का न्यूनतम मान P(60,0) पर 300 है और Z का अधिकतम मान R A के सभी बिन्दुओं पर 600 है।
प्रश्न 8.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत Z = x + 2 y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2 y ≥ 100,2x – y ≤ 0,2x + y ≤ 200 ; x, y ≥ 0
हल:
दिया है, उद्देश्य फलन:
Z = x + 2 y
तथा व्यवरोध : x + 2 y ≥ 100, 2x – y ≤ 0,
2 x + y ≤ 200 तथा x, y ≥ 0
(i) x + 2 y ≥ 100 का आरेख : रेखा x + 2 y = 100, बिन्दु A(100, 0) और B(0, 50) से होकर जाती है।
∴ x + 2 y = 100 का आरेख रेखा A B है।
⇒ x + 2 y ≥ 100 में, x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 100 जो कि असत्य है।
∴ x + 2 y ≥ 100 क्षेत्र के बिन्दु रेखा A B पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(ii) 2 x – y ≤ 0 का आरेख : रेखा 2 x – y = 0, मूलबिन्दु O(0, o) और C(50, 100) से होकर जाती है।
इसलिए रेखा 2 x – y = 0 का आरेख O C है।
असमिका 2 x – y ≤ 0 में x = 1, y = 0 रखने पर,
2 ≤ 0 जो कि असत्य है।
∴ 2 x – y ≤ 0 का क्षेत्र O C पर और उसके ऊपर का है।
(iii) 2 x + y ≤ {2 0 0} का आरेख : रेखा 2 x + y = 200 बिन्दु A(100, 0) और D(0, 200) से होकर जाती है।
∴ 2 x + y = 200 का आरेख A D है।
असमिका 2 x + y ≤ 200 में, x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 200 जो कि सत्य है।
⇒ 2 x + y ≤ 200 क्षेत्र के बिन्दु A D पर और उसके नीचे हैं।
(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दायीं और हैं।
(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर होते हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र D B E C है।
रेखा A B: x + 2 y = 100 और O C: 2 x – y = 0 का प्रतिच्छेद बिन्दु E(20, 40).
अब उद्देश्य फलन : Z = x + 2 y
बिन्दु B(0, 50) पर, Z = 0 + 2 × 50 = 100
बिन्दु E(20, 40) पर, Z = 20 + 2 × 40
= 20 + 80 = 100
बिन्दु C(50, 100) पर, Z = 50 + 2 × 100
= 50 + 200 = 250
बिन्दु D(0, 200) पर, Z = 0 + 2 × 200 = 400
अत: Z का अधिकतम मान 400 है जो बिन्दु D(0, 200) पर है तथा
प्रश्न 9.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत Z = -x + 2 y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2 y ≥ 6, y ≥ 0
हल:
दिया है , उद्देश्य फलन : Z = -x + 2 y तथा व्यवरोध : x ≥ 3, x + y ≥ 5, x + 2 y ≥ 6 तथा y ≥ 0
(i) x + y ≥ 5 का आरेख : रेखा x + y = 5, बिन्दु A(5, 0) और B(0, 5) से होकर जाती है।
इसलिए x + y = 5 का आरेख रेखा A B है।
असमिका x + y ≥ 5 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 5, जो कि असत्य है।
∴ x + y ≥ 5 क्षेत्र के बिन्दु रेखा A B पर और उसके ऊपर हैं।
(ii) x + 2 y ≥ 6 का आरेख : रेखा x + 2 y = 6, बिन्दु C(6, 0) और D(0, 3) से होकर जाती है।
∴ रेखा x + 2 y = 6 का आरेख रेखा C D है।
असमिका x + 2 y ≥ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 6 जो कि असत्य है।
∴ x+2 y ≥ 6 क्षेत्र के बिन्दु C D पर या उसके ऊपर हैं।
(iii) x ≥ 3 क्षेत्र के बिन्दु रेखा P Q: x=3 पर उसके दार्यी ओर हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर होते हैं।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र P Q R C X है।
बिन्दु Q रेखा P Q: x = 3 और रेखा A B ; x + y = 5 के प्रतिच्छेदन बिन्दु Q के निर्देशांक (3, 2) हैं।
बिन्दु R रेखा C D: x + 2 y = 6 और A B: x + y = 5 का प्रतिच्छेदन बिन्दु (4, 1) है।
अब उद्देश्य फलन : Z = -x + 2 y
बिन्दु Q(3, 2) पर,
Z = -3 + 2 × 2 = -3 + 4 = 1
बिन्दु R(4, 1) पर,
Z = -4 + 2 × 1 = -4 + 2 = -2
बिन्दु C(6, 0) पर, Z = -6 + 2 × 0 = -6
∴ Z का अधिकतम मान 1 है परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, यदि -x + 2 y > 1 क्षेत्र पर विचार करें तो -x + 2 y > 1 तथा सुसंगत क्षेत्र में अनेकों बिन्दु उभयनिष्ठ हैं।
अतः Z का कोई अधिकतम मान नहीं है।
प्रश्न 10.
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत z = x + y का अधिकतमीकरण कीजिए:
x – y ≤ – 1,-x + y ≤ 0, x, y ≥ 0
हल:
दिया है, उद्देश्य फलन:
Z = x + y
तथा व्यवरोध: x – y ≤ -1,-x + y ≤ 0 तथा x, y ≥ 0
(i) x – y ≤ -1 का आरेख : रेखा x – y = -1 बिन्दु A(-1, 0) तथा B(0, 1) से होकर जाती है, जिसका A B आरेख है।
असमिका x – y ≤ -1 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ -1 जो कि असत्य है।
∴ x – y ≤ -1 क्षेत्र के बिन्दु रेखा A B पर और उसके ऊपर हैं।
(ii) -x + y ≤ 0 का आरेख : रेखा -x + y = 0, मूलबिन्दु O(0, 0) और C(1, 1) से होकर जाती है। असमिका -x + y ≤ 0 में x = 1, y = 0 रखने पर,
-1 ≤ 0 जो कि सत्य है।
⇒ -x + y ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु O C पर या उसके नीचे (1, 0) की ओर हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और y-अक्ष के दार्यी ओर हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और x-अक्ष के ऊपर स्थित हैं।
अत: इस समस्या का कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है।
अत: Z का अधिकतम मान नहीं है।