These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन विविध प्रश्नावली Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन विविध प्रश्नावली
प्रश्न 1.
उदाहरण 9 पर ध्यान दीजिए। आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
माना भोज्य A के x पैकेट और भोज्य B के y पैकेट खरीदे गये।
भोज्य पैकेटों की संख्या कैल्शियम लौह कोलेस्टरॉल विटामिन A
p X 12 मात्रक 4 मात्रक 6 मात्रक 6 मात्रक
Q Y 3 मात्रक 20 मात्रक 4 मात्रक 3 मात्रक
न्यूनतम
आवश्यकता 240 मात्रक 460 मात्रक 300 मात्रक Z
| भोज्य | पैकेटों की संख्या | कैल्शियम | लौह | कोलेस्टरॉल | विटामिन A |
| p | X | 12 मात्रक | 4 मात्रक | 6 मात्रक | 6 मात्रक |
| Q | Y | 3 मात्रक | 20 मात्रक | 4 मात्रक | 3 मात्रक |
| न्यूनतम
आवश्यकता |
240 मात्रक | 460 मात्रक | 300 मात्रक | Z |
∴ उद्देश्य फलन: Z = 6 x + 3 y तथा
व्यवरोध:
या
12x + 3 y ≤ 240,
4x + 20 y ≤ 460,
6x + 4 y ≤ 300,
x, y ≤ 0
4 x + y ≤ 80,
x + 5 y ≤ 115,
3 x + 2 y ≤ 150,
x, y ≤ 0
(i) 4x + y ≤ 80 का आरेख : रेखा 4x + y = 80, बिन्दुओं A(20, 0) तथा B(0, 80) से होकर जाती है।
असमिका 4 x + y ≤ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 80 जो कि असत्य है।
⇒ 4x + y ≤ 80 रेखा A B पर तथा उसके ऊपर का क्षेत्र है।
(ii) x + 5 y ≤ 115 का आरेख : रेखा x + 5 y = 115, बिन्दुओं C(115, 0) तथा D(0, 23) से होकर जाती है।
असमिका x + 5 y ≤ 115 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 115 जो कि असत्य है।
⇒ x + 5 y ≤ 115 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर या उसके ऊपर स्थित
4 x + y = 80
(iii) 3 x + 2 y ≤ 150 का आरेख : रेखा 3 x + 2 y = 150, बिन्दुओं E(50, 0) तथा F(0, 75) से होकर जाती है।
असमिका 3 x + 2 y ≤ 150 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 150 जो कि सत्य है।
⇒ 3 x + 2 y ≤ 150 क्षेत्र के बिन्दु रेखा E F पर या उसके नीचे स्थित हैं।
(iv) x ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी ओर स्थित हैं।
(v) y ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर है और उसके ऊपर स्थित हैं।
(vi) रेखा A B: 4 x + y = 80, C D = x + 5 y = 115 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(15, 20) है।
(vii) रेखा C D: x + 5 y = 115, E F: 3 x + 2 y = 150 का प्रतिच्छेद्ध बिन्दु R(40, 15) है।
(viii) रेखा A B: 4 x + y = 80, E F = 3 x + 2 y = 150 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(2, 72) है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र P Q R है।
अब उद्देश्य फलन:
बिन्दु P(2, 72) पर,
Z = 6 x + 3 y
Z = 6 × 2 + 3 × 72
= 12 + 216 = 228
बिन्दु Q(15, 20) पर,
Z = 6 × 15 + 3 × 20
= 90 + 60 = 150
बिन्दु R(40, 15) पर,
Z = 6 × 40 + 3 × 15
= 240 + 45 = 285
अत: विटामिन की अधिकतम मात्रा 285 मात्रक है। जय भोज्य P के 40 पैकेट और भोज्य Q के 15 पैकेट खरीदे जाएँ।
प्रश्न 2.
एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रत करता) है। P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य ₹ 250 थैला जो कि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि Q प्रकार का चारा जिसका मूल्य ₹ 200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A के 1.5 मात्रक, तत्व B के 11.25 मात्रक और तत्व C के 3 मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो। मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है ?
हल:
माना x थैले में P प्रकार के चारे तथा y थैले में Q प्रकार के चारे मिलाये जाते हैं।
दिया है:
| चारे के
प्रकार |
थैलों की संख्या | तत्व A | तत्व B | तत्व C | मूल्य |
| P Q |
X
Y |
3
5 |
2.5
11.25 |
2
3 |
₹ 250 |
| न्यूनतम आवश्यकता | 18 | 45 | 24 | ₹ 200 |
∴ उद्देश्य फलन:
Z = 250 x + 200 y तथा
व्यवरोध : 3x + 1.5 y ≤ 18,2 5 x + 11 25 y ≤ 45,
2 x + 3 y ≤ 24 तथा x, y ≤ 0
या 2x + y ≤ 12, 2 x + 9 y ≤ 36,2 x + 3 y ≤ 24, x, y ≤ 0
(i) 2 x + y ≤ 12 का आरेख : रेखा 2 x + y = 12, बिन्दुओं A(6, 0) तथा B(0, 12) से होकर जाती है।
असमिका 2 x + y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो कि असत्य है।
⇒ 2 x + y ≤ 12 क्षेत्र के बिन्दु रेखा A B या उसके ऊपर स्थित हैं।
(ii) 2 x + 9 y ≤ 36 का आरेख : रेखा 2 x + 9 y ≤ 36, बिन्दुओं C(18, 0) तथा D(0, 4) से होकर जाती है।
∴ असमिका 2 x + 9 y ≤ 36 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ 36 जो कि असत्य है।
⇒ 2 x + 9 y ≤ 36 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर या उसके ऊपर स्थित हैं।
(iii) 2 x + 3 y ≤ 24 का आरेख : रेखा 2 x + 3 y = 24, बिन्दुओं E(12, 0) तथा F(0, 8) से होकर जाती है।
असमिका 2 x + 3 y ≤ 24 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 24 जो कि असत्य है।
⇒ 2 x + 3 y ≤ 24 क्षेत्र के बिन्दु रेखा E F पर या उसके ऊपर स्थित हैं।
(iv) x ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी ओर हैं।
(v) y ≤ 0 के क्षेत्र बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
(vi) रेखा A B: 2 x + y = 12 तथा E F: 2 x + 3 y = 24 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(3, 6) है।
(vii) रेखा C D: 2 x + 9 y = 36 और E F: 2 x + 3 y = 24 का प्रतिच्छेद बिन्दु R(9, 2) है ।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र Y B P R C X है।
अब उद्देश्य फलन:
Z = 250 x + 200 y
बिन्दु B(0, 12) पर,
Z = 250 × 0 + 200 × 12
= 0 + 2400 = 2400
बिन्दु P(3, 6) पर,
Z = 250 × 3 + 200 × 6
= 750 + 1200 = 1950
बिन्दु R(9, 2) पर,
Z = 250 × 9 + 200 × 2
= 2250 + 400 = 2650
बिन्दु C(18, 0) पर,
Z = 250 × 18 + 0 = 4500
∴ Z का न्यूनतम मान 1950 है। सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। असमिका 250x + 200 y < 1950 या 5x + 4 y < 39
यह रेखा (\(\frac{39}{5}\), 0), (0, \(\frac{39}{4}\)) से होकर जाती है और बिन्दु (3, 6) पर स्थित है। इसमें x = 0, y = 0 रखने पर,
0 < 39 जो कि सत्य है।
5 x + 4 y < 39 क्षेत्र के बिन्दु रेखा 5 x + 4 y = 39 के नीचे स्थित हैं जिसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
अत: Z का न्यूनतम मान 1950 तथा P प्रकार के चारे के 3 थैले और Q प्रकार के 6 थैले मिलाये जाते हैं।
प्रश्न 3.
एक आहारविद् दो प्रकार के भोज्यों X और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A के कम-से-कम 10 मात्रक, विटामिन B के कम-से-कम 12 मात्रक और विटामिन C के कम-से-कम 8 मात्रक हों 1 किग्रा भोज्यों में विटामिनों की मात्रा निम्नलिखित सारणी में दी गई है :
| भोज्य | विटामिन A | विटामिन B | विटामिन C |
| X | 1 | 2 | 3 |
| Y | 2 | 2 | 1 |
भोज्य X के 1 किग्रा का मूल्य ₹ 16 और भोज्य Y के 1 किग्रा का मूल्य ₹ 20 है। वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x किग्रा भोज्य X और y किग्रा भोज्य Y का मिंश्रण बनाया जाता है।
दिया है : भोज्य X का मूल्य ₹ 16 प्रति किग्रा और भोज्य Y का मूल्य ₹ 20 प्रति किग्रा है। इस मिश्रण का मूल्य 16 x+20 y है।
∴ उद्देश्य फलन: Z = 16x + 20 y तथा
व्यवरोध : x + 2 y ≤ 10, 2 x + 2 y ≤ 12
या x + y ≤ 6, 3 x + y ≤ 8, x, y ≤ 0
(i) x + 2 y ≤ 10 का आलेख : रेखा x + 2 y = 10, बिन्दुओं A(10, 0) तथा B(0, 5) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + 2 y ≤ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 10 जो कि असत्य है।
⇒ x + 2 y ≤ 10 रेखा A B पर या उसके ऊपर स्थित है।
(ii) x + y ≤ 6 का आरेख : रेखा x + y = 6 बिन्दुओं C(6, 0) तथा D(0, 6) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + y ≤ 6 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 6 जो कि असत्य है।
⇒ x + y ≤ 6 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर या उसके ऊपर स्थित हैं।
(iii) 3 x + y ≤ 8 का आरेख : रेखा 3x + y = 8 बिन्दुओं E(8 / 3,0) तथा F(0, 8) से होकर जाती है।
∴ असमिका 3 x + y ≤ 8 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 8 जो कि असत्य है।
⇒ 3 x + y ≤ 8 क्षेत्र के बिन्दु रेखा E F पर या उसके ऊपर स्थित हैं।
(iv) x ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर तथा उसके दार्यी ओर स्थित हैं।
(v) y ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर तथा उसके ऊपर स्थित हैं।
(vi) रेखा C D: x + y = 6 और E F: 3 x + y = 8 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(1, 5) है।
(vii) रेखा A B: x + 2 y = 10 तथा C D: x + y = 6 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(2, 4) है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र YFPQAX है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 16 x + 20 y
बिन्दु F(0, 8) पर, Z = 0 + 20 × 8 = 160
बिन्दु P(1, 5) पर, Z = 16 × 1 + 20 × 5
= 16 + 100 = 116
बिन्दु Q(2, 4) पर,
Z = 16 × 2 + 20 × 4
= 32 + 80 = 112
बिन्दु A(10, 0) पर, Z = 16 × 10 + 0 = 160
∴ Z का न्यूनतम मान ₹ 112 है। परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
16x + 20y < 112 का कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
अत: Z का न्यूनतम मान ₹ 112 है जिसके लिए भोज्य X का 2 किग्रा और भोग्य Y का 4 किग्रा मिश्रण बनाना चाहिए।
प्रश्न 4.
एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है। इस उद्देश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में) निम्नलिखित है:
| खिलौने के प्रकार | मशीन | ||
| I | II | III | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घण्टे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर ₹ 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर ₹ 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलॉने और B प्रकार के 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए।
हल:
माना कि निर्माता A प्रकार के x खिलौने और B प्रकार के y खिलौने बनाता है।
∴ उद्देश्य फलन : Z = 75 x + 5 y तथा
व्यवरोध : 12x + 6 y ≤ 360,18 x ≤ 360, 6x + 9 y ≤ 360, x, y ≥ 0.
या 2x + y ≤ 60, x ≤ 20,2 x + 3 y ≤ 120, x, y ≥ 0.
(i) 2 x + y ≤ 60 का आलेख: रेखा 2x + y = 60, बिन्दुओं A(30, 0) तथा B(0, 60) से होकर जाती है।
∴ असमिका 2 x + y ≤ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 60 जो कि सत्य है।
⇒ 2 x + y ≤ 60 रेखा A B पर है या उसके नीचे स्थित है।
(ii) x ≤ 20 के बिन्दु x = 0 और x = 20 के बीच स्थित हैं।
(iii) 2 x + 3 y ≤ 120 का आलेख : रेखा 2x + 3 y = 120, बिन्दुओं C(60, 0) तथा D(0, 40) से होकर जाती है।
∴ असमिका 2 x + 3 y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 120 जो कि सत्य है।
⇒ 2 x + 3 y ≤ 120 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर या उसके नीचे स्थित हैं।
(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और दार्यी ओर स्थित हैं।
(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
(vi) रेखा A B: 2 x + y = 60 और C D: 2 x + 3 y = 120 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(15, 30) है।
(vii) रेखा x = 20 और रेखा A B: 2 x + y = 60 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(20, 20) है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र ODPQR छायांकित किया गया है। अब उद्देशय फलन :
Z = 7.5 x + 5 y
बिन्दु D(0, 40) पर,
Z = 0 + 5 × 40 = 200
बिन्दु P(15, 30) पर,
Z = 7.5 × 15 + 5 × 30
= 112.5 + 150 = 262.50
बिन्दु Q(20, 20) पर,
Z = 7.5 × 20 + 5 × 20
= 150 + 100 = 250
बिन्दु R(20, 0) पर,
Z = 7.5 × 20 + 0 = 150
अत: अधिकतम लाभ ₹ 262.50 होगा, जबकि 15 खिलौने A प्रकार के और 30 खिलौने B प्रकार के बनाए जाएँ।
प्रश्न 5.
एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर ₹ 1000 और सस्ते श्रेणी के टिकट पर ₹ 600 पर लाभ कमाया जा सकता है। एयरलाइन कम-से-कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम-से-कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है?
हल:
माना एक हवाई जहाज में प्रथम श्रेणी के x यात्री और सस्ती श्रेणी के y यात्री यात्रा करते हैं।
दिया है: प्रथम श्रेणी के एक यात्री से ₹ 1000 और सस्ती श्रेणी के एक यात्री से ₹ 600 का लाभ होता है।
∴ उद्देश्य फलन : Z = 1000 x + 600 y तथा
व्यवरोध : x ≥ 20, x + y ≤ 200, y ≥ 4 x, x, y ≥ 0.
(i) x + y ≤ 200 का आरेख : रेखा x + y = 200, बिन्दु (200, 0) तथा (0, 200) से होकर जाती है।
असमिका x + y ≤ 200 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ 200 जो कि सत्य है।
⇒ x + y ≤ 200 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x + y = 200 पर और उसके नीचे स्थित हैं।
(ii) x ≥ 20 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x = 20 पर और उसके दायी ओर स्थित हैं।
(iii) y ≥ 4 x का आरेख : रेखा y = 4 x, मूलबिन्दु (0, 0) और बिन्दु B(40, 160) से होकर जाती है।
∴ असमिका y – 4 x ≥ 0 में x = 0, y = 40 रखने पर, 40 ≥ 0 जो कि सत्य है।
⇒ y – 4 x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु O B पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दायी ओर स्थित है।
(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
(vi) रेखा x = 20 और y = 4 x का प्रतिच्छेद बिन्दु C(20, 80) है।
(vii) रेखा y = 4 x और x + y = 200 का प्रतिच्छेद् बिन्दु B(40, 160) है।
(viii) रेखा x = 20 और x + y = 200 का प्रतिच्छेद बिन्दु A(20, 180) है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र A B C है जिसे छायांकित किया गया है। अब उद्देश्य फलन:
Z = 1000 x + 600 y
बिन्दु A(20,180) पर,
Z = 1000 × 20 + 600 × 180
= 20000 + 108000
= 128000
बिन्दु B(40, 160) पर,
Z = 1000 × 40 + 600 × 160
= 40000 + 96000 = 136000
बिन्दु C(20, 80) पर,
Z = 1000 × 20 + 600 × 80
= 20000 + 48000 = 68000
अतः अधिकतम लाभ ₹ 136000 पाने के लिए 40 यात्री प्रथम श्रेणी और 160 यात्री सस्ती श्रेणी में होने चाहिए।
प्रश्न 6.
दो अन्न भण्डारों A और B की भण्डारण क्षमता क्रमश: 100 क्विंटल और 50 क्विंटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड्ता है जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50 और 40 क्विंटल है।
भण्डारों से दुकानों को प्रति क्विंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है:
| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय ₹ | ||
| को/से | A | B |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.50 | 3 |
परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
हल:
माना भण्डारण A से D दुकान पर x क्विंटल भण्डार और E को y क्विंटल भण्डार भेजा जाता है। भण्डार A में कुल 100 क्विंटल की भण्डारण क्षमता है।
इसलिए, A से F दुकान को भेजा गया भंडार
= 100 – (x + y) क्विंटल
D दुकान में कुल 60 क्विंटल भण्डार भेजा जा सकता है। इसी प्रकार, भण्डार B से दुकान D में भेजा गया भण्डार = (60 – x) क्विंटल
इस प्रकार B से दुकान E को भेजा गया भण्डार
= (50 – y) क्विंटल
∵ भण्डार B में कुल 50 क्विंटल भण्डारण क्षमता है।
∴ B से दुकान F में भेजा गया भंडार
= 50 – (60 – x + 50 – y)
= (x + y – 60) क्विंटल
भण्डार A और B से दुकान D, E, F को भेजा गया भण्डार इस प्रकार है, जिसे निम्न सारणी में दिखाया गया है
tablee
∴ व्यवरोध: x ≥ 0, y ≥ 0, 100 – x – y ≥ 0, x + y ≤ 100
60 – x ≥ 0 या x ≤ 60, 50 – y ≥ 0 या y ≤ 50
x + y – 60 ≥ 0 या x + y ≥ 60
कुल परिवहन व्यय
= 6 x + 3 y + 2.5(100 – x – y) + 4(60 – x) + 2(50 – y) + 3(x + y – 60)
= 6x + 3 y + 250 – 2.5 x – 2 5 y + 240 – 4 x
= 25 x + 1 5 y + 410 + 100 – 2 y + 3 x + 3 y – 180
(i) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी ओर स्थित हैं।
(ii) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
(iii) x + y ≤ 100 का आरेख : रेखा x + y = 100, बिन्दु (100, 0) और (0, 100) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + y ≤ 100 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 100 जो कि सत्य है।
⇒ x + y ≤ 100 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x + y = 100 पर या इसके नीचे स्थित हैं।
(iv) x ≤ 60 क्षेत्र के बिन्दु x = 60 पर और इसके बायीं और स्थित है।
(v) y ≤ 50 क्षेत्र के बिन्दु y = 50 पर और उसके नीचे स्थित हैं।
(vi) x + y ≥ 60 का आरेख : रेखा x + y = 60 बिन्दुओं (60, 0) और (0, 60) से होकर गुजरती है।
∴ असमिका x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 60 जो कि असत्य है।
⇒ x + y ≥ 60 क्षेत्र के बिन्दु x + y = 60 पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
∴ इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र A B C D है।
(1) रेखा A B: y = 50 और A D: x + y = 60 का प्रतिच्छेद बिन्दु A(10, 50) है।
(2) रेखा B C ; x + y = 100 और A B: y = 50 का प्रतिच्छेद बिन्दु B(50, 50) है।
(3) रेखा B C: x + y = 100 और A D: x = 60 का प्रतिच्छेद बिन्दु C(60, 40) है।
(4) रेखा C D: x = 60 और A D: x + y = 60 का प्रतिच्छेद बिन्दु D(60, 0) है।
अब, उद्देशय फलन:
Z = 2.5 x + 1.5 y + 410
बिन्दु A(10, 50) पर,
Z = 2.5 × 10 + 1.5 × 50 + 410
= 25 + 75 + 410 = 510
बिन्दु B(50, 50) पर,
Z = 2.5 × 50 + 1.5 × 50 + 410
= 125 + 75 + 410 = 610
बिन्दु C(60, 40) पर,
Z = 2.5 × 60 + 1. 5 × 40 + 410
= 150 + 60 + 410 = 620
बिन्दु D(60, 0) पर,
Z = 2.5 × 60 + 0 + 410
= 150 + 410 = 560
अतः Z का न्यूनतम मान ₹ 510 है जब भण्डार A से दुकान D पर 10 क्विंटल और दुकान E को 50 क्विंटल भण्डार भेजा जाता है।
इसलिए भण्डार A से दुकान D, E, F को क्रमश: 10,50,40 क्विंटल और भण्डार B से दुकान D, E, F को क्रमश: 50,0,0 क्विंटल भण्डार भेजने से न्यूनतम व्यय ₹ 510 होगा।
प्रश्न 7.
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लीटर और 4000 लीटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पम्पों D, E तथा F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लीटर, 3000 लीटर और 3500 लीटर की हैं। डिपो से पेट्रोल पम्पों की दूरियाँ (किमी में) निम्नांकित सारणी के अनुसार हैं:
| प्रति क्विंटल परिवहन व्यय ₹ | ||
| को/से | A | B |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर पर प्रति किलोमीटर ₹ 1 है, ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
हल:
माना डिपो A से पेट्रोल पम्प D को x लीटर और पेट्रोल पम्प E को y लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
डिपो A की कुल क्षमता 7000 लीटर है।
इस प्रकार, डिपो A पेट्रोल पम्प F को [7000 – (x + y)] लीटर तेल की आपूर्ति करता है।
⇒ 7000 – (x + y) ≥ 0
∴ x + y ≤ 7000
पेट्रोल पम्प D की माँग 4500 लीटर तेल की है।
∴ डिपो B से (4500 – x) लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
⇒ 4500 – x ≥ 0 या x ≤ 4500
पेट्रोल पम्प E को 3000 लीटर तेल की आवश्यकता है।
∴ डिपो B पेट्रोल पम्प E को (3000 – y ) लीटर तेल की आपूर्ति करता है।
⇒ 3000 – y ≥ 0 या y ≤ 3000
पेट्रोल पम्प F को 3500 लीटर तेल की आवश्यकता है।
F को डिपो A द्वारा आपूर्ति 7000 – (x + y) हो चुकी है।
⇒ डिपो B पेट्रोल पम्प F को 3500 – (7000 – x – y)
= -3500 + x + y लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
⇒ -3500 + x + y ≥ 0 या x + y ≥ 3500
∴ व्यवरोध x + y ≤ 7000, x ≤ 4500, y ≤ 3000, x + y ≥ 3500, x, y ≥ 0.
परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर प्रति किलोमीटर ₹ 1 है।
⇒ परिवहन व्यय प्रति लीटर प्रति किलोमीटर ₹ 0.1 है।
परिवहन व्यय की निम्न सारणी से-
| चारे के
प्रकार |
व्यय प्रति लीटर में | A | A | B |
| D | 0.7 | 0.3
|
X |
4500 – X |
| E | 0.6 | 0.4 | Y | 3000 – Y |
| F | 0.3 | 0.2 | 7000 – X | X+Y – 3500 |
परिवहन ब्यय (उद्देश्य फलन):
Z = 0.7 x + 0.6 y + 0.3(7000 – x – y) + 0.3(4500 – x) + 0.4(3000 – y)
+ 0.2(x + y – 3500)
या Z = 0.3 x + 0.1 y + 3950
(i) z + y ≤ 7000 का आरेख : रेखा x + y = 7000, बिन्दुओं A(7000, 0) तथा B(0, 7000) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + y ≤ 7000 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 7000, जो कि सत्य है।
⇒ x + y ≤ 7000 रेख्बा x + y = 7000 पर और उससे नीचे स्थित है।
(ii) x ≤ 4500 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x = 4500 पर और उसके बायीं ओर स्थित हैं।
(iii) y ≤ 3000 क्षेत्र के बिन्दु रेखा y = 3000 पर और उसके नीचे स्थित हैं।
(iv) x + y ≥ {3 5 0 0} का आरेख : रेखा x + y = 3500, बिन्दुओं (3500, 0) तथा (0, 3500) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + y ≥ 3500 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 3500 जो कि असत्य है।
⇒ x + y ≥ 35000 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x + y = 3500 पर है या उसके ऊपर स्थित है।
(v) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी और स्थित हैं।
(vi) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर है और उसके ऊपर स्थित हैं।
(vii) x + y = 3500 रेखा y = 0 और y = 3000 के प्रतिच्छेद बिन्दु क्रमश: B(3500, 0) और A(500, 3000) हैं।
(viii) x + y = 7000 रेखा x = 4500 और y=3000 के प्रतिच्छेद बिन्दु क्रमशः C(4500, 2500) और D(4000, 3000) हैं।
(ix) रेखा x = 4500, x-अक्ष पर E(4500, 0) पर मिलती है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र A B E C D है।
अब उद्देश्य फलन:
Z = 0.3 x + 0.1 y + 3950
बिन्दु A(500, 3000) पर,
Z = 0.3 × 500 + 0. 1 y × 3000 + 3950
= 150 + 300 + 3950 = 4400
बिन्दु B(3500, 0) पर,
Z = 0.3 × 3500 + 0 + 3950
=1050 + 3950 = 5000
बिन्दु E(4500, 0) पर,
Z = 0.3 × 4500 + 0 + 3950
= 1350 + 3950 = 5300
बिन्दु C(4500,2500) पर,
Z = 0.3 × 4500 + 0.1 × 2500 + 3950
= 1350 + 250 + 3950 = 5550
बिन्दु D(4000,3000) पर,
Z = 0.3 × 4000 + 0.1 × 3000 + 3950
= 1200 + 300 + 3950
= 5450
अतः न्यूनतम परिवहन व्यय ₹ 4400 है जबकि डिपो A पेट्रोल पम्प D, E, F को क्रमश: 500,3000,3500 लीटर तेल की आपूर्ति करे और डिपो B पेट्रोल पम्प D, E, F को क्रमश: 4000,0,0 लीटर तेल की आपूर्ति करे।
प्रश्न 8.
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्राण्ड और Q ब्राण्ड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फॉस्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (किग्रा मे) को सारणी में दिया गया है। परीक्षण संकेत देते हैं कि बाग में कम-से-कम 240 किग्रा फॉस्फोरिक अम्ल, कम-से-कम 270 किग्रा पोटाश और क्लोरीन की अधिक-से-अधिक 310 किग्रा की आवश्यकता है। यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तो प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
| किग्रा प्रति थैला | ||
| ब्राण्ड P | ब्राण्ड Q | |
| नाइट्रोजन | 3 | 3.5 |
| फॉस्फोरिक अम्ल | 1 | 2 |
| पोटाश | 3 | 1.5 |
| क्लोरीन | 1.5 | 2 |
हल:
माना फल उत्पादक द्वारा ब्राण्ड P के x थैले और ब्राण्ड Q के y थैले मिलाये जाते हैं। थैलों में नाइट्रोजन की कुल मात्रा = 3x + 3.5 y.
∴ उद्देश्य फलन: Z = 3 x + 3.5 y (न्यूनतम मान ज्ञात करना) मिश्रण में फॉस्फोरिक अम्ल की मात्रा = (x + 2 y) किग्रा
⇒ x + 2 y ≥ 240
मिश्रण में पोटाश की मात्रा = 3x + 1.5 y
⇒ 3 x + 1.5 y ≥ 270
मिश्रण में क्लोरीन की मात्रा = 1.5x + 2 y
⇒ 1.5 x + 2 y ≤ 310
समस्या में व्यवरोध निम्न प्रकार हैं:
x + 2 y ≥ 240,3x + 1.5 y ≥ 270, 1.5 x + 2 y ≤ 310,
x, y ≥ 0 .
(i) x + 2 y ≥ 240 का आरेख : रेखा x + 2 y = 240, बिन्दुओं A(240, 0) तथा B(0, 120) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + 2 y ≥ 240 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 240 जो कि असत्य है।
⇒ x + 2 y ≥ 240 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
(ii) 3 x + 1.5 y ≥ 270 का आरेख : रेखा 3 x + 1.5 y = 270 बिन्दुओं C(90, 0) और D(0, 180) से होकर जाती है।
∴ असमिका 3 x + 1.5 y ≥ 270 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 270 जो कि असत्य है।
⇒ 3 x + 1.5 y ≥ 270 क्षेत्र के बिन्दु C D पर या इसके ऊपर स्थित हैं।
(iii) 1.5 x + 2 y ≤ 310 का आरेख : रेखा 1.5 x + 2 y = 310,
बिन्दुओं E(206 \(\frac{2}{3}\), 0) और F(0, 155) से होकर जाती है।
∴ असमिका 1.5 x + 2 y ≤ 310 में, x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 310 जो कि सत्य है।
⇒ 1.5 x + 2 y ≤ 310 क्षेत्र के बिन्दु E F पर या इसके नीचे स्थित हैं।
(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु रेखा y-अक्ष पर या उसके दायीं ओर स्थित हैं।
(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु रेखा x-अक्ष पर या उसके ऊपर स्थित हैं।
(vi) रेखा A B: x + 2 y = 240 और C D: 3 x + 1.5 y = 270 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(40, 100) है।
(vii) रेखा A B: x + 2 y = 240 तथा E F: 1.5 x + 2 y = 310 का प्रतिच्छेद बिन्दु R(140, 50) है।
(viii) रेखा C D: 3 x + 1.5 y = 270 और E F: 1.5 x + 2 y = 310 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(20, 140) है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र ∆p है।
अब ठद्देश्य फलन:
Z = 3 x + 3.5 y
बिन्दु P(20, 140) पर,
Z = 3 × 20 + 3.5 × 140
= 60 + 490 = 550
बिन्दु Q(40,100) पर,
Z = 3 × 40 + 3.5 × 100
= 120 + 350 = 470
बिन्दु R (140,50) पर,
Z = 3 × 140 + 3.5 × 50
= 420 + 175 = 595
अत: x = 40, y = 100 पर Z का न्यूनतम है, नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा 470 किग्रा है।
प्रश्न 9.
उपर्युक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए। यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए ? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
प्रश्न 8 के हल से, Z = 3x + 3.5 y
बिन्दु R(140, 50) पर Z का मान अधिकतम है।
नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 किग्रा है जब 140 थैले ब्राण्ड P के और 50 थैले ब्राण्ड Q के मिलाए जाएँ।
प्रश्न 10.
एक खिलौना कम्पनी, A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक-सेअधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों की आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कम्पनी, A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमशः ₹ 12 और ₹ 16 का लाभ कमाती हैं, तो लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए?
हल:
माना खिलौना कम्पनी A प्रकार की x तथा B प्रकार की y गुड़ियों का उत्पादन करती है। कम्पनी को A प्रकार की गुड़ियों पर ₹ 12 और B प्रकार की गुड़ियों पर ₹ 16 का लाभ मिलता है।
∴ कुल लाभ = 12 x + 16 y
अब उद्देश्य फलन:
Z = 12 x + 16 y
(अधिकतमीकरण करना)
दोनों प्रकार की गुड़ियों का अधिकतम उत्पादन =1200
∴ x + y ≤ 1200
A प्रकार की गुडियों का उत्पादन B प्रकार की गुड़ियों 3 गुने से 600 गुड़िया अधिक है।
⇒ x – 3 y ≤ 600
B प्रकार की गुड़ियों की माँग अधिक-से-अधिक A प्रकार की गुड़ियों से आधी है।
⇒ y ≥ \(\frac{x}{2}\) या x ≤ 2 y या x – 2 y ≤ 0
अतः व्यवरोध निम्न प्रकार हैं:
x + y ≤ 1200, x – 3 y ≤ 600, y ≥ \(\frac{x}{2}\), y ≥ 0 .
(i) x + y ≤ 1200 का आरेख : रेखा x + y = 1200 बिन्दुओं A(1200, 0) और B(0, 1200) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + y ≤ 1200 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 1200 जो कि सत्य है।
⇒ x + y ≤ 1200 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके नीचे स्थित हैं।
(ii) x – 3 y ≤ 600 का आरेख : रेखा x – 3 y = 600, बिन्दुओं C(600, 0) तथा D(0, -200) से होकर जाती है।
∴ असमिका x – 3 y ≤ 600 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 600, जो कि सत्य है।
⇒ x – 3 y ≤ 600 रेखा C D पर और मूलबिन्दु की ओर है अर्थात् C D के ऊपर स्थित है।
(iii) y ≥ \(\frac{x}{2}\) या x ≥ 2 y या x – 2 y ≤ 0 का आरेख : रेखा x – 2 y = 0 मूल बिन्दु O और P(800, 400) से होकर जाती है।
∴ असमिका x – 2 y ≤ 0 में x = 200, y = 0 रखने पर, 200 ≤ 0 जो कि सत्य है।
⇒ x – 2 y ≤ 0 क्षेत्र के बिन्दु O P पर और बिन्दु (200, 0) की ओर स्थित हैं अर्थात् इसका क्षेत्र नीचे स्थित है।
(iv) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी ओर स्थित हैं।
(v) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर है।
(vi) रेखा A B: x + y = 1200 और x = 2 y का प्रतिच्छेद बिन्दु P(800, 400) है।
(vii) रेखा C D: x – 3 y = 600 और A B: x + y = 1200 का प्रतिच्छेद बिन्दु Q(1050, 150) है।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र O P Q C छायांकित है।
अब उद्देश्य फलन:
Z = 12 x + 16 y
बिन्दु P(800, 400) पर,
Z = 12 × 800 + 16 × 400
= 9600 + 6400 = 16000
बिन्दु Q(1050, 150) पर,
Z = 12 × 1050 + 16 × 150
= 12600 + 2400 = 15000
बिन्दु C(600, 0) पर,
Z = 12 × 600 + 0 = 7200
इसलिए अधिकतम लाभ ₹ 16000 जो x = 800, y = 400 पर होता है।
अतः अधिकतम लाभ ₹ 16000 पाने के लिए A प्रकार की 800 और B प्रकार की 400 गुड़ियों का उत्पादन करना चाहिए।