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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 12 रैखिक प्रोग्रामन Ex 12.2
प्रश्न 1.
रेशमा दो प्रकार के भोज्य P और Q को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में कम-से-कम 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B हो। भोज्य P की लागत ₹ 60 किग्रा और भोज्य Q की लागत ₹ 80 किग्रा है। भोज्य P में 3 मात्रक/किग्रा विटामिन A और 5 मात्रक/किग्रा विटामिन B है जबकि भोज्य Q में 4 मात्रक/किग्रा विटामिन A और 2 मात्रक/किग्रा विटामिन B है। मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना रेशमा x किग्रा भोज्य P और y किग्रा भोज्य Q का मिश्रण बनाती है। ज्ञात समस्या का उल्लेख निम्न प्रकार कर सकते हैं:
| भोज्य | मात्रा | विटामिन A | विटामिन B | लागत |
| p | X किग्रा | 3 मात्रा/किग्रा | 5 मात्रा/किग्रा | ₹ 60 प्रति किग्रा |
| Q | Y किग्रा | 4 मात्रा/किग्रा | 2 मात्रा/किग्रा | ₹ 80 प्रति किग्रा |
| विटामिन की मात्रा जो आवश्यक है | 8 मात्रक | 8 मात्रा | 11 मात्रा |
दोनों भोज्यों का मूल्य = 60x + 80 y
∴ उद्देश्य फलन Z = 60 x + 80 y
विटामिन A की कुल मात्रा 3x + 4 y जोकि कम-से-कम 8 मात्रक है।
अत: 3 x + 4 y ≥ 8
विटामिन B की कुल मात्रा 5x + 2 y जो कि कम-से-कम 11 मात्रक है।
अत: 5 x + 2 y ≥ 11
इसलिए Z = 60 x + 80 y का न्यूनतमीकरण करना है जबकि व्यवरोध 3 x + 4 y ≥ 8, 5 x + 2 y ≥ 11, x, y ≥ 0 हैं।
(i) 3 x + 4 y ≥ 8 का आरेख : रेखा 3x + 4 y = 8, बिन्दु A(\(\frac{8}{3}\), 0) और B(0, 2) से गुजरती है।
असमिका 3x + 4 y ≥ 8 में x = 0, y = 0 रखाने पर, 0 ≥ 8 जो कि असत्य है।
⇒ 3 x + 4 y ≥ 8 क्षेत्र के बिन्दु रेखा A B पर और उसके ऊपर हैं।
(ii) 5x + 2 y ≥ 11 का आरेख : रेखा 5x + 2 y = 11, बिन्दु C(\(\frac{11}{5}\), 0) और D(0, \(\frac{11}{2}\)) से होकर जाती है।
∴ 5 x + 2 y ≥ 11 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 11 जो कि असत्य है।
⇒ 5 x + 2 y ≥ 11 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर या उसके ऊपर हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी और हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र Y D P A X है।
बिन्दु P रेखा A B: 3 x + 4 y = 8 और रेखा C D: 5 x + 2 y = 11 का प्रतिच्छेदन बिन्दु (2, \(\frac{1}{2}\)) है।
अब, उद्देश्य फलन Z = 60 x + 80 y
बिन्दु D(0, \(\frac{11}{2}\)) पर, Z = 0 + 80 × \(\frac{11}{2}\)
= 40 × 11 = 440
बिन्दु P(2, \(\frac{1}{2}\)) पर, Z = 60 × 2 + 80 × \(\frac{1}{2}\)
= 120 + 40 = 160
बिन्दु A(\(\frac{8}{3}\), 0) पर, Z = 60 × \(\frac{8}{3}\) + 0
= 20 × 8 = 160
∴ Z का न्यूनतम मान 160 परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। असमिका 60 x+80 y<160 पर विचार करते हैं।
60 + 80 y < 160 या 3x + 4 y < 8 के क्षेत्र और सुसंगत क्षेत्र में कोई भी उभयनिष्ठ नहीं है।
अत: Z का न्यूनतम मान 160 है, जो A P के प्रत्येक बिन्दु पर है।
प्रश्न 2.
एक प्रकार वेन केक में 200g आटा तथा 25g वसा (fat) की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100g आटा तथा 50g वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किग्रा आटा तथा 1 किग्रा वसा से बन सकते हैं। यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं है।
हल:
माना पहली प्रकार की x केक और दूसरी प्रकार की y केक बनायी जाती है।
केकों को बनाने में आटे तथा वसा की आवश्यकता निम्न प्रकार है:
| केक के प्रकार | केक की संख्या | आटा | वसा |
| I | x | 200g | 25g |
| II | y | 100g | 50g |
| कुल | X +y | 5000g | 1000g |
कुल सख्या = x + y
∴ उद्देश्य फलन Z = x + y
आटे की आवश्यकता = 200 x + 100 y
उपलब्ध आटा = 5000g
⇒ 200 x + 100 y ≤ 5000
या 2x + y ≤ 50
वसा की आवश्यकता = 25 x + 50 y
उपलब्ध वसा = 1000g
∴ 25 x + 50 y ≤ 1000
या x + 2 y ≤ 40
व्यवरोध : 2 x + y ≤ 50, x + 2 y ≤ 40, x, y ≥ 0
(i) 2 x + y ≤ 50 का आरेख : रेखा 2x + y = 50, बिन्दु A(25, 0) और B(0, 50) से होकर जाती है।
∴ असमिका 2 x+y ≤ 50 में, x=0, y=0 रखने पर, 0 ≤ 50 जो कि सत्य है।
⇒ 2 x + y ≤ 50 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके नीचे हैं।
(ii) x + 2 y ≤ 40 का आरेख : रेखा x + 2 y = 40, बिन्दु C(40, 0) और D(0, 20) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + 2 y ≤ 40 में, x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 40 जो कि सत्य है।
⇒ x + 2 y ≤ 40 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर और उसके नीचे हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसकी दार्यी ओर हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र O A P D है।
बिन्दु P, A B: 2 x + y = 50 तथा C D: x + 2 y = 40 का प्रतिच्छेदन बिन्दु (20, 10) है।
अब उद्देश्य फलन Z = x + y
बिन्दु A(25, 0) पर, Z = 25 + 0 = 25
बिन्दु P(20, 10) पर, Z = 20 + 10 = 30
बिन्दु D(0, 20) पर, Z = 0 + 20 = 20
∴ Z का अधिकतम मान बिन्दु P(20, 10) पर 30 हैं।
अतः पहली प्रकार की 20 तथा दूसरी प्रकार की 10 केक बनानी चाहिए।
प्रश्न 3.
एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले बनते है। टेनिस रैकेट बनाने के लिए 1.5 घण्टा यांत्रिक समय तथा 3 घण्टे शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकेट के बल्ले को तैयार करने में 3 घण्टे यांत्रिक समय तथा 1 घण्टा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में विभिन्न यंत्रों पर उपलख्ध यांत्रिक समय के 42 घण्टे और शिल्पकार समय के 24 घंटे से अधिक नहीं हैं।
(i) रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?
(ii) यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमशः ₹ 20 तथा ₹ 10 हो, तो कारखाने का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे।
हल:
माना कारखाना एक दिन में x टेनिस के रैकेट और y क्रिकेट के बल्ले बनाता है।
दिया है:
| आइटम | संख्या | मशीनी समय | शिल्पकार का समय | लाभ |
| रैकेट | x | 1.5 घण्टे | 3 घण्टे | ₹ 20 प्रति रैकेट |
| बल्ले | y | 3 घण्टे | 1 घण्टा | ₹ 10 प्रति बल्ला |
| उपलब्ध समय | 42 घण्टे | 24 घण्टे |
मशीन का कुल समय = 1.5 x + 3 y जो कि अधिकतम 42 घण्टे है।
⇒ 1 5 x + 3 y ≤ 42
या x + 2 y ≤ 28
शिल्पकार का कुल समय : 3 x+y जो कि 24 घण्टे तक उपलब्ध ∴ 3 x + y ≤ 24 है।
अत: x रैकेट और y बल्लों पर लाभ = 20x + 10 y
उद्देश्य फलन : Z = 20 x + 10 y और
व्यवरोध : x + 2 y ≤ 28,3 x + y ≤ 24, y ≥ 0
(i) रेखा x + 2 y = 28, बिन्दु A(28,0) और B(0, 14) से होकर जाती है।
x + 2 y ≤ 28 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ 28 जो कि सत्य है।
⇒ x + 2 y ≤ 28 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके नीचे हैं।
(ii) रेखा 3x = y + 24, बिन्दु C(8, 0) और D(0, 24) से होकर जाती है।
असमिका 3x + y ≤ 24 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 24 जो कि सत्य है।
∴ 3 x + 4 y ≤ 24 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर या उसके नीचे स्थित हैं।
(iii) रेखा A B: x + 2 y = 28 तथा रेखा C D: 3 x + y = 24 का प्रतिच्छेदन बिन्दु P(4, 12) है।
उद्देश्य फलन : Z = 20 x + 10 y लाभ फलन का अधिकतमीकरण करना
बिन्दु C(8, 0) पर, Z = 20 × 8 + 0
= 160
बिन्दु P(4, 12) पर, Z = 20 × 4 + 10 × 12
= 80 + 120
= 200
बिन्दु D(0, 14) पर, Z = 20 × 0 + 10 × 14
= 140
अत: अधिकतम लाभ ₹ 200 है, जब 4 रैकेट और 12 बल्ले बनाये जाते हैं।
(i) कारखाने को पूरी क्षमता से कार्य करने के लिए 4 रैकेट तथा 12 बल्ले बनाने चाहिएं।
(ii) अधिकतम लाभ ₹ 200 है।
प्रश्न 4.
एक निर्माणकत्त्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घण्टा और मशीन B पर 3 घण्टे काम करना पड़ता है। जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घण्टे मशीन A पर और 1 घण्टा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों पर ₹ 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर ₹ 7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घण्टे किया जाए तो प्रत्येक के (नट और बोल्ट) कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
हल : माना x पैकेट नट तथा बोल्ट y पैकेट बोल्ट का उत्पादन किया जाता है।
दिया है :
| आइटम | संख्या | मशीनी A पर समय | मशीनी B पर समय | लाभ |
| रैकेट | x | 1.5 घण्टे | 3 घण्टे | ₹ 1.750 प्रति रैकेट |
| बल्ले | y | 3 घण्टे | 1 घण्टा | ₹ 7 प्रति बल्ला |
| उपलब्ध समय | 42 घण्टे | 24 घण्टे |
मशीन A के उपयोग का समय = x + 3 y घण्टे
उपलब्ध समय = 12
∴ x + 3 y ≤ 12
मशीन B के उपयोग का समय = 3 x + y घण्टे
उपलब्य समय =12 घण्टे
∴ 3 x + y ≤ 12
कुल लाभ = 17 50 x + 7.00 y
इस प्रकार उद्देश्य फलन: Z = 17 5 x + 7 y
तथा व्यवरोध: x + 3 y ≤ 12
3 x + y ≤ 12
x, y ≥ 0
(i) x + 3 y ≤ 12 का आरेख : रेखा x + 3 y = 12, बिन्दु A(12, 0) तथा B(0, 4) से होकर जाती है।
∴ असमिका x + 3 y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ 12 जो कि सत्य है।
⇒ x + 3 y ≤ 12 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके नीचे स्थित हैं।
(ii) 3 x + y ≤ 12 का आरेख : रेखा 3 x + y = 12, बिन्दु C(4, 0) और D(0, 12) से होकर जाती है।
असमिका 3 x + y ≤ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12, जो कि सत्य है।
⇒ 3 x + y ≤ 12 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर या उसके नीचे स्थित हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी ओर स्थित हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
(v) रेखा A B: x + 3 y = 12 और रेखा C D: 3 x + y = 12 का प्रतिच्छेदन बिन्दु P(3, 3) हैं।
∴ समस्या का सुसंगत क्षेत्र O C P B है।
अब
उद्देश्य फलन Z = 17 5 x + 7 y
बिन्दु C(4, 0) पर, Z = 17.5 × 4 + 0 = 70
बिन्दु P(3, 3) पर, Z = 17.5 × 3 + 7 × 3 = 73.5
बिन्दु B(0, 4) पर, Z = 17.5 × 0 + 7 × 4 = 28
अतः अधिकतम लाभ ₹ 73.5 है, जब 3 नट और 3 बोल्ट के पैकेट का उत्पादन किया जाए
प्रश्न 5.
एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच A और B बनते हैं। प्रत्येक के निर्माण में दो मशीनों के प्रयोग की आवश्यकता होती है जिसमें एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट A पेंच के निर्माण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन तथा एक पैकेट पेंच B के निर्माण में 6 मिनट स्वचालित और 3 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अधिकतम 4 घण्टे काम के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच A के प्रत्येक पैकेट पर ₹ 7 और पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर ₹ 10 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखाने में निर्मित सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते हैं, ज्ञात कीजिए कि प्रतिदिन कितने पैकेट विभिन्न पेंचों को बनाए जाए जिससे लाभ अधिकतम हो तथा अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कारखाने में A प्रकार के x और B प्रकार के y पेंचों का उत्पादन होता है।
दिया हैं:
| पेंच के प्रकार | स्वचालित मशीन पर समय | हस्तचालित मशीन पर समय | लाभ |
| A | 4 मिनट | 4 मिनट | ₹ 7 प्रति रैकेट |
| B | 6 मिनट | 6 मिनट | ₹ 10 प्रति रैकेट |
| उपलब्ध समय | 240 मिनट | 240 मिनट |
उद्देश्य फलन : 7x + 10 y
∴ Z = 7 x + 10 y तथा
तथा व्यवरोध : 4 x + 6 y ≤ 240
6 x + 3 y ≤ 240
x, y ≥ 0
या
2 x + 3 y ≤ 120
2 x + y ≤ 80
x, y ≥ 0
(i) 2 x + 3 y ≤ 120 का आरेख : रेखा 2x + 3 y = 120 बिन्दु A(0, 40) और E(60, 0) से होकर जाती है।
∴ असमिका 2 x + 3 y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≤ 120 जो कि सत्य है।
⇒ 2 x + 3 y ≤ 120 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके नीचे स्थित हैं।
(ii) 2 x + y ≤ 80 का आरेख : रेखा 2x + y = 80 बिन्दु C(40, 0) और D(0, 80) से होकर जाती है।
असमिका 2x + y ≤ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 80 जो कि सत्य है।
⇒ 2 x + y ≤ 80 क्षेत्र के बिन्दु C D पर या इसके नीचे स्थित हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यीं ओर स्थित हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(v) रेखा A B: 2 x + 3 y = 120 तथा रेखा C D: 2 x + y = 80 का प्रतिच्छेद बिन्दु B(30, 20) है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र O A B C है।
अय उद्देश्य फलन:
Z = 7 x + 10 y
बिन्दु A(0, 40) पर,
Z = 7 × 0 + 10 × 40 = 400
बिन्दु B(30, 20) पर,
Z = 7 × 30 + 10 × 20
= 210 + 200 = 410
बिन्दु C(40, 0) पर,
Z = 7 × 40 + 0 = 280
अतः अधिकतम लाभ ₹ 410 है जब A प्रकार के पेंचों के 30 पैकेट और B प्रकार के पेंचों के 20 पैकेटों का उत्पादन होता है।
प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग निर्माता पैडेस्टल लैम्प और लकड़ी के शेड बनाता है। प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/काटने और एक स्र्रेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लैम्प के निर्माण में 2 घण्टे रगड़ने/काटने और 3 घण्टे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घण्टा रगड़ने/काटने और 2 घण्टे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है। स्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घण्टे और रगड़ने/काटने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घण्टे के लिए उपलब्ध है। एक लैम्प की बिक्री पर ₹ 5 और एक शेड की बिक्री पर ₹ 3 का लाभ होता है। यह मानते हुए कि सभी निर्मित लैम्प और शेड बिक जाते हैं, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए कि लाभ अधिकतम हो?
हल:
माना x लैम्प तथा y शेड उत्पादित किये जाते हैं।
दिया है:
| आइटम | संख्या | रगड़ने/काटने मशीनी का समय | स्पेयर मशीनी का समय | लाभ |
| रैकेट | x | 2 घण्टे | 3 घण्टे | ₹ 5 प्रति रैकेट |
| बल्ले | y | 1 घण्टे | 2 घण्टा | ₹ 3 प्रति बल्ला |
| उपलब्ध समय | 12 घण्टे | 20 घण्टे |
उद्देश्य फलन : Z = 5 x + 3 y तथा
अवरोध : 2 x + y ≤ 12, 3 x + 2 y ≤ 20
(i) 2 x + y ≤ 12 का आरेख : रेखा 2x + y = 12 बिन्दु A(6, 0) और B(0, 12) से होकर जाती है।
असमिका 2x + y ≤ 12 में, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 12 जो कि सत्य है।
⇒ 2 x + y ≤ 12 क्षेत्र के बिन्दु रेखा A B पर और उसके नीचे स्थित हैं।
(ii) 3 x + 2 y ≤ 20 आरेख : रेखा 3x + 2 y = 20 बिन्दु C(\(\frac{20}{3}\), 0) और D(0, 10) से होकर जाती है।
असमिका 3x + 2 y ≤ 20 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 20 जो कि सत्य है।
⇒ 3x + 2 y ≤ 20 क्षेत्र के बिन्दु रेखा C D पर और इसके नीचे स्थित है।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी ओर स्थित हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर उसके ऊपर स्थित हैं।
(v) रेखा A B: 2 x + y = 12, C D: 3 x + 2 y = 20 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(4, 4) है।
इसलिए समस्या सुसंगत क्षेत्र O A P D हैं।
अब उद्देश्य फलन :
Z = 5 x + 3 y
बिन्दु A(6, 0) पर, Z = 5 × 6 + 0 = 30
बिन्दु P(4, 4) पर, Z = 5 × 4 + 3 × 4
= 20 + 12 = 32
बिन्दु D(0, 10) पर, Z = 5 × 0 + 3 × 10 = 30
अतः अधिकतम लाभ ₹ 32 है यदि निर्माता 4 लैम्प और 4 शेड प्रतिदिन का उत्पादन करे।
प्रश्न 7.
एक कम्पनी प्लाईंवुड के अनूठे स्मृति चिह्न का निर्माण करती है। A प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के निर्माण में 5 मिनट काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के लिए कुल समय 3 घण्टे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घण्टे उपलब्ध हैं। प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिह्न पर ₹ 5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिह्न पर ₹ 6 का लाभ होता है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिह्नों का कम्पनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?
हल:
माना A प्रकार के स्मृति चिह् x और B प्रकार के स्मृति चिह्ल y का कम्पनी द्वारा निर्माण किया जाता है।
दिया है:
| स्मृति चिह्न | काटने पर समय | जोड़ने पर समय | लाभ |
| A | 5 मिनट | 10 मिनट | ₹ 5 प्रति रैकेट |
| B | 8 मिनट | 8 मिनट | ₹ 6 प्रति रैकेट |
| उपलब्ध समय | 200 मिनट | 240 मिनट |
उद्देशय फलन : Z = 5 x + 6 y तथा
व्यवरोध :
5 x + 8y ≤ 200
10 x + 8y ≤ 240
x, y ≥ 0
5 x + 8 y ≤ 200
5 x + 4 y ≤ 120
x, y ≥ 0
(i) 5 x + 8 y ≤ 200 का आरेख : रेखा 5x + 8 y = 200, बिन्दु A(40, 0) तथा B(0, 25) से होकर जाती है।
असमिका 5x + 8 y ≤ 200 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 200 जो कि सत्य है।
⇒ 5 x + 8 y ≤ 200 क्षेत्र के बिन्दु A B पर तथा उसके नीचे स्थित हैं।
(iii) 5 x + 4 y ≤ 120 का आरेख : रेखा 5 x + 4 y = 120 बिन्दु C(24, 0) और D(0, 30) से होकर जाती है।
असमिका 5 x + 4 y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 120 जो कि सत्य है।
⇒ 5 x + 4 y ≤ 120 रेखा C D पर या उसके नीचे का क्षेत्र है।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दार्यी ओर स्थित हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके कपर स्थित हैं।
(v) रेखा A B: 5 x + 8 y = 200 और C D: 5 x + 4 y = 120 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(8, 20) है।
इसलिए समस्या का सुसंगत क्षेत्र O B P C है। अब उद्देश्य फलन:
Z = 5 x + 6 y
बिन्दु B(0, 25) पर, Z = 0 + 6 × 25 = 150
बिन्दु P(8, 20) पर, Z = 5 × 8 + 6 × 20
= 40 + 120 = 160
बिन्दु C(24, 0) पर, Z = 5 × 24 + 0 = 120
अत: अधिकतम मान ₹ 160 है जो कि A प्रकार के 8 और B प्रकार के 20 स्मृति चिह्न निर्माण करने पर प्राप्त होता है।
प्रश्न 8.
एक सौदागर दो प्रकार के निजी कम्प्यूटर एक डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोटेंबल नमूना जिनकी कीमत क्रमशः ₹ 25000 और ₹ 40000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कम्प्यूटरों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कम्प्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागार अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करे यदि उसके पास निवेश के लिए ₹ 70 लाख से अधिक नहीं है और यदि डेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ ₹ 4500 और पोटेंबल नमूने पर ₹ 5000 साभ हो।
हल:
माना एक सौदागर के पास x डेस्कटॉप और y पोर्टेबल कम्प्यूटर हैं।
दिया है:
| कम्प्य टर | संख्या | कीमत | लाभ |
| डेस्कटॉप | X | ₹ 25000 | ₹ 4500 |
| पोर्टेबल | Y | ₹ 40000 | ₹ 5000 |
| योगफल | 250 | ₹ 70 |
∴ उद्देश्य फलन: Z = 4500 x + 5000 y तथा
व्यवरोध: x + y ≤ 250
25000 x + 40000 y ≤ 7000000
या 5x + 8 y ≤ 1400 तथा x, y ≥ 0
(i) x + y ≤ 250 का आरेख: रेखा x + y = 250 बिन्दु A(250, 0) तथा B(0, 250) से होकर जाती है।
असमिका x + y ≤ 250 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 250 जो कि सत्य है।
⇒ x + y ≤ 250 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके नीचे हैं।
(ii) 5 x + 8 y ≤ 1400 का आरेख : रेखा 5 x + 8 y = 1400 बिन्दु C(280, 0) और D(0, 175) से होकर जाती है।
असमिका 5 x + 8 y ≤ 1400 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 1400 जो कि सत्य है।
⇒ 5 x + 8 y ≤ 1400 क्षेत्र के बिन्दु C D पर या उसके नीचे स्थित हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(v) रेखा A B: x + y = 250 तथा C D: 5 x + 8 y = 1400 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(200, 50) है।
इसलिए समस्या का सुसंगत क्षेत्र O A P D है।
अथ उद्देश्य फलन : Z = 4500 x + 5000 y
बिन्दु A(25, 0) पर,
Z = 4500 × 250 + 0 = 1125000
बिन्दु P(200, 50) पर,
Z =4500 × 200 + 5000 × 50
= 900000 + 250000
= 1150000
बिन्दु D(0, 175) पर,
Z = 0 + 5000 × 175
= 875000
अतः सौदागर का अधिकतम लाभ ₹ 1150000 है, जबकि 200 डेस्कटॉप और 50 पोर्टेबल कम्प्यूटर का स्टॉक रखना चाहिए।
प्रश्न 9.
एक भोज्य पदार्थ में कम-से-कम 80 मात्रक विटामिन A और 100 मात्रक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य F1 और F2 उपलब्ध हैं। भोज्य F1 की लागत ₹ 4 प्रति मात्रक और F2 की लागत ₹ 6 प्रति मात्रक है। भोज्य F1 की एक इकाई में कम-से-कम 3 मात्रक विटामिन A और 4 मात्रक खनिज है। F2 की प्रति इकाई में कम-से-कम 6 मात्रक विटामिन A और 3 मात्रक खनिज है। इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तत्व हैं।
हल:
माना भोज्य पदार्थ में x मात्रक भोज्य F1 और y मात्रक भोज्य F2 की मात्रा हैं।
| भोज्य | मात्रा | विटामिन A | विटामिन B | लागत |
| F1 | X | 3 मात्रा/किग्रा | 4 मात्रा/किग्रा | ₹ 5 प्रति किग्रा |
| F2 | Y | 4 मात्रा/किग्रा | 3 मात्रा/किग्रा | ₹ 6 प्रति किग्रा |
| विटामिन की मात्रा जो आवश्यक है | 80 मात्रा | 100 मात्रा |
∴ उद्देश्य फलन : Z = 4 x + 6 y तथा
व्यवरोध :
3 x + 6 y ≥ 80
4 x + 3 y ≥ 100
x, y ≥ 0
(i) 3 x + 6 y ≥ 80 का आरेख : रेखा 3x + 6 y = 80, बिन्दु
A(\(\frac{80}{3}\), 0) और B(0, \(\frac{40}{3}\)) से होकर जाती है।
∴ असमिका 3x + 6y ≥ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 80 जो कि असत्य है।
⇒ 3 x + 6 y ≥ 80 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके कपर हैं।
(ii) 4 x + 3 y ≥ 100 का आरेख : रेखा 4x + 3 y = 100 बिन्दु C(25, 0) तथा D(0, \(\frac{100}{3}\)) से होकर जाती है।
असमिका 4x + 3 y ≥ 100 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 100 जो कि असत्य है।
⇒ 4 x + 3 y ≥ 100 क्षेत्र के बिन्दु C D पर या उसके ऊपर स्थित हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसके दायीं और स्थित
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर स्थित हैं।
(v) रेखा A B: 3 x + 6 y = 80 तथा रेखा C D: 4 x + 3 y = 100 का
प्रतिच्छेद बिन्दु P(24, \(\frac{4}{3}\)) है।
इसलिए समस्या का सुसंगत क्षेत्र Y D P A X छायांकित है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 4 x + 6 y
बिन्दु D(0, \(\frac{100}{3}\)) पर,
Z = 0 + 6 × \(\frac{100}{3}\) = 200
बिन्दु P(24, \(\frac{4}{3}\)) पर
Z = 4 × 24 + 6 × \(\frac{4}{3}\)
= 96 + 8 = 104
बिन्दु A(\(\frac{80}{3}\), 0) पर,
Z = 4 × \(\frac{80}{3}\) + 0
= \(\frac{320}{3}\) = 106 \(\frac{2}{3}\)
अतः न्यूनतम मान ₹ 104 है। परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। रेखा 4 x + 6 y < 104 या 2 x + 3 y < 52 का कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ नहीं है।
इस प्रकार भोज्यों पर न्यूनतम लागत ₹ 104 है, जब भोज्य F1 की 24 मात्रक और भोज्य F2 की \(\frac{4}{3}\) मात्रक मात्रा प्रयोग की जाए। उत्तर
प्रश्न 10.
दो प्रकार के उर्वरक F1 और F2 हैं। F1 में 10% नाइट्रोजन और 6% फॉस्फोरिक अम्ल है तथा F2 में 5% नाइट्रोजन तथा 10% फॉस्फोरिक अम्ल है। मिट्टी की स्थितियों का परीक्षण करने के पश्चात् एक किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए 14 किग्रा नाइट्रोजन और 14 किग्रा फॉस्फोरिक अम्ल की आवश्यकता है। यदि F1 की कीमत ₹ 6 किग्रा और F2 की कीमत ₹ 5 /किग्रा है तो प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग के लिए चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्व मिल सके। न्यूनतम लागत क्या है ?
हल:
माना x किग्रा F1 तथा y किग्रा F2 उर्वरक की आवश्यकता है।
दिया है:
| उर्वरक | मात्रा | रगड़ने/काटने मशीनी का मात्रा | स्पेयर मशीनी का मात्रा | लाभ |
| F1 | x | 10% | 6% | ₹ 6 प्रति रैकेट |
| F2 | y | 5% | 10% | ₹ 5 प्रति बल्ला |
| उपलब्ध समय | 14 किग्रा | 14 किग्रा |
∴ उद्देश्य फलन : Z = 6 x + 5 y तथा
व्यवरोध: \(\frac{10}{100}\) x + \(\frac{5}{100}\) y ≥ 14
\(\frac{6}{100}\) x + \(\frac{10}{100}\) y ≥ 14
2 x + y ≥ 280
3 x + 5 y ≥ 700
x, y ≥ 0
(i) 2 x + y ≥ 280 का आरेख : रेखा 2x + y = 280, बिन्दु A(140, 0) तथा B(0, 280) से होकर जाती है।
असमिका 2x + y ≥ 280 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 280 जो कि असत्य है।
⇒ 2 x + y ≥ 280 क्षेत्र के बिन्दु A B पर और उसके कपर हैं।
(ii) 3 x + 5 y ≥ 700 का आरेख : रेखा 3 x + 5 y ≥ 700 बिन्दु C(\(\frac{700}{3}\), 0) और D(0, 140) से होकर जाती है।
असमिका 3 x + 5 y ≥ 700 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 700 जो कि असत्य है।
⇒ 3 x + 5 y ≥ 700 क्षेत्र के बिन्दु C D पर या उसके ऊपर हैं।
(iii) x ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु y-अक्ष पर और उसमें दार्यी ओर स्थित हैं।
(iv) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x-अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(v) रेखा A B: 2 x + y = 280, C D: 3 x + 5 y = 700 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(100, 80) है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र Y B P C X है।
अब उदेश्य फलन:
Z = 6 x + 5 y
बिन्दु B(0, 280) पर,
Z = 0 + 5 × 280 = 1400
बिन्दु P(100, 80) पर,
Z = 6 × 100 + 5 × 80
= 600 + 400 = 1000
बिन्दु C(\(\frac{700}{3}\), 0) पर,
Z = 6 × \(\frac{700}{3}\) + 0
= 2 × 700 = 1400
अत: न्यूनतम मान ₹ 1000 है। परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। 6 x + 5 y < 1000.के क्षेत्र बिन्दु और सुसंगत क्षेत्र का कोई बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं है।
इस प्रकार उर्वरक F1 की 100 किग्रा और उर्वरक F2 का 80 किग्रा मात्रा उपयोग करनी चाहिए तथा न्यूनतम लागत ₹ 1000 है।
प्रश्न 11.
निम्नलिखित असमीकरण निकाय: 2x + y ≤ 10, x + 3 y ≤ 15, x, y ≥ 0 से निधांरित सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिन्दु (0, 0),(5, 0),(3, 4) और (0, 5) हैं। माना कि Z = p x + q y, जहाँ p, q > 0, p तथा q के लिए निम्नलिखित में कौन प्रतिबन्ध उचित है ताकि Z का अधिकतम (3,4) और (0,5) दोनों पर घटित होता है-
(A) p = q
(B) p = 2 q
(C) p = 3 q
(D) q = 3 p
हल:
यहाँ उद्देश फलन:
Z = p x + q y
बिन्दु (3,4) पर, Z = 3 p + 4 q
बिन्दु (0,5) पर, Z = 0 + 5 q
यह दोनों ही मूल्य अधिकतम और बराबर हैं।
∴ 3 p + 4 q = 5 q
3 p = q
अतः विकल्प (D) सही है।