NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1

These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1

प्रश्न 1.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{rrrr}
2 & 5 & 19 & -7 \\
35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\
\sqrt{3} & 1 & -5 & 17
\end{array}\right]\) 12 के लिए ज्ञात
कीजिए :
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃.
हल:
(i) आव्यूह A में 3 पंक्तियाँ तथा 4 स्तम्भ हैं, अतः इसकी कोटि 3 × 4 है।
(ii) आव्यूह A में 3 पंक्तियाँ तथा 4 स्तम्भ हैं, अतः इसमें अवयवों की संख्या 3 × 4 = 12 है।
(iii) a₁₃ = प्रथम पंक्ति तथा तृतीय स्तम्भ का उभयनिष्ठ अवयव
a = 19
a₁₃ = द्वितीय पंक्ति तथा प्रथम स्तम्भ का उभयनिष्ठ अवयव
a₁₃= 35
a₂₁= तृतीय पंक्ति तथा तृतीय स्तम्भ का उभयनिष्ठ अवयव
a₂₁= – 5
a₃₃ = द्वितीय पंक्ति तथा चतुर्थ स्तम्भ का उभयनिष्ठ अवयव
a₃₃ = 12
a₂₄ = द्वितीय पंक्ति तथा तृतीय स्तम्भ का उभयनिष्ठ अवयव
a₂₃ = \(\frac{5}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं ? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी ?
हल:
आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ निम्न प्रकार हैं-
1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4
जब 13 अवयव हों तो कोटियाँ 1 × 13 तथा 13 × 1 होंगी।

प्रश्न 3.
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी सम्भव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी ?
हल:
जब आव्यूह में 18 अवयव हैं तो सम्भव कोटियाँ इस प्रकार
1 × 18, 18 × 1, 2 × 9, 9 × 2, 3 × 6, 6 × 3
यदि इसमें 5 अवयव हों तो कोटियाँ 1 × 5 तथा 5 × 1 होंगी।

प्रश्न 4.
एक 2 × 2 आव्यूह 4 = [a_ij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं:
i. a_ij = \(\frac{(i+j)^{2}}{2}\)
ii. a_ij = \(\frac{i}{j}\)
iii. a_ij = \(\frac{(i+2j)^{2}}{2}\)
हल:

प्रश्न 5.
एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं:
i. a_ij = \(\frac{1}{2}\)|-3i + j|
ii. a_ij = 2i – j
हल:

प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए :
i. \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\)

ii. \(\left[\begin{array}{cc}
x+y & 2 \\
5+z & x y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
6 & 2 \\
5 & 8
\end{array}\right]\)

iii. \(\left[\begin{array}{c}
x+y+z \\
x+z \\
y+z
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
9 \\
5 \\
7
\end{array}\right]\)
हल:
i. \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 3 \\
x & 5
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
y & z \\
1 & 5
\end{array}\right]\)
दोनों समान आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर, 4y, 3 = z, x=1
∵ x = 1, y = 4, z= 3.

प्रश्न 7.
समीकरण
\(\left[\begin{array}{cc}
a-b & 2 a+c \\
2 a-b & 3 c+d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
-1 & 5 \\
0 & 13
\end{array}\right]\)
से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\left[\begin{array}{cc}
a-b & 2 a+c \\
2 a-b & 3 c+d
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
-1 & 5 \\
0 & 13
\end{array}\right]\)
में संगत अवयवों की तुलना करने पर,
a – b = -1
2a + c = 5
2a – b = 0 …… (iii)
3c + d = 13 ….. (iv)
समीकरण (i) तथा (iii) को हल करने पर,

a का मान समीकरण (i) में रखने पर,
1 – b = – 1
∵ b = 1 + 1 = 2

समीकरण (ii) में a= 1 रखने पर,
2 × 1 + c = 5
∵ c = 5 – 2 = 3

समीकरण (iv) में c = 3 रखने पर,
3 × 3 + d = 13
⇒ d = 13 – 9
∵ d = 4
अतः a = 1, b = 2, c = 3, d = 4.

प्रश्न 8.
4 = [a_ij]_{m × m}. एक वर्ग आव्यूह है, यदि:
(A) m < n
(B) m > n
(C) m = n
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
वर्ग आव्यूह में पंक्तियों तथा स्तम्भों की संख्या बराबर होती है।
अर्थात्
पंक्तियों की संख्या = स्तम्भों की संख्या
(m = n)
अतः विकल्प (C) सही है ।

प्रश्न 9.
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं-
\(\left[\begin{array}{cc}
3 x+7 & 5 \\
y+1 & 2-3 x
\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}
0 & y-2 \\
8 & 4
\end{array}\right] \)
(A) x = – \(\frac{1}{3}\) ,y = 7
(B) ज्ञात करना सम्भव नहीं है।
(C) y = 7,x = – \(\frac{2}{3}\)
(D) x = – \(\frac{1}{3}\) , y = – \(\frac{2}{3}\)
हल :
दो समान आव्यूहों के संगत अवयव बराबर होते हैं।
अतः 3x + 7 = 0 तथा 2 – 3x = 4 से,
x = – \(\frac{7}{3}\) तथा x = – \(\frac{2}{3}\)
यहाँ x के दो मान हैं जो कि सम्भव नहीं है।
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 10.
3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है ?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512.
हल:
3 × 3 क्रम के आव्यूह में कुल 9 अवयव होंगे तो प्रत्येक स्थान पर 0 या 1 रख सकते हैं।
0 के स्थानों को भरने की कुल विधियाँ = 2² = 512
∵ सम्भव आव्यूहों की संख्या = 512