These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.1 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन 1.1
प्रश्न 1.
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित सम्बन्धों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है:
(i) समुच्चय 4 = {1, 2, 3, …., 13, 14} में सम्बन्ध R, इस प्रकार परिभाषित है कि R = {(x, y) : 3x – y = 0}
(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(.x, j’) : y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R.
(iii) समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(x, .y) : y भाज्य है x से} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R.
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय Z में R = {(x, y) : x y एक पूर्णांक है। द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R.
(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सम्बन्ध R :
(a) R = {(x, y) : x तथा एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
(b) R = {(x, y): x तथा एक ही मोहल्ले में रहते हैं)
(c) R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है?
(d) R = {(x, y) : x, y की पत्नी है
(e) R = {(x, y) : x, y के पिता हैं}
हल:
(i) प्रश्नानुसार,
f (x1 ) = f(x2 ) ⇒ \(=\frac{1}{x1}\)
A= {1, 2, 3,…….., 13, 14)
तथा R = {(x, y) : 3x – y = 0}
(a) R = {(.x, y) : 3x – y = 03 में y = x रखने पर,
3x – x = 2x ≠ 0
अत: xRx सत्य नहीं हैं। [∵ x ≠ 0 ]
अर्थात् (x, x) ∉ R
अतः R स्वतुल्य नहीं है।
(b) x तथा y को आपस में बदलने पर,
यदि 3x – y = 0
तब 3y-x ≠ 0
अतः xRy ⇏ yRx
अर्थात् (x, y) ∈ R ⇏ (y, x) ∈ R
∵ R सममित नहीं है।
(c) यदि 3x y = 0 तथा 3y – z = 0, तब दोनों को जोड़ने पर,
3x – y + 3y – z = 0 + 0
3x – z = – 2y
अत: 3x – z ≠ 0
अर्थात् (x, y) ER (y, z) ER ⇏ (x,z) ∈ R
अत: R संक्रामक नहीं है।
अत: R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
(ii) प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
N = {1, 2, 3, 4, ……}
R = {(x, y) : y = x + 5 तथा x < 4}
तब R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
(a) यहाँ (x, x) ∉ R अर्थात् xRx सत्य नहीं है।
अत: R स्वतुल्य नहीं है।
(b) पुनः तथा ) को परस्पर बदलने पर,
y = x + 5 ⇏ x = y + 5 (क्योंकि x < y)
(1, 6) ∈R ⇏ (6, 1) ∈ R
या (x, y) = R ⇏ (y, x) ∈ R
इस प्रकार R सममित नहीं है।
(c) सम्बन्ध R = ( ( 1, 6), (2, 7), (3, 8)} में कोई भी क्रमित युग्म ऐसा नहीं है जिसका दूसरा अवयव किसी अन्य क्रमित युग्म के पहले अवयव के बराबर हो अर्थात् ( 1, 6) तथा ( 2, 7) में 6 ≠ 2, इसी प्रकार (2, 7) तथा (3, 8) में 7 ≠ 3.
अतः हम देखते हैं कि (x, y) ∈ R तो है परन्तु (y, z) ∈ R नहीं है ।
अतएव R संक्रामक नहीं है।
[यहाँ (x,y) ∈ R परन्तु (y, z) ∉ R तब (x,z) ∉ R]
अत: R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
(iii) प्रश्नानुसार,
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
तथा R = {(x, y) : y, ,x से विभाज्य है}
अतः R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
(a) यहाँ R स्वतुल्य है क्योंकि xRx सत्य है।
क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) सभी क्रमित युग्म R में हैं।
(b) पुन: संख्या y, संख्या से भाज्य है, परन्तु संख्या x संख्या y से भाज्य नहीं है।
जैसे कि (2, 4) ∈ R परन्तु (4, 2) ∉ R
अर्थात् (x, y) ∈ R ⇏ (y, x) ∈ R
अत: R सममित नहीं है।
(c) (1, 2) ∈ R तथा (2, 4) ∈ R ⇒ (1, 4) ∈ R
इसी प्रकार (1, 3) ∈ R (3, 6) ∈ R ⇒ (1,6) ∈ R
अर्थात् (x, y) ∈ R, (v, z) ∈R ⇒ (x, z) ∈ R
अतः R संक्रमक है।
इस प्रकार हम देखते हैं कि R स्वतुल्य तथा संक्रमक है, परन्तु सममित नहीं है।
(iv) समस्त पूर्णांकों का समुच्चय
Z= {…… – 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,…….}
तथा R = {(x, y) : x – एक पूर्णांक है}
(a)x – y में xy रखने पर,
x – x = 0, जो कि पूर्णांक है
अर्थात्xx सत्य है
या (x, x) ∈ R, ∀ x ∈ Z
अतः R स्वतुल्य है।
(b) पुन: x – y पूर्णांक है, तब – (x – y) भी पूर्णांक होगा, [पूर्णांक का ऋणात्मक]
या y – x भी पूर्णांक है।
अर्थात् (x, y) पूर्णांक ⇒ (x – y) पूर्णांक
या xRy ⇒ yRx, सत्य है
या (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
[क्योंकि x = 1, y = 2 लेने पर 1 – 2 = – 1 (पूर्णांक)
तथा 2-1 = 1 (पूर्णांक ) ]
अत: R सममित है।
(c) यदि x – y तथा y – z दोनों ही पूर्णांक हैं।
अत: x – y + y – z = x – z भी पूर्णांक होगा।
[ ∵ पूर्णांक संख्याओं का योग पूर्णांक होता है ।]
या xRy तथा yRx ⇒ xRz
अतः R संक्रमक है।
इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है।
(v) (a) R = { (x, y) : x तथा y एक स्थान पर कार्य करते हैं। }
(i) R स्वतुल्य है क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति उस स्थान पर उस विशेष समय पर कार्यरत है अर्थात् xR-पत्य है।
या (x, x) ∈R.
(ii) R सममित है, क्योंकि x,y एक ही स्थान पर एक समय पर कार्यरत हैं, तो हम कह सकते हैं कि तथा x भी उस स्थान पर उस समय कार्यरत हैं, अर्थात्
xRy ⇒ yRx
या (x, y) ∈R ⇒ (y, x) ∈ R
(iii) R संक्रमक है, क्योंकि x, y तथा y, z एक स्थान पर एक ही समय पर कार्यरत हैं तो उस स्थान पर उसी समय x, z भी कार्यरत हैं अर्थात् xRy तथा yRz ⇒ xRz
या (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R ⇒ (x,z) ∈ R.
इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है।
(b) R = {(x, y) x तथा एक ही मोहल्ले में रहते हैं।}
(i) R स्वतुल्य है, क्योंकि उस स्थान (मोहल्ले) का प्रत्येक व्यक्ति वहीं (मोहल्ले में रहता है।
अर्थात् xRx या (x, x) ∈ R
(ii) R सममित है क्योंकि x और एक स्थान (मोहल्ले में ) पर रहते हैं, तो उसी स्थान (मोहल्ले में) पर तथा x भी रहते हैं
अर्थात् xRy ⇒ yRx
या (x,y) ∈R ⇒ (y, x) ∈ R
(iii) R संक्रमक है, क्योंकि x और y तथा y और z एक स्थान ( मोहल्ले में ) पर रहते हैं, तो x तथा 2 भी उसी स्थान (मोहल्ले में) पर रहते हैं अर्थात्
xRy तथा yRz ⇒ xRz
या (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
अत: R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है।
(c) R = {(x, y) : x, y से ठीक-ठीक 7 सेमी लम्बा है}
(i) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी व्यक्ति अपने से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता है।
अर्थात्xx सत्य नहीं है
या (x, x) ∉ R
(ii) R सममित नहीं है, क्योंकि x, y से ठीक 7 सेमी लम्बा हो, तो y, x से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता है।
अर्थात् xRy ⇏ yRx
या (x, y) ⇏ R(y, x) ∈ R.
(iii) R संक्रमक नहीं है क्योंकि यदि x, y से ठीक 7 सेमी लम्बा [ y, z से ठीक 7 सेमी लम्बा हो तो x, z से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता अर्थात्
xRy तथा yRz ⇏ xRz
या (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R ⇏ (x, z) ∈ R.
(d) R = { (x, y): x, y की पत्नी है}
(i) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी व्यक्ति (x) अपनी पत्नी नहीं हो सकता है अर्थात्
xRx, सत्य नहीं है।
या (x, x) ∉ R
(ii) R सममित नहीं है, क्योंकि यदि x y की पत्नी है तो y, x की पत्नी नहीं हो सकती अर्थात्
xRy ⇏ yRx
या (x, y) ∈R ⇏ (y, x) ∈ R.
(iii) R संक्रमक नहीं है, क्योंकि यदि x, yकी पत्नी है तो किसी की पत्नी नहीं है अर्थात् x℟y तो y℟z तब xz
या (x, y) ∈ R तो (y, z) ∉ R तथा (x,z) ∉ R
अतः R न तो स्वतुल्य है, न सममित है तथा न ही संक्रामक है।
(e) R = {(x, y): x, y के पिता हैं}
(i) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी (x) स्वयं का पिता नहीं हो सकता अर्थात्
xRx सत्य नहीं है।
या (x, x) ∉ R.
(ii) R सममित नहीं है, क्योंकि यदि x , y के पिता हैं तो y, x के पिता नहीं हो सकते अर्थात्
xRy ⇏ yRx
या (x, y) = R ⇏ (y, x) = R.
(iii) R संक्रमक नहीं है, क्योंकि xy का पिता है तथा y, z का पिता है तो x, z का पिता नहीं हो सकता है अर्थात्
xRy तथा yRz ⇏ xRz
या (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R ⇏ (x, z) ∈ R
अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में, R = {(a, b) : a ≤ b2} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R, न तो स्वतुल्य, न सममित और न ही संक्रामक है।.
हल:
[R = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय]
R = { ( a, b ) : as b2}
(i) ∀a ∈ R (R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय)
a ≰ a2
∵ (a, a) ∉ R
∵ R स्वतुल्य नहीं है।
उदाहरणार्थ : \(=\frac{1}{3}\) एक वास्तविक संख्या है तथा \(=\frac{1}{3}\)≤ (\(=\frac{1}{3}\))2 सत्य नहीं
है अर्थात् \(=\frac{1}{3}\) R \(=\frac{1}{3}\) सत्य नहीं है या (\(=\frac{1}{3}\),\(=\frac{1}{3}\)) ∉ R
(ii) aRb ⇒ a ≤ b2
⇒ b ≰ a2
⇒ b℟a
∴ (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∉ R
∴ R सममित नहीं है।x
उदाहरणार्थ, वास्तविक संख्याओं \(=\frac{1}{4}\) तथा 1 के लिए,
\(=\frac{1}{4}\) ≤ 12 ⇒ (\(=\frac{1}{4}\),1) ∈ R
परंतु 1 ≤ (\(=\frac{1}{4}\))2, सत्य नहीं है।
अतः (1,\(=\frac{1}{4}\)) ∉ R
या 1R\(=\frac{1}{4}\) सत्य नहीं है।
इस प्रकार (\(=\frac{1}{4}\),1) ∈R परन्तु (1,\(=\frac{1}{4}\)) ∉ R
अतः R सममित नहीं है।
(iii) aRb तथा bRc ⇒ a ≤ b2 तथा b ≤ c2
⇒ a ≤ c4
⇒ a ≤ c2
∴ (a, b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∉ R
R संक्रामक नहीं है।
उदाहरणार्थ, वास्तविक संख्याओं 3 – 3 तथा 1 पर विचार करें।
स्पष्टतः
31 ≤ (-3) 2 तथा -3 ≤ (1)2
परन्तु 3 ≤ 12 सत्य नहीं है।
अर्थात् (3, – 3) ∉ R तथा ( – 3, 1 ) ∉ R परन्तु
(3, 1) ∉ R
अतः R संक्रामक नहीं है।
प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय: {1, 2, 3, 4, 5, 6} में, R = {(a, b): b = a + 1} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है?
हल:
माना A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
तथा R = {(a, b) : b = a + 1}
(i) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि
a ≠ a + 1
अर्थात् aRa सत्य नहीं है।
(ii) R सममित नहीं है, क्योंकि b = a + 1, तब
a ≠ b + 1
अर्थात् aRb ⇏ bRa
या (a, b) ∈ R ⇏ (b, a) ∈ R.
(iii) R संक्रामक नहीं है, क्योंकि b = a + 1, c = b + 1, तो
c ≠ a + 1
अर्थात् (a, b) ∈ R, (b, c ) ∈ R ⇏ (a, c) ∈ R
या aRb, bRc ⇏ aRc
अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि R में R { (a, b) : a ≤ b} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं । [यहाँ R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।]
हल:
वास्तविक संख्याओं समुच्चय R में सम्बन्ध इस प्रकार परिभाषित है कि लिए,
R = {(a, b) : a ≤ b}
(i) सम्बन्ध R स्वतुल्य है, क्योंकि किसी वास्तविक संख्या a के लिए,
a ≤ a⇒ (a, a) ∈ R
अतः aRa सत्य है।
(ii) सम्बन्ध R संक्रामक है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं a, b तथा c के लिए,
a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c
अर्थात् (aRb) तथा ⇒ (bRc)
या (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R.
(iii) सम्बन्ध R सममित नहीं है, क्योंकि किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं a तथा b के लिए,
a ≤ b ⇏ b ≤ a
अर्थात् aRb ⇏ bRa
अतः (a, b) ∈R ⇏ (b, a) ∈ R.
जैसे कि (3, 4) ∈ R ⇒ 3 < 4 परन्तु 4 < 3 या (4, 3) ∉ R
अतः सम्बन्ध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
इति सिद्धम्।
प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या R में, R = {(a, b) : a ≤ b3} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?
हल:
दिया हुआ सम्बन्ध,
R = {( a, b ) : a ≤ b3}, जहाँ a तथा b वास्तविक संख्याएँ हैं।
(i) ∀ a ∈ R (R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है)
a ≰ a3
∵ a℟a
∵ (a, a ) ∉ R ∵ R स्वतुल्य नहीं है।
उदाहरणार्थ, वास्तविक संख्या \(=\frac{1}{4}\) के लिए,
\(=\frac{1}{4}\) ≤ (\(=\frac{1}{4}\))3
या \(=\frac{1}{4}\) ≤ \(=\frac{1}{64}\),
∵ (\(=\frac{1}{4}\),\(=\frac{1}{4}\)) ∉ R
या \(=\frac{1}{4}\),\(R[latex]=\frac{1}{4}\),\( सत्य नहीं है।
(ii) aRb ⇒ a ≤ b3
⇒ b ≰ a3
⇒ b℟a
∵ (a, b) ∈R ⇒ (b, a) ∉ R
∵ R सममित नहीं है।
उदाहरणार्थ, वास्तविक संख्याओं [latex]=\frac{1}{4}\) तथा 1 के लिए,
\(=\frac{1}{4}\) ≤ 13. सत्य है
या (\(=\frac{1}{4}\),1) ∈ R
या 1/4R1 सत्य है।
परन्तु 1 ≤ (\(=\frac{1}{4}\))3 , सत्य नहीं है।
या (1,\(=\frac{1}{4}\)) ∉ R
या 1R1/2 सत्य नहीं है।
अर्थात् (\(=\frac{1}{4}\),1) ∉ R (1,\(=\frac{1}{4}\)) ∉ R
(iii) aRb तथा bRc
⇒ a ≤ b3 तथा b ≤ c
⇒ a ≤ c9
⇒ a ≰ c3
∵ (a, b) ∈ R, (b, c) = R ⇒ (a, c) ∉ R
∵ R संक्रामक नहीं है।
उदाहरणार्थ, वास्तविक संख्याओं 5, 2 तथा ३√2 पर विचार करें।
5 ≤ 521/3 सत्य है (5, 2) ∈ R
पुनः 2 ≤ (23)3 सत्य है ⇒ (2, 21/3) ∈R
परंतु 5 ≰ 4 (21/3)3 ⇒ (5, 3√2) ∉ R
अतः दिया हुआ सम्बन्ध संक्रामक सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य नहीं है।
अतः सम्बन्ध R न तो स्वतुल्य है और न ही सममित तथा न ही संक्रामक है।
प्रश्न 6
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय ( 1, 2, 3} में, R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R सममित है किन्तु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
हल:
(1) सम्बन्ध R = {(1, 2), ( 2, 1)}, स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि क्रमित युग्म (1, 1), (2, 2), (3, 3) सम्बन्ध R में नहीं हैं, अर्थात्
(1, 1), (2, 2), (3, 3) ∉ R
या 1R1, 2R2 तथा 3R3, सत्य नहीं हैं।
(ii) R = {(1, 2), ( 2, 1 ) ), सममित है, क्योंकि
(1, 2) ∈R ⇒ ( 2, 1) ∈ R
या 1R2 ⇒ 2R1.
(iii) R = {(1, 2), (2, 1)}, संक्रामक नहीं है क्योंकि R में केवल दो अवयव (1, 2) तथा ( 2, 1) हैं।
अतः सम्बन्ध R न तो स्वतुल्य है न ही संक्रामक है परन्तु सममित हैं।
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय 1 में, R = (x, y) : x तथा y में पेजों की संख्या समान है द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल:
माना A (xx, किसी कॉलेज के पुस्तकालय में पुस्तकें} दिया गया सम्बन्ध, R= (x): x तथा ) में पेजों की संख्या समान है}
(i) दिया हुआ सम्बन्ध R स्वतुल्य है क्योंकि यदि कोई पुस्तक x तब तथा x में समान पेज होंगे अर्थात् सभी x ∈ A के लिए,
xRx सत्य है।
(ii) सम्बन्ध R सममित है, क्योंकि यदि x, y ∈A, तब है।
(x, y) ∈ R
⇒ तथा में पृष्ठों (पेजों) की संख्या समान है।
⇒ तथा x में पृष्ठों (पेजों) की संख्या समान है।
⇒ (y, x) ∈ R
अतः (x, y) ∈R ⇒ (y, x) ∈ R
(iii) माना x, y, z ∈ A तथा (x, y) ∈ R (1, 2) ER, तब (x, y) ∈ R, ( y, z) ∈ R
[x तथा y में समान पृष्ठ (पेज) हैं तथा [y तथा z में समान पृष्ठ (पेज) हैं]
⇒ x तथा z में समान पृष्ठ (पेज) हैं।
⇒ (x, z) ∈ R
अर्थात् (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R (x, z) ∈ R इस प्रकार R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
अतः R तुल्यता सम्बन्ध है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि 4 = 1, 2, 3, 4, 53 में, R = {(a, b) : | a – b | सम है } द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5) के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं और समुच्चय (2, 4) के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं परन्तु 1, 3, 5) का कोई भी अवयव (2, 4} के किसी अवयव से सम्बन्धित नहीं है।
हल: दिया हुआ सम्बन्ध
R = {(a, b) : | a – b | सम है}
जहाँ a, b e A तथा {4 1, 2, 3, 4, 5}
(i) R स्वतुल्य है, क्योंकि | a-a | = 0, जो कि सम है अर्थात्
(a, a ) ∈ R
या aRa, सत्य है।
(ii) R सममित है, क्योंकि (a, b) ∈ R, तब
(a, b) ∈ R ⇒| a – b | सम है।
⇒ | (a – b) | भी सम है। [∵|x| = | – x |]
⇒ |b-a| सम है।
⇒ (b, a ) ∈R
अर्थात् (a, b) ∈R ⇒ (b, a) ∈R, सत्य है
(iii) R संक्रामक है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं लिए, यदि (a, b) R तथा ( b, c) ∈R, तब
(a, b) ∈R, ( b, c ) ∈ R
⇒ | a – b | सम है तथा
⇒ | b – c | सम है।
⇒ a – b+ b – c भी सम है।
[सम संख्याओं का योग भी सम संख्या होती है]
⇒ a – c भी सम है।
⇒ | a – b | भी सम है।
⇒ (a, c) ∈ R
अत: (a, b) ∈ R, (b, c ) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
या aRb तथा bRc ⇒ aRc
हम देखते हैं कि सम्बन्ध R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है,
अत: R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
पुनः समुच्चय (1, 3, 5) में,
|1-3| = |-2| = 2, सम संख्या है
|3-5| = 1-2| = 1-2, सम संख्या है
|1-5| = |-4| = 4, सम संख्या है।
अतः {1, 3, 5) में सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं क्योंकि दिये हुए प्रतिबन्ध को समुच्चय (1, 3, 5) के अवयव प्रमाणित करते हैं। इसी प्रकार समुच्चय (2, 4} में
|2-4| = |-2| = 2, सम है
14-2| = |2| = 2, सम है
अतः समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से सम्बन्धित हैं। क्योंकि दिए हुए प्रतिबन्ध को समुच्चय (2, 4) के अवयव प्रमाणित करते हैं। अब समुच्चय 1, 3, 5} तथा समुच्चय (2, 4} के अवयव आपस में सम्बन्धित नहीं हैं, क्योंकि इनके अवयव दिए हुए प्रतिबन्ध को प्रमाणित नहीं करते,
अर्थात् |1-2| = |-1| = 1, जो सम संख्या नहीं है
|3-4| = |-1| = 1, जो सम संख्या नहीं है
|5-2| = |3| = 3, जो सम संख्या नहीं है
|5-4| = |1| = 1, जो सम संख्या नहीं है। इति सिद्धम् ।
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय, A = {x∈ Z:0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित सम्बन्धों R में से प्रत्येक एक तुल्यता सम्बन्ध है:
(i) R = {(a, b) : |a-b|, 4 का एक गुणज है }
(ii) R = {(a, b): a = b} प्रत्येक दशा में 1 से सम्बन्धित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समुच्चय
A = {x∈ Z:0 ≤ x ≤ 12},
या A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
(i) R = {(a, b) : | a-b |, 4 का एक गुणज है}
अत: R = {(0,0), (0, 4), (0, 8), (0, 12), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10), (11, 11), (12, 12), (1, 5), (1, 9), (2, 6), (2, 10), (3, 7), (3, 11), (4, 8), (4, 12), (5, 9), (6, 10), (7, 11), (8, 12)}
(a) R स्वतुल्य है, क्योंकि किसी aε A के लिए,
|a – a | = 0, जो कि 4 का गुणज है, क्योंकि 0 x 4 = 0
⇒ (a,a) ∈R
⇒ aRa, सत्य है।
(b) R सममित है, क्योंकि a, b ∈ 4 के लिए,
(a, b) ∈R
⇒ |ab|, 4 का एक गुणज है
⇒ |a-b| = 4k, जहाँ एक प्राकृत संख्या है।
⇒ |-(b-a)| = 4k, जहाँ एक प्राकृत संख्या है
⇒ |b-a| = 4k, जहाँ एक प्राकृत संख्या है
⇒ (b, a ) ∈ R
अतः (a, b) ∈ R
⇒ (b, a ) ∈ R
या aRb ⇒ bRa
(c) R संक्रामक है, क्योंकि a, b, c ∈ 4 के लिए,
यदि (a, b) ∈ R तथा ( b, c) ∈ R
|a-b|, 4 का एक गुणज है तथा |b-c|, 4 का एक गुणज है।
⇒ |a-b| = 4m तथा |b-c| = 4n,
जहाँ m तथा प्राकृत संख्याएँ हैं।
a – b =± 4m तथा b-c = ±4n
a-b + b-c = ± 4m+ (±4n)
(a- c) = ± 4m + (± 4n) = ± 4(m + n ), 4 का गुणज है
|a- c| = 4k, 4 का गुणज हैं
जहाँ k = m + n तथा À एक प्राकृत संख्या है।
⇒ (a, c) ∈R
अत: (a, b) ∈R, ( b, c) ∈R ⇒ (a, c) ∈R
या aRb तथा bRc ⇒ aRc
हम देखते हैं कि सम्बन्ध R दिए गए प्रतिबन्ध के अनुसार दिए गए समुच्चय में स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।
अतः सम्बन्ध R, समुच्चय 4 पर एक तुल्यता सम्बन्ध है।
पुनः माना |1-x | ∈R तब |1-x |, 4 का एक गुणज है।
⇒ |1 – x | = 0, 4, 8, 12 ∈ A
⇒ जब x = 1, तब | 1 – 1 = 0, जो 4 का गुणज है।
जब x = 5, तब | 15 | |4| = 4, जो 4 का गुणज है।
जब x = 9, तब |1-9| = |-8| = 8, जो 4 का गुणज है।
∴ x = 1, 5, 9
अतः समुच्चय 1 के अवयव जो 1 से सम्बन्ध R के द्वारा सम्बन्धित है, का समुच्चय 1, 5, 9} है।
(ii) R = {(a, b) : a = b}
तथा A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
अतः R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9), (10, 10), (11, 11), (12, 12)}
(a) R स्वतुल्य है, क्योंकि
a = a ⇒ (a, a ) ∈ R
या aRa, सत्य है।
(b) R सममित है, क्योंकि a, b ∈ 4 के लिए,
यदि (a, b) ∈ R ⇒ a = b
⇒ b = a
⇒ (b, a) ∈R
अतः (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈R, सत्य है
या aRb ⇒ bRa, सत्य है।
(c) R संक्रामक है, क्योंकि a, b, c ∈ A के लिए
(a, b) ∈R तथा (b, c) ∈R
⇒ a = b तथा b = c
⇒ a = b = c
⇒ a = c
⇒ (a, c) ∈ R
अतः (a, b) ∈R तथा (b, c) ∈ R
⇒ (a, c) ∈R, सत्य है
या aRb तथा bRc ⇒ aRc, सत्य है।
हम देखते हैं कि सम्बन्ध R, दिए गए समुच्चय 4 में प्रतिबन्ध के अनुसार, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। अतः R, समुच्चय A पर एक तुल्यता सम्बन्ध है। पुनः 1 से सम्बन्धित समुच्चय ( प्रतिबन्ध के अनुसार ) {1} है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 10.
ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिए, जो :
(i) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
(ii) संक्रामक हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किन्तु संक्रामक न हो।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किन्तु सममित न हो ।
(v) सममित तथा संक्रामक हो किन्तु स्वतुल्य न हो।
हल:
(i) माना, समुच्चय A = समतल में सरल रेखाओं का समुच्चय
या 4 = {xx, समतल में एक रेखा है। तथा सम्बन्ध R, समुच्चय A पर इस प्रकार परिभाषित है कि R = { ( a, b ) रेखा a, b पर लम्ब है
(a) सम्बन्ध R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई रेखा अपने पर लम्ब नहीं होती है अर्थात् (a,a) R या aRa, सत्य नहीं है।
(b) सम्बन्ध R सममित है, क्योंकि यदि रेखा, रेखा 6 पर लम्ब है तो रेखा b भी रेखा a पर लम्ब होगी ( क्योंकि दोनों रेखाओं के बीच का कोण 90° है। ) अर्थात्
(a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈R, सत्य है
या aRb ⇒ bRa, सत्य है।
(c) सम्बन्ध R संक्रामक नहीं है, क्योंकि यदि रेखा a, रेखा b पर लम्ब है तथा रेखा b, रेखा पर लम्ब है तो रेखा a, रेखा पर लम्ब नहीं हो सकती। रेखा 4, रेखा के समान्तर होगी अर्थात्
(a, b) ∈R, ( b, c )∈R ⇏ (a,c) ∈R
या aRb तथा bRc ⇏ aRc
जो कि निम्न चित्र से स्पष्ट है:
यहाँ a⊥b तथा b⊥c
अब a || c.
अतः सम्बन्ध R = {(a, b) : रेखा a, b लम्ब है } सममित है परन्तु स्वतुल्य तथा संक्रामक नहीं है।
(ii) माना समुच्चय A = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय या A = {x : x, एक वास्तविक संख्या है।}
तथा A पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि
R = {(a, b): a > b, जहाँ a तथा 6 वास्तविक संख्याएँ हैं}
(a) R संक्रामक है, क्योंकि a, b, c ∈ 4 के लिए,
यदि a > b तथा b> c ⇒ a > c अर्थात्
(a, b) ∈ R तथा (b, c) ∈R
या aRb तथा bRc ⇒ aRc
जैसे कि 5 > 44 > 3 तो 5 > 3
(b) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई संख्या अपने से बड़ी नहीं हो सकती अर्थात् a > a सत्य नहीं है।
या aRa, सत्य नहीं है।
या (a,a) ∉ R.
(c) R सममित नहीं है, क्योंकि a, b E A के लिए,
यदि संख्या a संख्या b से बड़ी है, तो संख्या b, संख्या a से बड़ी नहीं हो सकती, अर्थात्
a>b ⇏ b>a
या (a, b)∈ R ⇏ (b, a) ∈ R
या aRb ⇏ bRa.
अतः सम्बन्ध R = ( ( a, b ): a > b, जहाँ a तथा b वास्तविक संख्याएँ हैं संक्रामक है परन्तु स्वतुल्य तथा सममित नहीं है।
(iii) माना A = {1, 2, 3, 4} तथा इस पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि
R = {(a, b) : a + b ≤ 5, जहाँ a, b ∈ A}
या R {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
(a) R स्वतुल्य है, क्योंकि (1,1), (2, 2) ∈ R अर्थात् 1R1, 2R2, सत्य हैं।
(b) R सममित है, क्योंकि (1, 2), ( 2, 1) ∈R, (1, 3), (3, 1) ∈ R तथा (1,4) (4, 1) ∈R
अर्थात् 1R2 ⇒ 2R1
1R3 ⇒ 3R1
1R4 ⇒ 4R1, सत्य है।
(c) R संक्रामक नहीं है, क्योंकि यदि (2, 1) ∈R, ( 1, 4) ∈R किन्तु (2, 4) ∉ R अर्थात्
2R1 तथा 1R4 ⇏ 2R4.
अतः सम्बन्ध R = { (a, b) a+bs 5, जहाँ a, b ∈ A} स्वतुल्य तथा सममित है किन्तु संक्रामक नहीं है।
(iv) मानां A = {1, 2, 3, 4) तथा सम्बन्ध R, समुच्चय A पर इस प्रकार परिभाषित है कि
R = { ( a, b ) : a≤b}
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3),(2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}
(a) R स्वतुल्य है, क्योंकि
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R अर्थात् 1R1, 2R2, 3R3, 4R4, सत्य हैं।
(b) R संक्रामक है, क्योंकि
(1, 2), (2, 3) e R ⇒ (1, 3) ∈ R
(1,3), ( 3, 4 ) ∈ R ⇒ (1, 4) ∈R
अर्थात् 1R2 ⇒ 2R3
तथा 1R3 तथा 3R4 ⇒ 1R4.
(c) R सममित नहीं है, क्योंकि यदि संख्या a, संख्या b से छोटी है तो संख्या b, संख्या a से छोटी नहीं होगी।
जैसा कि 1< 2, तो 2 ≠ 1
अर्थात् 1R2 ⇏ 2R1
या (1, 2) ∈R ⇏ ( 2, 1) ∈R.
अतः सम्बन्ध R = {(a, b) : a ≤ b} स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
(v) माना A = {1, 2, 3, 4} तथा समुच्चय A पर सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित है कि किन्हीं a तथा b के लिए,
R = { ( a, b ) : 0 < | a – b | ≤ 3}
या R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
(a) R सममित है, क्योंकि
(1, 2) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R
इसी प्रकार (1, 3) ∈ R ⇒ (3, 1) ∈ R
( 1, 4) ∈R ⇒ (4, 1 ) ∈ R
(2, 3) ∈ R ⇒ (3,2) ∈ R
तथा (3, 4) ∈R ⇒ (4, 3) ∈ R, इत्यादि।
(b) R संक्रामक है, क्योंकि
(1, 2) ∈R, (2, 3) ∈R ⇒ (1,3) ∈R
इसी प्रकार,
(1, 4) ∈ R, ( 4, 2) ∈R ⇒ (1, 2) ∈ R
अर्थात्
1R4 तथा 4R2 ⇒ 1R2 इत्यादि।
(c) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) R में नहीं है।
अतः सम्बन्ध R = { ( a, b ) : 0 < | ab | ≤ 3} सममित तथा संक्रामक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिन्दुओं के समुच्चय में R = { ( P, Q): बिन्दु P की मूलबिन्दु से दूरी, बिन्दु Q की मूलबिन्दु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है । पुनः सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P≠ (0, 0) से सम्बन्धित सभी बिन्दुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है।
हल:
माना बिन्दु O, समतल में मूलबिन्दु है, तब सम्बन्ध R समतल में इस प्रकार परिभाषित है कि
R = {(P, Q) : OP = 0Q}
(i) सम्बन्ध R स्वतुल्य है, क्योंकि किसी बिन्दु P के लिए, यदि मूलबिन्दु से दूरी x हो, तो
OP = x
अर्थात् x = x
या xRx सत्य है।
या (x, x) ∈R
(ii) R सममित है, क्योंकि यदि बिन्दुओं P तथा 2 की मूलबिन्दु से दूरी क्रमश: x तथा हों, तो
(P, Q) ∈R ⇒ OP – OQ
⇒ x = y
⇒ y = x
⇒ OQ = OP
⇒ (Q, P) ∈ R
⇒ (y, x) ∈ R
(x, y) ∈R ⇒ (y, x) ∈R.
(iii) R संक्रामक है, क्योंकि यदि समतल में तीन बिन्दु P, Q तथा S इस प्रकार हैं कि
(P, Q) ∈ R तथा (Q, S) ∈R
⇒ OP = OQ तथा OQ = Os
⇒ OP = OS
⇒ (P, S) ∈R
अतः (P, Q ) ∈R, (Q, S ) ∈R
⇒ (P, S)∈R
हम देखते हैं कि दिए गए प्रतिबन्ध के अनुसार सम्बन्ध R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। अतः प्रदत्त सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। पुनः माना समतल में कोई निश्चित बिन्दु P है तथा दूसरा कोई बिन्दु Q, समतल में इस प्रकार है कि (P, Q) ∈R, तब (P, Q) ∈R ⇒ OP = OQ बिन्दु Q, समतल में इस प्रकार चलता है कि इसकी मूलबिन्दु 0(0, 0) से वही दूरी रहती है जितनी निश्चित बिन्दु P की मूलबिन्दु से है।
बिन्दु Q का बिन्दुपथ एक ऐसा वृत्त है जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर है। [निश्चित दूरी OP वृत्त की त्रिज्या]
जैसा कि निम्न चित्र में दर्शाया गया है: इति सिद्धम्।
प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(T1, T2) : T1, T2 के समरूप है द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T1, भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T2 तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T3 पर विचार कीजिए। T1, T2 और T3 में से कौन से त्रिभुज परस्पर सम्बन्धित हैं ?
हल:
प्रश्नानुसार,
A = समतल में समस्त त्रिभुजों का समुच्चय
या A = {x : x, समतल में एक त्रिभुज है}
तथा सम्बन्ध R, समुच्चय । पर इस प्रकार परिभाषित है कि
R = {(T1, T2) : T1, T2 समरूप हैं}
(i) R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप है अर्थात् T1RT1 सत्य है।
या (T1, T1) ∈R
(ii) R सममित है, क्योंकि यदि त्रिभुज T1, त्रिभुज T2 के समरूप है तो त्रिभुज T2 भी त्रिभुज T1 के समरूप होगा अर्थात्
T1RT2 ⇒ T2RT
(T1, T2) ∈R⇒ (T2, T1) ∈R
(iii) R संक्रामक है, क्योंकि यदि त्रिभुज T1, T2 समरूप हैं तथा T2, T3 समरूप हैं तो T1 तथा T3 भी समरूप होंगे अर्थात्
T1RT2 तथा T2RT3 ⇒ T1RT3
या (T1, T2) ∈R (T2 T3) ∈R
हम देखते हैं कि सम्बन्ध R, समुच्चय A पर स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। अतः R, समुच्चय A पर तुल्यता सम्बन्ध है।
पुनः त्रिभुज 7 की भुजाएँ 3, 4, 5 हैं, त्रिभुज T2 की भुजाएँ 5, 12, 13 हैं तथा त्रिभुज T3 की भुजाएँ 6, 8, 10 हैं। यदि हम त्रिभुज T1 तथा T3 की भुजाओं पर विचार करें, तो \(\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
अर्थात् त्रिभुज T1 तथा T3 की भुजाएँ समानुपाती हैं जिसके फलस्वरूप T1 तथा T3 समरूप त्रिभुज हैं,
अर्थात् T1RT3 सत्य है या (T1, T3) ∈ R
इस प्रकार T1 तथा T3 परस्पर सम्बन्धित हैं।
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय 4 में, R = {(P1, P2 ) : P1 तथा P2 की भुजाओं की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध है। 3, 4 और 5 लम्बाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से सम्बन्धित समुच्चय 4 के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,
A = समतल में समस्त बहुभुजों का समुच्चय
या A = {x : x, समतल में एक बहुभुज है}
तथा सम्बन्ध R, समुच्चय A पर इस प्रकार परिभाषित है कि
R = {(P1, P2 ) : P1 तथा P2 की भुजाओं की संख्या समान है।
(i) सम्बन्ध R स्वतुल्य है, क्योंकि किसी भी बहुभुज में भुजाओं की संख्या स्वयं की भुजाओं की संख्या के समान होती है अर्थात् यदि P1 कोई बहुभुज है, तो P1RP1 या (P1, P1) ∈ R, सत्य है ।
(ii) सम्बन्ध R सममित है, क्योंकि यदि बहुभुज P1 में n भुजाएँ हैं तथा बहुभुज P2 में n बहुभुज P2 में n भुजाएँ होंगी तथा
बहुभुज P1 में n भुजाएँ होंगी अर्थात्
P1RP2 ⇒ P2RP1
या (P1, P2) ∈R ⇒ (P2, P1) ∈R
(iii) सम्बन्ध R संक्रमक है, क्योंकि यदि बहुभुज P1 तथा P2 में प्रत्येक में n भुजाएँ हों तथा बहुभुज P2 तथा P3 में भी प्रत्येक में भुजाएँ हों, तो बहुभुज P1 तथा P3 में प्रत्येक में भुजाएँ होंगी अर्थात्
P1RP2, P2RP3 ⇒ P1RP3
या (P1, P2) ∈R (P2P3) ∈R ⇒ (P1, P3) ∈R
हम देखते हैं कि सम्बन्ध R, समुच्चय 1 पर स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। अत: R, समुच्चय A पर तुल्यता सम्बन्ध है।
पुनः प्रश्नानुसार, समुच्चय 4 समतल में स्थित सभी बहुभुजों का समुच्चय है। अर्थात् समुच्चय में त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, षट्भुज, सप्तभुज इत्यादि हैं। चूँकि हमें 3, 4 और 5 लम्बाई वाले समकोण त्रिभुज से सम्बन्धित समुच्चय के सभी अवयवों को ज्ञात करना है, तो दिए गए सम्बन्ध के अनुसार समान भुजाओं (तीन भुजाओं वाले सभी त्रिभुज 3, 4 और 5 लम्बाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज (तीन भुजाओं) से सम्बन्धित हैं अर्थात् यदि T वह त्रिभुज हो जिसकी भुजाएँ 3, 4, 5 हों, तो समुच्चय A के सभी त्रिभुज T से सम्बन्धित होंगे।
प्रश्न 14.
मान लीजिए XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में, R = {(L1, L2 ) : L1 समान्तर है L2 के } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता सम्बन्ध है। रेखा y = 2x + 4 से सम्बन्धित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए ।
हल:
प्रश्नानुसार,
समुच्चय L = XY – तल में समस्त रेखाओं का समुच्चय
या L = {x : x, XY – तल में एक रेखा है।}
R, समुच्चय L पर परिभाषित एक सम्बन्ध इस प्रकार है कि R = {(L1, L2) : L1 समान्तर है L2 के }
जहाँ L1, L2 ∈L
(i) R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक रेखा स्वयं के समान्तर होती है। अर्थात् L1|| L1 सत्य है।
या L1RL1 या (L1, L1∈R.
(ii) R सममित है, क्योंकि यदि रेखा L1, रेखा L2 के समान्तर है तो रेखा L2, रेखा L1 के समान्तर होगी
अर्थात् L1 || L2 ⇒ L2 || L1
या L1RL2 ⇒ L2RL1
या (L1, L2) ∈R ⇒ (L2, L1) ∈R.
(iii) R संक्रामक है, क्योंकि यदि रेखा L1, रेखा L2 के समान्तर है। तथा रेखा L2, रेखा L3 के समान्तर है, तो रेखा L1, रेखा L3 के समान्तर होगी अर्थात्
L1 || L2, L2 || L3 ⇒ L1 || L3; L1, L2, L3 ∈ L
या (L1, L2 ) ∈R, (L2, L3) ∈R ⇒ (L1, L3) ∈ R
या L1 RL2, L2RL3 ⇒ L1RL3
हम देखते हैं कि सम्बन्ध R, समुच्चय L पर स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है। अतः R, समुच्चय L पर तुल्यता सम्बन्ध है।
पुनः रेखा y = 2x + 4 की ढाल ( प्रवणता ) ( slope) 2 है। अतः रेखा y = 2x + 4 से सम्बन्धित सभी रेखाओं का समुच्चय वे रेखाएँ होंगी। जिनकी ढाल (प्रवणता ) (slope ) 2 होगी। इस प्रकार y = 2x + 4 से सम्बन्धित रेखाओं का समुच्चय y = 2x + k है, जहाँ कोई भी स्वेच्छ अचर है।
प्रश्न 15.
मान लीजिए कि समुच्चय 1, 2, 3, 4} में, R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} GRT परिभाषित सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए:
(A) R स्वतुल्य तथा सममित है किन्तु संक्रामक नहीं है।
(B) R स्वतुल्य तथा संक्रमक है किन्तु सममित नहीं है।
(C) R सममित तथा संक्रामक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(D) R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल:
माना 4 1, 2, 3, 4, तब 4 पर परिभाषित सम्बन्ध R,
R =”{(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} हम देखते हैं कि प्रत्येक a∈A के लिए, aRa सत्य है अर्थात् (a, a ) ∈R, क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) e R
अतः R स्वतुल्य है।
पुनः a, b ∈ A के लिए
∀ (a, b) ∈R ⇏ (b, a ) ∈R
क्योंकि (1, 2)∈R ⇏ ( 2, 1) ∈R
(1, 3) ∈R ⇏ ( 3, 1) ∈R
अर्थात् 1R2 ⇏ 2R1
1R3 ⇏ 3R1
अतः R सममित नहीं है।
अब a, b, c ∈ A के लिए,
(a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
क्योंकि (1, 1) ∈R, (1, 2) ∈R (1, 2) ∈R, सत्य है
(1, 3) ∈R, (3, 3) ∈R ⇒ (1,3) ∈R, सत्य है
(1, 3) ∈ R, (3, 2) ∈R ⇒ (1,2) ∈R, सत्य है
अत: R संक्रामक है।
हम देखते हैं कि समुच्चय A पर सम्बन्ध R स्वतुल्य है, संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।
अत: विकल्प (B) सही उत्तर है।
प्रश्न 16.
मान लीजिए कि समुच्चय N में, R = {(a, b) : a = b – 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए :
(A) (2, 4) ∈R
(B) (3, 8) ∈R
(C) (6, 8) ∈ R
(D) (8, 7) ∈R
हल: प्रश्नानुसार,
N= प्राकृत संख्याओं का समुच्चय
N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ………}
तथा समुच्चय N पर सम्बन्ध R निम्न प्रकार परिभाषित है:
R = {(a, b) : a = b – 2, b> 6}, जहाँ a, b ∈N
a = b – 2, b > 6
b = 8 रखने पर, a = 8 – 2 – 6
तब (6, 8) ∈R, जो कि विकल्प (C) में दिया है।
अत: विकल्प (C) सही उत्तर है।