NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.2

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.2

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 2
\end{array}\right]\) B = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\) C = \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 5 \\
3 & 4
\end{array}\right]\) तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A + B
(ii) A – B
(iii) 3A – C
(iv) A B
(v) BA
हल:
(i) दिया है,
A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\)
∴ A + B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}
1 & 3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
2+1 & 4+3 \\
3-2 & 2+5
\end{array}\right]\)
∴ A + B = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 7 \\
1 & 7
\end{array}\right]\)

(ii) A – B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 2
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{rr}
1 & 3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rr}
2-1 & 4-3 \\
3-(-2) & 2-5
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
3+2 & -3
\end{array}\right]\)
A – B = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
5 & -3
\end{array}\right]\)

(iii) 3A – C
3A = C\(\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\ 3 & 2\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
3 \times 2 & 3 \times 4 \\
3 \times 3 & 3 \times 2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
6 & 12 \\
9 & 6
\end{array}\right]\)
अब 3A – C = \(\left[\begin{array}{cc}
6-(-2) & 12-5 \\
9-3 & 6-4
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
6+2 & 7 \\
6 & 2
\end{array}\right]\)
3A – C = \(\left[\begin{array}{ll}
8 & 7 \\
6 & 2
\end{array}\right]\)

(iv) A B = \(\left[\begin{array}{ll}2 & 4 \\3 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\-2 & 5\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
2 \times 1+4 \times(-2) & 2 \times 3+4 \times 5 \\
3 \times 1+2 \times(-2) & 3 \times 3+2 \times 5
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
2-8 & 6+20 \\
3-4 & 9+10
\end{array}\right]\)
∴ AB = \(\left[\begin{array}{ll}
-6 & 26 \\
-1 & 19
\end{array}\right]\)

(v) BA = \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
2 & 4 \\
3 & 2
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rr}
1 \times 2+3 \times 3 & 1 \times 4+3 \times 2 \\
-2 \times 2+5 \times 3 & -2 \times 4+5 \times 2
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rr}
2+9 & 4+6 \\
-4+15 & -8+10
\end{array}\right]\)
अत: BA = \(\left[\begin{array}{rr}
11 & 10 \\
11 & 2
\end{array}\right]\)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को परिकलित कीजिए
i. \(\left[\begin{array}{cc}
a & b \\
-b & a
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
b & a
\end{array}\right]\)
ii. \(\left[\begin{array}{cc}
a^{2}+b^{2} & b^{2}+c^{2} \\
a^{2}+c^{2} & a^{2}+b^{2}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
2 a b & 2 b c \\
-2 a c & -2 a b
\end{array}\right]\)
iii. \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 4 & -6 \\
8 & 5 & 16 \\
2 & 8 & 5
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
12 & 7 & 6 \\
8 & 0 & 5 \\
3 & 2 & 4
\end{array}\right]\)
iv. \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^{2} x & \sin ^{2} x \\
\sin ^{2} x & \cos ^{2} x
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
\sin ^{2} x & \cos ^{2} x \\
\cos ^{2} x & \sin ^{2} x
\end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 3.
निदर्शित गुणनफल परिकलित कीजिए:

हल:

प्रश्न 4.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
5 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -1 & 2 \\
4 & 2 & 5 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]\) तथा C = \(\left[\begin{array}{rrr}
4 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 \\
1 & -2 & 3
\end{array}\right]\) तो (A + B) तथा (B – C) परिकलित कीजिए। साथ ही सत्यापित कीजिए कि A + (B – C) = (A + B) – C
हल:
∵ A + B = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
5 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rrr}
3 & -1 & 2 \\
4 & 2 & 5 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rrr}
1+3 & 2-1 & -3+2 \\
5+4 & 0+2 & 2+5 \\
1+2 & -1+0 & 1+3
\end{array}\right]\)
∴ A + B = \(\left[\begin{array}{rrr}
4 & 1 & -1 \\
9 & 2 & 7 \\
3 & -1 & 4
\end{array}\right]\)
पुन: B – C = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -1 & 2 \\
4 & 2 & 5 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{rrr}
4 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 \\
1 & -2 & 3
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rrr}
3-4 & -1-1 & 2-2 \\
4-0 & 2-3 & 5-2 \\
2-1 & 0-(-2) & 3-3
\end{array}\right]\)
∴ B – C = \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & -2 & 0 \\
4 & -1 & 3 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\)
अब A + (B – C) \
= \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
5 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rrr}
-1 & -2 & 0 \\
4 & -1 & 3 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rrr}
1-1 & 2-2 & -3+0 \\
5+4 & 0-1 & 2+3 \\
1+1 & -1+2 & 1+0
\end{array}\right]\)
∴ A + (B – C) = \(\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & -3 \\
9 & -1 & 5 \\
2 & 1 & 1
\end{array}\right]\) …………(i)
तथा (A + B) – C = \(\left[\begin{array}{rrr}
4 & 1 & -1 \\
9 & 2 & 7 \\
3 & -1 & 4
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{rrr}
4 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 2 \\
1 & -2 & 3
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rrr}
4-4 & 1-1 & -1-2 \\
9-0 & 2-3 & 7-2 \\
3-1 & -1-(-2) & 4-3
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & -3 \\
9 & -1 & 5 \\
2 & -1+2 & 1
\end{array}\right]\)
∴ A + (B – C) = \(\left[\begin{array}{rrr}
0 & 0 & -3 \\
9 & -1 & 5 \\
2 & 1 & 1
\end{array}\right]\) ………..(ii)
(i) तथा (ii) से, A + (B – C) = (A + B) – C .

प्रश्न 5.
यदि

तो 3A – 5B परिकलित कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
सरल कीजिए:
\(\cos \theta\left[\begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]+\sin \theta\left[\begin{array}{rr}
\sin \theta & -\cos \theta \\
\cos \theta & \sin \theta
\end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 7.
X तथा Y ज्ञात कीजिए, यदि:
(i) X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
2 & 5
\end{array}\right]\) तथा X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{array}\right]\)

(ii) 2X + 3Y = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 0
\end{array}\right]\) तथा 3X + 2Y = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -2 \\
-1 & 5
\end{array}\right]\)
हल:
(i) X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
2 & 5
\end{array}\right]\) ……….(i)
X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{array}\right]\) ……….(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
X + Y + X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}
7 & 0 \\
2 & 5
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{array}\right]\)
⇒ 2X + 0 = \(\left[\begin{array}{ll}
7+3 & 0+0 \\
2+0 & 5+3
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
10 & 0 \\
2 & 8
\end{array}\right]\)
⇒ 2X = \(\left[\begin{array}{cc}
10 & 0 \\
2 & 8
\end{array}\right]\)

समीकरण (i) को 2 से तथा (ii) को 3 से गुणा करने पर,
4X + 6Y= \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 6 \\
8 & 0
\end{array}\right]\)
तथा 9X+6 Y= \(\left[\begin{array}{rr}
6 & -6 \\
-3 & 15
\end{array}\right]\)

समीकरण (iii) में से (iv) को घटाने पर,
4 X+6 Y-9 X-6 Y = \(\left[\begin{array}{ll}
4 & 6 \\
8 & 0
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{rr}
6 & -6 \\
-3 & 15
\end{array}\right]\)
4 X-9 X+6 Y-6 Y = \(\left[\begin{array}{rr}
4-6 & 6+6 \\
8+3 & 0-15
\end{array}\right]\)

प्रश्न 8.
X का मान ज्ञात कीजिए, यदि Y = तथा \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 4
\end{array}\right]\) 2X+Y= \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-3 & 2
\end{array}\right]\)
हल:
दिया है,
y = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 4
\end{array}\right]\)

प्रश्न 9.
x तथा y ज्ञात कीजिए यदि
\(2\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
0 & x
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
y & 0 \\
1 & 2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
5 & 6 \\
1 & 8
\end{array}\right]\)
हल:
\(2\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
0 & x
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
y & 0 \\
1 & 2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
5 & 6 \\
1 & 8
\end{array}\right]\)

प्रश्न 10.
प्रदत्त समीकरण को x, y, z तथा t के लिए हल कीजिए यदि
\(2\left[\begin{array}{ll}
x & z \\
y & t
\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
0 & 2
\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{ll}
3 & 5 \\
4 & 6
\end{array}\right]\)
हल:
\(2\left[\begin{array}{ll}
x & z \\
y & t
\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
0 & 2
\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{ll}
3 & 5 \\
4 & 6
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
2 x & 2 z \\
2 y & 2 t
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}
3 & -3 \\
0 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
9 & 15 \\
12 & 18
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
2 x+3 & 2 z-3 \\
2 y+0 & 2 t+6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
9 & 15 \\
12 & 18
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{rr}
2 x+3 & 2 z-3 \\
2 y & 2 t+6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
9 & 15 \\
12 & 18
\end{array}\right]\)

संगत अवयवों की तुलना करने पर,
⇒2x + 3 = 9, 2z – 3 = 15, 2y = 12,2t + 6 = 18
⇒ 2x = 9 – 3,2 z=15+3, y =\(\frac{12}{2}\) 2 t=18-6
2x = 6, 2z=18, y = 6, 2 t=12
∵ x=3, z=9, y=6, t=6

प्रश्न 11.
यदि x है तो x \(\left[\begin{array}{l}
2 \\
3
\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
10 \\
5
\end{array}\right]\) तथा y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x \(\left[\begin{array}{l}
2 \\
3
\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
10 \\
5
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{l}
2 x \\
3 x
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}
-y \\
y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
10 \\
5
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{l}
2 x-y \\
3 x+y
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
10 \\
5
\end{array}\right]\)
⇒ 2 x-y=10 ….. (i)
3 x+y=5 ….. (ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
2 x-y=10
3 x+y=5
5 x = 15
⇒ x =3
समीकरण (i) में x का मान रखने पर,

प्रश्न 12.
यदि
\(3\left[\begin{array}{ll}
x & y \\
z & w
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
x & 6 \\
-1 & 2 w
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
4 & x+y \\
z+w & 3
\end{array}\right]\)
है तो x, y, z तथा w के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
\(3\left[\begin{array}{ll}
x & y \\
z & w
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
x & 6 \\
-1 & 2 w
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
4 & x+y \\
z+w & 3
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{ll}
3 x & 3 y \\
3 z & 3 w
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
x+4 & 6+x+y \\
-1+z+w & 2 w+3
\end{array}\right]\)
संगत अवयवों की तुलना करने पर,
3x = x + 4, 3y = 6 + x + y
3z = 1 + z + w, 3w = 2w + 3
⇒ 3x – x = 4, 3y – y = 6 + x
3z – z = w – 1, 3w – 2w = 3
⇒ 2x = 4, 2y = 6 + x
2z = w – 1, w = 3
⇒ x = 2,
2y = 6 + 2 ⇒ 2y = 8,
⇒ y = 4
तथा w = 3, तो 2z = w – 1
⇒ 2z = 3 – 1
2z = 2
z = 1
3: x = 2, y = 4, z = 1, w = 3.

प्रश्न 13.
यदि F (x) = \(\left[\begin{array}{ccc}
\cos x & -\sin x & 0 \\
\sin x & \cos x & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\) है, तो सिद्ध कीजिए कि F(x) F(y) = F(x+y)
हल:
F(x) = \(\left[\begin{array}{ccc}
\cos x & -\sin x & 0 \\
\sin x & \cos x & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
⇒ F(y) = \(\left[\begin{array}{ccc}
\cos y & -\sin y & 0 \\
\sin y & \cos y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
∴F(x) F(y) = \(\left[\begin{array}{ccc}
\cos x & -\sin x & 0 \\
\sin x & \cos x & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\) × \(\left[\begin{array}{ccc}
\cos y & -\sin y & 0 \\
\sin y & \cos y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)

F(x) F(y) = F(x + y) [F(x) की परिभाषा के अनुसार]

प्रश्न 14.
दर्शाइए कि
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
6 & 7
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
6 & 7
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array}\right]\) ≠ \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
हल:
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
6 & 7
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
6 & 7
\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
6 & 7
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
5 \times 2+(-1) \times 3 & 5 \times 1+(-1) \times 4 \\
6 \times 2+7 \times 3 & 6 \times 1+7 \times 4
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
10-3 & 5-4 \\
12+21 & 6+28
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
33 & 34
\end{array}\right]\)
तथा \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
6 & 7
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{rr}
2 \times 5+1 \times 6 & 2 \times(-1)+1 \times 7 \\
3 \times 5+4 \times 6 & 3 \times(-1)+4 \times 7
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
10+6 & -2+7 \\
15+24 & -3+28
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
16 & 5 \\
39 & 25
\end{array}\right]\)
∵ \(\left[\begin{array}{cc}
7 & 1 \\
33 & 34
\end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{cc}
16 & 5 \\
39 & 25
\end{array}\right]\)
∴ \(\left[\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
6 & 7
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{array}\right] \neq\left[\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
5 & -1 \\
6 & 7
\end{array}\right]\)

(ii) \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 \\
2 & 3 & 4
\end{array}\right]\)

प्रश्न 15.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]\) है तो A² – 5 A + 6I का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
A² = A . A
= \(\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]\).\(\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0\end{array}\right]\)

समीकरण (i), (ii) तथा (iii) को जोड़ने पर,

प्रश्न 16.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]\) है तो सिद्ध कीजिए कि A²36 A² + 7 A + 2I= 0
हल:
A² = A.A = \(\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]\).\(\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3\end{array}\right]\)

अत: A³ = A² A = \(\left[\begin{array}{ccc}
5 & 0 & 8 \\
2 & 4 & 5 \\
8 & 0 & 13
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]\)

अब A³ – 6 A² + 7 A + 2I


∴ A³ – 6 A² + 7 A + 2I = 0

प्रश्न 17.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right]\) तथा I = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\) एवं A²2 = k A – 2I हो तो k ज्ञात कीजिए।
हल:
A = \(\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right]\)
L.H.S = A² \(\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{ll}3 & -2 \\ 4 & -2\end{array}\right]\)
⇒ A² = \(\left[\begin{array}{ll}
3 \times 3+(-2) \times 4 & 3 \times(-2)+(-2) \times(-2) \\
4 \times 3+(-2) \times 4 & 4 \times(-2)+(-2) \times(-2)
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{cc}
9-8 & -6+4 \\
12-8 & -8+4
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{ll}
1 & -2 \\
4 & -4
\end{array}\right]\)
R.H.S = kA = 2I
= \(k\left[\begin{array}{ll}
3 & -2 \\
4 & -2
\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
3 k & -2 k \\
4 k & -2 k
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{ll}
3 k-2 & -2 k-0 \\
4 k-0 & -2 k-2
\end{array}\right]\)
∴ kA – 2I = \(\left[\begin{array}{cc}
3 k-2 & -2 k \\
4 k & -2 k-2
\end{array}\right]\)

प्रश्नानुसार, A² = k A – 2I
⇒ \(\left[\begin{array}{ll}
1 & -2 \\
4 & -4
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
3 k-2 & -2 k \\
4 k & -2 k-2
\end{array}\right]\)
⇒ 1 = 3k -2, -2 = – 2k
4 = 4k, -4 = -2k – 2
3k = 2 + 1, 2k = 2
4k = 4, – 2k = -4 + 2
3k = 3, 2k = 2
4k = 4, – 2k = 2
⇒ k = 1, k = 1
∴ k = 1, k = 1
∴ k = 1

प्रश्न 18.
यदि \(\left[\begin{array}{cc}0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0\end{array}\right]\) तथा I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है तो सिद्ध कीजिए कि
I + A = (I – A) \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\)
हल:
A = \(\left[\begin{array}{cc}0 & -\tan \frac{\alpha}{2} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & 0\end{array}\right]\)
माना \(\tan \frac{\alpha}{2}=t\)

प्रश्न 19.
किसी व्यापार संघ के पास ₹ 30,000 का कोष है जिसे दो भिन्न प्रकार के बॉण्डों में निवेशित करना है। प्रथम बॉण्ड पर 5 % वार्षिक तथा द्वितीय बॉण्ड पर 7 % वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि ₹ 30,000 के कोष को दो प्रकार के बॉण्ड में निवेश करने के लिए किस प्रकार बाँटें जिससे व्यापार संघ को प्राप्त कल वार्षिक ब्याज –
(a) ₹ 1,800 हो,
(b) ₹ 2,000 हो।
हल:
माना ₹ 30000 के दो भाग x तथा (30000 – x ) हैं।
तब आव्यूह A = [x (30000 – x )]
ब्याज दर 5% तथा 7% या 0.05 तथा 0.07 है।
माना दर का आव्यूह R = \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\)

(a) प्रश्नानुसार, कुल ब्याज = AR = ₹ 1800
= [x (30000 – x)] \(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) ≠ [1800]
[x x 0.05 + (30000 – x ) × 0.07] = [1800]
⇒ [0.05x + 30000 x 0.07 – 0.07 × x] = [1800]
⇒ 0.05x + 2100 – 0.07x = 1800
⇒ 0.05x – 0.07x = 1800 – 2100
⇒ -0.02x = – 300
⇒ x = \(\frac{-300}{-0.02}=\frac{30000}{2}\)
= – 15000
प्रथम बॉण्ड = ₹ 15,000
30000 – x = 30000 – 15000
∴ द्वितीय बॉण्ड = ₹ 15000
अत: प्रत्येक बॉण्ड ₹ 15000 में खरीदा जाना चाहिए जिससे ₹1800 ब्याज प्राप्त हो।

(b) ₹ 2000 ब्याज के लिए आव्यूह समीकरण इस प्रकार का होगा:
\(\left[\begin{array}{ll}
x & (30000-x)
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]=[2000]\)
⇒ [x × 0.05 + (30000 – x) × 0.07] = [2000]
⇒ [0.05 x + 30000 × 0.07 – x × 0.07] = [2000]
⇒ 0.05x + 2100.00 – 0.07x = 2000
⇒ 0.05x – 0.07x = 2000 – 2100
⇒ -0.02x = -100
⇒ x = \(\frac{-100}{-0.02}=\frac{10000}{2}\) = 5000
∴ प्रथम बॉण्ड = ₹ 5,000
अतः 30000 – x = 30000 – 5000 = 25000
∴ द्वितीय बॉण्ड = ₹ 25000
अत: ₹ 2000 ब्याज प्राप्त करने हेतु दोनों बॉण्डों में क्रमश: ₹ 5000 तथा ₹ 25000 निवेश करना पड़ेगा।

प्रश्न 20.
किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः ₹80, ₹60 तथा ₹40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित के प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी ?
हल:
विद्यालय में पुस्तकों की संख्या निम्न प्रकार है:

माना पुस्तकों की संख्या आव्यूह A द्वारा प्रदर्शित होती है।
∴ A = [120 96 120]
तथा पुस्तकों का विक्रय मूल्य आव्यूह R द्वारा प्रदर्शित होता है।
∴ R = \(\left[\begin{array}{l}
80 \\
60 \\
40
\end{array}\right]\)
पुस्तकों की बिक्री से प्राप्त राशि
= AR = [120 96 120] \(\left[\begin{array}{l}
80 \\
60 \\
40
\end{array}\right]\)
[120 × 80 + 96 × 60 + 120 × 40] [9600 + 5760 + 4800] = [20160]
प्राप्त कुल राशि = ₹ 20160
मान लीजिए कि X, Y, Z, W तथा P क्रमश: 2 xn, 3xk, 2 × p, n × 3 तथा p x k कोटियों के आव्यूह हैं। नीचे दिए प्रश्न संख्या 21 तथा 22 में सही उत्तर चुनिए ।

प्रश्न 21.
PY + WY के परिभाषित होने के लिए, n, k तथा p पर क्या प्रतिबन्ध होगा ?
(A) k = 3, p = n
(B) k स्वेच्छ है, p = 2
(C) p स्वेच्छ है, k = 3
(D) k = 2, p = 3.
हल:
आव्यूह P की कोटि = p × k
आव्यूह Y की कोटि = 3 × k
आव्यूह W की कोटि = n × 3
तब PY परिभाषित होने के लिए,
P के स्तम्भों की संख्या = Y की पंक्तियों की संख्या k = 3
तथा WY परिभाषित होने के लिए,
W के स्तम्भों की संख्या = Y की पंक्तियों की संख्या (3 = 3)
अब PY + WY परिभाषित होने के लिए, PY की कोटि = p × k = p × 3
तब WY की कोटि = n × k
अत: PY + WY परिभाषित होने के लिए PY तथा WY की कोटि समान होनी चाहिए।
∴ p = n तथा k = 3
अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 22.
यदि np, तो आव्यूह 7X – 5Z की कोटि है:
(A) p × 2
(B) 2 × n
(C) n × 3
(D) p × n
हल :
X की कोटि = 2 × n
Z की कोटि = 2 × p
∵ p = n
अतः 7X – 5Z की कोटि 2 × n है ।
अतः विकल्प (B) सही है ।