NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि f: R→R, द्वारा f(x) = 10x + 7 द्वारा परिभाषित फलन है। एक ऐसा फलन g : R→R ज्ञात कीजिए जिसके लिए gof = fog = 1_R
हल:
स्पष्टतः यहाँ
g = f^-1 …………. (i)
अब f(x₁) = f(x₂)
⇒ 10x₁ + 7 = 10x₂ + 7
⇒ 10x₁ = 10x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ f एकैकी है।
अब y = f(x)
⇒ y = 10x + 7
⇒ x = \(\frac {y – 7}{10}\)
स्पष्टतः प्रत्येक y ∈R ( सहडोमेन f) ∃x ∈ R इस प्रकार है कि
f(x) = f\(\frac {y – 7}{10}\)
f(x) = \(\left\{10 \cdot\left(\frac{y-7}{10}\right)+7\right\}=y\)
∴ f आच्छादक है।
∴ f एकैकी आच्छादक है। अतः यह व्युत्क्रमणीय है अर्थात् प्राप्त होगा।
अब f^-1 : R→ R: f^-1 (y) = \(\frac {y – 7}{10}\)
अतः g : R→R : g (y) = \(\frac {y – 7}{10}\) [(i) से]
पुनः g0f(x) = g(f(x)) = g(10x + 7)
= \(\frac{10 x+7-7}{10}\)
= x = I_R
fog (x) = f(g(x)) = f\(\left(\frac{x-7}{10}\right)\) = 10\(\left(\frac{x-7}{10}\right)\) + 7 = x = I_R
अतः gof = fog = IR.

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि f: W → W,f(n) = n – 1, यदि ” विषम है तथा f(n) = n + 1, यदि सम है, द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि व्युत्क्रमणीय है। का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। यहाँ W समस्त पूर्णांकों का समुच्चय है।
हल:
दिया है – f : W → W

यदि x तथा m विषम हैं, तब
f(n) = f(m)
⇒ n – 1 = m – 1 ⇒ n = m
यदि तथा m सम हैं, तब
f(n) = f(m)
⇒ n + 1 = m + 1 ⇒ n = m
अतः यहाँ दोनों अवस्थाओं में
f(n) = f(m) ⇒ n = m
यदि सम है तथा m विषम हैं, तब
f(n) = n + 1, विषम है
तथा f(m) = m – 1, सम है
∴ n #n
⇒ f(n) ≠ f(m)
इसी प्रकार यदि ” विषम है तथा m सम है तो
n ≠ m ⇒ f(n) ≠ f(m)
अतः एकैकी है।
पुनः यदि n सम है तब 3n – 1 ∈ W (डोमेन) ( (n – 1) विषम ) इस प्रकार है कि
f( n – 1 ) = n – 1 + 1 = n
यदि n विषम है तब
∃(n-1) ∈ W (डोमेन ) ( (n-1) सम) इस प्रकार है कि
f(n – 1 ) = n – 1 + 1 = n
तथा f( 1 ) = 1 – 1 = 0
अतः सहडोमेन W का प्रत्येक अवयव डोमेन के प्रत्येक अवयव का एक अद्वितीय प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
∵ f एकैकी आच्छादक है। अतः f व्युत्क्रमणीय है।
माना n, m ∈ W इस प्रकार है कि

स्पष्टतः f^-1 = f
अतः f अतः का प्रतिलोम है।

प्रश्न 3.
यदि f: R → R जहाँ f(x) = x² – 3x + 2 द्वारा परिभाषित है तो f(x)) ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = x² – 3x + 2, f : R → R
अतः f(f(x) = f(x² – 3x + 2)
= (x² – 3x + 2) 2 – 3 (x² – 3x + 2) + 2
= x⁴ + 9x² + 4 – 6x³ – 12x + 4x² – 3x² + 9x – 6 + 2
= x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x.

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि
f : R → {x ∈R : – 1 < x < 1}
जहाँ f(x) = \(\frac{x}{1+|x|}\), x ∈ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।
हल:
यहाँ f : R → {x ∈R : – 1 < x < 1}
तथा f(x) = \(\frac{x}{1+|x|}\)
(a) माना, x ≥ 0 ⇒ |x| = x
∴ f(x) = \(\frac{x}{1+ x}\)
x₁, x₂ ∈ R,
तब f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\frac{x_1}{1+x_1}=\frac{x_2}{1+x_2}\)
⇒ x₁(1 + x₂) = x₂(1 + x₁)
या x₁ + x₁x₂ = x₂ + x₁x₂
⇒ x₁ = x₂
x < 0 ⇒ |x| = – x
तब f(x) = \(\frac{x}{1 – x}\)
f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\frac{x_1}{1-x_1}=\frac{x_2}{1-x_2}\)
⇒ x₁(1 – x₂) = x₂(1 – x₁)
x₁ – x₁x₂ = x₂ – x₁x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ f एकैकी है।

(b) जब x ≥ 0 ⇒ |x| = x
माना y = f(x)
⇒ \(\frac{x}{1 + x}\) = y
⇒ x = (1 + x)y
⇒ x = y + xy
⇒ x – xy = y
⇒ x(1 – y) = y
⇒ x = \(\frac{y}{1 + y}\)
जब x < 0 ⇒ |x| = – x
y = \(\frac{x}{1 – x}\)
या y (1 – x) = x
y – yx = x
y = x + xy
∴ y = x(1 + y)
या x = \(\frac{y}{1 + y}\)
अतः दोनों ही अवस्थाओं में सहडोमेन का प्रत्येक अवयव डोमेन के किसी-न-किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R एकैकी (Injective) है।
हल:
यहाँ f : R → R, f(x) = x³
x₁, x₂ ∈ R (डोमेन)
तब f(x₁³) = (x₂³)
⇒ x₁ = x₂
∴ f एकैकी (Injective) है।

प्रश्न 6.
दो फलनों f: N → Z तथा g:Z → Z के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि gof एकैकी है परन्तु एकैकी नहीं है। (संकेत : f(x) = x तथा g(x) = | x | पर विचार कीजिए 1)
हल:
यहाँ f: NZ तथा g = Z→ Z
अब f(x) = – x, x ∈ N (डोमेन)
तथा g(x) = |x|, x ∈ Z
माना x₁, x₂∈ Z (g का डोमेन)
तब g(x₁) = g(x₂) ⇒ |x₁|= |x₂|
⇒ x₁ = x₂ या x₁ = -x₂ [∵ |-x₂| = x₂]
x₁ ≠ x₂
g एकैकी नहीं है।
उदाहरणार्थ, g(1) = [1] = 1
तथा g (- 1) = | – 1 | = 1
अर्थात् 1 तथा 1 का g – प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ g एकैकी नहीं है।

gof एकैकी है:
gof = N → Z
माना x₁, x₂2 ∈ N (gof का डोमेन)
∴ (gof) (x₁) = (gof) (x₂)
⇒ g[(x₁)] = g[ (x₂)]
⇒ g(x₁) = g(-x₂) (∴ f(x) = – x)
|- x₁| = |- x₂|
|x₁| = |x₂|
x₁ = x₂ (∴ x₁, x₂ ∈ N)
∴ gof एकैकी है।
अत: f(x) = x तथा = g (x) = |x|

प्रश्न 7.
दो फलनों f: N → N तथा g : N → N दीजिए, जो इस प्रकार हों कि gof आच्छादक है किन्तु आच्छादक नहीं है।
[ संकेत : f(x) = x + 1 तथा  
हल:
यहाँ f: N → N तथा g : N → N
अब f(x) = x + 1, x ∈ N (डोमेन)
तथा
f(x₁) = f(x₂)
x₁ + 1 = x₂ + 1
⇒ x₁ = x₂
∵ f एकैकी है।
f के आच्छादक के लिए,
माना y ∈ N (सहडोमेन) इस प्रकार है कि
f(x) = y
y = x + 1 ⇒ x = y – 1
यदि x > 1 1, यदि x = 1
y = 1 के लिए,
x = 0 ∉ N (डोमेन)
अर्थात् सहडोमेन N का अवयव 1 डोमेन के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f का परिसर ⊂ N (सहडोमेन) [यहाँ x = 1, तब (1) = 1 + 1 = 2 ∈ N]
∴ f आच्छादक नहीं है।
अब gof आच्छादक के लिए,
यहाँ g(x) = \(\left\{\begin{array}{c}
x-1, x>1 \\
1, \quad x=1
\end{array}\right.\)
माना
y ∈ N (gof का डोमेन) इस प्रकार है कि
y = (gof) (x)
= g[f(x)] = g (x + 1)
⇒ = x + 1 – 1 = x ∈ N (डोमेन)
जब y = 1, तब x = 1
∴ gof आच्छादक है।

प्रश्न 8.
एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए । निम्नलिखित तरह से P(X) में एक सम्बन्ध R परिभाषित कीजिए :
P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए ARB, यदि और केवल यदि
A⊂ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता सम्बन्ध है ? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
हल:
(i) यहाँ A ⊂A ⇒ R स्वतुल्य है।
(ii) A⊂B ≠ B⊂A ⇒ R सममित नहीं है।
(iii) A⊂ B, B ⊂ C ⇒ A⊂C ⇒ R संक्रमक है।
अतः R तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।

प्रश्न 9.
किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए एक द्विआधारी संक्रिया * : P(x) × P(x) → P( पर विचार कीजिए जो A * B = A ∩ B, ∀A, B ∈ P(X) द्वारा परिभाषित है, जहाँ P(X) समुच्चय X का घात समुच्चय (Power set) है। सिद्ध कीजिए * कि इस संक्रिया का तत्समक अवयव X है तथा संक्रिया के लिए P(X) में केवल X व्युत्क्रमणीय अवयव है।
हल:
प्रश्नानुसार,
* : P(X) × P(X) → P(X)
तथा A*B = A∩B
∴ X*A = X∩A = A, ∀ A ∈ P(X)
इसी प्रकार A*X = A∩X = A
∴ X एक तत्समक अवयव है तथा व्युत्क्रमणीय है। मान / एक दूसरा तत्समक अवयव है,
∴ I ∩ A = A, ∀A ∈ P(X)
तथा x ∈ X, Y ∩ {x} = {x}
⇒ x ∈ I
⇒ X ∈ I तथा I ⊂ x
∴ I = X
∵ संक्रिया के लिए X ही तत्समक अवयव है।
अत: संक्रिया * के लिए P(X) में केवल X व्युत्क्रमणीय अवयव है।

प्रश्न 10.
समुच्चय {1, 2, 3,, n } से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
माना A = {1, 2, 3,……, n}
तथा B = {1, 2, 3,……, n}
समुच्चय B का प्रत्येक अवयव समुच्चय 4 में किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
इस प्रकार A तथा B के अवयवों में सम्बन्ध
n(n – 1) (n-2) 3.2.1. = n !
प्रकार से हो सकता है
अतः
कुल आच्छादक फलनों की संख्या n ! होगी।

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि S = {a, b, c} तथा T = {1, 2, 3} है। S से T तक के निम्नलिखित फलनों F के लिए F-1 ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है :
(i) F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
(ii) F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}.
हल :
(i) F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
अर्थात् F(a) = 3, F(b) = 2, F(c) = 1
∵ F_-1(3) = a, FF_-1(2) = b, F_-1(1) = c
∵ F_-1 = {(3, a ), ( 2, b), (1, c)}.

(ii) F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1 ) }
यहाँ F(b) = 1 तथा F(c) = 1
अतः b तथा c का प्रतिबिम्ब समान है।
∵ F एकैकी नहीं है। [3, किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है ]
∵ F आच्छादक नहीं है।
∵ F एकैकी आच्छादक नहीं है।
∵ F व्युत्क्रमणीय नहीं है।
अतः F_-1 का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 12.
a*b = | ab | तथा aob = a ∀ a, b ∈ R द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं * :R ×,R → R तथा o :R×R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि क्रम-विनिमेय है परन्तु साहचर्य नहीं है, 0 साहचर्य है परन्तु क्रम-विनिमेय नहीं है। पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी a, b, c ∈ R के लिए a* (boc) = (a*b)o(a*c) है। यदि ऐसा होता है तो हम कहते हैं कि संक्रिया संक्रिया ० पर वितरित (distributes) होती है।] क्या संक्रिया संक्रिया पर वितरित होती है ? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए ।
हल:
प्रश्नानुसार,
a*b = | a- b | और aob = a
अतः * क्रम-विनिमेय संक्रिया है।
(b) (a*b) *c = | a – b |*c = | | ab | – c |
और a*(b*c) = a*| b− c|= |a−| b – c | |
स्पष्टतः | | a-b 1-c | ≠ | a – | b-c | |
⇒ (a*b)*c ≠ a* (b*c)
अतः * साहचर्य संक्रिया नहीं है।
इस प्रकार * क्रम-विनिमेय है परन्तु साहचर्य नहीं है।

(ii) (a) aob = a, boa = b ⇒ a ≠ b
aob ≠ boa
अतः o क्रम – विनिमेय संक्रिया नहीं है।
(b) (aob)oc = aoc = a
और ao(boc) = aob = a
⇒ (aob)oc = ao(boc)
अतः o साहचर्य है।
इस प्रकार ० साहचर्य है परन्तु क्रम-विनिमेय नहीं है।

(iii) सिद्ध करना है:
a*(boc) = (a*b)o(b*c)
L.H.S.= a*(boc) = a*b= | a – b |
(∵ boc b, a*b= | a – b |)
R.H.S. = (a*b)o(b*c)
= | a – b | o | b – c |
= | a – b |
∵ L.H.S. = R.H.S.
अतः a*(boc) = (a*b)o(b*c).

(iv) अतः ao(b*c) = ao(b − c) = a
(aob)*(aoc) = a*a = | a – a | = | 0 |= 0
∵ a ≠ 0
ao(b*c) ≠ (aob)*(aoc)
अतः संक्रिया o संक्रिया * पर वितरित नहीं होती ।

प्रश्न 13.
किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय X के लिए मान लीजिए कि * : P(X) × P(X) → P(X), जहाँ A*B = (A – B) ∪ (B – A), ∀A, B ∈ P(X), द्वारा परिभाषित है । सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय Φ, संक्रिया * का तत्समक है तथा P(X) के समस्त अवयव A व्युत्क्रमणीय हैं, इस प्रकार कि A^-1 = A.

प्रश्न 14.
निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय {10, 1, 2, 3, 4, 53} में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए-

सिद्ध कीजिए कि शून्य (0) इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव a ≠ 0 व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि 6 – a; a का प्रतिलोम है। (CBSE 2011)
हल:
यहाँ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} या

(i) माना तत्समक अवयव है, तब
a*e = e*a = a
यदि e = 0, तब
a*e = a + 0 = a
e*a = 0 + a = a
∵ a*e = e*a = a
∵ 0 तत्समक अवयव है।

(ii) माना a का प्रतिलोम b है, तब a*b = b*a = e
अब a* (6 – a) = a + (6 – a ) – 6
= a + 6 – a – 6 = 0
तथा (6 – a) *a = (6 – a ) + a – 6 = 0
∵ a* (6 – a) = (6 – a)*a = 0
अतः A के प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम 6 – a है।

प्रश्न 15.
मान लीजिए कि A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 4, – 2, 0, 2} और fg: A →B, क्रमशः
f(x) = x₂ – x, x ∈ A तथा g(x)
= 2| \(x-\frac{1}{2}\) | – 1, x ∈ A द्वारा परिभाषित फलन हैं। क्या f तथा g समान हैं ? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(संकेत: नोट कीजिए कि दो फलन : → B तथा g : → B समान कहलाते हैं यदि f(a) = g(a) ∀ a ∈ A हो।)
हल:
यहाँ
तथा
A = {1, 0, 1, 2}
B = {-4, -2, 0, 2}
fg: A → B
f(x) = x²-x, ∀ x ∈ A

∵ प्रत्येक a ∈ A के लिए
f(a) = g(a)
∵ फलन तथा g समान हैं।

प्रश्न 16.
यदि A = {1, 2, 3} हो तो ऐसे सम्बन्ध जिनमें अवयव (1, 2) तथा (1, 3) हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किन्तु संक्रमक नहीं है, की संख्या है :
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4.
हल:
यहाँ A = {1, 2, 3}
वह सम्बन्ध जिसमें (1, 2) और (1, 3) हों तथा सम्बन्ध स्वतुल्य व सममित हों तथा संक्रामक न हो
{(1, 2), (1, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 1)}
∵ ऐसा एक ही सम्बन्ध है ।
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 17.
यदि 4 = {1, 2, 3} हो तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या है:
(A) 1 हल: यहाँ
(B) 2
(C) 3
(D) 4.
A = {1, 2, 3}
तुल्यता सम्बन्ध जिसमें (1, 2) सम्मिलित हो ऐसे 2 सम्बन्ध हो सकते हैं।
अतः विकल्प (B) सही है ।

प्रश्न 18.
मान लीजिए कि f: R → R है तब निम्न प्रकार से परिभाषित चिह्न फलन (signum function) है :

तथा g : R → R, g(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन है, जहाँ [x] x से कम या x के बराबर पूर्णांक है, तो क्या fog तथा gof, अन्तराल [0, 1] में सम्पाती (coincide) हैं ?
हल:
यहाँ f: R → R जो

तथाg : R → R; g(x) = [x]
∵ x ∈ [0, 1], f(x) = 1, g(x) = 0
gof(x) = g(f(x)) = g(1) = 1
तथा fog(x) = f(g(x)) = 1(0) = 0
इस प्रकार fog ≠ gof
अतः fog तथा gof अन्तराल [0, 1] में सम्पाती नहीं हैं।

प्रश्न 19.
समुच्चय (a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है:
(A) 10
(B) 16
(C) 20
(D) 8
हल :
यहाँ समुच्चय (a, b} में दो अवयव हैं।
अतः द्विआधारी संख्याओं की संख्या
=2²² = 2⁴ = 16
अत: विकल्प (B) सही है।