These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.2 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.2
प्रश्न 1.
\(\left| \begin{matrix} x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c \end{matrix} \right|\) = 0
हल:
माना ∆ = \(\left| \begin{matrix} x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c \end{matrix} \right|\)
संक्रिया C1 → C1 + C2 से,
∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
x+a & a & x+a \\
y+b & b & y+b \\
z+c & c & z+c
\end{array}\right|\) = 0
= R.H.S. (C) तथा C3 सर्वसम हैं)
प्रश्न 2.
\(\left| \begin{matrix} a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c \end{matrix} \right| =0\)
हल
माना = ∆ \(\left|\begin{array}{lll}
a-b & b-c & c-a \\
b-c & c-a & a-b \\
c-a & a-b & b-c
\end{array}\right|\)
संक्रिया C1→ C1 + C2 + C3 से,
∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
a-b+b-c+c-a & b-c & c-a \\
b-c+c-a+a-b & c-a & a-b \\
c-a+a-b+b-c & a-b & b-c
\end{array}\right|\)
= \(\left|\begin{array}{lll}
0 & b-c & c-a \\
0 & c-a & a-b \\
0 & a-b & b-c
\end{array}\right|\) = 0 = R.H.S.
(∵ C1) के सभी अवयव शून्य हैं)
प्रश्न 3.
\(\left| \begin{matrix} 2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86 \end{matrix} \right| =0\)
हल:
माना ∆ \(\left| \begin{matrix} 2 & 7 & 65 \\ 3 & 8 & 75 \\ 5 & 9 & 86 \end{matrix} \right| =0\)
संक्रिया C3 → C3 – C1 – 9C2 से,
∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
2 & 7 & 65-2-63 \\
3 & 8 & 75-3-72 \\
5 & 9 & 86-5-81
\end{array}\right|\)
= \(\left|\begin{array}{lll}
2 & 7 & 0 \\
3 & 8 & 0 \\
5 & 9 & 0
\end{array}\right|\) = 0 = R.H.S.
(∵ C3) के सभी अवयव शून्य हैं)
प्रश्न 4.
\(\left| \begin{matrix} 1 & bc & a(b+c) \\ 1 & ca & b(c+a) \\ 1 & ab & c(a+b) \end{matrix} \right| =0\)
हल:
प्रश्न 5.
\(\left| \begin{matrix} b+c & q+r & y+z \\ c+a & r+p & z+x \\ a+b & p+q & x+y \end{matrix} \right| =2\left| \begin{matrix} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z \end{matrix} \right| \)
हल:
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके प्रश्न 6 से 14 तक को सिद्ध कीजिए :
प्रश्न 6.
\(\left| \begin{matrix} 0 & a & -b \\ -a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{matrix} \right| =0\)
हल:
प्रश्न 7.
\(\left| \begin{matrix} { -a }^{ 2 } & ab & ac \\ ba & { -b }^{ 2 } & bc \\ ac & cb & { -c }^{ 2 } \end{matrix} \right| ={ 4a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 }\)
हल:
प्रश्न 8.
(i) \(\left| \begin{matrix} 1 & a & { a }^{ 2 } \\ 1 & b & { b }^{ 2 } \\ 1 & c & { c }^{ 2 } \end{matrix} \right| =(a-b)(b-c)(c-a)\)
(ii) \(\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ { a }^{ 3 } & { b }^{ 3 } & { c }^{ 3 } \end{matrix} \right| =(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)
हल:
प्रश्न 9.
\(\left| \begin{matrix} x & x^{ 2 } & yx \\ y & { y }^{ 2 } & zx \\ z & { z }^{ 2 } & xy \end{matrix} \right| =(x-y)(y-z)(z-x)(xy+yz+zx)\)
हल:
प्रश्न 10.
(i) \(\left| \begin{matrix} x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4 \end{matrix} \right| =(5x+4){ (4-x) }^{ 2 }\)
(ii) \(\left| \begin{matrix} y+x & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k \end{matrix} \right| ={ k }^{ 2 }(3y+k) \)
हल:
प्रश्न 11.
(i) \(\left| \begin{matrix} a-b-c & \quad 2a & \quad 2a \\ 2b & \quad b-c-a & \quad 2b \\ 2c & 2c & \quad c-a-b \end{matrix} \right| ={ (a+b+c) }^{ 3 } \)
(ii) \(\left| \begin{matrix} x+y+2z & \quad z & \quad z \\ x & \quad y+z+2x & \quad x \\ y & y & \quad z+x+2y \end{matrix} \right| ={ 2(x+y+z) }^{ 3 } \)
हल:
प्रश्न 12.
\(\left| \begin{matrix} 1 & \quad x & { \quad x }^{ 2 } \\ { x }^{ 2 } & \quad 1 & x \\ x & { \quad x }^{ 2 } & 1 \end{matrix} \right| ={ { (1-x }^{ 3 }) }^{ 2 } \).
हल:
प्रश्न 13.
\(\left| \begin{matrix} 1+{ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } & \quad 2ab & \quad -2b \\ 2ab & \quad 1-{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } & \quad 2a \\ 2b & \quad -2a & \quad 1-{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \end{matrix} \right| ={ (1+{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }) }^{ 3 } \)
हल:
प्रश्न 14.
\(\left| \begin{matrix} { a }^{ 2 }+1 & \quad ab & \quad ac \\ ab\quad & \quad b^{ 2 }+1 & \quad bc \\ ca\quad & \quad cb & \quad { c }^{ 2 }+1 \end{matrix} \right| =1+{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } \)
प्रश्न संख्या 15 तथा 16 में सही उत्तर चुनिए-
प्रश्न 15.
यदि एक 3 x 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो | kA | का मान होगा-
(A) k| A |
(B) 12 | 4 |
(C) 3 | 4 |
(D) 3k | A |.
हल:
माना A = \(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|\)
⇒ kA = k \(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|\)
⇒ kA = \(\left|\begin{array}{lll}
k a_1 & k b_1 & k c_1 \\
k a_2 & k b_2 & k c_2 \\
k a_3 & k b_3 & k c_3
\end{array}\right|\)
प्रत्येक पंक्ति से उभयनिष्ठ लेने पर,
| kA | = k3 \(\left|\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right|\) = k3 =| A |
अत: विकल्प (C) सही है।
प्रश्न 16.
निम्नलिखित में कौन-सा कथन सही है-
(A) सारणिक एक वर्ग आव्यूह है
(B) सारणिक एक आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है
(C) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
विकल्प (C) सही है।