NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि A = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) हो तो दिखाइए कि सभी n ∈ N के लिए (al + bA)ⁿ = aⁿI + na^n-1bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
हल :
L.H.S. (al + b)ⁿ


∴ (aI + b A)ⁿ=aⁿ I + na^n-1b A .

प्रश्न 2.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) तो सिद्ध कीजिए कि
Aⁿ = \(\left[\begin{array}{lll}
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1}
\end{array}\right]\) n ∈N
हल :
माना
P(n) = A^{n = \(\left[\begin{array}{lll}
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1}
\end{array}\right]\)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\)}P(n) = A^{n = \(\left[\begin{array}{lll}
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1} \\
3^{n-1} & 3^{n-1} & 3^{n-1}
\end{array}\right]\)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\)}

(i) में n = 1 रखने पर,
P(1) = A¹ \(\left[\begin{array}{lll}
3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\
3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1} \\
3^{1-1} & 3^{1-1} & 3^{1-1}
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{lll}
3^0 & 3^0 & 3^0 \\
3^0 & 3^0 & 3^0 \\
3^0 & 3^0 & 3^0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]=A\)
अत: कथन P (x), n=1 के लिए सत्य है। माना कथन = के लिए सत्य है, अर्थात्

∴ कथन P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है, जब कभी यह n = k के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त के अनुसार दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांक n ∈ N के लिए सत्य है।

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{array}\right]\), तो सिद्ध कीजिए कि
Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
1+2 n & -4 n \\
n & 1-2 n
\end{array}\right]\), जहाँ एक धनात्मक पूर्णांक है।
हल :

∴ कथन P(n), n=k + 1 के लिए भी सत्य है, जब कभी यह n = k के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त के अनुसार दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांक n ∈ N के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:
प्रश्नानुसार, A तथा B सममित आव्यूह हैं।
अतः A’ = A तथा B’ = B
(AB – BA)’ = (AB)’ – (BA)’ [∵ (X-Y) – X’ – Y]
= B’A’ – A’B’ [∵ (XY) = Y’X’ ]
= BA – AB’ (∵ A’ = A, B’ = B)
= – (AB – BA ) = विषम सममित
अतः (AB – BA) विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह BAB सममित अथवा विषम सममित है यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
हल:
(i) माना A सममित आव्यूह है, तब
A’ = (-A)
∴ (B’AB)’ = (B'(AB))’
= (AB)’ (B’)’
(आव्यूहों के साहचर्य नियम से)
⇒ (B’AB)’= (AB)’B [∵ (B’) B’]
⇒ (B’AB)’= B’A’B [∵ (AB) = B’A’]
⇒ (B’AB)’= B’A’B [∵ A = A’ ]
⇒ (BAB) सममित आव्यूह है।

(ii) माना A विषम सममित आव्यूह है।
A’ – A
अब (B'(AB))’ = (AB)’ (B’)’
(B’A’)B ((B’)’ (∵ (B’) = – B)
= B(-A)B (∵ A’ = – A)
= – (B’AB)
∴ BAB विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 6.
x, y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 2 y & z \\
x & y & -z \\
x & -y & z
\end{array}\right]\) समीकरण A’A = I को सन्तुष्ट करता है।
हल:
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 7.
x के किस मान के लिए
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
2 \\
x
\end{array}\right]\) = 0 है।
हल:
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 8.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\) हो तो सिद्ध कीजिए कि A²– 5A +7I = 0 [RBSE 2017]
हल:

प्रश्न 9.
यदि \(\left[\begin{array}{lll}
x & -5 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
4 \\
1
\end{array}\right]\) = [0]
है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्नानुसार,

प्रश्न 10.
एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ x y तथा z का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है:

(a) यदि x) तथा z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः ₹2-50, ₹1.50 तथा ₹1.00 है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय ( Revenue) आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
(b) यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (cost) क्रमश: ₹2-00, ₹1-00 तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (Gross profit) ज्ञात कीजिए।
हल:
वस्तुओं की वार्षिक बिक्री निम्नलिखित है:

उपर्युक्त सूचना को आव्यूह रूप में लिखने पर,
\(\left[\begin{array}{rrr}
10000 & 2000 & 18000 \\
6000 & 20000 & 8000
\end{array}\right]\)
उत्पादन x, y, z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमशः ₹ 2-50, ₹ 1-50 तथा ₹ 100 है। इसे आव्यूह रूप में लिखने पर,
\(\left[\begin{array}{l}
2.50 \\
1.50 \\
1.00
\end{array}\right]\)
(a) दोनों बाजारों की आय दोनों आव्यूहों के गुणनफल से प्राप्त होगी।
अतः
\(\left[\begin{array}{rrr}
10000 & 2000 & 18000 \\
6000 & 20000 & 8000
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
2 \cdot 50 \\
1 \cdot 50 \\
1 \cdot 00
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{l}
10000 \times 2 \cdot 00+2000 \times 1 \cdot 00+18000 \times 0 \cdot 50 \\
6000 \times 2 \cdot 00+20000 \times 1 \cdot 00+8000 \times 0 \cdot 50
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{r}
20000 \cdot 00+2000 \cdot 00+9000 \cdot 00 \\
12000.00+20000 \cdot 00+4000 \cdot 00
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{r}
20000+2000+9000 \\
12000+20000+4000
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
31000 \\
36000
\end{array}\right]\)
पहले बाजार का लाभ
= विक्रय मूल्य क्रय मूल्य
= 46000-31000 = ₹ 15000
दूसरे बाजार का लाभ
= 53000 – 36000 = ₹ 17000

प्रश्न 11.
आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि X \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
-7 & -8 & -9 \\
2 & 4 & 6
\end{array}\right]\) है।
हल:
प्रश्नानुसार,
X \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
-7 & -8 & -9 \\
2 & 4 & 6
\end{array}\right]\)

प्रश्न 12.
यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैंकि AB = BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।
हल:
माना P (n) = ABⁿ = BⁿA
जहाँ AB – BA
n= 1 के लिए,
P(n) = AR¹ = AB = BA
(जोकि दिया हुआ है)
∵ n = 1 के लिए कथन P(n) सत्य है।
माना कथन n = k के लिए सत्य है, अर्थात्
P (k) = AB^k = B^kA …(i)
अब हम सिद्ध करेंगे कि कथन n = k + 1 के लिए भी सत्य है। समीकरण (i) के दोनों पक्षों में B से गुणा करने पर,
L.H.S. = AB^kB = AB^k + 1
तथा R.H.S. = (B^kA)B = B^k(AB)
(आव्यूहों के गुणन साहचर्य नियम से)
= B^k (BA) ( AB = BA )
= (B^kB)A
(आव्यूहों के गुणन के साहचर्य नियम से)
= B^k +1_A
ABk+1 = Bk+1_A
(AB = BA, प्रश्नानुसार)
= कथन P(n), n = + 1 के लिए भी सत्य है ।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त के अनुसार दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांक n ∈ N के लिए सत्य है।
पुन: माना P(n) (AB)ⁿ = Aⁿ Bⁿ
n = 1 रखने पर,
P(n) : (AB)¹ = A¹B¹
AB = AB
⇒ अतः दिया गया कथन n = 1 के लिए सत्य है।
माना दिया गया कथन n = k के लिए सत्य है,
अर्थात् P(k) : (AB)^k = A^kB^k …(ii)
समीकरण (ii) के दोनों पक्षों में AB से गुणा करने पर,
L.H.S. = (AB)^k (AB) = (AB)^{k + 1}
R.H.S. = (A^kB^k) (AB) = A^kB^k (BA) (∵ AB = BA)
= A^k (B^kB)A
(आव्यूहों के गुणन के साहचर्य नियम से)
= A^k (B^k + 1A)
= Ak (AB^{k + 1}) [∵ AB^k B^kA)
= (A^kA) B^{k + 1} = A^{k + 1}B^{k + 1}
(आव्यूहों के गुणन के साहचर्य नियम से)
= (AB)^{k + 1} = A^{k + 1} B^{k + 1}
∵ दिया गया कथन P(n), n=k + 1 के लिए भी सत्य है जब कभी यह n = k के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन के सिद्धान्त के अनुसार दिया गया कथन सभी धनात्मक पूर्णांक संख्याओं n ∈ N के लिए सत्य है। निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए :

प्रश्न 13
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
\alpha & \beta \\
\gamma & -\alpha
\end{array}\right]\) इस प्रकार है कि A² = 1 तो:
a. 1 + α² + βγ = 0
b. 1 – α² + βγ = 0
c. 1 – α² – βγ = 0
d. 1 + α² – βγ = 0
हल:

प्रश्न 14.
यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है, तो:
(A) A एक विकर्ण आव्यूह है
(B) A एक शून्य आव्यूह है
(C) A एक वर्ग आव्यूह है
(D) इनमें से कोई नहीं । हल माना
हल:
A = [a_ij]
सममित आव्यूह के लिए
a_ij = a_ji …(i)
विषम सममित आव्यूह के लिए
a_ij = -a_ji…(ii)
चूँकि दिया गया आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों है। अतः यह (i) तथा (ii) को साथ-साथ सन्तुष्ट करेगा। अब समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
a_ij+a_ij= a_ji – a_ji
⇒ 2a_ij = 0
⇒ a_ij= 0
a_ij = a_ji= 0,
(सभी i तथा j के लिए)
अतः दिया गया वर्ग आव्यूह एक शून्य (Null Matrix ) आव्यूह होगा।
∵ विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 15.
यदि 4 एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A² = A, तो (I + A)³ – 7A बराबर है:
(A) A
(B) I – A
(C) I
(D) 3A.
हल:
दिया है,
A² = A
A³ = A²A = AA
= A² = A
(∵ A² = A, AA = A²)
A³ = A
अब (I + A )³ – 7A =I³ + 3I²A +3IA² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A2 + 43 – 7A
= I + 3A + 3A + A – 7A
= I + 7A – 7A
= I
अत: विकल्प (C) सही है।