These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.3 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 3 आव्यूह Ex 3.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए:
(i) \(\left[\begin{array}{r}
5 \\
\frac{1}{2} \\
-1
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 5 & 6 \\
\sqrt{3} & 5 & 6 \\
2 & 3 & -1
\end{array}\right]\)
हल:
प्रश्न 2.
यदि
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 3 \\
5 & 7 & 9 \\
-2 & 1 & 1
\end{array}\right]\)
तथा B = \(\left[\begin{array}{rrr}
-4 & 1 & -5 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
है तो सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + B)’=A’+ B’
(ii) (A – B)’=A’ – B’.
हल:
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 3 \\
5 & 7 & 9 \\
-2 & 1 & 1
\end{array}\right]\)
⇒ \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 3 \\
5 & 7 & 9 \\
-2 & 1 & 1
\end{array}\right]^{\prime}=\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 5 & -2 \\
2 & 7 & 1 \\
3 & 9 & 1
\end{array}\right]\)
प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 4 \\
-1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\)
है तो सत्यापित कीजिए कि :
(i) (A + B) = A + B
(ii) (A – B) = A – B.
हल:
प्रश्न 4.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right]\)
तथा B = \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
1 & 2
\end{array}\right]\) है, तो (A + 2B) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, A = \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right]\)
प्रश्न 5.
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (A B)=B A, जहाँ :
\((i)\quad A=\left[ \begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \end{matrix} \right] \)
\((ii)\quad A=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} \right] ,B=\left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 7 \end{matrix} \right] \)
हल:
(i) \(A=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-4 \\
3
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}
-1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)\
⇒ \(A B=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-4 \\
3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
-1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
प्रश्न 6.
(i) यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि A A’ = I.
(ii) यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
\sin \alpha & \cos \alpha \\
-\cos \alpha & \sin \alpha
\end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि A A’ = I.
हल :
(i) A = \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\)
प्रश्न 7.
(i) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A=\(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 5 \\
-1 & 2 & 1 \\
5 & 1 & 3
\end{array}\right]\) एक सममित आव्यूह है।
(ii) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A=\(\left[\begin{array}{rrr}
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right]\) एक विषम सममित आव्यूह है।
हल :
प्रश्न 8.
आव्यूह A=\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 5 \\
6 & 7
\end{array}\right]\) के लिए सत्यापित कीजिए कि :
(i) (A + A’) एक सममित आव्यूह है।
(ii) (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।
हल :
(i) A= \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 5 \\
6 & 7
\end{array}\right]\)
प्रश्न 9.
यदि A=\(\left[\begin{array}{rrr}
0 & a & b \\
-a & 0 & c \\
-b & -c & 0
\end{array}\right]\) तो \(\frac{1}{2}\) (A + A’) तथा \(=\frac{1}{2}\) (A – A’) ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्न 10.
निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए :
(i) \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 5 \\
1 & -1
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{rrr}
6 & -2 & 2 \\
-2 & 3 & -1 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & 3 & -1 \\
-2 & -2 & 1 \\
-4 & -5 & 2
\end{array}\right]\)
(iv) \(\left[\begin{array}{rr}
1 & 5 \\
-1 & 2
\end{array}\right]\)
हल :
(i) माना \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 5 \\
1 & -1
\end{array}\right]\)
हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह को सममित तथा विषम सममित आव्यूहों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
प्रश्न 11.
यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB – BA एक :
(A) विषम सममित आव्यूह है
(B) सममित आव्यूह है
(C) शून्य आव्यूह है
(D) तत्समक आव्यूह है।
हल:
आव्यूह A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं।
A’ = A, B = B
(AB – BA)’ = (AB)’ – (BA)
= B’A’ – A’B’
– BA – AB
= – (AB – BA)
= विषम सममित आव्यूह
⇒ (AB – BA) विषम सममित आव्यूह है।
अत: विकल्प (A) सही है।
प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) तो A + A ‘ = I, यदि α का मान है :
(a) \(\frac { \pi }{ 6 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) π
(d) \(\frac { 3\pi }{ 2 } \)
हल:
