NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.4

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.4

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहगुणनखण्ड लिखिए:
प्रश्न 1.
(i) \(\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}\)
(ii) \(\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}\)
हल:
(i) \(\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}\)
माना Δ = \(\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}
2 & -4 \\
0 & 3
\end{array}\right|\)
यहाँ a₁₁ = 2, a₁₂ = – 4, a₂₁ = 0, a₂₂ =3
2(a₁₁) का उपसारणिक M₁₁ = 3,
(प्रथम पंक्ति तथा प्रथम स्तम्भ को हटाने पर या R₁ तथा C₁ को हटाने मर)
2(a₁₁) का सहगुणनखण्ड A₁₁ = (1) ^{1 + 1} M₁₁ = 1 × 3 = 3
(- 4) a₁₂ का उपसारणिक M₁₂ = 0 (R) तथा C₂ को हटाने पर )
(- 4) (a₁₂) का सहगुणनखण्ड A₁₂ = (1) ^{1 + 2} M₁₂ = (- 1) × 0 = 0
0(4₂₁) का उपसारणिक M₂₁ (C) तथा R₂ को हटाने पर)
0 (a₂₁) का सहगुणनखण्ड A₂₁ = (- 1) ^{2 + 1} M₂₁ = (- 1) ( – 4 ) = 4
3(a₂₂) का उपसारणिक M₂₂ = 2(R₂ तथा C₂ को हटाने पर )
3(a₂₂) का सहगुणनखण्ड A₂₂ = (-1)^{2 + 2} M₂₂ =(-1)⁴ × 2 = 2

(ii) \(\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}\)
माना Δ \(\left|\begin{array}{ll}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}
a & c \\
b & d
\end{array}\right|\)
यहाँ a₁₁ = a, a₁₂ = c, a₂₁ = b, a₂₂ = d
a(a₁₁) का उपसारणिक M₁₁ = d(C) तथा R₁ को हटाने पर)
a(a₁₁) का सहगुणनखण्ड A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} M₁₁ = (- 1)² d = d
c(a₁₂) का उपसारणिक M₁₂ = b(R) तथा C₂ को हटाने पर)
c(a₁₂) का सहगुणनखण्ड A₁₂ = (- 1)^{1 + 2}M₁₂ = (- 1)³ b = – b
b(a₂₁) का उपसारणिक M₂₁ = c(C) तथा R₂ को हटाने पर)
b(a₂₁) का सहगुणनखण्ड A₂₁ = (1)^{2 + 1} M₂₁ = (-1)³ c =- c
d(a₂₂) का उपसारणिक M₂₂ = a(R₂ तथा C₂ को हटाने पर)
d(a₂₂) का सहगुणनखण्ड A₂₂ = (1) ^{2 + 2} M₂₂ = (- 1)⁴ a = a

प्रश्न 2.
(i) \(\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \)
(ii) \(\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} \right| \)
हल:
(i) \(\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right| \)





2(a₃₃) का सहगुणनखण्ड A₃₃ = (-1)^{3 + 3} M₃₃ = (- 1)⁶ × 5 = 5.

प्रश्न 3.
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहगुणनखण्डों का प्रयोग करके \(\Delta =\left| \begin{matrix} 5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix} \right| \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
5 & 3 & 8 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right|\)
दूसरी पंक्ति के सहगुणनखण्ड
2(a₂₁ ) का सहगुणनखण्ड (A₂₁)
A₂₁ = (-1)^{2 + 1} M₂₁
(जहाँ M₂₁, (2 = a₂₁) का उपसारणिक है)
=(-1)³ \(\left|\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= (- 1)sup>3 (3 × 3 – 2 × 8)
= (-1)sup>3 (9 – 16)=( – 7) = 7
0(a₂₂) का सहगुणनखण्ड (A₂₂)
(जहाँ M₂₁. (0 = a₂₂) का उपसारणिक है)
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} M₂₂
– (- 1)⁴ \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 8 \\
1 & 3
\end{array}\right|\)
= (5 × 3 – 1 × 8 )
= 15 – 8 = 7
1(a₂₃) का सह- गुणनखण्ड (A₂₃)
A₂₃ = (- 1)^{2 + 3}M₂₃
= (-1)⁵ \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right|\)
= -1 × (5 × 2 – 1 x 3)
= – 1 × (10 – 3) = – 7
दूसरी पंक्ति (R₂) के अनुदिश सारणिक का प्रसरण करने पर,
A = a₂₁A₂₁ + a₂₃A₂₂ + a₂₃A₂₃
=2 x 7 + 0 × 7 + 1x (- 7)
= 14 – 7 = 7

प्रश्न 4.
तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहगुणनखण्डों का प्रयोग
करके ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & y z \\
1 & y & z x \\
1 & z & x y
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∆ \(\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1 & x & y z \\
1 & y & z x \\
1 & z & x y
\end{array}\right|\)
यहाँ a₁₃ = yz, a₂₃ = 2x, a₃₃= xy
yz (a₁₃) का सहगुणनखण्ड
A₁₃ = (-1)^{1 + 3} \(\left|\begin{array}{ll}
1 & y \\
1 & z
\end{array}\right|\)
= (- 1)⁴ (1 × 2 – 1 × y)
= (z – y)
zx (a₂₃) का सहगुणनखण्ड
A₂₃ = (-1) ^{2 + 3} \(\left|\begin{array}{ll}
1 & x \\
1 & z
\end{array}\right|\)
=(-1) (1 × z – 1 × x)
=(-1) (z – x) = x – z
-xy (a33) का सहगुणनखण्ड
A₃₃(-1)3 + 3 \(\left|\begin{array}{ll}
1 & x \\
1 & y
\end{array}\right|\)
=(-1)⁶ (1 × y – 1 × x)
=(y – x)
सारणिक के तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहगुणनखण्डों के प्रयोग
∆ = a₁₃A₁₃+ a₂₃A₂₃ + а₃₃A₃₃
=yz × (z− y) + zx(- 1) (z −x) + xy(y – x)
=yz² – y²z – z²x + zx² + xy² – x²y
= – (y²z − yz²) + x(y² – z²) – x²(y – z)
=-yz(y – z) + x(y – z) (y + z) – x²(y – z)
=(y – z) {-yz + xy + xz – x²}
=(y – z) {xz – x² – yz + xy}
= (v – z) {x(z – x) – y(z – x)}
= (v – z) ((z – x) (x – y)}
= (x – y) (y – z) (z – x)

प्रश्न 5.
यदि A = \(\Delta =\left| \begin{matrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{matrix} \right| \) और Ajj का सहगुणनखण्ड हो तो ∆ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:
(a) a₁₁A₃₁ + a₁₂A₃₂ + a₁₃A₃₃
(b) a₁₁A₁₁ + a₁₂A₂₁ + a₁₃A₃₁
(c) a₂₁A₁₁ + a₂₂A₁₂ + a₂₃A₁₃
(d) a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + a₃₁A₃₁
हल:
सारणिक का मान (∆)
= किसी पंक्ति (या स्तम्भ) के अवयवों तथा उनके संगत सहगुणनखण्डों के गुणनफल का योग
प्रथम स्तम्भ C के अवयव (a₁₁, a₂₁, a₃₁)
a₁₁ का सहगुणनखण्ड = A₁₁
a₂₁ का सहगुणनखण्ड = A₂₁
a₃₁ का सहगुणनखण्ड = A₃₁
∴ ∆ = a₁₁A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁A₃₁
अत: विकल्प (D) सही है।