NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.5

These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.5 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.

NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.5

प्रश्न 1 और 2 के प्रत्येक आव्यूह का सहखण्डज (adjoint) ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]\)
हल:
माना A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right]\)
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो
A₁₁ = (-1)^{1 + 1} |4|= 4
A₁₂ = (-1)^{1 + 2} |3|= -3
A₂₁ = (-1)^{2 + 1} |2|= -2
A₂₂ = (-1)^{2 + 2} |1|= 1
A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
A = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
4 & -3 \\
-2 & 1
\end{array}\right]\)
∴ adj. A = B का परिवर्त आव्यूह
⇒ adj. A = \(\bar { E }\)
∴ adj. A = \(\bar { E }\)

प्रश्न 2.
\(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 2 \\
2 & 3 & 5 \\
-2 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
\(\hat{∩}\)
हल:
माना A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 2 \\
2 & 3 & 5 \\
-2 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो
A₁₁ = (-1)^{1 + 1} \(\left|\begin{array}{ll}
3 & 5 \\
0 & 1
\end{array}\right|\)
= 3 x 1 – 0 x 5 = 3
A₁₂ = (-1)^{1 + 2}\(\left|\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
-2 & 1
\end{array}\right|\)
= (-1){ 2 x 1 – (-2) x 5}
= (-1)( 2 + 10) = -12

A₁₂ = (-1)^{1 + 3}\(\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
-2 & 0
\end{array}\right|\)
= 2 x 0 – (-2) x 3
= 0 + 6 = 6

A₂₁ = (-1)^{1 + 3}\(\left|\begin{array}{ll}
-1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right|\)
= (-1)(-1 × 1 – 0 × 2)
= (- 1).(-1)= 1

A₂₂ = (-1)^{2 + 2} \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
-2 & 1
\end{array}\right|\)
1 x 1 -(-2) × 2
= 1 + 4 = 5

A₂₃ = (-1)^{2 + 3} \(\left|\begin{array}{ll}
1 & -1 \\
-2 & 0
\end{array}\right|\)
= (-1) {1 × O – (-2) × (-1)}
= (- 1) (-2) = 2

A₃₁ = (-1)^{3 + 1} \(\left|\begin{array}{ll}
-1 & 2 \\
3 & 5
\end{array}\right|\)
= -1 x 5 – 3 × 2
= -5 -6 = – 11
A₃₂ = (-1)^{3 + 1} \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 5
\end{array}\right|\)
= (-1) (1 × 5 – 2 × 2)
= (-1) (5 – 4)= -1

A₃₃ = (-1)^{3 + 3} \(\left|\begin{array}{ll}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= 1 x 3 – 2(-1) = 3 + 2 = 5
∴ A के अवयवो के संगत सहगुणनखण्ड का आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{lll}
A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
A_{31} & A_{32} & A_{33}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}
3 & -12 & 6 \\
1 & 5 & 2 \\
-11 & -1 & 5
\end{array}\right]\)
∴ adj. A = B का परिवर्त आव्यूह
⇒ adj. A = \(\left[\begin{array}{ccc}
A_{11} & A_{21} & A_{31} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33}
\end{array}\right]\)
∴ adj. A = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & 1 & -11 \\
-12 & 5 & -1 \\
6 & 2 & 5
\end{array}\right]\)

प्रश्न 3 तथा 4 में सत्यापित कीजिए कि A(adj.A) = (adj.A)A = |A| I है।
प्रश्न 3.
\(\left[\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
-4 & -6
\end{array}\right]\)
हल:
माना A = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
-4 & -6
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक |A|,
|A| = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
-4 & -6
\end{array}\right]\)
= 2 × (-6) – (-4) × 3
= -12 + 12 = 0
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो
A₁₁ = (-1)^{1 + 1}(-6) = -6
A₁₂ = (-1)^{1 + 2}(-4) = 4
A₂₁ = (-1)^{2 + 1}(3) = -3
A₂₂ = (-1)^{2 + 2}(2) = 2
∴ A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
-6 & 4 \\
-3 & 2
\end{array}\right]\)
∴ adj. A = B का परिवर्त आव्यूह
adj. A = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
-6 & -3 \\
4 & 2
\end{array}\right]\)
अब A (adj. A) = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
-4 & -6
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}
-6 & -3 \\
4 & 2
\end{array}\right]\)

(1) तथा (2) से,
A(adj. A) = (adj. A) A = |A| I
टिप्पणी : |A| I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
= \(\left[\begin{array}{cc}
0 \times 1 & 0 \times 0 \\
0 \times 0 & 0 \times 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)

प्रश्न 4.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{matrix} \right]\)
हल:

प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूह के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 5.
\(\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)
हल:
माना A = \(\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)
| A | = \(\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\)
= 2 × 3 – 4 × ( – 2) = 6 + 8 = 140
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है। अतः A^-1 का अस्तित्व है। यदि A में aij का सहगुणनखण्ड A हो तो
A₁₁ = (-1)^{1 + 1} | 3 | = 3
A₁₂ = (-1) ^{1 + 2} | 4 | = – 4
A₂₁ – (-1) ^{2 + 1} | – 2 | = – (-2) = 2
A₂₂ = (-1) ^{2 + 2} | 2 | = 2
A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
3 & -4 \\
2 & 2
\end{array}\right]\)
∴ adj. A = B का परिवर्त आव्यूह
⇒ adj. A = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
3 & 2 \\
-4 & 2
\end{array}\right]\)
⇒ adj. A = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 2 \\
-4 & 2
\end{array}\right]\)
∴ A^-1 \(\left[\begin{array}{rr}
3 & 2 \\
-4 & 2
\end{array}\right]\)
∴ A^-1 \(\frac{1}{|A|}\) adj. A
∴ A^-1 \(\frac{1}{14}\left[\begin{array}{rr}
3 & 2 \\
-4 & 2
\end{array}\right]\) या \(\left[\begin{array}{rr}
\frac{3}{14} & \frac{2}{14} \\
-\frac{4}{14} & \frac{2}{14}
\end{array}\right]\)
(∵ | A | = 14)

प्रश्न 6.
\(\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}\)
हल:
माना A = \(\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}\)
आव्यूह A का सारणिक | A |
| A | = \(\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}\)
1 × 2-(-3) × 5
2 + 15 = 13 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है अर्थात् A^-1 का अस्तित्व है।
यदि A में aij का सहगुणनखण्ड Ajj हो तो
A₁₁ = (1)11 (2) = 2
A₁₂ = (-1)+2 (-3) =-(-3) = 3
A₂₁ = (1) 2+1 (5)=- 5
A₂₂ = (-1) 2 + 2 (-1)= – 1
A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
-5 & -1
\end{array}\right]\)
∴ adj. A = B का परिवर्त आव्यूह
⇒ adj. A = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
-5 & -1
\end{array}\right]\)
अब A^-1 = \(\frac{1}{|A|}\) (adj. A)
= \(\frac{1}{13}\left[\begin{array}{rr}
2 & -5 \\
3 & -1
\end{array}\right]\) (∵ | A | = 13)

प्रश्न 7.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right]\)
हल:
माना A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix} \right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |

प्रश्न 8.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{matrix} \right]\)
हल :
माना A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{matrix} \right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |
| A | = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & -1 \end{matrix} \right]\)

प्रश्न 9.
\(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{matrix} \right]\)
हल :
माना A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{matrix} \right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |
| A | = \(\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & -1 & 0 \\ -7 & 2 & 1 \end{matrix} \right]\)

प्रश्न 10.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{matrix} \right]\)
हल :
माना A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{matrix} \right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |
| A | = \(\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 4 \end{matrix} \right]\)

प्रश्न 11.
\(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha & sin\alpha \\ 0 & sin\alpha & -cos\alpha \end{matrix} \right] \)
हल :
माना A = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha & sin\alpha \\ 0 & sin\alpha & -cos\alpha \end{matrix} \right] \)
आव्यूह A का सारणिक | A |
| A | = \(\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\alpha & sin\alpha \\ 0 & sin\alpha & -cos\alpha \end{matrix} \right] \)
1{cos α (cos a) – sin α (sin α)} – 0 + 0
= – cos² α – sin² α
– (- cos² α – sin² α)
| A | = -1 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है अर्थात् A^-1 का अस्तित्व है। यदि A में ajj का सहगुणनखण्ड Aj हो तो
A₂ = (-1)^{1 + 1} \(\left|\begin{array}{rr}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\sin \alpha & -\cos \alpha
\end{array}\right|\)
= cos α (- cos α) – sin α (sin α)
= – cos² α- sin² α
= – (cos² α + sin² α) = -1

प्रश्न 12.
यदि A \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 7 \\
2 & 5
\end{array}\right]\) और B=\(\left[\begin{array}{ll}
6 & 8 \\
7 & 9
\end{array}\right]\) है तो सत्यापित कीजिए कि (AB)^-1 = B^-1A^-1 है।
हल :
माना A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 7 \\
2 & 5
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left[\begin{array}{ll}
6 & 8 \\
7 & 9
\end{array}\right]\)
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है, अर्थात् A^-1 का अस्तित्व है। यदि A में aij का सहगुणनखण्ड A aij हो तो
A₁₁ = (-1)^{1 + 1}(5) = 5
A₁₂ = (-1)^{1 + 2}(2) = – 2
A₂₁ = (-1)^{2 + 1}(7) =- 7
A₂₂ = (-1)^{2 + 2} 3 = 3
अत: A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यह
P = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
5 & -2 \\
-7 & 3
\end{array}\right]\)
∴ adj. A = p’



समीकरण (1) तथा (2) से,
(AB)^-1= B^-1A^-1.

प्रश्न 13.
यदि A = \(A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \) है तो दर्शाइए कि A² – 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1. ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया हुआ आव्यूह A = \(A=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)

प्रश्न 14.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right]\) के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A² + aA + bI = 0 हो ।
हल:
दिया गया आव्यूह
A = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right]\)
∴ A² = AA = \(\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right]\)

11 + 3a + b = 0 …(1)
8 + 2a = 0 …(2)
4 + a = 0 …(3)
3 + a + b = 0 …(4)
अब समीकरण (3) से,
4 + a = 0
∴ a = – 4 रखने पर,
3 + a + b = 0 में
3 – 4 + b = 0
⇒ – 1+ b = 0 ⇒ b = 1
अतः a = -4, b = 1
a = – 4, b = 1 द्वारा समीकरण 11 + 3a + b = 0 तथा 8 + 2a को हल करने पर,
11 + 3 × (-4) + 1 = 11 – 12 + 1 = 0
तथा 8 + 2 × – 4 ) = 8 – 8 = 0
अतः a तथा b समीकरण 11 + 3a + b = 0 तथा 8 + 2a = 0 को सन्तुष्ट करते हैं।

प्रश्न 15.
आव्यूह – A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -3 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\) के लिए दर्शाइएक
A³ – 6A² + 5A + 11I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 16.
यदि A= \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right]\) है तो सत्यापित कीजिए कि A³-6A²+ 9A – 4I = 0 है तथा इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया सारणिक A=\(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right]\)
∴ A²=A A

प्रश्न 17.
यदि A, 3 × 3 कोटि का आव्यूह है तो |adj A| का मान है :
(A) | A |
(B) | A |²
(C) | A |³
(D) 3| A |
हल :
यदि A, n × n कोटि का आव्यूह हो तो
|adj. A | = | A |^{n – 1}
यहाँ n=3
∴ | adj. A | = | A |^{3 – 1} = | A |²
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 18.
यदि A कोटि 2 का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A ^{– 1}) बराबर है-
(A) det |A|
(b) \(\\ \frac { 1 }{ det.(A) } \)
(c) 1
(d) 0
हल :
A, व्युत्क्रमणीय आव्यूह है, तो इसके सारणिक का मान शून्य नहीं होगा, अर्थात्
|A| ≠ 0
∴ A A ^{– 1} = I
⇒ | A A ^{– 1}| = | I | =1
या | A | | A ^{– 1} | = 1
(∴ | A B | = | A | | B |)
या | A ^{– 1} | =\(\frac{1}{|A|}\)
⇒ det(A ^{– 1}) = \(\frac{1}{det(A)}\)
अतः विकल्प (B) सही है।