NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.6

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक Ex 4.6

निम्नलिखित प्रश्नों 1 से 6 तक दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए :
प्रश्न 1.
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
हल:
दिया गया समीकरण निकाय है।
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है :
| A | = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) तथा B \(\left[\begin{array}{l}
2 \\
3
\end{array}\right]\)
अब आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
2 & 3
\end{array}\right|\)
= 1 × 3 – 2 × 2 = 3 – 4 = – 1
| A | = -1 ≠ 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत (consistent) है।

प्रश्न 2.
2x – y = 5
x + y = 4
हल:
दिया हुआ समीकरण निकाय है:
2x – y = 5
x + y = 4
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
AX = B
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) तथा B \(\left[\begin{array}{l}
5 \\
4
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right|\)
= 2 × 1 – 1 × ( – 1) = 2 + 1 = 3
अर्थात् | A | = 3 ≠ 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है।

प्रश्न 3.
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
हल:
दिया हुआ समीकरण निकाय है:
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
आव्यूह रूप में समीकरण निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
AX = B
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 6
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{l}
5 \\
8
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| 4 | = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 6
\end{array}\right|\)
= 1 × 6 – 2 × ( 3 ) = 6 – 6 = 0
| A | = 0
अर्थात् आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत (non-consistent) है।

प्रश्न 4.
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
हल:
दिया हुआ समीकरण निकाय है :
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4
को आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है :
AX = B
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
a & a & 2 a
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
4
\end{array}\right]\)
अब आव्यूह A का सारणिक | A |,
|A| = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
a & a & 2 a
\end{array}\right|=a\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 2 \\
1 & 1 & 2
\end{array}\right|\)
(तृतीय पंक्ति से a उभयनिष्ठ लेने पर)
संक्रियाओं C₂ → C₂ – C₁ तथा C₃ → C₃ – C₁ से,
| A | = a\(
= a [latex]\left\{1\left|\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right|\right\}\)
= a{1 x 1-0 × 0} = a × 1 =a ≠ 0
अत: | A | = a ≠ 0
अर्थात् व्युत्क्रमणीय है, अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है।

प्रश्न 5.
3x – y – 2z = 2
2y – z = – 1
3x – 5y = 3
हल:
दिया हुआ समीकरण निकाय है :
3x – y – 2z = 2
2y – z = – 1
3x – 5y = 3
उपर्युक्त समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -1 & -2 \\
0 & 2 & -1 \\
3 & -5 & 0
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{r}
2 \\
-1 \\
3
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{rrr}
3 & -1 & -2 \\
0 & 2 & -1 \\
3 & -5 & 0
\end{array}\right|\)
=3{2 × 0 – (- 5) × (− 1)} +1 {0 × 0 – 3 × (- 1)} – 2{0x (- 5) – 3 × 2}
= 3(- 5) + 1(3) -2( – 6)
= 15 + 3 + 12 = 0
⇒ | A | = 0
अर्थात् आव्यूह A अव्युत्क्रमणीय है।
अतः दिया गया समीकरण निकाय असंगत है।

प्रश्न 6.
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z
हल:
दिया हुआ समीकरण निकाय है:
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z
उपर्युक्त समीकरण निकाय को आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{rrr}
5 & -1 & 4 \\
2 & 3 & 5 \\
5 & -2 & 6
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{r}
5 \\
2 \\
-1
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A |= \(\left|\begin{array}{rrr}
5 & -1 & 4 \\
2 & 3 & 5 \\
5 & -2 & 6
\end{array}\right|\)
= 5 \(\left|\begin{array}{rr}
3 & 5 \\
-2 & 6
\end{array}\right|-(-1)\left|\begin{array}{ll}
2 & 5 \\
5 & 6
\end{array}\right|+4\left|\begin{array}{rr}
2 & 3 \\
5 & -2
\end{array}\right|\)
=5{3 × 6 – (- 2) × 5} + 1(2 × 6 – 5 × 5) + 4{2 × (-2) – 5 × 3}
=5(18 + 10) + 1(12 – 25) + 4(- 4 – 15)
= 5 × 28 – 13 + 4 × (19)
= 140 – 13 – 76 = 140 – 89 = 51
∴ |A| = 51 ≠ 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है।

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 14 तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए:
प्रश्न 7.
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
हल:
दिया गया समीकरण निकाय है :
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
को आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B       ………………..(1)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}
4 \\
5
\end{array}\right]\)
अब आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
7 & 3
\end{array}\right|\)
=5 × 3 – 7 × 2 = 15 – 14 = 1
| A | = 1 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है तथा A^-1 का अस्तित्व है तथा निकाय संगत है।
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो
A₁₁ = (1)^{1 + 1} (3) = 3
A₁₂ = (-1))^{1 + 2} = 7 = – 7
A₂₁ = (-1))^{2 + 1} = 2 = – 2
A₂₂ = (-1))^{2 + 2} = 5 = 5
अब A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{21} \\
A_{12} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
3 & -7 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सहखण्डज आव्यूह ( adj. A) = B’

अतः x = 2, y = – 3

प्रश्न 8.
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
हल:
दिया गया समीकरण निकाय है :
2x – y = – 2
3x + 4y = 3
आव्यूह रूप में इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है :
AX = B        ……………..(1)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 4
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{r}
-2 \\
3
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
3 & 4
\end{array}\right|\)
= 2 × 4 – 3 × ( – 1 ) = 8 + 3 = 11
| A | = 11 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है अर्थात् A^{– 1} का अस्तित्व है तथा निकाय संगत है।
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो
A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} 4 = 4
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} = 3 = – 3
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} (-1) = (- 1) (- 1) = 1
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} 2 = 2
अब A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह

प्रश्न 9.
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
हल दिया गया समीकरण निकाय है :
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
इसे आव्यूह रूप में लिखने पर,
AX = B         ……………(1)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{ll}
4 & -3 \\
3 & -5
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) तथा B \(\left[\begin{array}{l}
3 \\
7
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारिणक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{ll}
4 & -3 \\
3 & -5
\end{array}\right|\)
| A | = \(\left|\begin{array}{ll}
4 & -3 \\
3 & -5
\end{array}\right|\)
= 4 × (- 5) – 3 × (- 3)
= – 20 + 9 = – 11
∴ | A | = – 11 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है अर्थात् A^{– 1} का अस्तित्व है तथा समीकरण निकाय संगत है।
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड _ij हो तो
A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} (- 5) = – 5
A₁₂ = (- 1)^{1 + 2} (3) = (- 1) × 3 = -3
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} (- 3) = (- 1) (-3) = 3
A₂₂ = (- 1)^{2 + 2} 4 = 4
अब A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
-5 & -3 \\
3 & 4
\end{array}\right]\)
∴ आव्यूह A का सहखण्डज आव्यूह ( adj. A) = B’

प्रश्न 10.
5x + 2y = 3
3x + 2 y = 5
हल:
दिया गया समीकरण निकाय है :
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
इसे आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं :
AX = B        ………………(1)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
3 & 2
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{l}
3 \\
5
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारिणक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{ll}
5 & 2 \\
3 & 2
\end{array}\right|\)
= 5 × 2 – 3 × 2 = 10 – 6 = 4
∴ | A | = 4 ≠ 0
अतः आव्यूह 4 व्युत्क्रमणीय है अर्थात् A^{– 1}का अस्तित्व है और समीकरण निकाय संगत है।
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij होतो
A₁₁ = (- 1)^{1 + 1} (2) = 2
A₁₂ =(- 1)^{1 + 2} 3 = – 3
A₂₁ = (- 1)^{2 + 1} (2) = – 2
A₂₂ = (-  1) ^{2 + 2}5 = 5
A के अवयवों का सहगुणनखण्ड आव्यूह
B = \(\left[\begin{array}{ll}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
2 & -3 \\
-2 & 5
\end{array}\right]\)
∴ A का सहखण्डज आव्यूह (adj. A) = B’

अत: x = – 1, y = 4

प्रश्न 11.
2x + y + z = 1
x – 2y – z = 3/2
3y – 5z = 9
हल:
दिया गया समीकरण निकाय निम्न प्रकार लिखा जा सकता हैं:
2x + y + z = 1
x – 2y – z = 3/2
3y – 5z = 9
आव्यूह रूप में इसे निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
AX = B         ….(1)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\
1 & -2 & -1 \\
0 & 3 & -5
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{c}
1 \\
3 / 2 \\
9
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारिणक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 1 \\
1 & -2 & -1 \\
0 & 3 & -5
\end{array}\right|\)
=2 \(\left|\begin{array}{rr}
-2 & -1 \\
3 & -5
\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{ll}
1 & -1 \\
0 & -5
\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{rr}
1 & -2 \\
0 & 3
\end{array}\right|\)
= 2{- 2(- 5) – 3 × (-1)} – 1{1 ×(- 5)-0(- 1)} + 1{1 × 3-0 × (- 2)}
= 2{(10+3) – 1(- 5 + 0) + 1(3 + 0)}
= 2 × 13 – 1 × (- 5) + 1 × 3
26 + 5 + 3 = 34
| A | = 34 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है तथा A^{– 1} का अस्तित्व है और समीकरण निकाय संगत है।
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij होतो

प्रश्न 12.
x + y + z = 2
x – y + z = 4
2x + y – 3z = 0
हल:
दिया गया समीकरण निकाय है :
x – y + z = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2
इसे आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिख सकते हैं:
AX = B           ……………(1)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & -3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}
4 \\
0 \\
2
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 1 \\
2 & 1 & -3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
-1 = \(\left|\begin{array}{rr}
1 & -3 \\
1 & 1
\end{array}\right|-(-1)\left|\begin{array}{rr}
2 & -3 \\
1 & 1
\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|\)
=1{1 × 1 – 1 (- 3)} + 1{2 × 11 × (- 3)} + 1(2 × 1 – 1 × 1)
=(1 + 3) + (2 + 3)+(2 – 1)
= 4 + 5 + 1 = 10
∴ | A | = 10 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है तथा A^{– 1} का अस्तित्व है और समीकरण निकाय संगत है।
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो
A₁₁ =(- 1)^{1 + 1} \(\left|\begin{array}{rr}
1 & -3 \\
1 & 1
\end{array}\right|\)
= 1 × 1 – 1 × (-3) = 1 + 3 = 4

प्रश्न 13.
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + z = – 4
3x – y – 2z = 3
हल:
दिया हुआ समीकरण निकाय है :
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + z = – 4
3x – y – 2z = 3
इसे आव्यूह रूप में निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं :
AX = B    ……………..(1)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & 3 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & -1 & -2
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{r}
5 \\
-4 \\
3
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{rrr}
2 & 3 & 3 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & -1 & -2
\end{array}\right|\)
= 2 \(\left|\begin{array}{rr}
-2 & 1 \\
-1 & -2
\end{array}\right|-3\left|\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
3 & -2
\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{rr}
1 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right|\)
= 2{- 2 × (- 2) – (- 1) × 1} – 3{1 x (- 2) – 3 × 1} +3{1 × (1) 3 × (- 2)}
A = 2(4 + 1) – 3(- 2 – 3) + 3(- 1 + 6)

= 2 × 5 – 3 × ( 5 ) + 3 × 5
= 10 + 15 + 15 = 40
∴ | A | = 4 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है अर्थात् A^{– 1} का अस्तित्व है और समीकरण निकाय संगत है।
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो


∴ adj A = \(\left[\begin{array}{lll}
A_{11} & A_{21} & A_{31} \\
A_{12} & A_{22} & A_{32} \\
A_{13} & A_{23} & A_{33}
\end{array}\right]\)

x = 1,y = 2, z = – 1

प्रश्न 14.
x – y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = – 5
2x – y + 3z = 12
हल:
दिया गया समीकरण निकाय है:
x – y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = – 5
2x – y + 3z = 12
इसे आव्यूह रूप में निम्न प्रकार लिखा जा सकता है।
AX = B     ………………..(1)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 2 \\
3 & 4 & -5 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{r}
7 \\
-5 \\
12
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 2 \\
3 & 4 & -5 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right| \)
= 1 \(\left|\begin{array}{rr}
4 & -5 \\
-1 & 3
\end{array}\right|-(-1)\left|\begin{array}{rr}
3 & -5 \\
2 & 3
\end{array}\right|+2\left|\begin{array}{rr}
3 & 4 \\
2 & -1
\end{array}\right|\)
=1{4 × 3 (1) × (-5)} + 1 (3 × 3 – 2 × (5)} + 2(3 x  (-1)  – 2 × 4}
= (12 – 5) + (9 + 10) + 2(- 3 – 8)
= 7 + 19 + 2(- 11) = 26 – 22 = 4
∴ | A | = 4 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है और A^{– 1} का अस्तित्व है तथा समीकरण निकाय संगत है।
यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो

प्रश्न 15.
यदि A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix} \right] \) है तो A^{– 1} ज्ञात कीजिए। A^{– 1} का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:
2x – 3y + 5z = 11
3x + 2y – 42 – 5
x + y – 2z = – 3
हल:
दिया हुआ आव्यूह A = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix} \right] \)
तब आव्यूह 4 का सारणिक | A |,
| A | = \(\left[ \begin{matrix} 2 & -3 & 5 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & 1 & -2 \end{matrix} \right] \)
= 2 \(\left|\begin{array}{ll}
2 & -4 \\
1 & -2
\end{array}\right|-(-3)\left|\begin{array}{ll}
3 & -4 \\
1 & -2
\end{array}\right|+5\left|\begin{array}{ll}
3 & 2 \\
1 & 1
\end{array}\right|\)
= 2 {2 × (- 2) – 1 × (- 4)} + 3(3 × (-2) 1 × (-4)} +5(3 × 1-1 × 2)
⇒ | A | = 2(-4 + 4)+ 3(- 6 + 4) + 5(3 – 2) =2 × 0 + 3(-2)+5 × 1 = – 6 + 5 = 1
∴ | A |= – 1 ≠ 0
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है तथा A^{– 1} का अस्तित्व है। यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो

प्रश्न 16.
4 किग्रा प्याज, 3 किग्रा गेहूँ और 2 किग्रा चावल का मूल्य ₹60 है। 2 किग्रा प्याज, 4 किग्रा गेहूँ और 6 किग्रा चावल का मूल्य ₹90 है। 6 किग्रा प्याज, 2 किग्रा गेहूँ और 3 किग्रा चावल का मूल्य ₹70 है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए ।
हल : माना 1 किग्रा प्याज का मूल्य = ₹ x
1 किग्रा गेहूँ का मूल्य = ₹y
तथा 1 किग्रा चावल का मूल्य = ₹z  है।
प्रश्नानुसार,
4 किग्रा प्याज का मूल्य = ₹4x
3 किग्रा गेहूँ का मूल्य = ₹3y
तथा 2 किग्रा चावल का मूल्य = ₹2z
4x + 3y + 2z = 60    …………..(1)
पुन: 2 किग्रा प्याज का मूल्य = ₹2x
4 किग्रा गेहूँ का मूल्य =₹4y
तथा 6 किग्रा चावल का मूल्य = ₹6z
2x + 4y + 6z =90      ……………(2)
अब 6 किग्रा प्याज का मूल्य = ₹6z
2 किग्रा गेहूँ का मूल्य = ₹2y
तथा 3 किग्रा चावल का मूल्य =₹3z
6 x + 2y + 3z = 70      ……………(3)
अतः समीकरण निकाय है :

इसे आव्यूह रूप में व्यक्त करने से,
AX = B                …………….(4)
जहाँ A = \(\left[\begin{array}{lll}
4 & 3 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
6 & 2 & 3
\end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{l}
60 \\
45 \\
70
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | 4 |,



⇒ \(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right]=\frac{1}{25}\left[\begin{array}{l}
125 \\
200 \\
200
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
125 / 25 \\
200 / 25 \\
200 / 25
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
5 \\
8 \\
8
\end{array}\right]\)
⇒ x = 5, y = 8, z = 8
अतः प्याज का प्रति किग्रा मूल्य = ₹5
गेहूँ का प्रति किग्रा मूल्य = ₹8
तथा चावल का प्रति किग्रा मूल्य = ₹8.