NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि सारणिक \(\left|\begin{array}{ccc}
x & \sin \theta & \cos \theta \\
-\sin \theta & -x & 1 \\
\cos \theta & 1 & x
\end{array}\right|\) से स्वतन्त्र है। θ
हल:

प्रश्न 2.
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि \(\left|\begin{array}{lll}
a & a^{2} & b c \\
b & b^{2} & c a \\
c & c^{2} & a b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1 & a^{2} & a^{3} \\
1 & b^{2} & b^{3} \\
1 & c^{2} & c^{3}
\end{array}\right|\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \\
-\sin \beta & \cos \beta & 0 \\
\sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हों और सारणिक
∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
b+c & c+a & a+b \\
c+a & a+b & b+c \\
a+b & b+c & c+a
\end{array}\right|=0\)
सिद्ध कीजिए कि a + b + c = 0 या a = b = c है।
हल :
दिया गया सारणिक है :

प्रश्न 5.
यदि a ≠ 0 हो, तो \(\left|\begin{array}{ccc}
x+a & x & x \\
x & x+a & x \\
x & x & x+a
\end{array}\right|\) = 0
को हल कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए:
\(\left|\begin{array}{ccc}
a^{2} & b c & a c+c^{2} \\
a^{2}+a b & b^{2} & a c \\
a b & b^{2}+b c & c^{2}
\end{array}\right|\) = 4a²b²c²
हल:
L.H.S. = \(\left|\begin{array}{ccc}
a^{2} & b c & a c+c^{2} \\
a^{2}+a b & b^{2} & a c \\
a b & b^{2}+b c & c^{2}
\end{array}\right|\)
प्रथम, द्वितीय तथा तृतीय स्तम्भ से क्रमशः a, b तथा c उभयनिष्ठ लेने पर,
= abc \(\left|\begin{array}{ccc}
a & c & a+c \\
a+b & b & a \\
b & b+c & c
\end{array}\right|\)

प्रश्न 7.
यदि A^-1 = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-15 & 6 & -5 \\
5 & -2 & 2
\end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -2 \\
-1 & 3 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{array}\right]\)
हो तो (AB)^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार,
A^-1 = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 1 \\
-15 & 6 & -5 \\
5 & -2 & 2
\end{array}\right]\)
तथा B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -2 \\
-1 & 3 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{array}\right]\)
अब B का सारणिक | B |,
| B | = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & -2 \\
-1 & 3 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{array}\right]\)

प्रश्न 8.
मान लीजिए A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि
(i) (adj . A)^-1 = (adj) A^-1
(ii)(A^-1)^-1 = A
हल:
(i) दिया गया आव्यूह
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
आव्यूह A का सारणिक | A |,
| A | = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
या | A | = 1 \(\left|\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
1 & 5
\end{array}\right|-(-2)\left|\begin{array}{rr}
-2 & 1 \\
1 & 5
\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{rr}
-2 & 3 \\
1 & 1
\end{array}\right|\)
= 1(3 × 5 – 1 × 1)+ 2(-2 × 5 – 1 × 1) + 1(- 2 × 1 – 1 × 3)
=(15 – 1) + 2(- 10 – 1) + ( – 2 – 3)
=14 + 2(- 11) + (- 5)
=14 – 22 – 5 = – 13
| A | = – 13
अतः आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है, अर्थात् A^-1 का अस्तित्व है। यदि A में a_ij का सहगुणनखण्ड A_ij हो तो

प्रश्न 9.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}
x & y & x+y \\
y & x+y & x \\
x+y & x & y
\end{array}\right|\)
संक्रिया C₁ → C₁ + C₂ से
∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}
2(x+y) & y & x+y \\
2(x+y) & x+y & x \\
2(x+y) & x & y
\end{array}\right|\)
2(x+y) प्रथम पंक्ति C₁ से उभयनिष्ठ लेने पर
⇒ ∆ = 2(x + y) \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & y & x+y \\
1 & x+y & x \\
1 & x & y
\end{array}\right|\)
संक्रियाओं R₂ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁ से
∆ = 2(x + y) \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & y & x+y \\
0 & x & -y \\
0 & x-y & -x
\end{array}\right|\)
प्रथम स्तम्भ C₁ के अनुदिश सारणिक का प्रसरण करने पर,
∆ =2(x+y) \(\left\{1\left|\begin{array}{cc}
x & -y \\
x-y & -x
\end{array}\right|-0+0\right\}\)
= 2(x + y) {x × (- x) – (x – y) (- y) }
= 2(x + y) {- x² +  xy – y²}
= – 2(x + y) (x² – xy + y²)
= – 2 (x³ + y³).

प्रश्न 10.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y \\
1 & x+y & y \\
1 & x & x+y
\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
माना ∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & y \\
1 & x+y & y \\
1 & x & x+y
\end{array}\right|\)
संक्रियाओं R₂ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁ से
∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & x & y \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & x
\end{array}\right|\)
प्रथम स्तम्भ के अनुदिश प्रसरण करने पर,
∆ = 1 \(\left|\begin{array}{ll}
y & 0 \\
0 & x
\end{array}\right|\)
= 1(y × x – 0 × 0)
∴ ∆ = xy

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित (11 से 15 तक) प्रश्नों को सिद्ध कीजिए :
प्रश्न 11.
\(\left|\begin{array}{lll}
\alpha & \alpha^{2} & \beta+\gamma \\
\beta & \beta^{2} & \gamma+\alpha \\
\gamma & \gamma^{2} & \alpha+\beta
\end{array}\right|\) = (α – ß) (ß – γ) (γ – α) (α + ß + γ)
हल:

प्रश्न 12.
\(\left|\begin{array}{lll}
x & x^{2} & 1+p x^{3} \\
y & y^{2} & 1+p y^{3} \\
z_{1} & z^{2} & 1+p z^{3}
\end{array}\right|\) = (1 + pxyz) (x – y) (y – z) (z – x)
हल:

प्रश्न 13.
\(\left|\begin{array}{ccc}
3 a & -a+b & -a+c \\
-b+a & 3 b & -b+c \\
-c+a & -c+b & 3 c
\end{array}\right|\) = 3(a + b + c) (ab + bc + ca)
हल:

प्रश्न 14.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1+p & 1+p+q \\
2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\
3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q
\end{array}\right|\) = 1.
हल:
माना
L.H.S. = ∆

प्रश्न 15.
\(\left|\begin{array}{lll}
\sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\
\sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\
\sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta)
\end{array}\right|\) = 0
हल:
माना
L.H.S. = ∆
= \(\left|\begin{array}{lll}
\sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\
\sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\
\sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta)
\end{array}\right|\) = 0
⇒ ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}
\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta-\sin \alpha \sin \delta \\
\sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta-\sin \beta \sin \delta \\
\sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta-\sin \gamma \sin \delta
\end{array}\right|\)

प्रश्न 16.
निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:
\(\frac { 2 }{ x }\) + \(\frac { 3 }{ y }\) + \(\frac { 10 }{ z }\) = 4
\(\frac { 4 }{ x }\) – \(\frac { 6 }{ y }\) + \(\frac { 5 }{ z }\) = 1
\(\frac { 6 }{ x }\) + \(\frac { 9 }{ y }\) – \(\frac { 20 }{ z }\) = 2
हल :
दिया गया समीकरण निकाय है :

निम्नलिखित प्रश्नों में 17 से 19 सही उत्तर का चुनाव कीजिए :
प्रश्न 17.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हों तो सारणिक \(\left|\begin{array}{lll}
x+2 & x+3 & x+2 a \\
x+3 & x+4 & x+2 b \\
x+4 & x+5 & x+2 c
\end{array}\right|\) का मान होगा:
(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) 2x
हल:

प्रश्न 18.
यदि x, y, z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह
A = \(\left[\begin{array}{lll}
x & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & z
\end{array}\right]\)का व्युत्क्रम है :
a. \(\left[\begin{array}{ccc}
x^{-1} & 0 & 0 \\
0 & y^{-1} & 0 \\
0 & 0 & z^{-1}
\end{array}\right]\)

b. \(x y z\left[\begin{array}{ccc}
x^{-1} & 0 & 0 \\
0 & y^{-1} & 0 \\
0 & 0 & z^{-1}
\end{array}\right]\)

c. \(\frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{lll}
x & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & z
\end{array}\right]\)

d. \(\frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 19.
यदि A =\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sin \theta & 1 \\
-\sin \theta & 1 & \sin \theta \\
-1 & -\sin \theta & 1
\end{array}\right]\), जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2π है :
a. Det (A) = 0
b. Det (A) ∈ (2, ∞)
c. Det (A) ∈ (2, 4)
d. Det (A) ∈ [2, 4]
हल: