These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.1 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.1
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)= 5x – 3, x = 0, x= – 3 तथा x = 5 पर सतत है।
हल:
दिया फलन
f(x) = 5x – 3
(i) x = 0 पर सततता के लिए :
बाय सीमा = limx → 0-f(x)
= limh → 0 f(0 – h)
= limh → 0 f(- h)
= limoh → 0 [5(- h)-3]
= – 5 limoh → 0 (h) + lim h → 0 – (3)
= – 5 × 0 – 3 = – 3
∴ limx → 0-f(x) = – 3
दाय सीमा = limx → 0+f(x)
= limh → 0f(0 + h)
= limh → 0f(h)
= lim → oЛ(h) limo [5 (h) – 3]
=5 limh → 0 (h) + limh → 0 (- 3)
=5 × 0 – 3 = – 3
∴ limx → 0+f(x) = – 3
अतः (बाय सीमा) limx → 0- f(x) = – 3
= (दाय सीमा) limx → 0+f(x)
अर्थात् limh → 0 f(x) – 3 का अस्तित्व है।
अब फलन का x = 0 पर मान
f(0) 5 × 0 – 3 = – 3
limx → 0f(x) – 3 = f(0)
= फलन का x = 0 पर मान
अतः फलन x = 0 पर सतत है।
(ii) x = 3 पर सततता के लिए:
बाय सीमा = limx → (-3)-f(x)
= limh → 0f(- 3 – h)
=limh → 0 [5(- 3 – h) – 3]
limh → 0 [(- 15 – 5h) – 3]
limh → 0 + (-15) + limh → 0 (- 5h) + limh → 0 (- 3)
= – 15 + (5 × 0) + (- 3)
= 15 – 3 = – 18
अत: limx → (-3)- f(x) = – 18.
दार्यों सीमाx → (-3)+ f(x)
= limoЛ-3+ h) limo [5(-3+ h)-3]
= lim o [(- 15 + 5h -3] = lim → 0 (- 15)
+limo (5h) + limo (-3)
= – 15 + 50 + (-3)
15 + 0 – 3 – 18
(- 3) + (x) = – 18
∴बाय सीमा limx → (-3)- f(x) = – 18.
= दार्यों सीमा (limx → (-3)- f(x))
अर्थात् limx → (- 3)f(x) 18 का अस्तित्व है।
अब फलन का x = – 3 पर मान
f(-3) = 5( – 3) – 3
= – 15 – 3 = – 18
अत: limx → (-3) f(x)= – 18 = f(3)
= फलन का x = – 3 पर मान
∴ दिया गया फलन x = – 3 पर सतत है।
(iii) x 5 पर सततता के लिए :
बायी सीमा limx → 5-f(x)
= limh → 0f(5 – h)
= limh → 0 [5(5 – h) – 3]
= limh → 0 (25 – 5h – 3)
= limh → 0(25) + limh → 0(- 5h) + lim h → 0(- 3)
= 25 + 5 × 0 + (- 3)
= 25 – 3 – 22
∴ limx → 5-f(x) = 22
दाय सीमा = limx → 5+ f(x)
= limh → 0(5 + h)
= limh → 0[5(5 + h) – 3]
= limh → 0[(25 + 5h) – 3]
= limh → 0(25)+ limh→05h + limh→0(- 3)
= 25 + 5 × 0 + (- 3)
= 25 – 3 = 22
lim x → 5+f(x) = 22
∴ बायी सीमा (lim x→5-f(x)) = 22
= दाय सीमा (lim x→5+f(x))
अर्थात् limsx→5 f(x) = 22 का अस्तित्व है।
अब फलन का x = 5 पर मान
f(5) 5 × 5 – 3 = 25 – 3 = 22
limx→5f(x) = 22 = f(5),
= फलन का x = 5 पर मान
अतः दिया गया फलन x = 5 पर सतत है।
प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x)2x2 – 1 के सांतत्य की जाँच कीजिए।
हल:
दिया गया फलन,
f(x) = 2x2 – 1
x = 3 पर सततता के लिए:
बाय सीमा = limx → 3- f(x)
= limh → 0f(3 – h)
= limh → 0[2 (3 – h )2 – 1]
= 2 limh → 0[(3 – h)2] + limh → 0(- 1)
= 2 × 32 + (- 1)
= 18 – 1 = 17
∴ limx → 3- f(x) = 17
दाय सीमा = limx → 3+ f(x)
= limah → 0(3 + h)
= lim h → 0[2(3 + b)2 – 1]
= 2 limh → 0 (3 + h)2 + limh → 0(- 1)
= 2 × 32 – 1 – 18 – 1 = 17
limx → 3+ f(x) = 17
बाय सीमा (limx → 3+ f(x)) = 17
= दाय सीमा (lim, x → 3+ f(x)
अर्थात् limx → 3 f(x) = 17 का अस्तित्व है।
अब फलन का x = 3 पर मान
f(3) = 2(3)2 – 1 = 2 × 9 – 1
= 18 – 1 = 17
∴ limx → 3+ f(x) – 17 = f(3) फलन का x = 3 पर मान
अतः दिया गया फलन x = 3 पर सतत है।
प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्व की जाँच कीजिए-
(i) f(x) = x – 5
(ii) f(x) = \(\\ \frac { 1 }{ x-5 } \), x ≠ 5
(iii) f(x) = \(\frac { { x }^{ 2 }-25 }{ x+5 } \),x ≠ 5
(iv) f(x) = |x – 5|
हल:
(i) f(x) = x – 5
दिया गया फलन बहुपद फलन है।
बहुपद फलन सर्वत्र सतत (everywhere continuous) होता है। अत: (x – 5) भी सर्वत्र सतत है अर्थात् फलन f, सर्वत्र सतत है, जहाँ x ∈ R.
(ii) f(x) = \(\\ \frac { 1 }{ x-5 } \), x ≠ 5
x = 5 पर फलन परिभाषित नहीं है। अतः फलन का प्रान्त R – {5} है। अब (x – 5) बहुपदीय फलन है जो कि प्रान्त R {5} में सर्वत्र सतत है तथा 1 अचर फलन है जो सर्वत्र सतत होता है।
माना g(x) = 1 तथा h (x) = (x – 5), x ≠ 5
तब f(x) = \(\frac{g(x)}{h(x)}\)
जो कि परिमेय फलन है जो सतत होता है अतः फलन f(x) प्रान्त R – {5} में सर्वत्र सतत (everywhere continuous) है।
टिप्पणी: x = 5 पर फलन f(x) परिभाषित नहीं है। अतः यह x = 5 पर सतत नहीं है।
(iii) f(x) = \(\frac { { x }^{ 2 }-25 }{ x+5 } \),x ≠ 5
x = – 5 पर फलन f(x) परिभाषित नहीं है। अतः यह x = – 5 पर सतत नहीं है।
तथा f(x) का प्रान्त R- {- 5} है।
माना c ∈ R – {- 5} c ≠ – 5
x = c पर सततता के लिए.
limx → cf(x) = limx → c \(\frac{x^2-25}{x+5}\)
= limx → c \(\frac{(x-5)(x+5)}{x+5}\)
limx → c(x – 5) = c – 5
∴ limyx) – c – 5
तथा x = c पर फलन का मान
f(c) = \(\frac{c^2-25}{c+5}=\frac{(c-5)(x+5)}{(c+5)}\)
= c – 5
∴ limx → c f(x) – c – 5 = f(c), x = c पर फलन का मान
अत: फलन R – {- 5} में सर्वत्र सतत है।
(iv) f(x) = | x – 5 |
x = 5 पर,
limx → 5 f(x) = limx → 5 | x – 5 |
= | 5 – 5 | = | 0 | = | 0 |
तथा f(5) = | 5 – 5 | = | 0 | = 0
अत: limx → 5f(x) = 0 (5), फलन का x = 5 पर मान
अतः फलन x = 5 पर सतत है।
माना x = c > 5, तब
limx → c f(x) = limx → c | x – 5 |
= | c – 5 | = (c – 5)
तथा f(c) = | c – 5 | = c – 5, c > 5
∴ फलन x = 5 पर सतत है।
जब x = 5, तब
limx → cf(x) = limx → c | ex – 5 | = | c – 5 | = – (c – 5)
=| c – 5 | 1 = – (C – 5).
∴ (c < 5)
= 5 – c
तथा x = c < 5 पर फलन का मान
f(c) = – (c < 5 ) – 5 – c
∴ limx → cf(x) = 5 – c – f(c),
फलन का x = c पर मान जहाँ c < 5
∴ फलन c < 5 के लिए सतत है।
अत: फलन R में सर्वत्र सतत है।
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn; x = 1 पर सतत है;
जहाँ एक धनात्मक पूर्णाक है।
हल:
दिया हुआ फलन f(x) = xn एक बहुपद फलन है। बहुपद फलन प्रान्त R में सर्वत्र सतत होता है।
अत: फलन f(x) = xn सतत है, जहाँ x ∈ R तथा x ∈ N धनात्मक पूर्णांक हैं
प्रश्न 5.
क्या \(f(x)=\begin{cases} x,ifx\le 1 \\ 5,ifx>1 \end{cases}\) द्वारा परिभाषि फलन f, x 0 x = 1 तथा x = 2 पर सतत है?
हल:
दिया गया फलन
\(f(x)=\begin{cases} x,ifx\le 1 \\ 5,ifx>1 \end{cases}\)
(i) x = 0 पर सततता के लिए,
f(x) = x
अतः फलन x = 2 पर सतत है।
f के सभी असत्य के विन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्न प्रकार से परिभाषित है :
प्रश्न 6.
\(f(x)=\begin{cases} 2x+3,if\quad x\le 2 \\ 2x-3,if\quad x>2 \end{cases}\)
हल:
दिया गया फलन
\(f(x)=\begin{cases} 2x+3,if\quad x\le 2 \\ 2x-3,if\quad x>2 \end{cases}\)\
x = 2 पर सततता के लिए,
अतः फलन x = 2 पर सतत नहीं है अर्थात् x = 2 फलन का असातत्य बिन्दु है।
प्रश्न 7.
\(f(x)=\begin{cases} |x|+3,if\quad x\le -3 \\ -2x,if\quad -3<x<3 \\ 6x+2,if\quad x\ge 3 \end{cases}\)
हल:
(i) x = 3 पर फलन की सततता :
अतः x = 3 पर फलन सतत नहीं है।
अतः x = 3, फलन के लिए असांतत्य बिन्दु है।
प्रश्न 8.
\(f(x)=\begin{cases} \frac { |x| }{ x } ;x\neq 0 \\ 0;x=0 \end{cases}\)
हल:
x = 0 पर सततता के लिए,
∴ x = 0 पर फलन सतत नहीं है।
अर्थात् x = 0 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
प्रश्न 9.
f(x) = \(\begin{cases} \frac { x }{ |x| } ;if\quad x<0 \\ -1,if\quad x\ge 0 \end{cases}\)
हल:
x = 0 पर फलन की सततता के लिए,
तथा f(0) = – 1
अतः फलन x = 0 पर सतत है
∴ फलन की असांतत्यता का कोई बिन्दु नहीं है।
प्रश्न 10.
f(x) = \(\begin{cases} x+1,if\quad x\ge 1 \\ { x }^{ 2 }+1,if\quad x<1 \end{cases}\) हल: x = 2 पर फलन की सततता के लिए, img 7 प्रश्न 11. f(x) = \(\begin{cases} { x }^{ 3 }-3,if\quad x\le 2 \\ { x }^{ 2 }+1,if\quad x>2 \end{cases} \)
हल:
x = 2 पर फलन की सततता के लिए,
अतः दिया गया फलन x = 2 पर सतत है तथा फलन के लिए असांतत्यता का कोई बिन्दु नहीं है।
प्रश्न 11.
f(x) = \(\begin{cases} { x }^{ 3 }-3,if\quad x\le 2 \\ { x }^{ 2 }+1,if\quad x>2 \end{cases} \)
हल:
x = 2 पर फलन की सततता के लिए,
अतः दिया गया फलन x = 2 पर सतत है तथा फलन के लिए असांतत्यता का कोई बिन्दु नहीं है।
प्रश्न 12.
f(x) = \(\begin{cases} { x }^{ 10 }-1,if\quad x\le 1 \\ { x }^{ 2 },if\quad x>1 \end{cases} \)
हल:
दिया गया फलन
f(x) = \(\begin{cases} { x }^{ 10 }-1,if\quad x\le 1 \\ { x }^{ 2 },if\quad x>1 \end{cases} \)
x = 1 पर फलन की सततता के लिए
limh → 0 (1 + h) 2
= (1 + 0)2 = 1
बाय सीमा (limx → 1-f(x)) = 0 ≠ 1
∴ = दाय सीमा (limx → 1+f(x))
अत: x – 1 पर फलन सतत नहीं है।
∴ x = 1 फलन का असांतत्य बिन्दु है।
प्रश्न 13.
क्या f(x) = \(\begin{cases} x+5,if\quad x\le 1 \\ x-5,if\quad x>1 \end{cases} \) द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है ?
हल:
x = 1 पर फलन की सततता के लिए,
⇒ limx → 1 f(x) का अस्तित्व नहीं है। अतः फलन x = 1 पर सतत नहीं है।
फलन के सांतत्य पर विचार कीजिए, जहाँ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित है :
प्रश्न 14.
f(x) = \(\begin{cases} 3,if\quad 0\le x\le 1 \\ 4,if\quad 1<x<3 \\ 5,if\quad 3\le x\le 10 \end{cases}\)
हल:
(i) x = 1 पर सततता के लिए,
∴ limx → 1-f(x) का अस्तित्व नहीं है।
अतः फलन x = 1 पर सतत नहीं है।
(ii) x = 3 पर सततता के लिए,
बाय सीमा = limx → 3- f(x)
∴limx → 3f(x) का अस्तित्व नहीं है।
अतः फलन x = 3 पर सतत नहीं है।
प्रश्न 15.
f(x) = \(\begin{cases} 2x,if\quad x<0 \\ 0,if\quad 0\le x\le 1 \\ 4x,if\quad x>1 \end{cases}\)
हल:
(i) x = 0 पर सततता के लिए,
अर्थात् limx → 1f(x) का अस्तित्व नहीं है।
अतः फलन x = 1 सतत नहीं है अर्थात् x = 1 असांतत्य बिन्दु है।
प्रश्न 16.
\(f(x)=\begin{cases} -2,if\quad x\le -1 \\ 2x,if\quad -1<x\le 1 \\ 2,if\quad x>1 \end{cases}\)
हल:
(i) x = 1 पर सततता के लिए,
बाय सीमा limx → 1 f(x) = 2 = दाय सीमा limx → 1+ f(x)
अर्थात् limx → 1 f(x) = 2 का अस्तित्व है।
फलन का x = 1 पर मान = f(1) = 2 × 1 = 2
limx → 1 f(x) = 2 -f(1) फलन का x = 1 पर मान
अत: फलन x = 1 पर सतत है।
प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए
\(f(x)=\begin{cases} ax+1,if\quad x\le 3 \\ bx+3,if\quad x>3 \end{cases}\)
द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर सतत है।
फलन x = 3 पर सतत है।
∴ बाय सीमा limx → 3- f(x)
= दाय सीमा limx → 3+ f(x)
= फलन का x = 3 पर मान f(3)
बाय सीमा = limx → 3- f(x)
प्रश्न 18.
2 के किस मान के लिए \(f(x)=\begin{cases} \lambda ({ x }^{ 2 }-2x),if\quad x\le 0 \\ 4x+1,if\quad x>0 \end{cases} \)
द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर सतत है ? x = 1 पर इसके सांतत्य पर विचार कीजिए ।
हल:
(i) x = 0 पर सततता के लिए,
प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) – x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णांक बिन्दुओं पर असतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है जो के बराबर या से कम है।
हल:
दिया फलन
g(x) = x – [x]
(i) x =0 पर सततता या असततता के लिए,
∴ अर्थात् बायीं सीमा 1 ≠ 0 दाय सीमा
∴ अत: limx → 0 g(x) का अस्तित्व नहीं है।
फलन x = 0 पर सतत नहीं है अर्थात् असतत है।
(ii) माना x = c ≠ 0, कोई स्वेच्छ वास्तविक पूर्णांक संख्या है, तब x = c पर सततता या असततता के लिए,
∴ limx → 0g(x) का अस्तित्व नहीं है।
अतः फलन x = c पर सतत नहीं है अर्थात् असतत है।
चूँकि, c एक स्वेच्छ पूर्णांक है अत: g(x) सभी पूर्णांकों पर असतत है।
प्रश्न 20.
क्या f(x) = x2 sinx + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत है?
हल:
दिया हुआ फलन
f(x) – x2 – sin x + 5
x = π पर सततता के लिए,
∴ f, x = π पर सतत है।
प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए-
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x)=sin x cos x
(c) f(x)=sin x.cos x
हल:
(a) दिया है, f(x) – sin x + cos x
माना x = c कोई स्वच्छ वास्तविक संख्या है, तब x = c पर फलन f(x) sin x cos x की सततता के लिए,
बाय सीमा = limx → c-f(x) = limh → 0f(c – h)
= limh → 0{sin (c – h) + cos (c – h)}
= limh → 0 sin (c – h)+ limh → 0 cos (c – h)
= limh → 0(sin c cos h – cos c sin h) + limh → 0 (cos c cos h + sin c sin h)
= limh → 0sin c cos h – limh → 0 cos c sin h + limh → 0 cos c cos h + limh → 0 sin c sin h
= sin c × cos c × 0 – cos c × sin 0 + cos c × cos × 0 + sin c × sin 0
= sin c × 1 – cos c × 0 + cos c × 1 + sin c × 0
= sin c – 0 + cos c + 0 = sin c + cos c
∴ limx → c-f(x) = sin c + cos c
दाय सीमा = limx → c- f(x) = limx → c-c + h)
= limh → 0 {sin (c + h) + cos (c + h)}
= limo (sin (c + h)+ limh → 0cos (c + h)}
= limh → 0{(sin e cos h + cos c sin h)} + limh → 0 [cos e cos h-sin e sin h]
=limh → 0 sin c cos h + limh → 0cos c sin h + limh → 0 c0s c cos h – limh → 0 sin c sin h
= sin c × cos 0 + cos c × sin 0 + cos c × cos 0-sin c × sin 0
= sin c × 1 + cos c × 0 + cos c × 1
= sin c + 0 + cos c – 0 = sin c + cos c
∴limx → c-+f(x) = sin c + cos c
∴ बाय सीमा limx → c-f(x) = sin c + cos c
= दाय सीमा limx → c+f(x)
∴ limx → c f(x) = sin c + cos c का अस्तित्व है।
अतः फलन x = c पर सतत है।
∴ c एक स्वच्छ वास्तविक संख्या है।
∴ f(x) = sin x + cos x सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
(b) दिया है, f(x) = sin x – cos x
माना x = c कोई स्वच्छ वास्तविक संख्या है।
अतः x = c पर फलन f(x) = sin x – cos x की सततता के लिए,
बाय सीमा lim x → c-f(x) = lim h → 0f{c – h).
= limh → 0{sin (c – h)- cos (c – h)}
= limh → 0sin (c – h) limh → 0 cos (c – h)
= limh → 0(sin c cos h-cos e sin h} -limh → 0 {cos c cos h + sin c sin h}
= sin c × cos 0- cos c × sin 0 – (cos cx cos 0 + sin ex sin 0)
= sin c × 1 – cos c × 0 – cos c × 1 – sin e × 0
= sin c – 0 – cos c – 0 = sin c – cos c
बार्थी सीमा limx → c-f(x) – sin c.cos c
= दाय सीमा limx → c+f(x)
∴ limx → c f(x) – sin c.cos का अस्तित्व है।
अब फलन का x = c पर मान
f(c) = sin c.cos c
∴ limx → cf(x) = sin c.cos c = f(c), फलन का
x = c पर मान
∴ फलन x = c पर सतत है।
∴ x = c एक स्वच्छ वास्तविक संख्या है अतः फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
अतः फलन f(x) = sin x.cos x सतत है।
प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए।
हल:
(a) cosine फलन की सततता:
माना f(x) cos x तथा x = c एक स्वच्छ वास्तविक संख्या है।
x = c पर फलन की सततता के लिए,
बाय सोमा = limx → c- f(x) = limh → 0(c – h)
= limh → 0 0 cos (c – h)
= limh → 0(cos c cos h + sin c sin h)
= limh → 0(cos c cos h) + limh → 0sin c sin h
= cos c × cos 0 + sin c × sin 0
= cos e × 1 + sin e × 0
= cos c + 0 = cos c
∴ limx → c-f(x) = cos c
दाय सीमा limx → c+ f(x) = limh → 0f(c + h)
= limh → 0{cos (c+ h) }
= limo (cos c cos h – sin c sin h)
= limh → 0 cos c cos h – limh → 0 sin c sin h
= cos c × cos 0 – sin c × sin 0
= cosc × 1 – sin c × 0 = cos c – 0 = cos c
∴ limx → c- f(x) = cos c
∴ बाय सीमा limx → c-f(x) = cos c
= दाय सीमा limx → c+f(x)
∴ limx → cf(x) – cos c का अस्तित्व है।
अब फलन का x = c पर मान
f(c) = cos c
∴ limx → c f(x) = cos c = f(c), फलन का x = c पर मान
∴ फलन x = c पर सतत है।
∴ c एक स्वच्छ वास्तविक संख्या है अतः फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
अत: cosine फलन सतत है।
(b) cosecant फलन की सततता:
माना f(x) = cosec x तथा x = c, जहाँ c ∈ R- {nπ}, n ∈ Z (n पूर्णांक है) क्योंकि cosec x, x = nπ के लिए परिभाषित नहीं है। x = c पर फलन की सततता के लिए [C ∈ R – {nπ}]
बाय सीमा limx → c- f(x) = cot c
= दार्वी सीमा limx → c+ f(x)
∴ limx → c- cot c का अस्तित्व है।
फलन का x = c पर मान
f(c) = cot c
∴limx → c f(x) = cot c f(c), फलन का x = c पर मान
∴ फलन (x) = co x c पर सतत है, जहाँce R ∈ {nπ}, n ∈ Z.
∴ c एक स्वच्छ वास्तविक संख्या है अतः cotangent फलन R – {nπ} में सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत है।
प्रश्न 23.
f के सभी असांतत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए,
\(f(x)=\begin{cases} \frac { sinx }{ x } ,if\quad x<0 \\ x+1,if\quad x\ge 0 \end{cases}\)
हल:
दिया गया फलन
\(f(x)=\begin{cases} \frac { sinx }{ x } ,if\quad x<0 \\ x+1,if\quad x\ge 0 \end{cases}\)
∴ x = 0 पर सततता या असततता के लिए.
∴ limx → 0+f(x) = 1
∴ बाय सीमा limx → 0f(x) = 1
= दाय सीमा limx → 0+f(x)
limx → 0f(x) = 1 का अस्तित्व है।
अब फलन का x = 0 पर मान,
f(0) 0 + 1 = 1
∴ limx → 0f(x) = 1 = f(0),
फलन x = 0 पर सतत है।
∴ फलन का x = 0 पर मान
अत: f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
अतः फलन की असांतत्यता (असततता) का कोई बिन्दु नहीं है।
प्रश्न 24.
निर्धारित कीजिए कि फलन
f(x) = \(\begin{cases} { x }^{ 2 }sin\frac { 1 }{ x } ,if\quad x\neq 0 \\ 0,if\quad x=0 \end{cases}\)
द्वारा परिभाषित एक सतत फलन है।
हल:
दिया गया फलन
f(x) = \(\begin{cases} { x }^{ 2 }sin\frac { 1 }{ x } ,if\quad x\neq 0 \\ 0,if\quad x=0 \end{cases}\)
x = 0 पर सततता के लिए,
बाय सीमा = lim = x → 0-f(x)
= limh → 0 f(0 – h)
= limah → 0f(- h)
= limh → 0(h2) × sin \(\frac{1}{h}\)
(limh → 00h2)
= दाय] सीमा limx → 0+f(x)
∴ limx → 0f(x) = 0 का अस्तित्व है।
अब फलन का x = 0 पर मान f(0) = 0
∴ limx → 0f(x) = 0 = f(0), फलन का x = 0 पर मान
∴फलन x = 0 पर सतत है।
∴ f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
प्रश्न 25.
f के सातत्य की जाँच कीजिए, जहाँ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है-
f(x) = \(\begin{cases} sinx-cosx,if\quad x\neq 0 \\ -1,if\quad x=0 \end{cases}\)
हल:
दिया हुआ फलन
f(x) = \(\begin{cases} sinx-cosx,if\quad x\neq 0 \\ -1,if\quad x=0 \end{cases}\)
x = 0 पर सततता के लिए.
∴ limx → 0+f(x) = – 1
∴ बाय सीमा limx → 0-f(x) = – 1
= दाय सीमा limx → 0+f(x)
∴limx → 0f(x) -1 का अस्तित्व है।
अब फलन का x = 0 पर मान f(0) – 1
∴ limx → 0 f(x) – 1 = f(0), फलन का x = 0 पर मान
∴ फलन x = 0 पर सतत है।
अत: फलन f(x) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
प्रश्न 26 से 29 में के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि प्रदत्त फलन निर्दिष्ट बिन्दु पर सतत हो:
प्रश्न 27.
प्रश्न 28.
प्रश्न 29.
प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि
प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) cos x द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है।
हल:
दिया गया फलन
f(x) = cos x2
माना x = c ∈ R कोई स्वच्छ वास्तविक संख्या है। तब
∴ फलन का x = c पर मान फलन पर सतत है।
∴ c एक स्वच्छ वास्तविक संख्या है।
∴ फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
अतः फलन cos x2 सतत है।
प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) = | cos x | द्वारा परिभाषित फलन एक सतत फलन है।
हल:
दिया गया फलन
प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin | x | एक सतत फलन है ?
हल:
दिया गया फलन
f(x) – sin | x |
माना x = c ∈ R कोई स्वच्छ वास्तविक संख्या है, तब
∴ limx → cf(x) = f(c)
∴ फलन x = c पर सतत है।
चूँकि c एक स्वच्छ वास्तविक संख्या है अतः फलन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सतत है।
अत: फलन sin | x | सतत है।
दूसरी विधि : माना
g(x) = sin x तथा h(x) | x |
तब f(x) = goh (x) = g[h(x)]
= g ( ] x |) = sin | x |
∴ g(x) = sin x, एक सतत फलन है तथा h(x) = | x | सतत फलन है।
f(x) = goh (x), दो सतत फलनों का संयुक्त फलन है।
∴ f(x) भी सतत फलन है।
अर्थात् (x) sin | x | सतत है।
प्रश्न 34.
f(x) = | x | – | x + 1 |द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असांतत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया फलन
