NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल:
माना y = x² + 3x + 2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) 2x + 3
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{d}{d x}\) (2x + 3 ) = 2
⇒ \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 2

प्रश्न 2.
x²⁰ = y
हल:
माना y = x²⁰
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} x^{20}=20 x^{20-1}=20 x^{19}\)
∴ \(\frac{d y}{d x}=20 x^{19}\)
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}=20 \cdot \frac{d}{d x} x^{19}\)
∴ \(\frac{d^2 y}{d x^2}=20.19 x^{19-1}=380 x^{18}\)

प्रश्न 3.
x cos x
हल
माना y =x cos x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
log x
हल:
माना y = log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x}=x^{-1}\)
x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}=(-1) x^{-1-1}=(-1) x^{-2}\)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}=-\frac{1}{x^2}\)

प्रश्न 5.
x³ log x
हल:
माना y = x³ log x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
e^x sin 5x
हल:
माना y = e^x sin 5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
e^6x cos 3x
हल:
माना y = e^6x cos 3x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
tan^-1 x
हल:
माना
y = tan^-1 x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
log (logx)
हल:
माना y = log (log x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
sin (log x)
हल:
माना y = sin (logx )
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +y=0\)
हल:
y = 5 cos x – 3 sin x ………….(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 12.
यदि y = cos^-1 x तो \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए ।
हल:
y = cos^-1 x का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
यदि y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x) है, तो दर्शाइए कि \({ x }^{ 2 }{ y }_{ 2 }+{ xy }_{ 1 } \) + y = 0
हल:
y = 3 cos (log x) + 4 sin (log x) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
यदि y = Ae^mx + Be^nx, है तो दर्शाइए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-(m+n) \frac{d y}{d x}+m n y\) = 0
हल:
y = Ae^mx + Be^nx का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 15.
यदि y = 500e^7x + 600e^-7x, है, तो दर्शाइए कि \(\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \) = 49y. है।
हल:
y = 500e^7x + 600e^-7x का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
यदि e^y(x+1) = 1, तो दर्शाइए कि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) है।
हल:
e^y(x+1) = 1,
(x + 1) e^y = 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 17.
यदि y = (tan^-1 x)² है, तो दर्शाइए कि (x² + 1)²y₂ + 2x(x² + 1)y₁ = 2 है।
हल:
y = (tan^-1 x)² का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,