These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8
प्रश्न 1.
फलन f(x) = x2 + 2x – 8, x ∈ [ – 4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए ।
हल:
दिया गया फलन f(x) = x2 + 2x – 8, x ∈ [ 4, 2] एक बहुपद फलन है।
बहुपद फलन सतत होता है।
अतः फलन f(x) अन्तराल [- 4, 2] में सतत है।
पुन: f (x) = 2x + 2 का अन्तराल (- 4, 2) में अस्तित्व है।
अतः f (x) अन्तराल (- 4, 2) में अवकलनीय है।
f(2) = 22 + 2 × 2 – 8 = 4 + 4 – 8 = 0
तथा f(4) = (4) 2 + 2 × ( 4 ) – 8
= 16 – 8 – 8 – 0
∴f(2) = ( – 4) = 0
अतः रोले के प्रमेय के प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होते हैं। तब अन्तराल (- 4, 2) में एक बिन्दु C का अस्तित्व इस प्रकार है कि f(c) = 0.
∴ f(c) = 0 ⇒ 2c + 2 = 0 ⇒ 2c – 2
⇒ c = – 1 ∈ (- 4, 2)
अत: c = – 1 ∈ (- 4, 2) इस प्रकार है कि f(c) = 0. इस प्रकार रोले के प्रमेय का सत्यापन हुआ ।
प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं ?
(i) f(x) = [x] के लिए x ∈ [5, 9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x ∈ [- 2, 2]
(iii) f(x) = x2 – 1 के लिए x [1, 2].
हल :
(i) f(x) = [x]
जहाँ x ∈ [5, 9]
अतः x के मान 5, 6, 7, 8 तथा 9 हैं। अब फलन इन बिन्दुओं पर सतत नहीं है अर्थात् फलन अन्तराल [5, 9] में सतत नहीं है तथा (5, 9) में अवकलनीय नहीं है।
अतः रोले का प्रमेय प्रमाणित नहीं होगा ।
(ii) f(x) = [x] के लिए x ∈ [- 2, 2]
फलन f(x) = [x] अन्तराल [- 2, 2] में सतत नहीं है। क्योंकि महत्तम पूर्णांक फलन पूर्णांक बिन्दुओं पर न तो सतत होता है और न ही अवकलनीय ।
अतः रोले के प्रमेय को प्रमाणित नहीं किया जा सकता है।
(iii) f(x) = x2 – 1 के लिए x [1, 2].
यहाँ f(1) = 1 – 1 = 0 तथा f(2) = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
फलन f(x) = x2 – 1, बहुपद फलन है जो कि सतत तथा अवकलनीय दोनों है, परन्तु f(1) ≠ f(2). अतः रोले के प्रमेय को प्रमाणित नहीं किया जा सकता है।
प्रश्न 3.
यदि f : [-5, 5] → R एक सतत फलन है और यदि f(x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता तो सिद्ध कीजिए कि f(-5) ≠ f(5).
हल :
दिया गया फलन : [- 5, 5] →R जो कि सतत तथा अवकलनीय है परन्तु f(x) ≠ 0.
अन्तराल (-5, 5) में रोले के प्रमेय के प्रतिबन्ध इस प्रकार हैं-
यदि (i) फलनf अन्तराल [- 5, 5] में सतत है।
(ii) फलन (-5, 5) में अवकलित होता है।
(iii) (- 5) = f(5)
तब f(c) = 0 ⇒ c ∈ ( – 5, 5)
प्रश्नानुसार, f(c) ≠ 0
f(- 5) ≠ f(5).
प्रश्न 4.
मध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x2 – 4x – 3, जहाँ a = 1 तथा b = 4 है।
हल:
दिया गया फलन f(x) = x2 – 4x – 3 एक बहुपद फलन है । बहुपद फलन सतत तथा अवकलनीय होता है। अतः फलन अन्तराल [1, 4] में सतत है तथा (1, 4) में अवकलनीय है।
अब f(x) = 2x – 4, का अन्तराल (1, 4) में अस्तित्व है।
∴अन्तराल (1, 4) में एक बिन्दु c का अस्तित्व इस प्रकार है कि
f ‘(c) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\) ……………(1)
f(4) = 42-4 × 4 – 3 = 16 – 16 – 3 = – 3
f(1) = 12 – 4 × 1 – 3=1 – 4 – 3 = – 6 अब f(4) तथा (1) के मान समी. (1) में रखने पर,
f ‘(c) = \(\frac{-3-(-6)}{4-1}\)
(2c – 4) = \(\frac{-3+6}{3}=\frac{3}{3}=1\)
2c = 4 + 1
c = \(\frac{5}{2}\)
c = \(\frac{5}{2}\) जो कि अन्तराल (1, 4) में है ।
ऐसा है कि f ‘(c) = \(\frac{f(4)-f(1)}{4-1}\)
इस प्रकार मध्यमान प्रमेय का सत्यापन हुआ ।
प्रश्न 5.
मध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x3– 5x2 – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f'(c) = 0 के लिए c ∈ (1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया फलन f(x) = x3 – 5x2 – 3x, x ∈ [1, 3], एक बहुपद फलन है। चूँकि बहुपद फलन सतत होता है, अतः फलन अन्तराल [1, 3] में सतत है ।
पुनः बहुपद फलन अवकलनीय भी होता है ।
अत: फलन (1, 3) में अवकलनीय है।
अब f(x) = 3x2 – 10x – 3, का x ∈ (1, 3) में अस्तित्व है। अन्तराल (1, 3) में एक बिन्दु c का अस्तित्व इस प्रकार है
अत: f ‘(c) = 0 के लिए अन्तराल (1. 3) में कोई बिन्दु नहीं है।
प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए-
(i) f(x) = [x], x ∈ [5, 9]
हल:
दिया गया फलन f (x) = [x] x ∈ [5, 9] महत्तम पूर्णांक फलन है, जो कि पूर्णांक बिन्दुओं पर न तो सतत ही होता है और न ही अवकलनीय है। अतः फलन f (x) = [x] अन्तराल [5, 9] में न तो सतत और न ही अवकलनीय है, क्योंकि x = 6 पर बायें पक्ष की सीमा (Left hand limit)
= limx → 6- f(x) = limx → 6- [x] = 5
तथा x = 6 पर दायें पक्ष की सीमा (Right hand limit )
= limx → 6+ f(x) = limx → 6+[x] = 5
L.H.L. ≠ R.H.L.
अतः मध्यमान प्रमेय अन्तराल [5, 9] में सत्यापित नहीं होता है।
(ii) f(x) = [x], x ∈ [- 2, 2]
हल:
दिया गया फलन f(x) = [x], x ∈ [- 2, 2] महत्तम यूक फलन है तथा अन्तराल [- 2, 2] के किसी भी पूर्णांक बिन्दु पर फलन न तो सतत है और न ही अवकलनीय अतः मध्यमान प्रमेय सत्यापित नहीं होता है।
(iii) f(x) = x 2 – 1, x e [1, 2]
हल :
यह बहुपद फलन है जो कि अन्तराल [12] में सतत है तथा अन्तराल (1, 2) में अवकलनीय है।
पुनः f( 1 ) – 12 – 1 = 0
तथा f(2) = 22 – 14 – 1 = 3
f ‘ (x) = 2x का अन्तराल (1, 2) में अस्तित्व है।
∴ f(x) = x2 – 1 अन्तराल (1, 2) में अवकलनीय है। तब अन्तराल (1, 2) में एक बिन्दु इस प्रकार होगा कि
f ‘(c) = \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
अर्थात् f ‘(c) = \(\begin{gathered}
\begin{array}{c}
b-a \\
f(2)-f(1)
\end{array} \\
2-1
\end{gathered}=\frac{3-0}{1}=3\)
अब f ‘(c) = 3 ⇒ 2c = 3 ⇒ c = \(\frac{3}{2}\) ∈ (1, 2)
अतः c = \(\frac{3}{2}\) ∈ (1, 2) ऐसा है कि
f (c) = \(\frac{f(2)-f(1)}{2-1}\)
इस प्रकार मध्यमान प्रमेय सत्यापित हुआ ।