These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.1 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.1
प्रश्न 1.
वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए, जबकि
(a) = 3 सेमी,
(b) = 4 सेमी है।
हल:
(a) माना वृत्त का क्षेत्रफल 4 है।
∴ A =πr2 का के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dA}{dr}\) = 2πr
यह त्रिज्या (r) के सापेक्ष क्षेत्रफल (A) के परिवर्तन की दर है।
∴\(\frac{dA}{dr}\) = 2πr
∴ r = 3 सेमी पर,
∴\(\frac{dA}{dr}\) = 2πr × 3 = 6π सेमी2
अतः जब r = 3 सेमी तो वृत्त के क्षेत्रफल में त्रिज्या के सापेक्ष 6π सेमी 2/से.।
परिवर्तन की दर
(b) r = 4 के लिए,
\(\frac{dA}{dr}\) = 2πr × 4 = 8π सेमी2
अतः जब r = 4 सेमी तो वृत्त के क्षेत्रफल में के सापेक्ष परिवर्तन की दर = 8π सेमी2/से.।
प्रश्न 2.
एक घन का आयतन 8 सेमी3/से, से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है, जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 सेमी है ?
हल:
माना किसी समय t पर घन के किनारे की लम्बाई x तथा पृष्ठ क्षेत्रफल S है। यदि इसका आयतन V हो तो
प्रश्नानुसार, \(\frac{dV}{dt}\) = 8 सेमी3/से. ………….(1)
अब घन का आयतन,
V = x3
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
अतः घन का पृष्ठ क्षेत्रफल \(\frac{8}{3}\) सेमी2/ से. की दर से बढ़ रहा है।
प्रश्न 3.
एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3 सेमी / से. की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 सेमी है ?
हल:
माना किसी समय पर वृत्त की त्रिज्या तथा क्षेत्रफल A है।
∴ A = πr²
t ‘के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t}\) …………(1)
प्रश्नानुसार, \(\frac{dr}{dt}\) = 3 सेमी / से.
तब समीकरण (1) से,
\(\frac{dA}{dt}\) = 2πr.3 = 6πr
जब r = 10, तो \(\frac{dA}{dt}\) = 6π × 10
= 60 सेमी 2/से.
अतः वृत्त का क्षेत्रफल 607 सेमी / से. की दर से बढ़ रहा है।
प्रश्न 4.
एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 सेमी / से, की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 सेमी लम्बा है ?
हल:
माना किसी समय पर घन का किनारा है तथा आयतन V है।
∴ V = x3
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d t}=3 x^2 \cdot \frac{d x}{d t}\) ……………(1)
परन्तु प्रश्नानुसार,
\(\frac{dx}{dt}\) = 3 सेमी/से. ………………(2)
तब समीकरण (1) तथा (2) से,
\(\frac{dV}{dt}\) 13x².3 = 9x²
x = 10 के लिए,
\(\frac{dV}{dt}\) 9 x (10)²
= 9 × 100 = 900 सेमी 3 / से.
अतः घन का आयतन 900 सेमी / से. की दर से बढ़ रहा है।
प्रश्न 5.
एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 सेमी / से, की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
हल:
माना किसी समय पर वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या तथा घिरा हुआ क्षेत्रफल A है।
∴ A =πr2
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d t}=2 \pi r \times \frac{d r}{d t}\) ……………..(1)
प्रश्नानुसार, \(\frac{dr}{dt}\) 5 सेमी/से. …………..(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
\(\frac{dA}{dt}\) = 2πr × 5 = 10πr
r = 8 सेमी के लिए,
\(\frac{dA}{dt}\) = 10 × π × 8 = 80π सेमी2 / से.
∴ \(\frac{dA}{dt}\) = 80π सेमी2/से.
अतः वृत्ताकार तरंगों से घिरा क्षेत्रफल 80π सेमी2/ से. की दर से बढ़ रहा है।
प्रश्न 6.
एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 सेमी / से, की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या होगी जब r = 4.9 सेमी है?
हल:
माना किसी समय पर वृत्त की त्रिज्या तथा परिधि C है।
तब C = 2πr
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d C}{d t}=\frac{d r}{d t}(2 \pi r)\)
\(\frac{d C}{d t}=2 \pi \cdot \frac{d r}{d t}\) …………..(1)
प्रश्नानुसार, \(\frac{d r}{d t}\) 0.7 सेमी / से. ……………(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
\(\frac{d C}{d t}\) = 2π × 0.7 = 1.4π सेमी / से.
अतः वृत्त की परिधि 1.4π सेमी / से. की दर से बढ़ रही है।
प्रश्न 7.
एक आयत की लम्बाई x, 5 सेमी /मिनट की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4 सेमी /मिनट की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 सेमी और y = 6 सेमी है तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना किसी समय पर आयत का परिमाप P तथा क्षेत्रफल A है।
(a) परिमाप P = 2(x + y)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d P}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)\) ……………(1)
प्रश्नानुसार, \(\frac{dx}{dt}\) = – 5 सेमी / मिनट
[(-) चिन्ह इसलिए लिया गया है क्योंकि लम्बाई घट रही है।
तथा \(\frac{dy}{dt}\) = 4 सेमी/मिनट
तब समीकरण (1) से,
\(\frac{dP}{dt}\) 2(- 5 + 4) = 2(- 1)= – 2
∴ \(\frac{dP}{dt}\) = – 2 सेमी/मिनट
अतः आयत का परिमाप 2 सेमी/मिनट की दर से घट रहा है।
(b) आयत का क्षेत्रफल
A = x × y
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d t}=x \cdot \frac{d y}{d t}+y \cdot \frac{d x}{d t}\) …………..(2)
\(\frac{dx}{dt}\) तथा \(\frac{dy}{dt}\) के मान समीकरण (2) में रखने पर,
\(\frac{dA}{dt}\) = x × 4 + y.(- 5) = 4x – 5y
x = 8 सेमी तथा y = 6 सेमी के लिए,
\(\frac{dA}{dt}\) = 4 × 8 – 5 × 6 = 32 – 30 = 2
∴ \(\frac{dA}{dt}\) = 2 सेमी2/मिनट
अतः आयत का क्षेत्रफल 2 सेमी 2 /मिनट की दर से बढ़ रहा है।
प्रश्न 8.
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पम्प द्वारा 900 सेमी 3 गैस प्रति सेकण्ड भरकर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 सेमी है।
हल:
माना किसी समय पर गुब्बारे की त्रिज्या तथा आयतन V है ।
अतः गुब्बारे की त्रिज्या में परिवर्तन की दर \(\frac{1}{\pi}\) सेमी/से. है।
प्रश्न 9.
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है । त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 सेमी है।
हल:
माना गुब्बारे का आयतन V तथा त्रिज्या r है।
∴ V = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d V}{d r}=\frac{4}{3} \pi \times 3 r^2=4 \pi r^2\)
यह त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर है।
∴ \(\frac{d V}{d r}=4 \pi r^2\)
r = 10 के लिए,
\(\frac{d V}{d r}=4 \pi \times(10)^2\)
= 400 सेमी3/से.
अतः गुब्बारे के आयतन के परिवर्तन की दर त्रिज्या के सापेक्ष 400 सेमी 3 / से. है।
प्रश्न 10.
एक 5 मीटर लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश दीवार से दूर 2 सेमी/से. की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है। जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 मीटर दूर है ?(CBSE 2012)
हल:
माना समय t पर AC सीढ़ी तथा C सीढ़ी के नीचे का सिरा है।
जो दीवार AB से x मीटर की दूरी पर है।
पुनः AB = y दीवार की लम्बाई तथा BC = x
अतः दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई \(\frac{3}{8}\) सेमी / से. की दर से घट रही है।
प्रश्न 11.
एक कण वक्र 6y = x3 + 2 के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x-निर्देशांक की तुलना में-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।
हल:
वक्र 6y = x3 + 2 का t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 12.
हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या \(\frac { 1 }{ 2 }\) सेमी/से. की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 सेमी है ?
हल:
माना किसी समय t पर बुलबुले की त्रिज्या तथा आयतन v है।
अतः बुलबुले का आयतन 2π सेमी3/से. की दर से बढ़ रहा है।
प्रश्न 13.
एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास \(\frac { 3 }{ 2 } \)(2x+1). है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गुब्बारे का आयतन v है।
प्रश्नानुसार, गुब्बारे का व्यास = \(\frac { 3 }{ 2 } \)(2x+1).
∴ गुब्बारे की त्रिज्या, r = \(\frac{1}{2}\left\{\frac{3}{2}(2 x+1)\right\}\)
⇒ \(r=\frac{3}{4}(2 x+1)\)
∴ गुब्बारे का आयतन,
अतः आयतन की x के सापेक्ष परिवर्तन की दर \(\frac{27 \pi}{8}(2 x+1)^2\)
प्रश्न 14.
एक पाइप से रेत 12 सेमी / से. की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊंचाई 4 सेमी है?
हल:
माना किसी समय पर बालू के शंकु का आयतन V, ऊँचाई h तथा त्रिज्या r है।
प्रश्नानुसार, \(h=\frac{1}{6} r \Rightarrow r=6 h\)
तथा \(\frac{d V}{d t}\) = 12 सेमी3/से.
बालू के शंकु का आयतन
∴ बालू के शंकु की ऊँचाई \(=\frac{10}{1000}\) सेमी/से. की दर से बढ़ रही है।
प्रश्न 15.
एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से सम्बन्ध कुल लागत C(x) (₹ में) C(x) = 0.007 x3 – 0.003x2 + 15x + 4000 से प्रदत्त है। सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
हल:
प्रश्नानुसार, x वस्तुओं के उत्पादन का मूल्य C(x) है, C(x) = 0.007 x3 – 0.003x2 + 15x + 4000
सीमान्त मूल्य = MC
=21.0690-102 = 20-967 = 20-97
∴ सीमान्त मूल्य ₹20-97
प्रश्न 16.
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में
R(x) = 13x² + 26x + 15
से प्रदत्त है। सीमान्त आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है।
हल:
आय के लिए समीकरण
R(x) = 13x² + 26x + 15
अतः सीमान्त आय ₹ 208 है।
प्रश्न 17 तथा 18 में सही उत्तर का चयन कीजिए :
प्रश्न 17.
एक वृत्त की त्रिज्या r = 6 सेमी पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है:
(A) 10π
(B) 12π
(C) 8π
(D) 11π
हल:
माना वृत्त का क्षेत्रफल A है।
∴ A = πr²
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d r}=2 \pi r\)
r = 6 के लिए, \(\frac{d A}{d r}=2 \pi \times 6=12 \pi\)
अत: विकल्प (B) सही है।
प्रश्न 18.
एक उत्पाद की इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R (x) = 3x + 36x + 5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तो सीमान्त आय है :
(A) ₹ 116
(B) ₹96
(C) ₹90
(D) ₹ 126
हल:
आय के लिए समीकरण
⇒ MR = 3 × 2x + 36 × 1 + 0
⇒ MR = 6x + 36
x = 15 के लिए,
MR = 6 × 15 + 36
90 + 36 = ₹126
अतः विकल्प (D) सही है।