These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.2 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.2
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि R पर f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन निरन्तर वर्धमान है।
हल:
प्रश्नानुसार,.
f(x) = 3x + 17
माना x1, x2 ∈R इस प्रकार है कि x1 > x2
∴x1 > x2
⇒3x1 > 3x2
⇒ 3x1 + 17 < 3x2 + 17
⇒ f(x1) <(x2)
∴ x1 > x2
⇒ f(x1) <(x2)
अत: (x) 3x + 17, R पर निरन्तर वर्धमान है।
प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि R पर f(x) = e2x से प्रदत्त फलन निरन्तर वर्धमान है।
हल:
प्रश्नानुसार,
f(x) = e2x
∴f ‘(x) = 2e2x
∈R के सभी मान के लिए,
f'(x) > 0
क्योंकि 2 > 0 e2x > 0
फलन, f R पर निरन्तर वर्धमान है।
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए, f(x) sin x से प्रदत्त फलन :
(a) \(\left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \) में वर्धमान है;
(b) \(\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right) \) में ‘ह्रासमान है;
(c) \(\left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल:
प्रश्नानुसार,
f(x) = sin x
f ‘(x) = cos x
(a) अन्तराल \(\left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \) के लिए,
f(x) = cos x > 0
∴ x ∈ (x) मैं f(x) धनात्मक है।
अतः अन्तराल \(\left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \) में निरन्तर वर्धमान है।
(b) \(\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right) \) ,में f’ (x) = cos x < 0 ⇒ f(x) < 0
∴ x ∈ \(\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right) \) में f ‘(x) < 0.
अतः फलन \(\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right) \) में निरन्तर ह्रासमान है।
(c) अन्तराल (0, π) में f (x) निरन्तर +ve या निरन्तर -ve नहीं है, क्योंकि \(\left( 0,\frac { \pi }{ 2 } \right) \) मैं f'(x) धनात्मक {f(x)> 0} तथा \(\left( \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right) \) में f ‘(x) ऋणात्मक {f ‘(x) < 0}.
अतः f, अन्तराल (0, π) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान ।
प्रश्न 4.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिसमें f(x) = 2 x² – 3x से प्रदत्त फलन f :
(a) वर्धमान;
(b) ह्रासमान है।
हल:
यहाँ f(x) = 2x² – 3x
f ‘(x) = 4x – 3
f ‘(x) = 0, तब 4x – 3 = 0
x = 3/4
अतः बिन्दु x = 3/4 वास्तविक संख्या रेखा को दो असंयुक्त अन्तरालों (- ∞, \(\frac { 3 }{ 4 }\)) तथा (\(\frac { 3 }{ 4 }\), ∞) में विभाजित करता है।
(a) अन्तराल (\(\frac { 3 }{ 4 }\), ∞) में f ‘(x) = धनात्मक x = 1 के लिए, f ‘(x) = 4 – 3 = 1 > 0
∴ f निरन्तर वर्धमान है।
अतः फलन अन्तराल (\(\frac { 3 }{ 4 }\), ∞) में निरन्तर वर्धमान है।
(b) अन्तराल (- ∞, \(\frac { 3 }{ 4 }\) में f ‘(x)= ऋणात्मक x = – 1 के लिए, f ‘(x)= – 4 – 3 = – 7 < 0
∴ निरन्तर ह्रासमान फलन है।
अतः फलन अन्तराल (- ∞, \(\frac { 3 }{ 4 }\) मैं निरन्तर ह्यसमान है।
प्रश्न 5.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिसमें
f(x) = 2x3 – 2 – 36x +7 से प्रदत्त फलन f :
(a) वर्धमान,
(b) ह्रासमान है।
हल:
प्रश्नानुसार,
f(x)=2 x3 – 3x3 – 36x + 7
⇒ f ‘(x) = 6x² – 6x – 36
f ‘(x) = 0
⇒ 6x² – 6x – 36 = 0
⇒ 6(x² – x – 6 ) = 0
⇒ 6(x² – 3) (x + 2) = 0
⇒ x – 3 = या + 2 = 0
⇒ x = 3 या x = – 2
बिन्दु x = – 2 x = 3 वास्तविक संख्या रेखा को तीन असंयुक्त अन्तरालों (- ∞, – 2), (- 2, 3) तथा (3, ∞) में विभक्त करते हैं।
(a) अन्तराल (∞, 2) के लिए,
f’ (x) = 6x 2 – 6x – 36 > 0
क्योंकि x = – 3 पर,
f ‘(x) = 6(- 3)² – 6 (- 3) – 36
= 6 × 9 + 6 × 3 – 36
= 54 + 18 – 36 = 36 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी f(x) > 0 दिखाया जा सकता है।
अतः अन्तराल (- ∞, – 2) में फलन निरन्तर वर्धमान है अर्थात्
x ∈ (- 00, – 2 ) के लिए फलन निरन्तर वर्धमान है।
(b) (- 2, 3) के लिए,
f ‘(x) = 6x² – 6x – 36 < 0 क्योंकि x = 1 पर,
f ‘(x) = 6 (1)² – 6 × 1 – 36
= 6 – 6 – 36 – 36 < 0
x = 0 पर, f ‘(x) = 6(0)² – 6 ×0-36
= – 36 < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर दिखाया जा सकता है कि f’ (x) < 0. अत: x ∈ ( – 2, 3) के लिए फलन निरन्तर ह्रासमान है। (c) (3, 00) के लिए f’ (x) = 6x² – 6x – 36 > 0.
क्योंकि x = 4 पर,
f ‘(x) = 6 × (4)² – 6 × 4 – 36
= 96 – 24 – 36
= 96 – 60 – 36 > 0
x = 5 पर, f'(x) = 6(5)² – 6 × 5 – 36
= 6 × 25 – 30 – 36
= 150 – 30 – 36
= 84 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं पर भी दिखाया जा सकता है कि f ‘(x) > 0
अत: x ∈ (3, ∞) के लिए फलन निरन्तर वर्धमान है।
इस प्रकार अन्तराल (- ∞, – 2) ∪ (3, ∞) में फलन f निरन्तर वर्धमान है {f’ (x) > 0}
अन्तराल (- 2, 3) में फलन निरन्तर ह्रासमान है { f (x) < 0}.
प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या ह्रासमान हैं-
(a) f(x) = x² + 2x + 5
(b) f (x) = 10 – 6x – 2x²
(c) f (x) = 2×3 – 9×2 – 12x + 1
(d) f(x) = 69xx2
(e) f(x) = (x + 1 ) 3 (x – 3 )3.
हल:
(a) f(x) = x² + 2x + 5
⇒ f ‘(x) = 2x + 2
f’ (x) = 0
⇒ 2x + 2 = 0
⇒ 2 (x + 1) = 0
⇒ x + 1 = 0
⇒ x = – 1
बिन्दु x = 1 वास्तविक संख्या रेखा को दो असंयुक्त अन्तरालों (- ∞ – 1 ) तथा (- 1, ∞) में विभक्त करता है।
(i) अन्तराल (- ∞, – 1) में,
f ‘(x) = 2 (x + 1) < 0
क्योंकि x ∈ ( – ∞ – 1 ) में x < 0
x = – 2 – 2 के लिए,
f'(x) = 2 (- 2 + 1)
= 2 ( – 1) = – 2 < 0
x = 3 के लिए,
f ‘(x) = 2 (- 3 + 1)
2(- 2)= – 4 < 0 इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं के लिए भी दिखाया जा सकता है।
अत: x∈ ( – ∞, 1) के लिए फलन निरन्तर ह्रासमान है।
(ii) अन्तराल (- 1, ∞) के लिए,
f'(x) = 2(x + 1) > 0
क्योंकि x > – 1
x = 0 के लिए,
f ‘(x) = 2(0 + 1) = 2 × 1 = 2 > 0
x = 1 के लिए,
f ‘(x) = 2 ( 1 + 1) = 2 × 2 = 4 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं के लिए भी दिखाया जा सकता है।
अतः x ∈ (- 1, ∞) के लिए फलन f निरन्तर वर्धमान है।
(b) f (x) = 10 – 6x – 2x²
⇒ f ‘(x) = – 6 – 4x
⇒ f ‘(x) = – 2(3 + 2x)
f ‘(x) = 0
⇒ – 2(3 + 2x) = 0
⇒ 3 + 2x = 0
⇒ x = – \(\frac{3}{2}\)
बिन्दु x = – \(\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\) वास्तविक संख्या रेखा को दो असंयुक्त अन्तरालों \(\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\) तथा \(\left(-\frac{3}{2}, \infty\right)\) में विभक्त करता है।
(i) अन्तराल \(\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\) के लिए,
f ‘(x) = – 2(3 + 2x) > 0
x = – 2 के लिए,
f ‘(x) = – 2{3 + 2 (- 2)}
= – 2(3 – 4)
= – 2 (- 1 ) = 2 > 0
x = – 3 के लिए,
f ‘(x) = – 2{3 + 2(-3)}
= – 2(3 – 6)
= -2 (- 3) = 6 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर दिखाया जा सकता है। कि f(x) > 0
अतः x ∈\(\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\) के लिए फलन, निरन्तर वर्धमान है।
(ii) अन्तराल \(\left(-\frac{3}{2}, \infty\right)\) के लिए,
f ‘(x) = – 2(3 + 2x) < 0
x = – 1 के लिए,
f’ (x) = – 2{3 + 2 (- 1)}
= – 2(3 – 2)
= – 2 × 1 = – 2 < 0
x = 0 के लिए,
f ‘(x) = – 2(3 + 2 × 0)
– 2 × 3 = – 6 < 0
x = 1 के लिए,
f'(x) = – 2(3 + 2 × 1 )
= – 2(3 + 2)
= – 2 × 5 = – 10 < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है।
अतः x ∈\(\left(-\frac{3}{2}, \infty\right)\) के लिए फलन निरन्तर समान है।
(c) (x) = – 2x3 – 9x2 – 12x + 1
f ‘(x) = – 6x2 – 18x – 12
= – 6 (x2 + 3x + 2)
= f ‘(x) = 0
– 6(x2 + 3x + 2) = 0
x2 + 3x + 2 = 0
(x + 2) (x + 1) = 0
x + 2 = 0 या x + 1 = 0
x = – 2 या x = – 1
बिन्दु x = 2 तथा x = – 1 वास्तविक संख्या रेखा को तीन असंयुक्त अन्तरालों (- ∞, – 2), (- 2, – 1) तथा (- 1, ∞) में विभक्त
करते हैं।
(i) अन्तराल ( – ∞, – 2 ) के लिए,
f'(x) = – 6(x2 + 3x + 2) < 0
x = 3 के लिए,
f ‘(x) = – 6{(- 3)2 + 3(- 3)+2}
=- 6(9 – 9 + 2)
=- 6 × 2 = – 12 < 0
x = 4 के लिए,
f ‘(x)=- 6{(- 4)2 + 3(- 4) + 2}
=- 6(16 – 12 + 2)
= – 6 × 6 = – 36 < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को भी लेकर दिखाया जा सकता है कि f’ (x) < 0.
अत: x ∈( – ∞, – 2 ) के लिए फलन निरन्तर ह्रासमान है।
(ii) अन्तराल (- 2, – 1 ) के लिए,
f ‘(x) = – 6(x2 + 3x + 2) > 0
x = 1.5 के लिए,
f ‘(x) = − 6{(−1·5)2 + 3(−1·5) + 2}
= – 6(2·25 – 4.5 + 2)
= – 6(4·25 – 4·50)
= – 6(- 0.25)
= + 1.50 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को भी लेकर दिखाया जा सकता है कि f'(x) > 0.
अत: x ∈ ( – 2 – 1 ) के लिए फलन f निरन्तर वर्धमान है।
(iii) अन्तराल (- 1, ∞) के लिए,
f’ (x) = – 6(x2 + 3x + 2) < 0
x = 0 के लिए,
f'(x) = – 6(02 + 3 ×0 + 2)
= – 6 × 2 = – 12 < 0
x = 1 के लिए,
f'(x) = – 6{(1)2 + 3 × 1 + 2} -6(1 + 3 + 2)
– 6 × 6 = – 36 < 0.
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को भी लेकर दिखाया जा सकता है कि f ‘(x) < 0
अतः x ∈ (- 1, ∞ ) के लिए फलन निरन्तर समान है।
अत: (i) व (iii) से यह कहा जा सकता है कि फलन ( – ∞, – 2) ∪ (- 1, ∞) में निरन्तर ह्रासमान है।
(d) f(x) = 6 – 9x – x2
⇒ f ‘(x) = – 9 – 2x
f'(x) = 0
⇒ – 9 – 2x = 0
⇒ – 2x = 9
⇒ x = – \(\frac{9}{2}\)
बिन्दु x = – \(\frac{9}{2}\) वास्तविक संख्या रेखा को दो असंयुक्त अन्तरालों \(\left(-\infty,-\frac{9}{2}\right)\) तथा \(\left(-\frac{9}{2}, \infty\right)\) में विभक्त करता है।
(i) \left(-\infty,-\frac{9}{2}\right) के लिए,
f ‘ (x) = – 9 – 2x > 0
x = – 5 के लिए,
f ‘(x) = – 9 – 2 ( – 5)
9 + 10 = 1 > 0
x = – 6 के लिए,
f'(x) = – 9 – 2(- 6)
= – 9 + 12 = 3 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर दिखाया जा सकता है कि f ‘(x) > 0.
अतः x ∈ \(\left(-\infty,-\frac{9}{2}\right)\) के लिए फलन, f निरन्तर वर्धमान है।
(ii) अन्तराल \(\left(-\frac{9}{2}, \infty\right)\) के लिए,
f’ (x) = 9 – 2x < 0
x = 4 के लिए,
f’ (x) = – 9 -2 (-4)
= – 9 + 8 = – 1 < 0
x = – 3 के लिए,
f ‘(x) = – 9 – 2 (- 3)
= – 9 + 6 = – 3 <0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर दिखाया जा सकता है कि f’ (x) < 0.
अतः x ∈\(\left(-\frac{9}{2}, \infty\right)\) के लिए फलन निरन्तर समान है।
(e) f(x) = (x + 1)3 (x – 3)3
⇒ f ‘(x) = (x + 1)3. \(\frac{d}{dx}\) (x – 3)3 + (x-3)3 \(\left(-\frac{9}{2}, \infty\right)\) (x + 1)3
⇒ f ‘(x) = (x + 1)3.3(x-3)2 + (x – 3)3.3(x + 1)2
⇒ f ‘(x) = 3(x + 1)2 (x – 3)2 [(x + 1 + x – 3)}
⇒ f ‘(x) = 3(x + 1)2(x-3)2 (2x – 2)
⇒ f ‘(x) = 3(x + 1)2 (x – 3)2 2(x – 1)
⇒ f ‘(x) = 6(x – 1) (x + 1)2 (x – 3)2
f ‘(x) = 0
⇒ 6(x – 1) (x + 1)2 (x – 3)2 = 0
⇒ x – 1 = 0 या (x + 1)2 = 0 (x – 3)2 = 0
x = 1 या x = – 1 या x = 3
बिन्दु x = 1, x = 1 तथा x = 3 वास्तविक संख्या रेखा को चार असंयुक्त अन्तरालों (- ∞, – 1), (- 1, 1), (1, 3) तथा ( 3, ∞) में विभक्त करते हैं।
(i) अन्तराल (- ∞, 1) के लिए,
f ‘(x) = 6(x – 1) (x + 1)2 (x – 3)2 < 0
x = – 2 के लिए,
f'(x) = 6(- 2 – 1) (-2+1)2 (- 2 – 3)2
f'(x) = 6(- 3) (- 1)2 (- 5)2
⇒ f ‘(x) = – 18 × 1 × 25
= – 450 < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है कि f’ (x) < 0.
अत: x x ∈ ( ∞ – 1 ) के लिए फलन निरन्तर ह्रासमान है।
(ii) अन्तराल (1, 1) के लिए,
f ‘(x) = 6(x – 1) (x + 1 )2 (x – 3 )2 < 0
x = 0 के लिए,
f’ (x) = 6(0 – 1) (0 + 1) 2 (0 – 3 ) 2
= 6 × (- 1) × 1 × 9 = – 54 < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को भी लेकर दिखाया जा सकता है कि f ‘(x) < 0. अत: x ∈ (- 1, 1) के लिए फलन निरन्तर समान है। (iii) अन्तराल (1, 3) के लिए, f’ (x) = 6(x – 1) (x + 1) 2 (x – 3 ) 2 > 0
x = 2 के लिए,
f ‘(x) = 6(2 – 1) (2 + 1)2 (2 – 3 )2
= 6 × 1 × 9 × 1 = 54 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को भी लेकर दिखाया जा सकता है कि f ‘(x) > 0.
अतः x ∈ (1, 3) के लिए फलन / निरन्तर वर्धमान है।
(iv) अन्तराल (3, ∞ ) के लिए
f'(x) = 6(x – 1) (x + 1 )2 (x – 3 )2 0
x = 4 के लिए,
f ‘(x) = 6(4 – 1) (4 + 1)2 (4 – 3 )2 > 0
= 6 × 3 × 25 × 1 = 450 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को भी लेकर दिखाया जा सकता है कि f(x) > 0.
अतः x ∈ (3, ∞) के लिए फलन f निरन्तर वर्धमान है।
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि y = log (1+x ) – \(\frac { 2x }{ 2 + x }\), x > – 1 अपने सम्पूर्ण प्रान्त में एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना y = (x)
फलन अपने प्रान्त में निरन्तर वर्धमान है।
प्रश्न 8.
x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y = (x (x – 2) ]2 एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना y = (x)
बिन्दु x = 0, x = 1 तथा x = 2 वास्तविक संख्या रेखा को चार असंयुक्त अन्तरालों (- ∞, 0), (01), (1, 2) तथा (2, ∞) में विभक्त करते हैं।
(i) अन्तराल (- ∞, 0) के लिए,
f ‘(x) = 4 x3– 12x2 + 8x
= 4x (x – 2 ) (x – 1 ) < 0
x = – 1 के लिए,
f ‘(x) = 4(- 1)3 – 12( – 1)2 + 8 (- 1)
= – 4 – 12 – 8 = – 24 < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है कि (x) < 0. अत: x ∈ ( – ∞, 0) के लिए फलन निरन्तर समान है। (ii) अन्तराल (- ∞, 1 ) के लिए, f ‘(x) = 4x(x – 2) (x – 1) > 0
x = \(\frac{1}{2}\) के लिए,
\(f^{\prime}(x)=4 \times \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-2\right)\left(\frac{1}{2}-1\right)\)
\(=2\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}>0\)
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है कि ‘ (x) > 0.
अतः x ∈ (0, 1) के लिए फलन निरन्तर वर्धमान है।
(iii) अन्तराल (1, 2) के लिए,
f ‘(x) = 4x (x – 1 ) (x – 2 ) < 0
x = \(\frac{3}{2}\) के लिए,
f(x) = 4 × \(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}-1\right)\left(\frac{3}{2}-2\right)\)
= 6 \(\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}<0\)
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है कि f(x) < 0. अत: x ∈ (1, 2) के लिए फलन निरन्तर ह्रासमान है। (iv) अन्तराल (2, ∞) के लिए, f ‘(x) = 4x (x – 1) (x – 2 ) > 0
x = 3 के लिए,
f ‘(x) = 4 × 3( 3- 1) (3 – 2)
= 4 × 3 × 2 × 1 – 24 > 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है कि f ‘(x) > 0.
अत: x ∈ (2, ∞) के लिए फलन निरन्तर वर्धमान है।
इस प्रकार x ∈ (0, 1) ∪ (2, ∞) में फलन वर्धमान है।
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि \(\left[ 0,\frac { \pi }{ 2 } \right]\) में
y = \(\frac { 4sin\theta }{ (2+cos\theta ) } -\theta \)
θ का एक वर्धमान फलन है। हल माना
हल:
माना y = f(θ)
≤ cos θ ≤1 तथा (2 + cos θ)2 > 0.
∴ f ‘(θ) > 0
अतः अन्तराल [0, π/2] में फलन निरन्तर वर्धमान है।
प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0, ∞) में निरन्तर वर्धमान फलन है।
हल:
माना
f(x) = log x, x > 0
⇒ f ‘(x) = \(\frac{1}{x}\) > 0, x > 0 के लिए
∴ f ‘(x) > 0
अतः लघुगणकीय फलन (0, ∞) में निरन्तर वर्धमान फलन है।
प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि ( – 1, 1) में f(x) = x2 – x + 1
से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल:
f(x) = x2 – x + 1
⇒ f ‘(x) = 2x – 1
f ‘(x) = 0
⇒ 2x – 1 = 0
⇒ 2x = 1
⇒ x = 1/2
बिन्दु x = \(\frac{1}{2}\) अन्तराल (- 1, 1) को दो असंयुक्त अन्तरालों
\(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\) तथा \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) में विभक्त करता है।
(i) अन्तराल \(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\) के लिए,
f ‘(x) = 2x – 1< 0
x = 0 के लिए,
f ‘(x) = 2 × 0 – 1 = – 1 < 0
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है कि f ‘(x) < 0.
अत: x ∈\(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\) के लिए फलन निरन्तर ह्रासमान है।
(ii) अन्तराल \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) के लिए f’ (x) = 2x – 1 > 0
x = \(\frac{3}{4}\) के लिए,
f ‘(x) = \(2 \times \frac{3}{4}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}>0\)
इसी प्रकार अन्य बिन्दुओं को लेकर भी दिखाया जा सकता है कि f ‘(x) > 0.
अत: x ∈ \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) के लिए फलन निरन्तर वर्धमान है।
इस प्रकार फलन \(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\) में ह्यसमान है तथा (\(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) वर्धमान है।
अतः फलन अन्तराल (- 1, 1) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है ।
प्रश्न 12.
निम्नलिखित में कौन \(\left(-1, \frac{1}{2}\right)\) से फलन ह्रासमान हैं:
(A) cos x
(B) cos 2x
(C) cos 3x
(D) tan x
हल:
(A) माना f(x) = cos x
⇒ f ‘(x) = – sin x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में,
sin x > 0 ⇒ – sin x < 0
⇒ f ‘(x) < 0 अत: f(x) = cos x.\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में निरन्तर ह्रासमान है।
(B) f(x) = cos 2x ⇒ f’ (x) = – 2 sin 2x अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में, sin 2x > 0
⇒ – sin 2x < 0 (0 < 2x <r)
⇒ f ‘(x) < 0
अतः अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\).में cos 2x निरन्तर ह्रासमान है।
(C) माना f(x) = cos 3x
⇒ f ‘(x) = – 3 sin 3x
जब x ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
⇒ 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 0 < 3x < \(\frac{3 \pi}{2}\)
⇒ sin 3x धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों हो सकता है।
⇒ f (x) = – 3 sin 3x धनात्मक तथा ऋणात्मक दोनों है।
अतः फलन अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
(D) माना f(x) = tan x
⇒ f ‘(x) = sec2 x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में,
secx > 0
⇒ sec2 x 0
⇒ f ‘(x) > 0
अतः अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में tan x निरन्तर वर्धमान है।
प्रश्न 13.
निम्नलिखित अन्तरालों में से किस अन्तराल में f(x) = x100 + sin x – 1 द्वारा प्रदत्त फलन निरन्तर ह्रासमान है-
(A) (0, 1)
(B) \(\left[ \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right] \)
(C) \(\left[ 0,\frac { \pi }{ 2 } \right] \)
(D) इनमें से कोई नहीं ।
हल:
माना f(x) = x100 + sin x – 1
⇒ f ‘(x) = 100x99 + cos x
(A) अन्तराल (0, 1) के लिए,
0 < x < 1
⇒ 0 < 100x99 < 100
तथा cos x 0
∴ 100x99 + cos x > 0 = f ‘(x) > 0
∴ फलन f(x) = x100 + sinx – 1 अन्तराल (0, 1) में वर्धमान है।
(B) अन्तराल \(\left[ \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right] \) के लिए,
x ∈\(\left[ \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right] \)
⇒ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
⇒ x99 > 1
⇒ 100x99> 100 …………….(1)
∴ x ∈\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
∴- 1< cos x < 0 ⇒ 0 cos x> – 1 …………..(2)
समी (1) तथा (2) से,
100 x99 + cos x > 100 – 1 = 99
100x99 + cos x > 0
⇒ f ‘(x) > 0
(∵ f (x) = 100x99 + cos x)
∵ \(\left[ \frac { \pi }{ 2 } ,\pi \right] \) मैं f(x) वर्धमान फलन है।
(C) अन्तराल \(\left[ 0,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) के लिए,
f'(x) = 100x99 + cos x> 0
क्योंकि cos x > 0 तथा 100x99 > 0
⇒ f ‘(x) > 0
∵ अन्तराल \(\left[ 0,\frac { \pi }{ 2 } \right] \) में फलन वर्धमान है।
हम देखते हैं कि सभी अन्तरालों में फलन वर्धमान है। अत: विकल्प (D) सही है।
प्रश्न 14.
a का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अन्तराल [1, 2] में f(x) = x2 + ax + 1 से प्रदत्त फलन निरन्तर वर्धमान है।
हल :
f(x) =x2 2x+ 1
⇒ f(x) = 2x + a
x ∈ (1, 2)
⇒ 1 < x < 2
⇒ 2 < 2x < 4
⇒ 2 + a < 2x + a< 4 + a ⇒ 2 + a > a
∵ a > – 2
अतः a का न्यूनतम मान – 2 है।
[a = 2 के लिए,
f ‘(x) = 2x – 2 = 2(x – 1 ) > 0
∵ 1< x < 2 ]
प्रश्न 15.
मान लीजिए [- 1, 1] से असंयुक्त एक अन्तराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x) = x + \(\frac{1}{x}\) से प्रदत्त फलन, f निरन्तर वर्धमान है।
हल :
f(x) = x + \(\frac{1}{x}\)
⇒ f ‘(x) = 1 – \(\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\)
प्रश्नानुसार / ऐसा अन्तराल है जो (1, 1) से असंयुक्त है अर्थात्
x < – 1 तथा x > 1
f ‘(x) > 0
यदि \(\frac{x^2-1}{x^2}\) > 0 ⇒ x² > 1
⇒ x <- 1 तथा x >1
∴ इस अन्तराल में f ‘(x) > 0 है।
अतः फलन / निरन्तर वर्धमान है जब x < 1 x > 1.
अत f(x), I में निरन्तर वर्धमान है।
प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x)= log sinx, (0, \(\frac { π }{ 2 }\)) में निरन्तर वर्धमान और (\(\frac { π }{ 2 }\), π) में निरन्तर ह्रासमान है।
हल :
f(x) = log sin x
⇒ f(x) = \(\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{d}{d x} \sin x\)
= \(\frac{1}{\sin x} \times \cos x\)
⇒ f ‘(x) = cot x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में cot x > 0 अर्थात्
f'(x) > 0
अतः अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में फलन निरन्तर वर्धमान है।
अन्तराल (\(\frac { π }{ 2 }\), π) में
cot x < 0
⇒ f ‘(x) < 0
अतः अन्तराल (\(\frac { π }{ 2 }\), π) में फलन निरन्तर समान है।
प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log | cos x | (0, \(\frac { π }{ 2 }\)) में निरन्तर वर्धमान और (\(\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)\) में निरन्तर ‘हासमान’ है।
हल :
f(x) = log cos x
प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x) – x3 – 3x2 + 3x – 100 वर्धमान है।
हल:
f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 100
⇒ f ‘(x) = 3x2 – 6x + 3
⇒ f ‘(x) = 3(x2 – 2x + 1)
⇒ f ‘(x) = 3 (x – 1 )2 > 0
⇒ f ‘(x) > 0 {∵ (x – 1)2 > 0 ∀ x ∈ R}
अतः फलन R में निरन्तर वर्धमान है।
प्रश्न 19.
निम्नलिखित में से किस अन्तराल में y = x2 e-x वर्धमान है ?
(a) (-∞, ∞)
(b) (-2 0)
(c) (2, ∞)
(d) (0, 2)
हल:
माना f ‘(x) = x2 e-x
y = (x) – Sex
∴ अन्तराल (0, 2) में फलन वर्धमान है।
अत: विकल्प (D) सही है।