NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.3

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.3

प्रश्न 1.
वक्र y = 3x⁴ – 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए ।
हल :
y = 3x⁴ – 4x का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = 3 × 4x³ – 4 = 12x³ – 4
x = 4 पर, \(\frac{dy}{dx}\) = 12 × (4)³ – 4
= 12 × 64 – 4
= 768 – 4 = 764
∴ \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=4)}\) = 764
m = 764
∴ x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 764 है।

प्रश्न 2.
वक्र y = \(\frac{x-1}{x-2}, x \neq 2\) के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए ।
हल :
y = \(\frac{x-1}{x-2}\) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(=\frac{x-2-x+1}{(x-2)^2}=-\frac{1}{(x-2)^2}\)
= \(\frac{x-2-x+1}{(x-2)^2}=-\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(10-2)^2}=-\frac{1}{8^2}=-\frac{1}{64}\)
∴ \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=10)}=-\frac{1}{64}\)
अत: x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता

प्रश्न 3.
वक्र y = x³ – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x – निर्देशांक 2 है।
हल:
y = x³ – x + 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = 3x² – 1
x= 2 पर, \(\frac{dy}{dx}\) = 3(2)² – 1
= 3 × 4 – 1 = 12 – 1 = 11
∴ \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=2)}=11\)
अतः x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 11 है।

प्रश्न 4.
वक्र y = x³ – 3x + 2 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x – निर्देशांक 3 है।
हल:
y = x³ – 3x + 2 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = 3x² – 1
x = 3 पर, \(\frac{dy}{dx}\) = 3 × 3² – 3
=27 – 3 – 24
∴\(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{(x=3)}=24\)
m = 24
अतः x = 3 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता 24 है।

प्रश्न 5.
वक्र x = a cos³ θ, y = a sin³ θ के θ = π/4 पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
x = a cos³ θ तथा y = a sin³ का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
वक्र x = 1 – a sin 6, y = b cos 2 θ के θ \(\frac{\pi}{2}\) = पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल :
x = 1 – a sin θ, y = b cos 2 0 का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d x}{d \theta}=-a \cos \theta\)
\(\frac{d y}{d \theta}=-2 b \cos \theta \sin \theta\)
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d \theta} / \frac{d x}{d \theta}\)

अतः अभीष्ट बिन्दु (3,- 20) तथा (- 1,12) हैं।

प्रश्न 7.
वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ x अक्ष के समान्तर हैं।
हल :
y = x³ – 3x² – 9x + 7 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
वक्र y = (x – 2)² पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2, 0) और (4, 4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
बिन्दुओं ( 2, 0) तथा (4, 4) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
m = \(\frac{4-0}{4-2}=\frac{4}{2}=2\)
y = (x – 2)² का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = -2 (x – 2 ) ………..(1)
चूँकि स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2, 0) तथा (4, 4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता = बिन्दुओं (2, 0) तथा (4, 4) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = 2 …………(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
2 (x – 2) = 2
⇒ x – 2 – 1
⇒ x = 2 + 1 = 3
x = 3 को y = (x – 2)² में रखने पर,
y = (3 – 2)² = 1² = 1
अत: अभीष्ट बिन्दु (3, 1 ) है जिस पर स्पर्श रेखा दिए गए बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा के समान्तर होगी।

प्रश्न 9.
वक्र y = x)² – 11x + 5 पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा y = x – 11 है।
हल : y = x)³ – 11x + 5 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dy}{dx}\) = 3x² – 11
स्पर्श रेखा y = x – 11 की प्रवणता = 1
∴ 1 = 3x² – 11
⇒ 3x² = 12
⇒ x2 = 4
⇒ x = ± 2
जब x = 2, तब y = 2³ – 11 × 2 + 5
= 8 – 22 + 5 = – 9
जब x = – 2, तब y = (2)³ – 11 (- 2) + 5
– 8 + 22 + 5 = 19
बिन्दु (- 2, 19) पर स्पर्श रेखा y = x – 11 नहीं है।
क्योंकि L.H.S. = 19
R.H.S. = – 2 – 11 = – 13
19 ≠ 13
अत: बिन्दु (2, 9) पर स्पर्श रेखा y = x – 11.

प्रश्न 10.
प्रवणता – 1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac { 1 }{ x-1 }\), x ≠ 1
1 को स्पर्श करती हैं।
हल :
y = \(\frac { 1 }{ x-1 }\), का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(x-1)^2}\) ……………(1)
स्पर्श रेखा की प्रवणता समीकरण (1) तथा (2) से, ……………..(2)
– 1 =
⇒ (x – 1 )² = 1.
⇒ x = 1 = ± 1
⇒ x = 1 = + 1या x = – 1 + 1 = 0
⇒ x = 2 या x = 0
x = 0 पर, y = \(\frac{1}{0-1}=-1\)
x = 2 पर, y = \(\frac{1}{2-1}=\frac{1}{1}=1\)
∴ (0, – 1 ) तथा ( 2, 1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता – 1 बिन्दु (0, – 1 ) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – (- 1) = – 1 (x – 0 )
⇒ y + 1 = – x
⇒ x + y + 1 = 0
तथा बिन्दु (2, 1 ) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 1 = – 1 (x – 2)
⇒ y – 1 = – x + 2
⇒ x + y = 2 + 1
⇒ x + y – 3 = 0
अतः अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ x + y + 1 = 0 तथा x + y – 3 = 0 हैं।

प्रश्न 11.
प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac { 1 }{ x-3 }\), x ≠ 3. को स्पर्श करती हैं।
हल :
y = \(\frac { 1 }{ x-3 }\) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(x-3)^2}\) ………….(1)
∴ स्पर्श रेखा की प्रवणता समीकरण (1) तथा (2) से, ……………(2)
2 = \(\frac{1}{(x-3)^2}\)
⇒ 2(x – 3)² = – 1
⇒ (x – 3)² = – \(\frac{1}{2}\)
यह सम्भव नहीं है क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता (x ∈ R, तो x² > 0).
अतः वक्र की कोई ऐसी स्पर्श रेखा नहीं है जिसकी प्रवणता 2 है।

प्रश्न 12.
प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-2x+3 }\) को स्पर्श करती हैं।
हल :
y = \(\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-2x+3 }\) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर B

प्रश्न 13.
वक्र \(\frac { { x }^{ 2 } }{ 9 } + \frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } \) = 1 के उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ
(i) x – अक्ष के समान्तर हैं,
(ii) y – अक्ष के समान्तर हैं।
हल :
\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 9 } + \frac { { y }^{ 2 } }{ 16 } \) = 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{2 x}{9}+\frac{2 y}{16} \frac{d y}{d x}\) = 0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=-\frac{2 x}{9} \times \frac{16}{2 y}=-\frac{16 x}{9 y}\)
(i) जब स्पर्श रेखा x – अक्ष के समान्तर हो, तो
\(\frac{1}{0-1}=-1\) = 0
∴\(\frac{16x}{9y}=-1\) = 0
⇒ x = 0
समीकरण \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}\) = 1 में x = 0 रखने पर,
y²= 16
⇒ y = ± 4
अत: बिन्दुओं (0, ± 4) पर स्पर्श रेखाएँ x – अक्ष के समान्तर हैं।
(ii) जब स्पर्श रेखा y-अक्ष के समान्तर होती है अर्थात् x अक्ष पर लम्ब हो, तो

अत: बिन्दुओं ( 3,0) पर स्पर्श रेखाएँ y-अक्ष के समान्तर हैं।

प्रश्न 14.
दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए-
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 के (0,5) पर
(ii) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 के (1,3) पर
(iii) y = x³ के (1, 1) पर
(iv) y = x² के (0,0) पर
(v) x = cos t, y = sin t के t = π/4 पर
हल :
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,





चूँकि अभिलम्ब स्पर्श रेखा पर लम्ब होता है।
अत: अभिलम्ब के समीकरण x = 0.
टिप्पणी :
(i) यहाँ स्पर्श रेखा x-अक्ष है (y = 0) तथा
(ii) अभिलम्ब y-अक्ष है (x=0) ।


तथा अभिलम्ब का समीकरण
y = x.

प्रश्न 15.
वक्र y = x² – 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो-
(a) रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
(b) रेखा 5y – 15x = 13 पर लम्ब है।
हल:
(a) x² – 2x + 7 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(=\frac{dy}{dx}\) – 2x – 2 ……….(1)
रेखा 2x y + 9 = 0 की प्रवणता के लिए,
2x + 9 = y
⇒ y = 2x + 9
∴ रेखा की प्रवणता = \(-\frac{a}{b}=-\frac{2}{(-1)}=2\)
अतः रेखा 2x – y + 9 की प्रवणता 2 है।
चूँकि स्पर्श रेखा दी गई रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता = रेखा की प्रवणता
∴\(=\frac{dy}{dx}\) = 2
⇒ 2x – 2 = 2
⇒ 2(x – 1) = 2
⇒ x – 1 = 1
⇒ x = 1 + 1 = 2
∴ x = 2
वक्र के समीकरण y = x² – 2x + 7 में x = 2 रखने पर,
y = 2² – 2 × 2 + 7
= 4 – 4 + 7 – 7
बिन्दु (2,7) है।
बिन्दु (2, 7) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 7 = 2(x – 2).
⇒ y – 7 = 2x – 4
⇒ 2x – y – 4 + 7 = 0
⇒ 2x – y + 3 = 0
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण
2x – y + 3 = 0.

(b) रेखा 5y – 15x = 13 की प्रवणता के लिए,
5y = 15x + 13
⇒ y = 3x + \(=\frac{13}{5}\)
∴ दी गई रेखा की प्रवणता = 3
∴ स्पर्श रेखा 5y – 15x = 13 पर लम्ब है।

∴ स्पर्श रेखा की प्रवणता = – \(=\frac{1}{3}\)
परन्तु स्पर्श रेखा की प्रवणता = 2x – 2
∴ 2x – 2 = – \(=\frac{1}{3}\)
[समीकरण (1) से]

⇒ 36y – 217 = 12(x – 5/6) (36 का दोनों पक्षों में गुणा करने पर)
⇒ 36y – 217 = – 12x + 12 × 5/6
⇒ 36y- 217 – 12x + 10
⇒ 12x + 36y – 10 – 217 = 0
⇒ 12x + 36y – 227 – 0
अतः स्पर्श रेखा का समीकरण 12x + 36y – 227 = 0 है।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 7x³ + 11 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं, जहाँ x = 2 तथा x = – 2 है।
हल:
y = 7x³ + 11 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(=\frac{dy}{dx}\) = 7 x 3x²
x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता,
\(=\frac{dy}{dx}\) = 7× 3(2)²
= 7 × 3 × 4 = 84
x = – 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
\(=\frac{dy}{dx}\) = 7 × 3(- 2)²
= 7 × 3 × 4 = 84
अतः x = 2 तथा x = – 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता समान है।
∴ x = 2 तथा x = – 2 पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 17.
वक्र y = x पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के y-निर्देशांक के बराबर है।
हल:
y = x³ का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(=\frac{dy}{dx}\) 3x²
बिन्दु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 13 x₁²

अतः अभीष्ट बिन्दु (0, 0) तथा (3, 27) हैं।

प्रश्न 18.
वक्र y = 4×3 – 2×5 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूलबिन्दु से होकर जाती हैं।
हल:
∴ माना बिन्दु (x₁, y₁) है।
y = 4x³ – 2x⁵
समी. (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

x₁ = 1, y1 = 4 × 1³ – 2 × 1⁵ = 2
x₁ = – 1, y1 = 4(- 1 )² – 2 (- 1)⁵
= 4 + 2 = 2
अत: अभीष्ट बिन्दु (0, 0), (1, 2) तथा ( – 1, 2) हैं।

प्रश्न 19.
वक्र x² + y² – 2x – 3 = 0 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x-अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
x² + y² – 2x – 3 = 0 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

∴ अभीष्ट बिन्दु (1, 2), (1, – 2 ) हैं ।

प्रश्न 20.
वक्र ay² = x³ के बिन्दु (am², am³ ) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल:
ay² = x³ का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

∴ (am² am³) पर अभिलम्ब का समीकरण
y – am³ = – \(\frac{2}{3 m}\left(x-a m^2\right)\)
⇒ 3my – 3am⁴ = 2x + 2am²
⇒ 2x + 3my – 3am⁴– 2am² = 0
⇒ 2x + 3my – am² (3m² + 2 ) = 0
अतः अभिलम्ब का समीकरण
2x + 3my – am³ (2 + 3m³ ) = 0

प्रश्न 21.
वक्र y = x³ + 2x + 6 के उन अभिलम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14 + 4 = 0 के समान्तर हैं।
हल:
y = x³ + 2x + 6 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,


⇒ 14(y + 6 ) = (x + 2)
⇒14y + 84 = – x – 2
⇒ x + 14y + 84 + 2 = 0
⇒ x + 14y + 86 = 0
अतः अभिलम्बों के समीकरण x + 14y – 254 = 0 तथा x + 14y +86 = 0 हैं।

प्रश्न 22.
परवलय y² = 4ax के बिन्दु (at², 2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए। [RBSE 2012]
हल:
y³ = 4ax का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y² और xy = k एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, यदि 8/2 = 1 है।
हल:
वक्र x = y² तथा xy = k को हल करने पर,
y ² × y = k
⇒ y³ = k
⇒ y = k^1/3
x = (k^1/3)2 = k^2/3
अतः वक्र x =y² तथा xy = k k एक-दूसरे को (k^2/3, k^1/3 ) पर काटते हैं।
x = y² का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 24.
अतिपरवलय \(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } }\) = 1 के बिन्दु (x₀, y₀) पर, स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए ।
हल :
\(\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } }\) = 1 का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{2 x}{a^2}-\frac{2 y}{b^2} \frac{d y}{d x}=0\)
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{b^2 x}{a^2 y}\)
∴ बिन्दु (x₀, y₀) पर,
स्पर्शी की प्रवणता = \(\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\)
∴ ((x₀, y₀)) पर स्पर्श रेखा का समीकरण

प्रश्न 25.
वक्र y = \(\sqrt { 3x – 2 } \) की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x – 2y + 5 = 0 के समान्तर हैं।
हल : y = \(\sqrt { 3x – 2 } \) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए-
प्रश्न 26.
वक्र y = 2x² + 3sin x के x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता है:
(a) 3
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(c) -3
(d) \(-\frac { 1 }{ 3 }\)
हल:
y = 2x² + 3 sinx का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{dx}{dy}\) = 4x + 3 cos x
x = 0 पर, \(\frac{dx}{dy}\) = 4 × 0 + 3 × cos 0 = 3 × 1 = 3
x = 0 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
∴ x=0 पर अभिलम्ब की प्रवणता

∴ विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 27.
किस बिन्दु पर y = x + 1, वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है?
(A) (1, 2)
(B) (2, 1)
(D) (- 1, 2)
(C) (1,- 2)
हल:
y² = 4x का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2y. \(\frac{dY}{dx}\) = 4
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{4}{2y}\)
∴ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{2}{y}\) (स्पर्श रेखा की प्रवणता ) ……………..(1)
तथा रेखा y = x + 1 की प्रवणता = 1 ……………..(2)
समी. (1) तथा (2) से, \(\frac{2}{y}\) = 1
⇒ y = 2
y का मान y²= 4x में रखने पर,
2² = 4x ⇒ 4 = 4x
⇒ x = 1
∴ बिन्दु (1, 2) है।
∴ बिन्दु (1, 2) पर रेखा y = x + 1 वक्र की स्पर्श रेखा है। अतः विकल्प (A) सही है ।