NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.1

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.1

प्रश्न 1.
वक्र y² = x, रेखाओं x = 1 x = 4 एवं x-अक्ष से घिरे क्षेत्र का प्रथम पाद में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय y² = x x- अक्ष के सममित है। इसका शीर्ष मूलबिन्दु O(0, 0) है।
रेखाओं x = 1 x = 4, x- अक्ष एवं वक्र y² = x से घिरा क्षेत्रफल निम्न चित्र में छायांकित भाग है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = PQMLP
= \(\int_1^4\) y dx
= \(\int_1^4\) \(\sqrt{x}\) dx
(∴ y² = x)
= \(\int_1^4\) x^1/2 dx
= \(\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_1^4\) = \(\frac{2}{3}\) x^3/2
= \(\frac{2}{3}\)[4^3/2 – 1^3/2]
= \(\frac{2}{3}\) [8 – 1]
= \(\frac{2}{3}\)(7)
= \(\frac{14}{3}\)वर्ग इकाई।

प्रश्न 2.
प्रथम चतुर्थाश में वक्र y² = 9x x = 2 x = 4 एवं x- अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र y² = 9x, x अक्ष के सममित है। इसका शीर्ष मूलबिन्दु है रेखाओं x = 2 x = 4 x अक्ष तथा वक्र y² = 9x से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्न चित्र में रेखांकित किया गया है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\int_2^4\) y dx
= \(\int_2^4\) 3\(\sqrt{x}\) dx
= 3\(\int_2^4\) \(\sqrt{x}\) dx
= 3\(\int_2^4\) x^1/2 dx
= 3\(\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_2^4\)
= 3 × \(\frac{2}{3}\)[x^3/2]⁴ ₂
= 2[4^3/2 – 2^3/2]
= 2[8 – \(2 \sqrt{2}\)]
= (16 – 4\(\sqrt{2}\))

प्रश्न 3.
प्रथम चतुर्थाश में x² = 4y, y = 2, y = 4 एवं y – अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x² = 4y एक परवलय है जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है तथा यह y – अक्ष के सममित है।
रेखाओं y = 2, y = 4 तथा – अक्ष और वक्र x² = 4y से घिरे क्षेत्र को निम्न चित्र में रेखांकित किया गया है, जो कि क्षेत्रफल LMNPL है।

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= \(\int_2^4\) x dy
= \(\int_2^4\) 2\(\sqrt{y}\) dy
= 2\(\int_2^4\) y^1/2 dy
= 2\(\frac{y^{3 / 2}}{3 / 2}\)⁴ ₂
= 2 × \(\frac{2}{3}\)[4^3/2 – 2^2/3]
= \(\frac{4}{3}\)[8 – 2\(\sqrt{2}\)
= \(\frac{32}{3}\) – \(\frac{8}{3}\)\(\sqrt{2}\)
= \(\frac{(32-8 \sqrt{2})}{3}\) वर्ग इकाई।

प्रश्न 4.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{16}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= 4 × (ABOA) का क्षेत्रफल
= 4 \(\int_0^4\) y dx

प्रश्न 5.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{4}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{4}\) + \(\frac{y^2}{9}\) = 1 दोनों अक्षों के सममित है। इसका केन्द्र (0, 0) है। दीर्घवत्त से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
= 4(AOBA का क्षेत्रफल)
= 4\(\int_0^3\) |y| dx
= 4\(\int_0^3\)\(\frac{3}{2}\) \(\sqrt{4-x^2}\) dx ……..(1)

∵ \(\frac{y^2}{9}\) = 1 – \(\frac{x^2}{4}\) = \(\frac{4-x^2}{4}\)
या y² = \(\frac{9}{4}\) (4 – x²)
∴ y = ± \(\frac{3}{2}\)\(\sqrt{4-x^2}\)
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = 4\(\int_0^2\) \(\frac{3}{2}\)\(\sqrt{4-x^2}\) dx
= 4 × \(\frac{3}{2}\)\(\int_0^2\) \(\sqrt{4-x^2}\) dx
= 6[\(\frac{x}{2}\) \(\sqrt{4-x^2}\) + \(\frac{4}{2}\) sin^-1 \(\frac{x}{2}\)]² ₀
= 6[\(\frac{2}{2}\)\(\sqrt{4-2^2}\) + \(\frac{4}{2}\)sin^-1 \(\frac{2}{2}\) – 0 – 0]
= 6[2 sin^-11]
= 6 × 2 × \(\frac{\pi}{2}\)
= 6π वर्ग इकाई।

प्रश्न 6.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x² + y² = 4, रेखा x = \(\sqrt{3}\) y एवं x-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत x² + y² = 4 का शीर्ष मूलबिन्दु है तथा त्रिज्या 2 है। रेखा x = \(\sqrt{3}\) y मूलबिन्दु तथा बिन्दु (\(\sqrt{3}\), 1) से जाती है। अभीष्ट क्षेत्रफल = QQp का क्षेत्रफल + QAP का क्षेत्रफल

प्रश्न 7.
छेदक रेखा x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) द्वारा वृत्त x² + y² = a² के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए वृत्त x² + y² = a² का शीर्ष मूलबिन्दु है।
रेखा x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) y-अक्ष के समान्तर मूलबिन्दु \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) दूरी पर है।
वृत्त x² + y² = a² तथा रेखा x = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\) से घिरे छोटे भाग को निम्न चित्र में रेखांकित किया गया है।

प्रश्न 8.
यदि वक्र x = y² एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल रेखा x = a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x = y² एक परवलय है जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है तथा यह x-अक्ष के सममित है। रेखा x = 4 मूलबिन्दु (या y-अक्ष) से 4 इकाई दूरी पर है।

वक्र x² तथा रेखा x 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
ODCO = 2 × CONC = 2\(\int_0^4\) y dx
= 2\(\int_0^4\) √x dx = 2\(\int_0^4\)x^1/2 dx
= 2\(\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\)⁴ ₀
= 2[\(\frac{2}{3}\) (4^3/2 – 0)]
= 2 × \(\frac{2}{3}\) × 8 = \(\frac{32}{3}\) वर्ग इकाई …….(1)
रेखा x = a, y-अक्ष से दूरी पर है।
वक्र x = y² तथा रेखा x = a से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
AOBA = 2 x AOMA
= 2\(\int_0^a\) y dx = 2\(\int_0^a\) √x dx
= 2\(\int_0^a\) x^1/2 dx = 2 \(\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\)
= 2 x \(\frac{2}{3}\) [a^3/2] = \(\frac{4}{3}\) a^3/2 ……(2)
प्रश्नानुसार,
क्षेत्रफल ODCO = 2 × क्षेत्रफल AOBA
∴ \(\frac{32}{3}\) = 2 × \(\frac{4}{3}\) × a^3/2 = \(\frac{8}{3}\)a^3/2
या a^3/2 = \(\frac{32 \times 3}{3 \times 8}\) = 4
∴ a = 4^3/2 इकाई।

प्रश्न 9.
परवलय y = x² एवं y = | x | से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय x² = y का शीर्ष मूलबिन्दु है तथा यह ऊपर की तरफ खुलता है।
समीकरण y = |x| मूलबिन्दु से जाने वाली दो रेखाओं y = x तथा y = x को निरूपित करता है जो x अक्ष की धनात्मक दिशा से क्रमशः 45° तथा 135° के कोण बनाती है।
रेखाएँ y = x तथा y = x, परवलय y = x 2 को क्रमशः मूलबिन्दु (0,0) और बिन्दुओं (1, 1) तथा B ( – 1, 1) पर प्रतिच्छेद करती हैं। अभीष्ट क्षेत्र चित्र में रेखांकित भाग से दिखाया गया है। दोनों क्षेत्र,
y-अक्ष के सममित हैं।

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2(प्रथम चतुर्थांश में रेखांकित क्षेत्रफल)
= 2 x क्षेत्रफल APOA
= 2[ \(\int_0^1\) (रेखा के लिए) dx – \(\int_0^1\)y(रेखा के लिए) dx]
= 2[\(\int_0^1\)x dx – \(\int_0^1\) x² dx]
= 2\(\frac{x^2}{2}\) ¹ ₀ – 2\(\frac{x^3}{3}\)¹ ₀
= 2 × \(\frac{2}{3}\) × 8 = \(\frac{32}{3}\) …………….(1)
= 1 – \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)वर्ग इकाई।

प्रश्न 10.
वक्र x² = 4y एवं रेखा x = 4y – 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x² = 4y एक परवलय है जिसका शीर्ष मूलबिन्दु (0, 0) है तथा यह ऊपर की तरफ खुलता है। परवलय x² = 4y, y-अक्ष के सममित है।
वक्र का समीकरण x² = 4y
रेखा का समीकरण x = 4y – 2
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर,
(4y – 2)² = 4y
या
16y(4y – 2)² = 4y + 4 – 16y = 4y
या
16y² – 16y – 4y + 4 = 0
या
16y² – 20y + 4 = 0
या
4y² – 5y + 1 = 0
या
4y² – ( 4 + 1)y + 1 = 0
या
4y² – 4y – y + 1 = 0
या
4y (y – 1)(y – 1) = 0
या
4y – 1 = 0
या
4y – 1 = 0 या y – 1= 0
∴ समीकरण (2) से,
जब y = \(\frac{1}{4}\)
तब
x = 4 × \(\frac{1}{4}\) – 2
या
= 1 – 2 = -1
जब y = 1, तब
x = 4 × 1 – 2 = 4 – 2 = 2
x = 4y – 2 तथा वक्र x² = 4y के प्रतिच्छेद बिन्दु A(2, 1), B(-1, \(\frac{1}{4}\)) है।
स्पष्टतः चित्र में रेखांकित भाग अभीष्ट क्षेत्रफल AOBA है।

प्रश्न 11.
वक्र y² = 4 x एवं रेखा x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र y² = 4 x एक परवलय है जो x-अक्ष के सममित है तथा इसका शीर्ष मूलबिन्दु है।
रेखा x = 3, y-अक्ष के समान्तर y-अक्ष से 3 इकाई दूरी पर है।
अभीष्ट क्षेत्रफल AOBA है जो कि निम्न चित्र में रेखांकित भाग से दिखाया गया है।

क्षेत्रफल AOBA = 2 x क्षेत्रफल AMOA
= 2\(\int_0^3\)| y | dx = 2\(\int_0^3\)2√x dx = 4\(\int_0^3\)x^1/2 dx
= 4\(\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\)³ ₀
= 4[\(\frac{2}{3}\) × (3^3/2 – 0)]
= 4 × \(\frac{2}{3}\) × 3^3/2
= \(\frac{8}{3}\) × 3√3 = 8√3 वर्ग इकाई।

प्रश्न 12.
प्रथम चतुर्थाश में वृत्त x + y 4 एवं रेखाओं x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) π
(B) π/2
(C) π/3
(D) π/4
हल:
निम्न चित्र में वृत्त x² + Y² = 4 तथा रेखाओं x = 0, x = 2 से घिरे प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्र को रेखांकित भाग से दिखाया गया है।

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र AOBA का क्षेत्रफल
= \(\int_0^2\) y(वक्र के लिए) dx = \(\int_0^2\)\(\sqrt{4-x^2}\) dx
= \(\frac{x}{2}\)\(\sqrt{4-x^2}\) + \(\frac{4}{2}\) sin^-1 \(\frac{x}{2}\)
= [\(\frac{2}{2}\)\(\sqrt{4-4}\) + 2sin^-1 \(\frac{2}{2}\)] – [\(\frac{0}{2}\)\(\sqrt{4-0}\) + \(\frac{4}{2}\)sin^-1 \(\frac{0}{2}\)]
= 2 sin^-1 1 = 2 × \(\frac{\pi}{2}\) = π
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 13.
वक्र y² = 4x, y- अक्ष एवं रेखा = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है :
(A) 2
(B) \(\frac{9}{4}\)
(C) \(\frac{9}{3}\)
(D) \(\frac{9}{2}\)
हल:
वक्र y² = 4x एक परवलय है जिसका शीर्ष मूलबिन्दु है और यह x अक्ष के सममित है।
वक्र y² = 4x, y – अक्ष तथा रेखा y = 3 से घिरा क्षेत्र चित्र में रेखांकित भाग से दिखाया गया है जो कि AOBA है।

∴ अभीष्ट क्षेत्रफल AOBA
= \(\int_0^3\) x (वक्र के लिए) dy = \(\int_0^3\) \(\frac{y^2}{4}\) dy
= \(\frac{1}{4}\) \(\int_0^3\) y² dy = \(\frac{1}{4}\) \(\frac{y^3}{3}\)³ ₀
= \(\frac{1}{4}\) \(\frac{y^3}{3}\)³ ₀
= \(\frac{1}{4}\)\(\frac{3^3}{3}\) – 0
= \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{27}{3}\)
= \(\frac{1}{4}\) वर्ग इकाई
अतः विकल्प (B) सही है।