NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2

प्रश्न 1.
परवलय x² = 4y और वृत्त 4x² + 4y² = 9 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय x² = 4y का शीर्ष मूलबिन्दु है तथा यह ऊपर की
तरफ खुलता है। वृत्त 4x² + 4y² = 9 या x² + y² = \(\frac{9}{4}\)
मूलबिन्दु है तथा त्रिज्या \(\frac{3}{2}\) इकाई है। परवलय x² = 4y y- अक्ष के सममित है जबकि वृत्त x² + y² = \(\frac{9}{4}\)
दोनों अक्षों के सममित है।
परवलय तथा वृत्त के मध्यवर्ती भाग को चित्र में छायांकित किया गया है।

परवलय का समीकरण
x² = 4y …………(1)
वृत्त का समीकरण
x² + y² = \(\frac{9}{4}\) ………..(2)
समीकरण (1) से x² = 4y समीकरण (2) में रखने पर,
4y + y² = \(\frac{9}{4}\)
या
4y² + 16y – 9 = 0
या
4y² + 18y – 2y – 9 = 0
या 2y (2y + 9 ) – (2y + 9) = 0
या (2y + 9) (2y – 1) = 0
या 2y + 9 = 0 या 2y – 1 = 0
y = –\(\frac{9}{2}\)
या
y = –\(\frac{1}{2}\)
∴ x² = 4 x (\(\frac{9}{2}\)) = -18
या x = ±\(\sqrt{-18}\) जो कि वास्तविक नहीं है।
जब y = \(\frac{1}{2}\)
x² = 4y से,
x² = 4 × \(\frac{1}{2}\) = 2
या
x = ±\(\sqrt{2}\)
अतः वक्रों के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक (√2, \(\frac{1}{2}\))
(-√2, \(\frac{1}{2}\)) हैं अर्थात् A के निर्देशांक (√2, \(\frac{1}{2}\)) तथा B के निर्देशांक
(-√2. \(\frac{1}{2}\)), बिन्दु D के निर्देशांक (0, \(\frac{3}{2}\)) हैं (क्योंकि वृत्त की
हैं \(\frac{3}{2}\) तथा बिन्दु-D वृत्त तथा)-अक्ष दोनों पर हैं)।
अभीष्ट क्षेत्रफल
= क्षेत्र OPADBQO का क्षेत्रफल
= 2 × OPARBQO का क्षेत्रफल
= 2 [क्षेत्र OPARO का क्षेत्रफल + क्षेत्र RADR का क्षेत्रफल]
= 2[∫ (x परवलय के लिए) dy + ∫ (x वृत्त के लिए) dy]

प्रश्न 2.
वक्रों (x – 1)² + y² = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र (x – 1)² + y² = 1 एक वृत्त है जिसका केन्द्र (1, 0) तथा त्रिज्या 1 इकाई है। वक्र x² + y² = 1 भी एक वृत्त है जिसका केन्द्र मूलबिन्दु तथा त्रिज्या इकाई है। वृत्तों का आलेख चित्र में दिखाया गया है तथा उनसे घिरे क्षेत्र को छायांकित किया गया है।

वृत्तों के प्रतिच्छेद बिन्दुओं P तथा Q के निर्देशांक समीकरणों को
हल करके प्राप्त होंगे।
(x – 1)² + y² = 1 …(1)
x² + y² = 1 ………..(2)
तथा
समीकरण (2) से y² = 1 – x² को समीकरण ( 1 ) में रखने पर,
(x – 1)² + y² = 1 ………..(1)
तथा x² + y² = 1
या – 2x = 1 – 2
या – 2x = – 1
या
x = –\(\frac{1}{2}\)
∴ y² = 1 – x²
= 1 – \(\frac{1}{2}\) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
या y = ± \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) हैं।
अत: P’ के निर्देशांक (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) तथा Q के निर्देशांक (\(\frac{1}{2}\), \(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल क्षेत्र OQAPO का क्षेत्रफल
= 2 x क्षेत्र OAPO का क्षेत्रफल
= 2 [ ∫वृत्त (x – 1)² + y² = 1 के लिए) dx
+ [∫y (वृत्त x² + y2² = 1 के लिए) dx]

प्रश्न 3.
वक्रों y = x² + 2, y = x, x = 0 एवं x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र y = x² + 2 एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 2) y-अक्ष पर स्थित है। y = x एक सरल रेखा है जो कि मूलबिन्दु से होकर जाती है।
x = 0, y-अक्ष है तो x = 3 एक सरल रेखा है जो y-अक्ष से 3 इकाई की दूरी पर है। अभीष्ट क्षेत्र वक्र y = x² + 2, y = x, x = 0 तथा x = 3 से घिरा हुआ है जिसे चित्र में छायांकित किया गया है। y = x² + 2 तथा x = 3 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q के निर्देशांक (3, 11) हैं।

अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र PQSOP का क्षेत्रफल = क्षेत्र OAPQSOA का क्षेत्रफल – क्षेत्र OAP का क्षेत्रफल
= \(\int_0^3\)(x² + 2)dx – \(\int_0^3\)xdx
= \(\frac{x^3}{3}\) + 2x – \(\frac{x^3}{3}\)³ ₀
= [\(\frac{3^3}{3}\) + 2 × 3 – 0 – 0] – \(\frac{9}{2}\) – 0
= \(\frac{27}{3}\) + 6 – \(\frac{9}{2}\) = 9 + 6 – \(\frac{9}{2}\) = 15 – \(\frac{9}{2}\)
= \(\frac{21}{2}\)

प्रश्न 4.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (- 1, 0), (1, 3) एवं ( 3, 2) हैं।
हल:
त्रिभुज का आलेख निम्न चित्र में प्रदर्शित है। अभीष्ट क्षेत्रफल को छायांकित किया गया है।

अभीष्ट क्षेत्रफल = ∆MBC का क्षेत्रफल
= ∆ABP का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज BPQC का क्षेत्रफल -∆QC का क्षेत्रफल …………(1)
रेखा (भुजा) AB का समीकरण
y – 0 = \(\frac{3-0}{1-(-1)}\) [x – (-1)]
या
y = \(\frac{3}{2}\)(x + 1) ……….(2)
रेखा (भुजा) BC का समीकरण
y – 3 = \(\frac{2-3}{3-1}\)(x – 1)
या
y – 3 = –\(\frac{1}{2}\)(x – 1)
या
y = –\(\frac{1}{2}\)(x – 1) + 3 = –\(\frac{1}{2}\)x + \(\frac{1}{2}\) + 3
या
y = –\(\frac{1}{2}\)x + \(\frac{7}{2}\) …………(3)
रेखा (भुजा) CA का समीकरण
y – 2 = \(\frac{0-2}{-1-3}\) (x – 3)
या
y – 2 = \(\frac{-2}{-4}\) (x – 3)
या
y – 2 = \(\frac{1}{2}\) (x – 3)
या
y = \(\frac{1}{2}\) x – \(\frac{3}{2}\) + 2
= \(\frac{1}{2}\) x + \(\frac{1}{2}\)
या
y = \(\frac{1}{2}\)(x + 1) ……..(4)
अब ∆ABP का क्षेत्रफल = ∫(y रेखा AB के लिए) dx

अब समीकरण (1) में ∆ABP के क्षेत्रफल, समलम्ब चतुर्भुज BPAQ के क्षेत्रफल तथा ∆AQC के क्षेत्रफल के मान रखने पर, अभीष्ट ∆ABC का क्षेत्रफल
= 3 + 5 – 4 = 4 वर्ग इकाई
∆ABC का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई।

प्रश्न 5.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के समीकरण y = 2x + 1, y = 3x + 1 एवं x = 4 हैं।
हल:
माना त्रिभुज की भुजाएँ AB, BC तथा AC हैं।
तब AB का समीकरण y = 2x + 1 …(1)
BC का समीकरण y = 3x + 1 …(2)
तथा AC का समीकरण x = 4 …(3)
समीकरण (1) तथा (2) से,
3x + 1 = 2x + 1
3x – 2x = 0, x = 0
तब
y = 1
∴ बिन्दु B के निर्देशांक (0, 1) हैं।
समीकरण (2) तथा (3) से,
y = 3 × 4 + 1 = 13
बिन्दु C के निर्देशांक (4, 13)
समीकरण (1) तथा (3) से, y = 2 x 4 + 1 = 9
∴ बिन्दु 4 के निर्देशांक (4, 9) हैं।
त्रिभुज ABC निम्न चित्र में प्रदर्शित किया गया है।

∆ABC का क्षेत्रफल = समलम्ब चतुर्भुज BOPC का क्षेत्रफल – समलम्ब चतुर्भुज BOPA का क्षेत्रफल
[ ∫( रेखा BC के लिए) dx – 1 ∫( रेखा AB के लिए) dx
= \(\int_0^4\) (3x + 1) dx – \(\int_0^4\)(2x + 1) dx
= 3\(\int_0^4\) x dx + \(\int_0^4\)dx – 2 \(\int_0^4\) x dx – \(\int_0^4\)dx
= 3 x \(\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4\) + \([x]_0^4\) – 2\(\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4\) – \([x]_0^4\)
= 3 × ( 1 – 0) + (4 – 0) – 2 ( 15 – 0) – (4 – 0)
= 3 x \(\frac{16}{2}\) + 4 – 2 × \(\frac{16}{2}\) – 4
= 3 x 16 + 4
= 24 + 4 – 16 – 4
= 8 वर्ग इकाई।
अत: AABC का क्षेत्रफल = 8 वर्ग इकाई।

प्रश्न 6 एवं 7 में सही उत्तर चुनिए:
प्रश्न 6.
वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखा x + y = 2 से घिरे लघु भाग का क्षेत्रफल है:
(A) 2 (π – 2)
(B) π – 2
(C) 2π – 1
(D) 2 (π + 2)
हल:
निम्न चित्र में वृत्त x² + y² = 4 तथा रेखा x + y = 2 से घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल छायांकित किया गया है।

अभीष्ट क्षेत्रफल
= क्षेत्र OBPAO का क्षेत्रफल = – AOAB का क्षेत्रफल
∫(v वृत्त x² + y² = 4 के लिए) dx – ∫(y रेखा x + y = 2 के लिए) dx
= \(\int_0^2\) \(\sqrt{4-x^2}\) dx – \(\int_0^2\)(2 – x)dx
= [\(\frac{x}{2}\)\(\sqrt{4-x^2}\) + \(\frac{4}{2}\)sin^-1\(\frac{x}{2}\)]² ₀ – [2x – \(\frac{x^2}{2}\)]² ₀
= \(\frac{2}{2}\) \(\sqrt{4-4}\) + \(\frac{4}{2}\)sin^-1[\(\frac{0}{2}\)\(\sqrt{4-0}\) + \(\frac{4}{2}\)sin^-1 \(\frac{0}{2}\)
= 0 + 2sin^-11 – 0 + 0 – 4 + 2
= 2 × \(\frac{\pi}{2}\) – 2 = (π – 2)
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 7.
वक्रों y² = 4x एवं y = 2x के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{4}\)
(D) \(\frac{3}{4}\)
हल:
निम्न चित्र में y² = 4x तथा y = 2x के मध्यवर्ती क्षेत्र को छायांकित किया गया है। दोनों वक्र मूलबिन्दु 0 से जाते हैं। वक्र y² = 4x, x अक्ष के सममित है।

वर्कों के समीकरण
y² = 4x ………..(1)
y = 2x …………..(2)
समीकरणों को हल करने पर,
(2x)² = 4x
या
4x² = 4x
या
4x (x – 1 ) – 0
x = 0 या x = 1
जब x = 0 तब y = 0, जब x = 1 तब y = 2
∴ बिन्दु 4 के निर्देशांक (1, 2)
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OPAO का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OBAPO का क्षेत्रफल – AOAB का क्षेत्रफल
= ∫y (परवलय y² = 4x के लिए) dx – (∫y रेखा y = 2x के लिए) dx
= \(\int_0^1\) 2\(\sqrt{x}\)dx – 2\(\int_0^1\)x dx
= 2\(\left[\frac{x^{3 / 2}}{3 / 2}\right]_0^1\) – 2 \(\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1\)
= 2 × \(\frac{2}{3}\) [1^3/2 – 0] – \(\frac{2}{2}\) – 1
= \(\frac{4}{3}\) – 1 = \(\frac{1}{3}\)
अतः विकल्प (B) सही है।