These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.1
प्रश्न 1 से 10 में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।
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प्रश्न 1.
\(\frac{d^4 y}{d x^4}\) + sin (y'””) = 0
हल:
अवकल समीकरण की कोटि 4 है, क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^4 y}{d x^4}\) है। अवकल समीकरण में अवकल गुणांकों को बहुपद में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अत: इसकी घात परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 2.
y + 5y = 0 या \(\frac{d y}{d x}\) + 5y = 0
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 1 है क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक y = \(\frac{d y}{d x}\) है। अवकल समीकरण की घात 1 है, क्योंकि उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d y}{d x}\)
की घात 1 है।
प्रश्न 3.
\(\left(\frac{d s}{d t}\right)^4\) + 3s\(\frac{d^2 s}{d t^2}\) = 0
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 2 है, क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^2 s}{d t^2}\) है। अवकल समीकरण की घात है, क्योंकि उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^2 s}{dt^2}\) की घात । है।
प्रश्न 4.
\(\frac{d^2 y}{d x^2} \) + cos \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = 0
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 2 है, क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है। अवकल समीकरण में अवकल गुणांकों को बहुपद में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 5.
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = cos 3x + sin 3x
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 2 है, क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है। अवकल समीकरण की घात 1 है, \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) क्योंकि उच्चतम अवकल गुणांक की घात 1 है।
प्रश्न 6.
(y”)2 + (y”)3 + (y”)4 + y5 = 0
या
\(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2\) + \(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3\) + \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4\) + 5 = 0
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 3 है, क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^3 y}{d x^3}\) है। अवकल समीकरण की घात 2 है, क्योंकि अवकल गुणांक \(\frac{d^3 y}{d x^3}\)
की घात 2 है।
प्रश्न 7.
y” + 2y” + y” = 0
या
\(\frac{d^3 y}{d x^3}\) + 2 \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + \(\frac{d y}{d x}\) = 0
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 3 है क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^3 y}{d x^3}\) है। अवकल समीकरण की घात 1 है क्योंकि उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^3 y}{d x^3}\) की घात है।
प्रश्न 8.
y + y = ex या \(\frac{d y}{d x}\) + y = ex
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि । है, क्योंकि इसमें है। उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d y}{d x}\) है। अवकल समीकरण की घात 1 है क्योंकि उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d y}{d x}\)
की घात 1 है।
प्रश्न 9.
y” + (y’)2 + 2y = 0
या
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + 2y = 0
हल दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 2 है, क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है । अवकल समीकरण की घात 1 है,
क्योंकि उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) की घात 1 है।
प्रश्न 10.
y” + 2y’ + sin y = 0
या
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 2 \(\frac{d y}{d x}\) + sin y = 0
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 2 है क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है। अवकल समीकरण की घात 1 है
क्योंकि उच्चतम अवकल गुणांक की घात \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) 1 है।
प्रश्न 11 व 12 में सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 11.
अवकल समीकरण
\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\) + \( \left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + sin\(\frac{d y}{d x}\) + 1 = 0
की घात है
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) परिभाषित नहीं है
हल:
अवकल समीकरण में अवकल गुणांकों को बहुपद में व्यक्त नहीं किया जा सकता। अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।
अतः विकल्प (A) सही है।
प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
2x2 \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 3\(\frac{d y}{d x}\) + y = 0
की कोटि है:
(A) 2
(B) 1
(C) 0
(D) परिभाषित नहीं है
हल:
दिए गए अवकल समीकरण की कोटि 2 है क्योंकि इसमें उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) है।
अतः विकल्प (A) सही है।