NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3

प्रश्न 1 से 5 में, स्वेच्छ अचरों तथा 6 को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 1
हल:
दिया हुआ समीकरण
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) = 1 ……(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) \(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
\(\frac{1}{b}\) \(\frac{d y}{d x}\) = – \(\frac{1}{a}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{b}{a}\) ……….(2)
समीकरण (2) को पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 0
या
y” = 0 …………(3)
समीकरण (3) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 2.
y² = a(b² – x²)
हल:
दिया हुआ समीकरण
y² = a(b² – x²) ………..(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2y\(\frac{d y}{d x}\) = a(-2x)
या
y\(\frac{d y}{d x}\) = -ax …………..(2)
समीकरण (2) का पुनःx के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) = -a
समीकरण (3) – a का मान समीकरण (2) में रखने पर,
y\(\frac{d y}{d x}\) = x[y\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\)]
या
xy\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + x\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) – y\(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
xyy” + x(y)² – yy = 0
समीकरण (4) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 3.
y = ae^3x + be^-2x
हल:
दिया हुआ समीकरण
y = ae^3x + be^-2x ………(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = 3ae^3x – 2be^2x ……..(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 9ae^3x + 4be^2x ……………(3)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके समीकरण (2) में जोड़ने पर,
या
2y + \(\frac{d y}{d x}\) = 2ae^3x + 2be^-2x + 3ae^3x – 2be^-2x
या
2y + \(\frac{d y}{d x}\) = 5ae^3x
या
ae^3x = \(\frac{2 y+\frac{d y}{d x}}{5}\)
अब समीकरण (1) को 3 से गुणा करके समीकरण (2) में से घटाने
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y = 3ae^3x – 2be^-2x – 3ae^3x – 3be^-2x
या
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y = -5be^-2x
या
be^-2x = \(\frac{\frac{d y}{d x}-3 y}{-5}\)
ae^3x तथा be^-2x के मान समीकरण (3) में रखने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 9\(\left(\frac{2 y+\frac{d y}{d x}}{5}\right)\) + 4\(\left(\frac{\frac{d y}{d x}-3 y}{-5}\right)\)
या
= \(\frac{1}{5}\)[18y + 9\(\frac{d y}{d x}\) – 4 \(\frac{d y}{d x}\) + 12y]
या
= \(\frac{1}{5}\)[30y + 5\(\frac{d y}{d x}\)]
या
5\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 5\(\frac{d y}{d x}\) – 30y = 0
या
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – \(\frac{d y}{d x}\) – 6y = 0
या
y”- y – 6y = 0
समीकरण (4) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 4.
y = e^2x (a + bx)
हल:
दिया हुआ समीकरण
y = e^2x (a + bx)
या
ye^2x = a + bx …………(1)
समीकरण (1) काx के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\)2x – 2e-2x y = b ………..(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\)e^-2x – 2e^-2x\(\frac{d y}{d x}\) – 2\(\frac{d y}{d x}\) e 2x + 4ye^-2x = 0
या
e^-2x[\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 4\(\frac{d y}{d x}\) + 4y] = 0
या
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 4\(\frac{d y}{d x}\) + 4y = 0 (दोनों पक्षों में e^-2x से भाग देने पर )
या
y” – 4y + 4y = 0
समीकरण (3) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 5.
y = e^x (a cos x + b sinx)
हल:
दिया हुआ समीकरण
y = e^x (a cos x + b sinx)
या
ye^x = a cos x + b sin x ……….(1)
समीकरण (1) काx के सापेक्ष अवकलन करने पर,
-e^-xy + e^x \(\frac{d y}{d x}\) = -asinx + bcosx ………………(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
ye^-x – e^x\(\frac{d y}{d x}\) – e^-x\(\frac{d y}{d x}\) + e^-x\(\frac{d^2 y}{d x^2}\)
= – a cos x – b sin x
= -(a cos x + b sin x)
या
ye^-x – 2e^x\(\frac{d y}{d x}\) + e^-x\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = -e^-xy[समीकरण (1) से]
या
e^-xy – 2e^-x\(\frac{d y}{d x}\) + e^-x\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + e^-xy = 0
या
e^-x(\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 2\(\frac{d y}{d x}\) + 2y) = 0
या
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 2\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = 0
या
y” – 2y’ + 2y = 0 …………(3)
समीकरण (3) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 6.
y- अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना वृत्तों के कुल जो )-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करने वाले किसी एक सदस्य का केन्द्र (a, 0) तथा त्रिज्या a है, तब इसका समीकरण
(x – a)² + y² = a²
x² – 2ax + a² + y² = a²
या
x² + y² = 2ax ………..(1)

समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) = 2a
या x + y\(\frac{d y}{d x}\) = a
a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x² + y² = 2(\(\frac{d y}{d x}\))x
या
x² + y² = 2x² + 2xy \(\frac{d y}{d x}\)
या
y² = 2x² – x² + 2xy\(\frac{d y}{d x}\)
या
x² + 2xy\(\frac{d y}{d x}\) = y²
या
2xy + x² = y²
समीकरण (2) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूलबिन्दु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक -अक्ष की दिशा में है।
हल:
ऐसे परवलय का समीकरण जिसका शीर्ष मूल – बिन्दु (0, 0) तथा अक्षy-अक्ष है,
x² = 4ay ………..(1)
समी. (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x = 4a\(\frac{d y}{d x}\)
या
x = 2a\(\frac{d y}{d x}\)
या
a = \(\frac{x}{2 \frac{d y}{d x}}\)
a का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x² = 4 \(\frac{x}{2 \frac{d y}{d x}}\) y
या
x²\(\frac{d y}{d x}\) = 2xy
या
x²\(\frac{d y}{d x}\) – 2xy = 0
या
x(x\(\frac{d y}{d x}\) – 2y) = 0
या
x\(\frac{d y}{d x}\) – 2y = 0
या
xy’ – 2y = 0 …(2)
समीकरण ( 2) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।
हल:
ऐसे दीर्घवृत्त कुल का समीकरण जिसकी नाभियाँ -अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु (0, 0) है,
\(\frac{x^2}{a^2}\) + \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1, (b > a) ………..(1)

प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।
हल:
अतिपरवलयों के कुल का समीकरण जिनकी नाभियाँ x अक्ष पर हैं तथा केन्द्र मूलबिन्दु है, निम्न है
\(\frac{x^2}{a^2}\) – \(\frac{y^2}{b^2}\) = 1 ……….(1)

समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{2 x}{a^2}\) – \(\frac{2 y}{b^2}\)\( \frac{d y}{d x}\) = 0
या
\(\frac{x}{a^2}\) – \(\frac{y}{b^2}\) \(\frac{d y}{d x}\) = 0 ………(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{1}{a^2}\) – \(\frac{1}{b^2}\)\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) – \(\frac{1}{b^2}\) y \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 0
या
\(\frac{1}{a^2}\) = \(\frac{1}{b^2}\) \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + \(\frac{1}{b^2}\) y \(\frac{d^2 y}{d x^2}\)
\(\frac{1}{a^2}\) का मान समीकरण (2) में रखने पर,

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र – अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल:
माना वृत्तों के कुल जिनके केन्द्र (0, b) y-अक्ष पर तथा जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है, का समीकरण
(x – 0)² + (y – b)² = 9
या
x² + (y – b)² = 9

समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x + 2(y – b)\(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
x + (y – b)\(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
(y – b)\(\frac{d y}{d x}\) = -x
या
(y – b) = \(-\frac{x}{d y / d x}\)
(y – b) का मान समीकरण (1) में रखने पर
x² + \(-\frac{x}{d y / d x}\) = 9
या
x² + \(\frac{x^2}{(d y / d x)^2}\) = 9
या
x²\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + x² = 9
या
(x² – 9) \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + x² = 0
या
समीकरण ( 2 ) अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में किस समीकरण का व्यापक हल y = C₁e^x + C₂e^x है?
(A) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + y = 0
(B) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – y = 0
(C) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 1 = 0
(D) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 1 = 0
हल:
दिया गया समीकरण
y = C₁e^x + C₂e^x …………(1)
समीकरण (1) का x के
सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = C₁e^x + C₂e^x …………….(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = C₁e^x + C₂e^x
या
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – y = 0
[समीकरण (1) से]
अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y = x है?
(A) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – x² \(\frac{d y}{d x}\) + xy = x
(B) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + x\(\frac{d y}{d x}\) + xy = x
(C) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – x² \(\frac{d y}{d x}\) + xy = 0
(D) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + x\(\frac{d y}{d x}\) + xy = 0
हल:
दिया हुआ विशिष्ट हल
y = x …………..(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = 1 ……….(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 0 …………..(3)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 0 तथा y = x समीकरण
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – x² \(\frac{d y}{d x}\) + xy = 0 में करने पर,
बायाँ पक्ष = 0 – x² × 1 + x.x
= x² + x² = 0 दायाँ पक्ष
अतः विकल्प C सही है।