NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.6

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.6

प्रश्न 1 से 12 में प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2 y= sin x
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + 2 y = sin x
समीकरण (1) की \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से तुलना करने पर,
P = 2, Q & = sin x
∴ I.F. = e^∫2 d x = e^2x
समीकरण (1) को e^2x से गुणा करने पर,
e^2x \( \frac{d y}{d x}\) + 2e^2x y=ee^2xsin x
या \(\frac{d}{d x}\left(y e^{2 x}\right)\) = e^2xsin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
ye^2x = ∫e^2xsin x d x
I = ∫e^2xsin x d x
माना
I = ∫e^2xsin x d x
= e^2x∫sin x d x – ∫{\( \frac{d y}{d x}\)e^2x∫sin x d x} d x
[ e^2x को प्रथम फलन मानकर खण्डश:
समाकलन करने पर]
= e^2x(-cos x) – ∫2 e^2x(-cos x) d x
= -cos x e^2x + 2∫2 e^2xcos x d x + C₁
= -cos x e^2x + 2[e^2x∫cos x – ∫{\( \frac{d }{d x}\)e^2x∫cosxdx}dx] + C₁
= -e^2xcosx + 2 e^2xsinx – 4I + C₁
या
-cos x e^2x + 2[e^2x∫cos x – ∫{\( \frac{d }{d x}\)e^2x∫cosxdx}dx] + C₁
= -e^2xcosx + 2 e^2xsinx – 4I + C₁
या
I + 4 I = -e^2xcosx + 2 e^2xsin x + C₁
या
5 I = -e^2xcosx + 2 e^2xsin x + C₁
या
∴ I = \(\frac{1}{5}\) [-e^2xcos x + 2 e^2xsin x] + \(\frac{1}{5}\) C₁
I का मान समीकरण (2) में रखने पर,
y e^2x = \(-\frac{e^{2 x}}{5}\) cos x + \(\frac{2}{5}\)e^2xsin x + \(\frac{1}{5}\) C₁
∴ y e^2x = e^2x [\(-\frac{1}{5}\)cos x + \(frac{2}{5}\)sin x] + C
या
y = \(-\frac{1}{5}\)cos x + \(\frac{2}{5}\)sin x + C e^2x
या
y = \(\frac{1}{5}\) [2sin x – cos x] + Ce^2x
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 2.
\(\frac{d y}{d x}\) + 3 y = e^-2x
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + 3 y = e^-2x
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
P = 3, Q = e^-2x
∴ I.F. = e^-3x d x = e^3x
समीकरण (1) को e^3x से गुणा करने पर,
e^3x \( \frac{d y}{d x}\) + 3 e^3xy = e^-2x × e^3x
या
\(\frac{d}{d x}\) (ye^3x) = e^x
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
ye^3x = ∫e^xd x + C
या
ye^3x = e^x + C
या
∴ y = e^x × e^3x + C e^3x
या
y = e^2x + C e^3x
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{y}{x}\) = x²
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{y}{x}\) = x² ………..(1)
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
P = \(\frac{1}{x}\), Q = x²
∴ I.F. = e^1/x dx = e^logx = x [∴ e^logA = A]
समीकरण (1) को x से गुणा करने पर,
x \(\frac{d y}{d x}\) + x × \(\frac{y}{x}\) = x × x²
या
x\(\frac{d y}{d x}\) + y = x³
या \(\frac{d y}{d x}\)(x y) = x³
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
x y = ∫x³ d x + C
x y = \(\frac{x^4}{4}\) + C
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
\(\frac{d y}{d x}\) + (secx)y = tanx(0 < x < \(\frac{\pi}{2}\))
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + (secx)y = tanx …………(1)
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
P = sec x, Q = tan x
∴ I.F. = e^secx d x = e^{log(secx + tanx)}
= sec x + tan x
समीकरण (1) को sec x + tan x से गुणा करने पर,
(sec x + tan x) \(\frac{d y}{d x}\) + (sec x + tan x)(sec x) y
= (sec x + tan x)tan x
या
(sec x + tan x) \(\frac{d y}{d x}\) + (sec² x + sec xtan x) y
= sec xtan x + tan² x
या
\(\frac{d}{d x}\){(sec x + tan x) y} = sec x tan x + (sec² x – 1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
y(sec x + tan x) = ∫sec xtan x d x + ∫sec² x d x – ∫d x + C
या
y(sec x + tan x) = sec x + tan x – x + C
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
cos² \(\frac{d y}{d x}\) + y = tanx(0 < x < \(\frac{\pi}{2}\))
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
cos² \(\frac{d y}{d x}\) + y = tanx
या
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{y}{\cos ^2 x}\) = \(\frac{\tan x}{\cos ^2 x}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec²x)y = sec²xtanx ………..(1)
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\)+ Py = Q से करने पर,
P = sec² x, Q = sec² x tan x
I.F. = e^sec2 dx = e^tanx
समीकरण (1) को e^tanx से गुणा करने पर,
e^tanx \(\frac{d y}{d x}\) + e^tanx (sec² x)y = e^tanx sec² x tan x
या
\(\frac{d}{d x}\)(ve^tanx) = e^tanx sec^{2</sup >x tan x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
जो कि अभीष्ट हल है।}

प्रश्न 6.
x \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x² log x
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
x \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x² log x
या
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x log x …….(1)
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से करने पर,
P = \(\frac{2}{x}\) Q = xlog x
I.F = e^2logx = e^2logx = x²
समीकरण (1) को x² से गुणा करने पर,
x² \(\frac{d y}{d x}\) + x² x \(\frac{2}{x}\) y = x³log x
या
x² \(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = x³log x
या
\(\frac{d y}{d x}\)(x²y) = x³log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
x²y = ∫ x³log x dx + C
= log x∫ x³ dx – [\(\frac{d y}{d x}\) { (log x) ∫ x³] dx + C
(logx को प्रथम फलन लेने पर )
= \(\frac{x^4}{4}\)log x – ∫\(\frac{1}{x}\) × \(\frac{x^4}{4}\) d x + C
= \(\frac{x^4}{4}\)log x – \(\frac{1}{4}\)∫x³d x + C
= \(\frac{x^4}{4}\)log x – \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{x^4}{4}\) + C
या
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 7.
xlogx \(\frac{d y}{d x}\) + y = \(\frac{2}{x}\) logx
हल:

प्रश्न 8.
(1 + x²) dy + 2xy dx = cot x dx ( x = 0)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(1 + x²) dy + 2xy dx = cot x dx
समीकरण को (1 + x²) d x से भाग देने पर,
या \(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{2 x}{1+x^2}\) y = \(\frac{\cot x}{1+x^2}\)
समीकरण (1) की \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से तुलना करने पर,
P = \(\frac{2 x}{1+x^2}\), Q = \(\frac{\cot x}{1+x^2}\)
I.F. = \(e^{\int \frac{2 x}{1+x^2}}\) d x = e log(1 + x²) = (1 + x² )
समीकरण (1) को (1 + x²) से गुणा करने पर,
(1 + x²) \(\frac{d y}{d x}\) + 2 x y = cot x
या
\(\frac{a}{d x}\) [y(1 + x²)] = cot x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
y(1 + x²) = ∫cot x d x + C
या
y(1 + x²) = log |sin x| + C
या
y = (1 + x²)^-1 log|sinx| + C (1 + x²)^-1
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 9.
x \(\frac{d y}{d x}\) + y – x + x ycot x = 0,(x < 0)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
x \(\frac{d y}{d x}\) + y – x + x ycot x = 0
या
x \(\frac{d y}{d x}\) + (1 + x cot x) y = x
या
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{(1+x \cot x)}{x}\) y = 1
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करंने पर,
P = \(\left(\frac{1+x \cot x}{x}\right)\), Q = 1
∴ I.F. = \(e^{\int\left(\frac{1+x \cot x}{x}\right)}\)
= \(e^{\int \frac{1}{x} d x+\int \cot x d x}\) = \(e^{\log |x|+\log (\sin x)}\)
या
I.F. = e^log|sinx| = x sin x
समीकरण (1) को x sinx से गुणा करने पर,
xsin x \(\frac{d y}{d x}\) + y(1 + x cot x)sin x = x sin x
या
x sin x \(\frac{d y}{d x}\) + (sin x + x × \(\frac{\cos x}{\sin x}\) × sin x) y = xsin x
या xsin x \(\frac{d y}{d x}\) + (sin x + x cos x) y = x sin x
या
\(\frac{d}{d x}\)[(xsin x) y] = xsin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, x y sin x = ∫xsin x + C (x को प्रथम फलन लेने पर)
= x∫sin x d x – ∫{\(\frac{d}{d x}\)(x)∫sin x d x} d x + C
= x(-cos x) – ∫1(-cos x) d x + C
= -x cos x + ∫cos x d x + C
= -x cos x + sin x + C
या
x y sin x = -x cos x + sin x + C
या
y = \(\frac{-x \cos x}{x \sin x}\) + \(\frac{\sin x}{x \sin x}\) + \(\frac{C}{x \sin x}\)
y = -cot x + \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{C}{x \sin x}\)
या
y = \(\frac{1}{x}\) – cot x + \(\frac{C}{x \sin x}\)
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 10.
(x + y) \(\frac{d y}{d x}\) = 1
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(x + y) \(\frac{d y}{d x}\) = 1
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1}{x+y}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y
या
\(\frac{d y}{d x}\) – x = y …………(1)
समीकरण (1) की तुलना
\(\frac{d y}{d x}\) + p₁x = Q से करने पर,
P₁ = -1, Q₁ = y
∴ I.F = \(e^{-\int 1}\) dy = e^-y
समीकरण (1) को e^-y से गुणा करने पर,
e^-y \(\frac{d x}{d y}\)e^-y x = e^-y y
या
\(\frac{d }{d y}\)(xe^-y) = ye^-y
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष समाकलन करने पर,
xe^-y = ∫ye^-y dy + C
= – ye^-y – ∫{\(\frac{d }{d y}\)∫e^-y dy}dy + C
( y को प्रथम फलन मानकर खण्डश: समाकलन करने पर)
= – Ye^-y – ∫1.(-e^-y)dy + C
= – Ye^-y + ∫e^-ydy + C
= – Ye^-y – e^-y + C
xe^-y = – Ye^-y – e^-y + C
या
xe^-y = -e^-y(y + 1) + C
या
x = -(y + 1) + Ce^y
या
x + y + 1 = Ce^y
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 11.
y d x + ( x – y²) dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
y d x + ( x – y²) dy = 0
या
y \(\frac{d x}{d y}\) + x = y²
या
\(\frac{d x}{d y}\) + \(\frac{1}{y}\) x = y
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d x}{d y}\) + P₁ x = Q से करने पर,
P₁ = \(\frac{1}{y}\), Q₁ = y
∴ I.F. = \(e^{\int \frac{1}{y}}\) = e^logy = y
समीकरण (1) को y से गुणा करने पर,
y \(\frac{d x}{d y}\) + x = y²
या
\(\frac{d}{d y}\)(x y) = y²
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष समाकलन करने पर,
x y = ∫ y² d y + C
या
x y = \(\frac{y^3}{3}\) + C
x = \(\frac{1}{3}\) y² + \(\frac{C}{y}\)
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 12.
(x + 3 y² ) \(\frac{d y}{d x}\) = y(y > 0)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(x + 3 y² ) \(\frac{d y}{d x}\) = y
या
\( \frac{d y}{d x}\) = \(\frac{y}{\left(x+3 y^2\right)}\)
या
\(\frac{d x}{d y}\) = \(\frac{x+3 y^2}{y}\)
या
\(\frac{d x}{d y}\) – \(\frac{x}{y}\) = 3 y
समीकरण (1) की तुलना
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁ x = Q₁ से करने पर,
P₁ = \(-\frac{1}{y}\), Q₁ = 3 y
∴ I.F. = \(e^{-\int \frac{1}{y}}\) = e^-logy = e^{logy – 1}
= y^-1 = \(\frac{1}{y}\)
या
I.F. = \(\frac{1}{y}\)
समीकरण (1) को \(\frac{1}{y}\) से गुणा करने पर,
\(\frac{1}{y}\) \(\frac{d x}{d y}\) – \(\frac{1}{y^2}\) x = 3
या
\(\frac{d}{d y}\)(\(\frac{x}{y}\)) = 3
दोनों पक्षों का y के सापेक्ष समाकलन करने पर,
\(\frac{x}{y}\) = ∫3 d y + C
या
\(\frac{x}{y}\) = 3 y + C
या
x = 3 y² + C y
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 13.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2 y tan x = sin x ; y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{3}\)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + (2 tan x) y =sin x
समीकरण (1) की तुलना
\(\frac{d x}{d y}\) + P y = Q से करने पर,
P = 2 tan x, Q = sin x
∴ I.F. = \(e^{\int 2 \tan x}\) dx = \(e^{2 \int \tan x}\)
= \(e^{2 \log \sec x}\) = \(e^{\log \left(\sec ^2 x\right)}\)
या
I.F. = sec^2x
समीकरण (1) को sec^2x से गुणा करने पर,
sec^2x \(\frac{d y}{d x}\) + (2sec^2xtan x) y
= sec^2xsin x = \(\frac{\sin x}{\cos ^2 x}\)
या
\(\frac{d}{d x}\)(ysec^2x) = sec xtan x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
ysec^2x = ∫sec x tan x d x + C
या
ysec^2x = sec x + C
समीकरण (2) में x = \(\frac{\pi}{3}\) तथा y = 0 रखने पर,
0 × sec^2x \(\frac{\pi}{3}\) = sec \(\frac{\pi}{3}\) + C
या
0 = 2 + C
C = -2
∴C = -2
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
y sec^2x = sec x – 2
या
y = \(\frac{\sec x}{\sec ^2 x}\) – \(\frac{2}{\sec ^2 x}\)
या
y = cos x – 2cos^2x
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 14.
(1 + x² ) \(\frac{d y}{d x}\) + 2 x y = \(\frac{1}{1+x^2}\) ; y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(1 + x² ) \(\frac{d y}{d x}\) + 2 x y = \(\frac{1}{1+x^2}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{2 x}{1+x^2}\) y = \(\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}\)
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
P = \(\frac{2 x}{1+x^2}\) ; Q = \(\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}\)
∴ I.F. = \(e^{\int \frac{2 x}{1+x^2}}\) dx = \(e^{\log \left(1+x^2\right)}\) = 1 + x²
समीकरण (1) को (1 + x² ) से गुणा करने पर,
(1 + x² ) \(\frac{d y}{d x}\) + 2 x y = \(\frac{1}{1+x^2}\)
या \(\frac{d}{d x}\) [1 + x² y] = \(\frac{1}{1+x^2}\)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
y(1 + x² ) = ∫ \(\frac{1}{1+x^2}\) d x + C
या
y (1 + x)² = tan^-1 x + C
अब समीकरण (2) में x = 1 तथा y = 0 रखने पर,
0(1 + 1)² = tan^-11 + C
या
0 = \(\frac{\pi}{4}\) + C
या
C = \(-\frac{\pi}{4}\)
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
y(1 + x² ) = tan^-1 x – \(\frac{\pi}{4}\)
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 15.
\(\frac{d y}{d x}\) – 3 ycot x = sin 2x ; y = 2 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) – 3 y cot x = sin 2 x
या
\(\frac{d y}{d x}\) – (3cot x) y = sin 2 x
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
P = -3 cot x, Q = sin 2 x
∴ I.F. = \(e^{-\int 3 \cot x}\) dx = \(e^{-3 \log |\sin x|}\)
= \(e^{\log (\sin x)^{-3}}\) = (sin x)^-3
= cosec³x
या I.F. = cosec³x
समीकरण (1) को cosec³x से गुणा करने पर,
cosec³x x \(\frac{d y}{d x}\) – (3cotx cosec³x)y
= sin 2x ³x
या \(\frac{d}{d x}\)(y cosec³x) = sin2x cosec³x
या \(\frac{d}{d x}\)(y cosec³x) = 2cos x × \(\frac{1}{\sin ^2 x}\)
या \(\frac{d}{d x}\)(ycosec³x) = 2cosecx cot x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर,
ycosec³x = 2∫cosecx cot x d x + C
या ycosec³x = -2cosecx + C
समीकरण (2) में x = \(\frac{\pi}{2}\) तथा y = 2 रखने पर,
2 × cosec² \(\frac{\pi}{2}\) = -2 cosec \(\frac{\pi}{2}\) + C
2 × 1 = -2 × 1 + C
या 2 = -2 + C
या C = 4
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
ycosec³x = -2 cosecx + 4
या
y = 4 sin³x – 2sin² x
या
y = -2 sin²(1 – sin x)
जो कि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 16.
मूलबिन्दु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर हो।
हल:
वक्र के बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \(\frac{d y}{d x}\) होती है।
∴ प्रश्नानुसार, \(\frac{d y}{d x}\) = x + y
या \(\frac{d y}{d x}\) – y = x
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
∴ P = -1, Q = x
I.F. = e^-∫dx = e^-x
समीकरण (1) के e^-x से गुणा करने पर
e^-x \(\frac{d y}{d x}\) – e^-x y = x e^-x
या
\(\frac{d y}{d x}\) (ye^-x) = x e^-x
दोनों पक्षों का x को सापेक्ष समाकलन करने पर,
ye^-x = ∫ xe^-x d x + C
= x∫e^-xd x – ∫{\(\frac{d}{d x}\)(x) ∫e^-x d x} d x + C
( x को प्रथम फलन मानकर खण्डश:
समाकलन करने पर)
= x(-e^-x) – ∫1.(e^-x)dx + C
= -xe^-x + ∫e^-x d x + C
या
y e^-x = -xe^-x – e^-x + C
या
y e^-x = -e^-x(x + 1) + C
∴ वक्र मूलबिन्दु (0, 0) से जाता है। अतः समीकरण (2) में
x = 0, y = 0 रखने पर,
या
0 × e^-0 = -e^-0 (0 + 1) + C
या
0 = -1(1) + C
C = 1
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
या
y e^-x = -e^-x(x + 1) + 1
या
y = -(x + 1) + e^-x
या
y + x + 1 = e^x
y + x + 1 = e^x
x + y + 1 = e^x
जो कि अभीष्ट वक्र है।

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
हल:
वक्र के बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता \(\frac{d y}{d x}\) होती है।
प्रश्नानुसार, x + y = \(\frac{d y}{d x}\) + 5
या \(\left|\frac{d y}{d x}\right|\) = x + y – 5
या
\(\frac{d y}{d x}\) = ±(x + y – 5)
(i) धनात्मक चिह्न लेने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = x + y – 5
या
\(\frac{d y}{d x}\) – y = x – 5
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
P = -1, Q = x – 5
∴ I.F. =e^-∫1dx = e^-x
समीकरण (1) को e^-x से गुणा करने पर,
e^-x \(\frac{d y}{d x}\) – y e^-x = e^-x (x – 5)
या
\(\frac{d}{d x}\)(y e^-xt) = xe^-x – 5 e^-x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष समाकलन करने पर, y e^-x = ∫x e^-x d x – 5∫e^-x d x + C
= x∫e^-x d x – ∫{\(\frac{d}{d x}\)(x)∫e^-xd x} d x
– 5(-e^-x) + C
= x(-e^-x) – ∫ 1(-e^-x) d x + 5 e^-x + C
= -xe^-x + ∫e^-x} d x + 5 e^-x + C
= -x e^-x – e^-x + 5e^-x + C
या
y e^-x = -e^-x(x – 4) + C
y = -(x – 4) + Ce^x
x + y – 4 = Ce^-x
समीकरण (3) में x = 0 तथा y = 2 रखने पर,
0 + 2 – 4 = Ce⁰
या
– 2 = C
C = -2
C का मान समीकरण (3) में रखने पर,
x + y – 4 = -2e^x
y = 4 – x – 2e^x
या
जो अभीष्ट हल है।

(ii) ऋणात्मक चिह्न लेने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = -(x + y – 5) = – x – y +5
या
\(\frac{d y}{d x}\) + y = 5 – x
समीकरण (1) की \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से तुलना करने पर,
P = 1, Q = 5 – x
∴ I.F. = e^∫1 d x = e^x
समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + y = 5 – x को e^x से गुणा करने पर,
e^x \(\frac{d y}{d x}\) + ye^x = 5e^x – xe^x
या
\(\frac{d}{d x}\)(y e^x) = 5e^x – xe^x
दोनों पक्षों का x कें सापेक्ष समाकलन करने पर,
ye^x = 5∫e^x d x – ∫xe^x d x + C
= x∫e^x d x – ∫{\(\frac{d}{d x}\)(x)∫e^-x}dx – 5(-e^-x) + C
= x(-e^-x) – ∫1(-e^-x)dx + 5e^-x + C
= – xe^-x + ∫e^-xdx + 5e^-x + C
= -xe^-x – e^-x + 5e^-x + C
या
ye^-x = 6e^-x – xe^x + C
समीकरण (2) में x = 0 तथा y = 2 रखने पर,
2 × e⁰ = 6 e⁰ – 0 × e⁰ + C
या
2 = 6 + C
या C = 2 – 6 = – 4
C = -4
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
y e^x = 6e^x – xe^x – 4
या
y = 6 – x – 4 e^x
या
x + y = 6 – 4e^x
जो कि अभीष्ट समीकरण है।

प्रश्न 18.
अवकल समीकरण x\( \frac{d y}{d x}\) – y = 2 x² का समाकलन गुणक है:
(A) e^-x
(B) e^-y
(C) \(\frac{1}{x}\)
(D) x
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
x \(\frac{d y}{d x}\) – y = 2 x²
या
\(\frac{d y}{d x}\) – \(\frac{y}{x}\) = 2 x
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
P = \(-\frac{1}{x}\), Q = 2 x
∴ I.F. = \(e^{-\int \frac{1}{x} d x}\) = e^-logx
= e^{-logx – 1} = x^-1 = \(\frac{1}{x}\)
∴ समाकलन गुणक (I.F.) = \(\frac{1}{x}\)
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
अवकल समीकरण
(1 – y²) \(\frac{d x}{d y}\) + y x = a y{-1 < y < 1}
का समाकलन गुणक है:
(A) \(\frac{1}{y^2-1}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}\)
(C) \(\frac{1}{1-y^2}\)
(D) \(\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(1 – y²) \(\frac{d x}{d y}\) + y x = a y
या \
\(\frac{d x}{d y}\) + \(\frac{y}{1-y^2}\) x = \(\frac{a y}{1-y^2}\) ……………..(1)
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d x}{d y}\) + P₁ x = Q₁ से करने पर
P₁ = \(\frac{y}{1-y^2}\), Q₁ = \(\frac{a y}{1-y^2}\)
∴ I.F. = \(e^{\int \frac{y}{1-y^2} d y}\) = \(e^{-\frac{1}{2} \log \left(1-y^2\right)}\)
= \(e^{\log \left(1-y^2\right)^{-1 / 2}}\)
= (1 – y²)^-1/2 = \(\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)
∴ समाकलन गुणक
(I.F.) = \(\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)
अतः विकल्प (D) सही है।