These NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण विविध प्रश्नावली Ex 9.6 Questions and Answers are prepared by our highly skilled subject experts.
NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 अवकल समीकरण विविध प्रश्नावली
प्रश्न 1.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से प्रत्येक की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित है) ज्ञात कीजिए:
(i) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 5 x\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) – 6y = logx
(ii) \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\) – 4\(\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\) + 7y = sinx
(iii) \(\frac{d^4 y}{d x^4}\) – sin \(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)\) = 0
हल:
(i) अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है क्योंकि \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) उच्चतम अवकल गुणांक है जिसकी घात 1 है।
(ii) अवकल समीकरण की कोटि तथा घात 3 है, क्योंकि उच्चतम अवकल गुणांक \(\frac{d y}{d x}\) है जिसकी घात 3 है।
(iii) अवकल समीकरण की कोटि 4 है, क्योंकि उच्चतम अवकल \(\frac{d^4 y}{d x^4}\) गुणांक परन्तु इसकी घात परिभाषित नहीं है।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है:
(i) y = aex + be-x + x2
x \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 2\( \frac{d y}{d x}\) – 2xy + x2 – 2 = 0
(ii) y = ex (a c0s x + b sin x): \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 2\( \frac{d y}{d x}\) + 2y = 0
(iii) y = x sin 3x: \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y – 6cos3x = 0
(iv) x2 = 2 y2 logy : (x2 + y2)\(\frac{d y}{d x}\)
हल:
(i) y = aex + be-x + x2
x \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 2\( \frac{d y}{d x}\) – 2xy + x2 – 2 = 0
समीकरण
y = aex + be-x + x2 का x के सापेक्ष अवकलन करने
पर,
\( \frac{d y}{d x}\) = aex – be-x + 2x
तथा
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = aex + be-x + 2
अब y = a ex + b e-x + x2
y = a ex + b e-x + x2 का हल नहीं है।
(ii) y = ex (a cos x + b sin x): \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 2 \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = 0
y = ex (a cos x + b sin x) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = ex (a cos x + b sin x) + ex (- a sin x + b cos x)
तथा
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = ex (a cos x + b sin x) + ex(-a sin x + b cos x) + ex (-a sin x + b cos x)
= ex(-a cos x + b sin x) – ex(acosx + bsinx) + 2ex (- a sin x + b cos x)
= ex (a cos x + b sin x) – ex (a cos x + b sin x)
= 2ex (-a sin x + b cos x)
अब
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 2 \(\frac{d y}{d x}\) + 2y
= 2ex (-a sin x + b cos x) – 2[ex(a cos x + b sin x) + ex(-a sin x + b cos x)] + 2ex(a cos x + b sin x)
= 2ex [-a sin x + b cos x – a cos x – b sin x + a sin x – b cos x + a cos x + b sin x]
= 2ex (0) = 0
अत: समीकरण y = ex(a cosx + b sinx) अवकल समीकरण
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 2 \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = 0 का हल है।
(iii) y = x sin 3x:
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y – 6 cos 3x = 0
समीकरण y = xsin 3x का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = sin 3x + 3x cos 3x
तथा
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 3 cos 3x + 3 cos 3x – 9x sin 3x
या
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 6 cos 3x – 9x sin 3x
अब
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y – 6 cos 3x
= 6 cos 3x – 9x sin 3x + 9x sin 3x – 6 cos 3x
= 0
अतः समीकरण y = x sin 3x अवकल समीकरण \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 9y – 6 cos 3x = 0 का हल है।
(iv) x2 = 2y2 log y : (x2 + y2 ) – xy = 0
समीकरण x2 = 2y2 logy का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x = 4y \(\frac{d y}{d x}\) log y + 2y2 x \(\frac{1}{y}\) \(\frac{d y}{d x}\)
या
2x = (4ylogy + 2y)\(\frac{d y}{d x}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 x}{4 y \log y+2 y}\) = \(\frac{x}{2 y \log y+y}\)
या
समीकरण (x2 + y2)\(\frac{d y}{d x}\) – xy = 0 में \(\frac{d y}{d x}\) का मान रखने पर,
बायाँ पक्ष = (x2 + y2) x \(\frac{x}{2 y \log y+y}\) – xy
= \(\frac{x^3+x y^2-x y^2-2 x y^2 \log y}{y(1+2 \log y)}\)
= \(\frac{x\left(x^2-2 y^2 \log y\right)}{y(1+2 \log y)}\)
= \(\frac{x\left(2 y^2 \log y-2 y^2 \log y\right)}{y(1+2 \log y)}\)
= 0 दायाँ पक्ष
अत: समीकरण x2 = 2y2 log y अवकल समीकरण
(x2 + y2)\(\frac{d y}{d x}\) – xy = 0 का हल है।
प्रश्न 3.
(x – a)2 + 2y2 = a2 द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए, जहाँ एक स्वेच्छ अचर है।
हल:
दिया हुआ समीकरण
(x – a)2 + 2y2 = a2
या
x2 – 2ax + a2 + 2y2 = a2
या
x2 – 2ax + 2y2 = 0 …(1)
पर,
समीकरण (1) में के दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने
2x – 2a + 4y \(\frac{d y}{d x}\) = 0
2x – 2a + 4y \(\frac{d y}{d x}\) = 0 को x से गुणा करने पर,
2x2 – 2ax + 4xy \(\frac{d y}{d x}\) = 0 ………………..(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर, x2 – 2ax + 2y2 = 0
2x2 – 2ax + 4xy
– xx2 + 2ax – 4xy\(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
4xy\(\frac{d y}{d x}\) + x2 – 2yx2 = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{2 y^2-x^2}{4 x y}\)
जो कि अभीष्ट अवकल समीकरण है।
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि x2 – y2 = C(x2 + y2)2 , जहाँ C एक प्राचल है, अवकल समीकरण (x3 – 3xy2) dx = (y3 – 3x2y) dy का व्यापक हल है।
हल:
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{v^3-3 v}{1-v^4}\) dv = ∫\(\frac{d x}{x}\) = logx + log C1
या
log C 1+ log x = ∫\(\frac{v^3-3 v}{1-v^4}\)dv
या
log C 1+ log x = ∫\(\frac{v^3-3 v}{1-v^4}\) – 3∫\(\frac{v}{1-v^4}\)dv
या
log C 1+ log x = I 1 – 3I 2
या
log(C 1x) = I 1 – 3I 2 ………(5)
I1 = ∫\(\frac{v^3-3 v}{1-v^4}\)dv = \(-\frac{1}{4}\)∫\(\frac{d t}{t}\)
1 – v4 = t
तब -4v3dv = dt
या
v3dv = \(-\frac{1}{4}\)dt
या
I1 = \(-\frac{1}{4}\)log(1 – v4)
I2 = ∫\(\frac{v}{1-v^4}\)dv = \(\frac{1}{2}\)∫\(\frac{d t}{1-t^2}\)
[∴ v2 = t
2dv = dt
या
vdv = \(\frac{1}{2}\)dt
= \(\frac{1}{2 \times 2}\) log \(\frac{1+t}{1-t}\)
प्रश्न 5.
प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
हल:
वृत्तों के कुल (family of circles) जो प्रथम चतुर्थांश में अक्षों को स्पर्श करते हैं, का समीकरण
(x – a)2 + (y – a)2 = a2 ……..(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2(x – a) + 2(y – a)\(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
(x – a) + (y – a) \(\frac{d y}{d x}\) = 0
या
x + y \(\frac{d y}{d x}\) = a(1 + \(\frac{d y}{d x}\))
या
a = \(\frac{x+y \frac{d y}{d x}}{1+\frac{d y}{d x}}\)
प्रश्न 6.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + \(\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}\) = 0 (जबकि x ≠ 1) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}\) = 0
या
\(\frac{d y}{d x}\) = –\(\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}\)
या
\(\frac{d y}{\sqrt{1-y^2}}\) = \(-\frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{\sqrt{1-y^2}}\) = ∫\(\frac{d x}{\sqrt{1-x^2}}\)
या
sin-1 y = – sin-1 x + C
या
sin-1 y + sin-1 x = C
जो कि अभीष्ट हल है।
प्रश्न 7.
दर्शाइए कि अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{y^2+y+1}{x^2+x+1}\) = 0 का व्यापक हल (x + y + 1) = 4 ( 1 – x – y – 2xy ) है, जिसमें 4 एक प्राचल है।
हल:
प्रश्न 8.
बिन्दु (0, \(\frac{\pi}{4}\)) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 है।
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0
या
\(\frac{\sin x}{\cos x}\) d x + \(\frac{\sin y}{\cos y}\) d y = 0
या
tan x dx + tan y dy = 0
समाकलन करने पर,
∫tan x dx + ∫tan y dy = 0
या
log secx + log secy = log C
या
log (secx secy) = log C
या
secx.sec y = C ……….(1)
वक्र (0, \(\frac{\pi}{4}\)) से जाता है। अतः समीकरण (1) में x = 0, y = \(\frac{\pi}{4}\)
रखने पर,
sec 0 x sec \(\frac{\pi}{4}\) = C
या
1 × √2 = C
∴ C = √2
C का मान समीकरण (1) में रखने पर,
secx secy = √2
या
\(\frac{1}{\cos y}\) x secx = √2
या
cos y = \(\frac{\sec x}{\sqrt{2}}\)
जो अभीष्ट वक्र का समीकरण है।
प्रश्न 9.
अवकल समीकरण
(1 + e2x ) dy + (1 + y2) ex dx = 0 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि
y = 1 यदि x = 0
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(1 + e2x ) dy + (1 + y2) ex dx = 0
या
\(\frac{d y}{1+y^2}\) + \(\frac{e^x}{1+e^{2 x}}\) dx = 0
या
\(\frac{d y}{1+y^2}\) + \(\frac{e^x}{1+\left(e^x\right)^2}\) dx = 0
समाकलन करने पर,
∫\(\frac{d y}{1+y^2}\) + \(\frac{e^x}{1+\left(e^x\right)^2}\) d x = 0 .
या
tan-1 y + \(\frac{d t}{1+t^2}\) d t = C
∴ ex = ∴ ex d x = d t]
या
tan-1 y + tan-1 t = C
या
tan-1 y + tan-1(ex) = C
x = 0
तथा
y = 1 समीकरण (1) में रखने पर,
tan-1 1 + tan-1 e0 = C
tan-1 1 + tan-1 1 = C
या
\(\frac{\pi}{4}\) + \(\frac{\pi}{4}\) = C
C = \(\frac{\pi}{2}\)
C का मान समीकरण (1) में रखने पर,
tan-1 y + tan-1(ex) = \(\frac{\pi}{2}\)
जो अवकल समीकरण का विशिष्ट हल है।
प्रश्न 10.
अवकल समीकरण का हल ज्ञात कीजिए। y \(e^{x d y}\) d x = (x \(e^{x d y}\) + y2) d y (y ≠ 0)
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
या
y \(e^{x / y}\) d x = (x \(e^{x / y}\) + y2) d y
या
y \(e^{x / y}\) \(\frac{d x}{d y}\) = x \(e^{x y}\) + y2
या
\(e^{x / y}\) [y \(\frac{d x}{d y}\) – x] = y2
या
\(\frac{e^{x / y}\) [y \(\frac{d x}{d y}\) – x] y2 = 1
माना \(e^{x y}\) = u
y के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{e^{x / y}\)[y \(\frac{d x}{d y}\) – x .1]y2 = \(\frac{d u}{d y}\)
समीकरण (1) तथा (2) से,
\(\frac{d u}{d y}\) = 1
या
d u = d y
समाकलन करने पर,
या
∫d u = ∫d y + C
u = y + C
\(e^{x y}\) = y + C
जो कि अभीष्ट हल है।
प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x – y)(d x + d y) = d x – d y का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1, यदि x = 0
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
या
(x – y)(d x + d y) = d x – d y
(x – y)(1 + \(\frac{d y}{d x}\)) = 1 – \(\frac{d y}{d x}\)
या
(x – y) + (x – y) \(\frac{d y}{d x}\) = 1 – \(\frac{d y}{d x}\)
या
x – y + (x – y) \(\frac{d y}{d x}\) + \(\frac{d y}{d x}\) = 1
या
(x – y) + (x – y + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 1
या
(x – y + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 1 – x + y
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{1-x+y}{x-y+1}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{x-y-1}{x-y+1}\)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = \(-\frac{t-1}{t+1}\)
1 – \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{d t}{d x}\)
(x – y = t रखने पर)
( x के सापेक्ष अवकलन करने पर)
या
\(\frac{d y}{d x}\) = 1 – \(\frac{d t}{d x}\)
समीकरण (1) तथा (2) से,
1 – \(\frac{d t}{d x}\) = \(-\frac{t-1}{t+1}\)
या
1 + \(\frac{t-1}{t+1}\) = \(\frac{d t}{d x}\)
या
\(\frac{t+1+t-1}{t+1}\) = \(\frac{d t}{d x}\)
\(\frac{2 t}{t+1}\) = \(\frac{d t}{d x}\)
या
d x = \(\frac{(t+1)}{2 t}\) d t
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫d x = ∫ \(\frac{t+1}{2 t}\) d t + C1
या
x = \(\frac{1}{2}\)∫d t + \(\frac{1}{2}\)∫\(\frac{1}{t}\) d t + C1
या
x = \(\frac{1}{2}\) t + \(\frac{1}{2}\) log t + C1
या
x = \(\frac{1}{2}\)(x – y) + \(\frac{1}{2}\) log (x – y) + C1
या
2 x = (x – y) + log (x – y) + 2 C1(∴ x – y = t)
या
log (x – y) = 2 x – x + y2 C1
या
log (x – y) = x + y + C
समीकरण (3) में x = 0
तथा
y = -1 रखने पर,
(∴ C = -2 C1)
log [0 – (-1)] = 0 – 1 + C
या
log 1 = -1 + C
या
0 = -1 + C
या
C = 1
C का मान समीकरण (3) में रखने पर,
log (x – y) = x + y + 1
जो कि अभीष्ट हल है।
प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
\(\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\) – \(\frac{y}{\sqrt{x}}\) \(\frac{d x}{d y}\) = 1 (x = 0) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 13.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = 4 xcosecx (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = \(\pi / 2\).
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + (cot x) y = 4 x cosecx
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + P y = Q से करने पर,
P = cot x, Q = 4 x cosecx
∴ I.F. = \(e^{\int \cot x d x}\)
= \(e^{\log \sin x}\) = sin x
∴ I.F. = sin x
समीकरण (1) को sin x से गुणा करने पर,
sin x \(\frac{d y}{d x}\) + sin x(cot x) y = 4 x sin x × cosecx
या
sin x \(\frac{d y}{d x}\) + sin x × \(\frac{\cos x}{\sin x}\) y = 4 x × 1
या
sin x \(\frac{d y}{d x}\) + (cos x) y = 4 x
या
\(\frac{d}{d x}\)(y sin x) = 4 x
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
y sin x = ∫ 4 x d x + C
या
y sin x = 4 \(\frac{x^2}{2}\) + C
या
y sin x = 2 x2 + C
समीकरण (2) में x = \(\frac{\pi}{2}\) तथा y = 0 रखने पर,
0 × sin \(\frac{\pi}{2}\) = 2( \(\frac{\pi}{2}\))2 + C
या
0 = 2 × \(\frac{\pi^2}{4}\) + C
या
0 = \(\frac{\pi^2}{2}\) + C
या
C = \(-\frac{\pi^2}{2}\)
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
y sin x = 2 x2 – \(\frac{\pi^2}{2}\) (sin x ≠ C)
जो कि अभीष्ट हल है।
प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (x + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 2 e-y – 1 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
(x + 1) \(\frac{d y}{d x}\) = 2e-y – 1
या
\(\frac{d y}{2 e^{-y}-1}\) = \(\frac{d x}{x+1}\)
या \(\frac{e^y}{2-e^y}\) d y = \(\frac{d x}{x+1}\)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫ \(\frac{e^y}{2-e^y}\) d y = ∫\(\frac{d x}{x+1}\) + C1
∴ 2ey = t
या
-ey d y = d t
∴ ey d y = -d t
∫ \(\frac{e^y}{2-e^y}\) d y = -∫\(\frac{d t}{t}\)
या
-log(2 – ey) = log (x + 1) + C1
या
log (x + 1) + log (2-ey) = -C1
या
log (x + 1)(2-ey) = log C (-C1 = log C)
या
(x + 1)(2-ey) = C
समीकरण (1) में x = 0 तथा y = 0 रखने पर,
(0 + 1)(2-ey) = C
(2 – 1) = C
C = 1
C का मान समीकरण (1) में रखने पर,
(x + 1)(2-ey) = 1
2-ey = \(\frac{1}{x+1}\)
या
ey = 2 – \(\frac{1}{x+1}\)
या
ey = \(\frac{2 x+2-1}{x+1}\)
ey = \(\frac{2 x+1}{x+1}\)
या
y = log \(\left|\frac{2 x+1}{x+1}\right|\) [x ≠ -1]
जो कि अभीष्ट हल है।
प्रश्न 15.
किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20000 थी और सन् 2004 में 25000 थी, तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
हल:
माना किसी समय t पर गाँव की जनसंख्या y है।
तब प्रश्नानुसार, \(\frac{d y}{d t}\) α y
या
\(\frac{d y}{d t}\) = k y, जहाँ k एक अचर है
या \(\frac{d y}{y}\) = k dt
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫ \(\frac{d y}{y}\) = k ∫d t
log y = k t + C
या
log y = k t + C
माना सन् 1999 में t = 0,
तब जनसंख्या = 20,000
समीकरण (1) में t = 0 तथा y = 20000 रखने पर,
log 20,000 = k × 0 + C
या
C = log 20000
C का मान समीकरण (1) में रखने पर,
log y = k t + log 20000
सन् 2004 में t = 5 तथा y = 25000
[1999 से 2004 तक 5 वर्ष]
समीकरण (2) में t = 5 तथा y = 25000 रखने पर,
log 25,000 = k × 5 + log 20000
या
5 k = log 25000 – log 20000
या
5 k = log \(\frac{25000}{20000}\)
या
5 k = log \(\frac{5 \times 5}{5 \times 4}\) = log \(\frac{5}{4}\)
k = \(\frac{1}{5}\) log \(\frac{5}{4}\)
k का मान समीकरण (2) में रखने पर,
log y = (\(\frac{1}{5}\) log \(\frac{5}{4}\)) t + log 20000
सन् 2009 में, t = 10 तथा y = ?
समीकरण (3) में t = 10 रखने पर,
log y = (\(\frac{1}{5}\) log \(\frac{5}{4}\)) × 10 + log 20000
या
log y = 2 log \(\frac{5}{4}\) + log 20000
या
log y = log (\(\frac{5}{4}\))2 + log 20000
या
log y = log [(\(\frac{5}{4}\))2 × 20000]
या
log y = log (\(\frac{25}{16}\) × 20000)
या
y = \(\frac{25}{16}\) × 20000
= 25 × 1,250 = 31250
अत: 2009 में जनसंख्या 31250 होगी।
प्रश्न 16.
अवकल समीकरण \(\frac{y d x-x d y}{y}\) = 0 का ख्यापक हल है:
(A) x y = C
(B) x = C y2
(C) y = C x
(D) y = C x2
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{y d x-x d y}{y}\) = 0
या
y d x – x d y = 0
या
\(\frac{d x}{x}\) – \(\frac{d y}{y}\) = 0
समाकलन करने पर,
∫ \(\frac{d x}{x}\) – ∫\(\frac{d y}{y}\) = log C1
या
log x – log y = log C1
या
log \(\frac{x}{y}\) = log C1
या
\(\frac{x}{y}\) = C1
या y = \(\frac{x}{C_1}\) = C x (∴ C = \(\frac{1}{C_1}\))
या y = C x
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 17.
\(\frac{d x}{d y}\) + P1 x = Q1 के रूप में अवकल समीकरण का ख्यापक हल है:
(A) y \(e^{\int A d y}\) = ∫(Q1 \(e^{\int A d y}\)) d y + C
(B) y \( e^{\int A d x}\) = ∫(Q1 \(e^{\int A d x}\)) d x + C
(C) x \(e^{\int A d y}\) = ∫(Q1 \(e^{\int A d x}\)) d y + C
(D) x \(e^{\int A d y}\) = ∫(Q1 \(e^{\int A d x}\)) d y + C
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
\(\frac{d x}{d y}\) + P1 x = Q1
जहाँ P1 तथा Q1 या तो अचर हैं अथवा y के फलन हैं।
I.F. = \(e^{\int P_1 d y}\)
अतः अभीष्ट हल
x \(e^{\int \mathcal{H} d y}\) = ∫(Q1 × \(e^{\int \mathcal{A} d y}\)) d y + C
अतः विकल्प (C) सही है।
प्रश्न 18.
अवकल समीकरण ex d y + (y e2 + 2 x) d x = 0 का क्यापक हल है:
(A) x ex + x2 = C
(B) x ey + y2 = C
(C) y ex + x2 = C
(D) y ex + x2 = C
हल:
दिया हुआ अवकल समीकरण
ex d y + (y ex + 2 x) d x = 0
या
ex \(\frac{d y}{d x}\) + ex y = -2 x
या ex (\(\frac{d y}{d x}\) + 1, y) = -2 x
या \(\frac{d y}{d x}\) + 1y = -2 x ex
समीकरण (1) की तुलना \(\frac{d y}{d x}\) + py = Q से करने पर,
P = 1 Q = -2xe-x
∴ I.F = e∫x dx = ex
समीकरण (1) को ex से गुणा करने पर,
ex \(\frac{d y}{d x}\) + exy = -2xex × ex
या
\(\frac{d}{d x}\) (yex) = -2x
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
yex = -2∫xdx + C
या
yex = -2\(\frac{x^2}{2}\) + C
या
yex = -x2 + C
अत: विकल्प (C) सही है।