NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5

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NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5

1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
प्रश्न 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
हल:
माना y = cos x.cos 2x.cos 3x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
logy = log {cos x.cos 2x.cos 3x}
logy = log (cos x) + log (cos 2x) + log (cos 3x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{d}{d x}(\cos x)\)
\(+\frac{1}{\cos 2 x} \times \frac{d}{d x}(\cos 2 x)+\frac{1}{\cos 3 x} \cdot \frac{d}{d x}(\cos 3 x)\)

प्रश्न 2.
\(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\)
हल:
माना y = \(\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)(x-5)}}\)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

प्रश्न 3.
(log x)^cosx
हल:
माना y =(log x)^cosx
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
logy log {(log x)^cosx)
logy cos x log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
x^x – 2^sinx
हल:
माना y = x^x – 2^sinx
तथा u = x^x, v = 2^sinx
y = u – v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}-\frac{d v}{d x}\) …………….(1)
अब u = x^x तथा v = 2sin x में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log u = x log x
तथा log v sin x (log 2)
अब दोनों फलनों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
(x + 3)².(x + 4)³.(x + 5)⁴
हल:
माना y = (x + 3)².(x + 4)³.(x + 5)⁴
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
logy = log [(x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴]
⇒ log (x + 3)² + log (x + 4)³ + log (x + 5)⁴
⇒ logy = 2 log (x + 3)+ 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
\({ \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x }+{ x }^{ \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }\)
हल:
माना y = \({ \left( x+\frac { 1 }{ x } \right) }^{ x }+{ x }^{ \left( 1+\frac { 1 }{ x } \right) }\)

प्रश्न 7.
हल:
(log x)^x + x^logx
माना y = (log x)^x + x^logx
तथा u = (log x)^x, v = x^logx
∴ y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) ……………. (1)
पुनः u = (logx) में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log u = x log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x}=1 \cdot \log (\log x)+x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{d}{d x}(\log x)\)
log (log x) + x . \(\frac{1}{\log x} \times \frac{1}{x}\)
∴ \(\frac{d u}{d x}=u\left[\log (\log x)+\frac{1}{\log x}\right]\)
⇒ \(\frac{d u}{d x}=(\log x)^x\left[\log (\log x)+\frac{1}{\log x}\right]\) ………………(2)
अब v= x^logमें दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log v = log x log x (log x)²
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
(sin x)^x+sin^-1 \(\sqrt{x}\)
हल:
माना y = (sin x)^x+sin^-1 \(\sqrt{x}\)
तथा u = (sin x), v = sin 1 \(\sqrt{x}\)
∴ y = u + v
दोनों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) ……………. (1)
पुन: u = (sin x)^x में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log u = x log sin x
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
x^sinx + (sin x)^cosx
हल:
माना y = x^sinx + (sin x)^cosx
तथा u = x^sinx v = (sin x)^cosx
∴ y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) ……………. (1)
पुनः = x ^{sin x} में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log u = sin x log x
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x}=\cos x \times \log x+\frac{\sin x}{x}\)
⇒ \(\frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x}=\cos x \log x+\frac{\sin x}{x}\)
∴ \(\frac{d u}{d x}=u\left[\cos x \log x+\frac{\sin x}{x}\right]\)
⇒ \(\frac{d u}{d x}=x^{\sin x}\left[\cos x \log x+\frac{\sin x}{x}\right]\) …………….(2)
अब v = (sinxcos x में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log v = cos x log sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
\({ x }^{ x\quad cosx }+\frac { { x }^{ 2 }+1 }{ { x }^{ 2 }-1 } \)
हल:
माना u = x^{x cos x} तथा v = \(\frac{x^2+1}{x^2-1}\)
तब y = u + v
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) ……………. (1)
∴ u = x^{x cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
log u = x cos x log x
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 11.
\((x \cos x)^{x}+(x \sin x)^{\frac{1}{x}}\)
हल:
माना y = \((x \cos x)^{x}+(x \sin x)^{\frac{1}{x}}\)
तथा u = (x cos x)^x v = (x sin x)^1/x ” के दोनों पक्षों का
तब y = u + v के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) ……………. (1)
पुनः = (x cos x)^x के दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log u = x log (x cos x)
⇒ logu = x[log x + log cos x]
⇒ log u = x log x + x log cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

12 से 15 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों के लिए कीजिए:
प्रश्न 12.
x^y + y^x = 1
हल:
माना u = x^y तथा v = y^x
तब u + v = 1 ………….(1)
पुनः u = x^y तथा v = y^x में दोनों फलनों के लघुगणक लेने पर,
log = y log x तथा log v=x log y
अब दोनों फलनों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\frac{d y}{d x} \log x+\frac{y}{x}\)
तथा \(\frac{1}{v} \frac{d v}{d x}=1 \cdot \log y+x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}\)

प्रश्न 13.
y^x = x^y
हल:
y^x = x^y
में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
x log y = y log x
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
(cos x)^y = (cos y)^x
हल:
(cos x)^y = (cos y)^x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, y log cos xx log cos y
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 15.
xy = e^(x-y)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e^(x-y)
⇒ log x + logy = (x – y) log e
=> log x + log y = (x – y)
(∵ loge e = 1)
अब दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार ‘ (1) ज्ञात कीजिए।
∴ f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log [f(x)] = log {(1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
log [(x)] = log (1 + x)+ log (1 + x²) +log (1+x⁴) + log (1 + x⁸)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए-
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान
हल:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग
y=(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

उपरोक्त से ज्ञात होता है कि (i), (ii) व (iii) से प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।

प्रश्न 18.
यदि, तथा w. x के फलन हैं, तो दो विधियों अर्थात् प्रथम – गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय – लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि
\(\frac { d }{ dx } (u.v.w)=\frac { du }{ dx } v.w+u.\frac { dv }{ dx } .w+u.v\frac { dw }{ dx } \)
हल:
(i) माना y = uvw = u. (v.w)
तब u को प्रथम फलन तथा (v.w) को द्वितीय फलन लेकर दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\) {u.(v.w)}